专题13.6 平面与平面的位置关系（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦平面与平面的位置关系核心知识点，系统梳理平行、相交（含二面角）两种位置关系，通过判定定理、性质定理构建知识支架，从基础位置关系辨析到平行/垂直的判定与性质应用，再延伸至距离计算、角度求解及综合问题，形成完整学习脉络。 该资料以11类题型为载体，例题与变式题结合，注重培养数学思维（如推理能力、探究意识）和数学语言表达（符号、图形语言），如探索性问题引导学生主动探究，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升立体几何综合应用能力。

专题13.6 平面与平面的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 平面与平面的位置关系】 1 【题型2 平面与平面平行的判定】 6 【题型3 面面平行性质定理的应用】 10 【题型4 求两个平行平面间的距离】 13 【题型5 求二面角】 20 【题型6 由二面角大小求线段长度或距离】 25 【题型7 由二面角大小求其他角】 29 【题型8 面面垂直的判定】 35 【题型9 面面垂直证线面垂直】 38 【题型10 平行关系与垂直关系的综合应用】 41 【题型11 立体几何中的探索性问题】 46 知识点1 空间中平面与平面的位置关系 1．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【题型1 平面与平面的位置关系】 【例1】（25-26高三上·江苏常州·月考）已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则. B．若，，则. C．若，则. D．若，则. 【答案】C 【解题思路】对于每个选项，根据已知的直线与平面、平面与平面的位置关系，结合直线与平面、平面与平面的平行、垂直等概念，分析直线与直线、直线与平面、平面与平面可能存在的位置关系，即可得解. 【解答过程】选项A，若，则可能有，，或与相交但不垂直，所以A错误； 选项B，若，，则可能有，与相交或与异面，所以B错误； 选项C，因为，所以或，又，则，所以C正确； 选项D，若，则与可能相交，也可能平行，所以D错误. 故选：C. 【变式1-1】（2025·上海嘉定·二模）已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【答案】B 【解题思路】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【解答过程】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 【答案】证明见解析 【解题思路】由延长CE与，会相交于一点，即可求证； 【解答过程】证明：在正方体中，E为的中点， 与不平行. 延长CE与，延长线相交于一点， ，. 又平面，平面， 平面，平面， 所以平面与平面相交. 【变式1-3】（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 【答案】(1)相交 (2)相交 (3)平行 (4)平行 (5)相交 【解题思路】根据直线与平面的位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定直接判断答案即可. 【解答过程】（1）由于A点在平面内，M不在平面内，所以所在的直线与平面相交. （2）由于C点在平面内，N不在平面内，所在的直线与平面相交. （3）由正方体的结构特征得平面平面，， 所以所在的直线与平面平行. （4）由正方体的结构特征得平面平面， 所以平面与平面平行. （5）由正方体的结构特征得平面平面， 而平面平面， 所以平面与平面相交. 知识点2 两平面平行 1．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 2．平面与平面平行的判定方法 (1)根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. (2)根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行. (3)根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行. (4)根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. (5)利用反证法. 3．平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示. 4．两个平行平面间的距离 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段. 由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等.我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. 【题型2 平面与平面平行的判定】 【例2】（24-25高一下·浙江温州·月考）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【解答过程】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【解题思路】由面面平行的判定定理即可判断. 【解答过程】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 【答案】证明见解析 【解题思路】由，所以平面，由四边形为平行四边形，所以，可得平面，进而可得结果. 【解答过程】证明  ：因为，分别为，的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 又由已知得，且， 所以四边形为平行四边形， 所以．而平面，平面， 所以平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 【变式2-3】（24-25高一下·河南焦作·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）连接，利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【解答过程】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，得是的中点. 而是的中点，则，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以. （2）由，分别是，中点，得， 又平面，平面，则平面， 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又，平面，所以平面平面. 【题型3 面面平行性质定理的应用】 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解答过程】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下：    则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·河北邢台·月考）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据面面平行的性质定理可得，即可得，即可得解. 【解答过程】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 【变式3-2】（2025高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【答案】证明见解析 【解题思路】连接，即可证明平面，从而得到平面平面，由面面平行的性质即可得证. 【解答过程】连接，如图，    ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 平面，平面，∴平面. 又∵平面，，，平面， ∴平面平面. 又∵平面平面，平面平面，∴. 【变式3-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由题设得，应用线面平行的判定证明平面，同理证平面，再由面面平行的判定和性质即可证明结论； （2）由题设，再由线面平行的判定和性质即可证明结论. 【解答过程】（1）∵M、N分别为PC、CD的中点， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证平面， 由都在平面内，则平面平面， 由平面，故：平面； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，又平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD，又平面PBC，平面平面， ∴. 【题型4 求两个平行平面间的距离】 【例4】（2025·广东·二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别取的中点，作出截面，结合几何体的性质，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，由此即可求得答案. 【解答过程】分别取的中点，连接，    根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形； 根据题意可知， 而平面， 故平面，又平面， 故平面平面，则平面平面， 作，垂足为S，平面平面， 平面，故平面， 则梯形的高即为平面与平面之间的距离； ， 故， 即平面与平面之间的距离为， 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二·全国·课后作业）在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是 ． 【答案】 【解题思路】在长方体中，根据与平面ABCD所成角的大小是，解直角三角形，求得棱的长，即可得答案. 【解答过程】如图，连接AC， 因为 平面ABCD,故 即为与平面ABCD所成角， 则， 又因为，，则 , 故在 中， ， 在长方体中, 平面ABCD到平面的距离即为棱 的长， 即平面ABCD到平面的距离为， 故答案为：. 【变式4-2】（2025·福建龙岩·二模）棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】在正方体中作出正四面体，作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，由于相邻平面间距离都相等，根据几何关系求解即可． 【解答过程】在正方体中作出正四面体， 作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图: 由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离， 其中，，，为正方体棱上的中点， 过作于，则即为两平行平面间的距离， 因为， 所以，所以， 即相邻平行平面间的距离为. 故答案为：． 【变式4-3】（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【解答过程】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 知识点3 两平面垂直 1．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 2．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 3．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 4．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 5．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型5 求二面角】 【例5】（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解题思路】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【解答过程】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B.    【变式5-1】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】设，若分别为的中点，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明、，结合二面角的定义找到其平面角，进而求其正切值. 【解答过程】设，易知为等腰梯形，故， 所以，故， 若分别为的中点，连接，则，即， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则， 综上，二面角的平面角为，且为直角三角形， 由，，所以. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解题思路】（1）在上取一点，使得，得到四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理即可证平面； （2）取的中点，的中点，由面面垂直得到⊥平面，⊥，⊥，设，由余弦定理和勾股定理逆定理得到⊥平面，即为二面角的平面角，解三角形即可求出. 【解答过程】（1）在上取一点，使得，连接， 因为，所以且， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接. 因为是正三角形，所以⊥ 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面. 因为平面，所以⊥. 设，则，， 又，由勾股定理得， ，故， 因为，所以，. 在三角形中，由余弦定理得 ， 故，故，则， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，， 由勾股定理得， 所以，即二面角的余弦值为. 【变式5-3】（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【解答过程】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 【题型6 由二面角大小求线段长度或距离】 【例6】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解题思路】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【解答过程】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·北京·期中）将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二面角的几何定义可得为二面角的平面角，进而根据三角形的边角关系求解. 【解答过程】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角， 即，则为等边三角形， 故, 过作， 由于，故, 因此， 故, 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一下·河北·月考）如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【解答过程】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 【变式6-3】（24-25高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出结论； （3）由二面角的定义可知为二面角的平面角，则，利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，分析出为的中点，即可得出的长. 【解答过程】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （3）因为，，所以为二面角的平面角，则， 由题意知，，， 在中，由余弦定理得， 所以，可得， 在直角中，， 又因为，，，所以，所以， 即，因为为的中点，所以． 【题型7 由二面角大小求其他角】 【例7】（24-25高三上·吉林长春·月考）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【解答过程】连接，，取中点，连接， 四边形为矩形，，， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高三上·江西南昌·月考）如图是由边长为2的正与正方形拼接成的平面图形，现将沿折起，当二面角为时，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先构造二面角的平面角，并计算边长，并将异面直线所成角转化为相交直线所成角，利用余弦定理计算求值. 【解答过程】如图，取中点，中点，连接，，，.由，， 得为二面角的平面角，∴，且， 所以平面,，所以平面, 平面,所以, 因为，， 由余弦定理得， 所以. 因为，所以（或补角）为直线与所成的角. 在中，. 故选:C. 【变式7-2】（25-26高二上·吉林四平·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，且，，. (1)证明：平面平面； (2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解题思路】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得； （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦即得答案. 【解答过程】（1）在中，由余弦定理，， 因，则，即， 由，，，得， 则，即， 又，平面，于是平面， 又平面，所以平面平面. （2）取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，， 即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则， 又，则，解得， 而，则，， 因，可得， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面， 则，而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为， 在中，，故，而为锐角，故. 即直线BD与平面所成的角为. 【变式7-3】（24-25高一下·江苏·期末）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解题思路】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）由二面角的定义知是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理可知平面，所以即为与底面所成角，求解即可. 【解答过程】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）取的中点，连接，，    因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. （3）因为平面，平面，所以，又， 是二面角的平面角，所以， 设则，连接，， 因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以即为与底面所成角， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以在直角三角形中，. 所以与底面所成角的正弦值为.    【题型8 面面垂直的判定】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面. 【解答过程】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 【变式8-1】（24-25高二上·海南三亚·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【解答过程】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 【变式8-2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】证明和，根据面面垂直的判定定理即可证明结论. 【解答过程】连接交于点，连接．因为四边形是菱形， 所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为，平面，且，所以平面． 而平面，所以平面平面． 【变式8-3】（24-25高一下·辽宁·期末）如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【解题思路】（1）取的中点，连接，证明∥，根据线面平行的判定即可证得∥平面PAD； （2）由平面，根据线面垂直的性质及判定得到 .结合及是的中点，得到，再根据，∥，可得到,，证得平面，从而平面平面PCD得证. 【解答过程】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴ . ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴ . ∵，∴ . ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【题型9 面面垂直证线面垂直】 【例9】（24-25高三上·河北邢台·期末）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【解答过程】充分性：若，因为，，，所以， 因为，所以，则充分性成立. 必要性：当时，与不一定垂直，则必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式9-1】（24-25高一下·天津·期中）设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或        ②若，则或 ③若且，则         ④且，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解题思路】利用线面平行的判定定理可判断①，利用线面垂直的判定定理可判断②，利用线面平行的性质定理可判断③，利用面面垂直的性质定理可判断④. 【解答过程】对于①，由于，，所以或或且， 则有或或且，故①正确； 对于②，由于，只有一条线线垂直，不能确定或，故②错误； 对于③，由，则在内必存在直线，且 又由，则在内必存在直线，且，根据平行的传递性有， 由于，，则，又因为， 所以，又因为，所以，故③正确； 对于④， 由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 同理由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 因为，由图可知相交，且，所以有，故④正确； 故选：D. 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【答案】证明见解析 【解题思路】利用面面垂直的性质证明线面垂直，然后根据线面垂直的判定定理可得平面CDP． 【解答过程】因为侧面ADP为正三角形，且M是DP的中点，所以， 又底面ABCD为正方形，所以． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面ADP， 又平面ADP，所以， 因为，且CD，平面CDP， 所以平面CDP． 【变式9-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 【解答过程】因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 【题型10 平行关系与垂直关系的综合应用】 【例10】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】D 【解题思路】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【解答过程】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以 平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：D. 【变式10-1】（25-26高二上·上海杨浦·月考）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【解答过程】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确，B、C错误； 在中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：A.    【变式10-2】（24-25高一下·天津·月考）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【解答过程】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面， 所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【变式10-3】（24-25高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【解题思路】（1）根据直三棱柱的性质，结合题给条件，证明线线平行，进一步得出线面平行； （2）根据已知几何体的性质，结合题给条件，证明线面垂直，进一步推出面面垂直； （3）根据已知几何体的性质，借助辅助线构造并证明与平面所成角的三角形为直角三角形，结合题给条件，求出相应边长，从而得到角的正切值. 【解答过程】（1）证明：连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 （2）证明： 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. （3）取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 【题型11 立体几何中的探索性问题】 【例11】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点， 【解题思路】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 【变式11-1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在三棱台中，平面平面，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）根据余弦定理求得，要证明线线垂直，则需证明线面垂直，即证明平面. （2）先证明平面， 然后确定直线与平面所成的角，进而确定其角的大小即可. （3）先确定为二面角的平面角，然后求其正切值，看是否存在. 【解答过程】（1）证明：在三棱台中，， 在等腰梯形中， ，则, 由余弦定理得， 则， 即， 而平面平面，平面平面 平面，则平面， 又平面，所以. （2）过作，垂足为， 因为，又平面， 所以平面， 平面，则 ， 又平面，则平面， 则为与平面所成的角， 则， 又平面平面，所以与平面所成的角为. （3）三棱台侧棱延长线交于点， 由（1）得为正三角形， 由平面平面，则平面平面， 取中点，连接，则，且， 而平面平面平面，则平面， 过作交于，则平面， 而平面，则， 过作于，连接，则为在平面内的射影， 又平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 若存在使得二面角的平面角正切值为 ，即 ， 设，则 因为，则， 即，解得， ， 所以 ，即 ，， 所以线段上存在满足题意的点，且. 【变式11-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，从而得，再由是正三角形，且是的中点，可得，最后由线面垂直的判断定理即可得证. （2）由二面角的定义，找出二面角的平面角，在直角三角形中求解即可. （3）当时，按面面垂直的判断定理进行证明即可. 【解答过程】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）解：存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 【变式11-3】（24-25高一下·河北石家庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析 【解题思路】（1）通过勾股定理求出边长，证明线线垂直，再通过面面垂直判断定理，证明面面垂直即可. （2）根据定义，做出二面角的平面角，并证明，求出平面角的正切值即可. （3）做出线面角的平面角，求出平面角的正切值的表达式，根据范围解出当正切值为时，边长的比值即可. 【解答过程】（1） ，，，， ，，， 又，面，面， 面，面， 面面. （2） 由题意知侧棱，为中点，所以，且，所以为正三角形， 如图所示，作中点,连接，过作交延长线于，连接， 可知，因为面面，面面，，面， 所以面，又，面，面， 所以面，又因为面，所以， 所以即为二面角的平面角， , . （3） 如图所示，作面，因为面，所以，所以为在面上的射影，所以三点共线，连接，再过作于. 所以为与底面所成角的平面角， 因为面，所以，在矩形中， 因为，面，面， 所以面，所以，因为，所以. 设， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，则， 在中，， 可得， 当时，即，平方后化简得， 解得或（舍）， 当时，即时，， 所以当时与底面所成角的正切值等于. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.6 平面与平面的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 平面与平面的位置关系】 1 【题型2 平面与平面平行的判定】 5 【题型3 面面平行性质定理的应用】 6 【题型4 求两个平行平面间的距离】 7 【题型5 求二面角】 11 【题型6 由二面角大小求线段长度或距离】 13 【题型7 由二面角大小求其他角】 14 【题型8 面面垂直的判定】 15 【题型9 面面垂直证线面垂直】 17 【题型10 平行关系与垂直关系的综合应用】 18 【题型11 立体几何中的探索性问题】 20 知识点1 空间中平面与平面的位置关系 1．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【题型1 平面与平面的位置关系】 【例1】（25-26高三上·江苏常州·月考）已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，则. B．若，，则. C．若，则. D．若，则. 【变式1-1】（2025·上海嘉定·二模）已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 【变式1-3】（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)所在的直线与平面的位置关系； (2)所在的直线与平面的位置关系； (3)所在的直线与平面的位置关系； (4)平面与平面的位置关系； (5)平面与平面的位置关系. 知识点2 两平面平行 1．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. (4)两个平面平行的其他性质 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. ②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 2．平面与平面平行的判定方法 (1)根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. (2)根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行. (3)根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行. (4)根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. (5)利用反证法. 3．平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示. 4．两个平行平面间的距离 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段. 由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等.我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. 【题型2 平面与平面平行的判定】 【例2】（24-25高一下·浙江温州·月考）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【变式2-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE． 【变式2-3】（24-25高一下·河南焦作·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面. 证明： (1)； (2)平面平面. 【题型3 面面平行性质定理的应用】 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（24-25高一下·河北邢台·月考）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【变式3-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【题型4 求两个平行平面间的距离】 【例4】（2025·广东·二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二·全国·课后作业）在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是 ． 【变式4-2】（2025·福建龙岩·二模）棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为 ． 【变式4-3】（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 知识点3 两平面垂直 1．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 2．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 3．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 4．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 5．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型5 求二面角】 【例5】（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式5-1】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【变式5-2】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 【变式5-3】（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【题型6 由二面角大小求线段长度或距离】 【例6】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【变式6-1】（25-26高二上·北京·期中）将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·河北·月考）如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【变式6-3】（24-25高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 【题型7 由二面角大小求其他角】 【例7】（24-25高三上·吉林长春·月考）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高三上·江西南昌·月考）如图是由边长为2的正与正方形拼接成的平面图形，现将沿折起，当二面角为时，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·吉林四平·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，且，，. (1)证明：平面平面； (2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线与平面所成的角. 【变式7-3】（24-25高一下·江苏·期末）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 【题型8 面面垂直的判定】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面. 【变式8-1】（24-25高二上·海南三亚·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式8-2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【变式8-3】（24-25高一下·辽宁·期末）如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【题型9 面面垂直证线面垂直】 【例9】（24-25高三上·河北邢台·期末）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-1】（24-25高一下·天津·期中）设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或        ②若，则或 ③若且，则         ④且，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【变式9-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【题型10 平行关系与垂直关系的综合应用】 【例10】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 【变式10-1】（25-26高二上·上海杨浦·月考）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【变式10-2】（24-25高一下·天津·月考）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式10-3】（24-25高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【题型11 立体几何中的探索性问题】 【例11】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【变式11-1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在三棱台中，平面平面，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【变式11-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式11-3】（24-25高一下·河北石家庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $