精品解析：福建省三明市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

三明市2025—2026学年第一学期普通高中期末质量检测 高二数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 本试卷共5页. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（ ） A. B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 6. 在等差数列中，若，与的等差中项为8，则数列的前11项和（ ） A. 22 B. 44 C. 66 D. 88 7. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的左焦点.若椭圆C上存在关于点O对称的两点A，B，且以为直径的圆过点，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆E：，点P是圆C：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知抛物线：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，A，B在直线上的射影分别为，，则（ ） A. 的最小值是 B. 是直角 C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则的周长的最小值为27 11. 长方体中，，，，E为棱上一点，，F是平面内一动点，，则（ ） A. 棱上存在两定点M，N，使得 B. 存在不与，重合的点F，使得平面 C. 存在点F，使得所在直线与平面所成角为 D. 点F的轨迹截直线所得弦长为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为_______. 13. 若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为______. 14. 已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）求过点且与圆C相切的直线方程. 16. 已知是公比大于1的等比数列，，且，，成等差数列，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且，G是线段上一动点. （1）求证：平面平面； （2）当A，E，F，G四点共面时，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，设，，，直线，相交于点Q，且它们的斜率之积是. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点， ①求面积的最大值； ②若P是线段上异于M，N的一点，且满足，证明：. 19. 已知递增数列的前项和为，，数列具有性质P：对任意的，当时，与两数中至少有一个是集合中的项. （1）若数列单调递增且具有性质，求，； （2）证明：； （3）若数列单调递增且具有性质P.已知，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明市2025—2026学年第一学期普通高中期末质量检测 高二数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 本试卷共5页. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线， 则， 设直线的倾斜角为， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2. 如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的几何体及空间向量的基底，利用空间向量的线性运算求解判断. 【详解】在空间四边形中，是的中点，， 则. 故选：B 3. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：B 4. 若直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 5. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（ ） A. B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 面积的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 6. 在等差数列中，若，与的等差中项为8，则数列的前11项和（ ） A. 22 B. 44 C. 66 D. 88 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列公差为，由题设可得与，据此可得答案. 【详解】设等差数列公差为， ， 与的等差中项为，则. 则，，从而. 故选：B 7. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的左焦点.若椭圆C上存在关于点O对称的两点A，B，且以为直径的圆过点，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆有公共点，再利用椭圆的几何性质可得，进而求出离心率范围. 【详解】椭圆C上存在关于点O对称的两点A，B，且以为直径的圆过点， 则该圆圆心为，半径为半焦距，因此以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆有公共点， 则椭圆短轴的端点在圆上或圆内，即，，则，而， 解得，所以椭圆C的离心率的取值范围是. 故选：C 8. 已知圆E：，点P是圆C：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心及半径，再利用圆的切线性质求出的函数关系，求出点到圆上的点的距离最小值即可. 【详解】圆E：的圆心，半径， 圆C：的圆心，半径， ，圆与圆外离， 由切圆于，得，则 ，而， 当且仅当是线段与圆的交点时取等号，所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 10. 已知抛物线：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，A，B在直线上的射影分别为，，则（ ） A. 的最小值是 B. 是直角 C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则的周长的最小值为27 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得抛物线焦点为，准线为．对于A，设，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合基本不等式可判断选项正误；对于B，判断是否为０即可判断选项正误；对于C，如图过做轴垂线，垂足为，由结合，A中解析可得坐标，据此可判断选项正误；对于D，由抛物线定义可得，据此可判断选项正误． 【详解】，则焦点为，准线为. 对于A，设，将直线方程与抛物线方程联立，消去得： ，判别式为：，设， 由韦达定理，. 由抛物线定义，， 则由基本不等式，，当且仅当时取等号， 则最小值为，故A错误； 对于B，由A分析，，又， 则，， 从而，故B正确； 对于C，由对称性，设在左侧，则. 如图过轴垂线，垂足为， 易得，又，则， 又由A解析可得，则，则， ， 当在右侧时，类似以上分析可得， 综上所述，，故C正确； 对于D，， 则. 由抛物线定义，，则， 其中在抛物线准线上，且垂直于准线，三点共线. 则，故D正确． 故选：BCD 11. 长方体中，，，，E为棱上一点，，F是平面内一动点，，则（ ） A. 棱上存在两定点M，N，使得 B. 存在不与，重合的点F，使得平面 C. 存在点F，使得所在直线与平面所成角为 D. 点F的轨迹截直线所得弦长为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再求出点F是平面内轨迹方程，进而逐项分析判断即可. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， ，由， 得， 整理得，即， 点的轨迹是平面内，中心为，即中点，焦点在直线上，长轴长的椭圆， 对于A，椭圆的半焦距，由椭圆的定义知，棱上存在两定点M，N，使得，A正确； 对于B，平面，要平面，当且仅当， 而，则， 又，解得，或， 点或分别与重合，B错误； 对于C，，设平面的法向量， 则，取，得，而， 由直线与平面所成角为， 得， 整理得，此方程可化为关于的两个二元一次方程， 且时，，即方程表示过点的两条相交直线， 又点在椭圆内，则上述每条直线与椭圆都相交， 因此存在点F，使得所在直线与平面所成角为，C正确； 对于D，直线在平面内，与直线平行且距离为， 由，解得或， 直线与椭圆交于点，它们间的距离为6，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. 故答案为： 13. 若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为， 由点差法可得，据此可得答案. 【详解】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为， 因，则. 又，两式相减并化简可得.即， 则双曲线渐近线方程为：. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项之间的关系，以及等差数列的定义，求出数列通项公式，进而化简不等式，根据不等式恒成立，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】由题意可得当时，，解得， 当时，可得，作差得， 化简得，变形得， 因为，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， 可得，解得， 已知不等式，代入得，化简得， 要使不等式成立，即成立， 设，当不等式成立时，即， 即，得，解得， 因为，所以，可得， 可知成立，只需成立，解得， 即实数的范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）求过点且与圆C相切的直线方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用几何法作出圆心，结合方程组求解圆心坐标和半径，从而可得圆的标准方程； （2）利用分斜率是否存在来表示直线，结合圆心到直线的距离等于半径来求切线方程. 【小问1详解】 由点，，可得中点和斜率， 则的中垂线方程为：， 由圆心既在的中垂线上，又在直线上， 联立可得：，解得：， 所以圆心坐标，半径， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 过点垂直于轴的直线为，圆心到直线的距离，故直线为圆的一条切线， 再设过点斜率存在的切线方程为， 由直线与圆相切，可得：， 解得：，则此时切线方程为， 综上，与圆C相切的直线方程为或. 16. 已知是公比大于1的等比数列，，且，，成等差数列，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项列式求出公比即可. （2）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，且成等差数列， 得，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由数列的前n项和为，得当时，， 而满足上式， 因此，， 则， 因此， 两式相减得， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且，G是线段上一动点. （1）求证：平面平面； （2）当A，E，F，G四点共面时，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为平面，平面， 所以，因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明一平面内的线段与另一平面垂直，即证明平面. （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据共面关系求出的坐标，然后求出平面的法向量坐标，最后根据向量夹角的余弦公式求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在上取点使得，则以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设，则， 所以，因为A，E，F，G四点共面， 所以存在实数使得，则. 解得，所以，所以. 设平面的法向量为，则. 所以有，令，则，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，设，，，直线，相交于点Q，且它们的斜率之积是. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点， ①求面积的最大值； ②若P是线段上异于M，N的一点，且满足，证明：. 【答案】（1）； （2）①； ②设在上方，如图所示，设， 如图分别过作轴垂线，垂足为， 则， 从而， 则，又在上，则， 注意到两点中点为，则在连线的中垂线上， 从而. 【解析】 【分析】（1）设，由题化简可得答案； （2）①设过直线方程为：，.不妨设在上方，如图所示，可得，将直线与（1）中方程联立结合韦达定理可得 ，据此可得最值； ②设在上方，如图所示，设，如图分别过作轴垂线，垂足为，由可得，结合①可得，据此可完成证明. 【小问1详解】 设，由题可得，化简后可得：； 【小问2详解】 ①由题可得过的直线方程斜率不为0， 设过直线方程为：，将直线方程与联立， 消去x可得：，判别式为：. 设，由韦达定理. 不妨设在上方，如图所示， ，令， 则，， 当且仅当，即时取等号； ②略 19. 已知递增数列的前项和为，，数列具有性质P：对任意的，当时，与两数中至少有一个是集合中的项. （1）若数列单调递增且具有性质，求，； （2）证明：； （3）若数列单调递增且具有性质P.已知，求. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，由题可得中必有一个在A 中，据此可得，再利用可得； （2）类似于（1）中分析可得，然后由题可得，，据此可得，累加并整理可完成证明； （3）设，由（2）中分析可得，由，可得，又注意到，，可得是以1为首项，公比为2的等比数列，据此可得答案. 【小问1详解】 设，由题可得中必有一个在A 中， 因，则，，，结合， 则；此时数列为，因为， 则，，即； 【小问2详解】 类似于（1）中分析，中必有一个在中， 因，则，，则. 又注意到，则，. 因，则， 则， 即， 将以上各式累加可得， 即； 【小问3详解】 设. 由（2）分析可得. 则，因， 则. 又，则，注意到， 则，即， 故是以1为首项，公比为2的等比数列， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $