2.5二次函数与一元二次方程（第2课时）教学设计 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的关系，导入通过复习方程根与函数交点坐标、图像与方程解的关系，衔接已学的一元二次方程解法、判别式及二次函数图像性质，为用图像求近似根搭建学习支架。 特色在于采用探究式与问题驱动教学法，通过梯度化问题引导学生自主观察图像、用计算器探索近似根，培养几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）。例题与练习结合，强化数形结合，提升学生探究能力，也为教师提供清晰教学流程，助力突破用图像求近似根的难点。

2.二次函数与一元二次方程（第2课时） 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第2章“二次函数”的第5节。内容包括：理解二次函数的图像与x轴的交点个数和对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系。 （二）教学内容解析 本课时是初中代数的核心内容之一，它将函数、方程、不等式和几何图形有机结合。这既是对前面知识的综合应用，也为高中学习函数和导数奠定基础。 核心素养：通过本课时的学习，着重培养学生的数学建模能力、逻辑推理能力和直观想象能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.能够说出二次函数的图像与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根。 2.会利用判别式判断二次函数图像与x轴的交点个数。 3.能根据实际问题列出二次函数关系式，并求出其最大值或最小值。 4.通过图像观察和代数推导，经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程。 5.在解决实际问题的过程中，体验数学建模的完整流程。 （二）教学目标解析 1.达成知识与技能目标的标志是：学生能独立完成基础练习题，并能解释解题依据。 2.达成过程与方法目标的标志是：学生能在教师引导下，自主或合作完成探究任务，并能清晰表达自己的发现。 3.达成情感态度与价值观目标的标志是：学生在课堂上能积极参与讨论，对解决有挑战性的问题表现出兴趣。 三、学生学情分析 已有知识：学生已经学习了一元二次方程的解法和判别式，也掌握了二次函数的图像和性质。 已有能力：具备一定的代数运算能力和初步的数形结合思想。 潜在困难： 学生可能难以将二次函数的图像特征（如与x轴交点）和一元二次方程的代数特征（如根的情况）联系起来。 在解决实际问题时，如何建立函数模型、如何确定自变量的取值范围是普遍的难点。 基于以上分析，确定教学难点如下： 【教学难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 四、教学策略分析 教法：主要采用"探究式教学法"和"问题驱动教学法"。通过设置一系列有梯度的问题，引导学生自主探究、合作交流，最终构建知识体系。同时辅以多媒体课件，增强直观性。 学法：指导学生采用"自主探究、合作交流、归纳总结"的学习方法。鼓励学生动手画一画、动脑想一想、动口说一说，在主动参与中学习。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1.若方程的根为和，则二次函数的图象与x轴交点坐标是 . 2.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程 的解为 . 设计意图：复习旧知，唤醒认识。 （二）主动参与、感悟新知 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程的根吗？ 1.自主探索 （1）观察二次函数的图象，抛物线与x轴的交点的横坐标约 为________________. （2）由图象可知，方程有 个根， 一个根在 和 之间，另一个根在 和 （填两个整数）. （3） 估计方程的近似根是 （精确到0.1） 分析：（1）先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索 当x=-4.3时，y=-0.11，当x=-4.4时，y=0.56，这表明方程的这个根一定在-4.3和-4.4之间，因此表中的 x 只需取到-4.4就可以了. 因此 x=-4.3 是方程的一个近似根 注意：之所以取 x=-4.3 作为方程的近似根而不是 x=-4.4，是因为当x=-4.3时其函数值更接近0. （2）再求 2 和 3 之间的根.利用计算器探索 因此 x=2.3是方程的另一个近似根. 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤： ① 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象； ② 确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间； ③ 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计. 近似根就出现在对应 y 值正负交换的位置. 练习1：（1）请利用右图求x2+2x-10=3的近似根。 （2）你还能利用右图求一元二次方程 x2+2x-10=3的近似根吗？ 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法： ①直接作出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象；图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根. ②先将一元二次方程变形为 ax2 + bx =－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线 y =ax2 + bx 和直线 y =－c；两图象的交点的横坐标就是方程 ax2 + bx + c = 0 的根. 例1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 (　　) A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5 C. x1≈－2.9，x20.9 D. x1≈－3， x2≈1 解析：由图象可得该抛物线的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又 ∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1. ∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5. 练习2： 1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，3 -1 O x y 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程 的近似根是 （精确到0.1） O x y A x = 2 B 2. 如图，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ） A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3） 3.利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $