专题03 二项分布与超几何分布（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题03 二项分布与超几何分布 题型一：n重伯努利试验的概率求法 题型二：求二项分布的分布列 题型三：超几何分布的辨析 题型四：利用超几何分布求概率 题型五：利用超几何分布求分布列 题型六：二项分布与超几何分布的综合 题型七：服从二项分布的概率最值 题型一：n重伯努利试验的概率求法 1．某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的概率分布． 4．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 5．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如下表所示： 产品类型 医用普通口罩 医用外科口罩 医用防护口罩 样本数量（件） 40 40 20 (1)已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%.若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率； (2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列 6．历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． (1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； (2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列 题型二：求二项分布的分布列 7．某同学课后进行“抛掷一枚质地均匀的硬币次”的实验，每次抛掷硬币的结果互不影响.设事件次中反面朝上的次数大于0且小于，则（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（   ） A． B． C． D． 9．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 10．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动1个单位．若移动4次，质子恰好向正方向移动4个单位的概率为 ；质子位于原点的概率为 ． 11．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ； 题型三：超几何分布的辨析 12．下列说法正确的是（    ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 13．（多选）一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的最小号码服从超几何分布 B．取出的白球个数服从超几何分布 C．取出2个黑球的概率为 D．若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为 14．下列问题中，哪些属于二项分布问题，哪些属于超几何分布问题． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 题型四：利用超几何分布求概率 15．小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 16．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 17．一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 20．袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 . 题型五：利用超几何分布求分布列 21．学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示高二（1）班的候选人中被选中的人数，写出X的分布列． 22．某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日抽取的100件产品的级别情况如柱状图所示： (1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率； (2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件产品中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列. 23．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4 200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度． 某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下： 用户 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电量/度 1000 1260 1400 1824 2180 2423 2815 3325 4411 4600 (1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费； (2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列． 24．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列 25．宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，现从全市m个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是大型机房的概率为 (1)求m的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列 题型六：二项分布与超几何分布的综合 26．某学校组织天文学知识竞赛，甲､乙两人各自从4个问题中随机抽取3个问题作答，每答对一题得1分，已知这4个问题中，甲能正确回答其中的2个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲､乙两人对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)设甲得分为，求的分布列； (2)求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 27．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列 (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 28．某公司订购了一批树苗，为了研究其生长规律，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理后得到如图①的频率分布直方图，其中最高的16株树苗高度的茎叶图如图②所示，以这100株树苗高度的频率估计整批树苗高度的概率． (1)求这批树苗的高度高于1.60的概率，并求图①中a，b，c的值； (2)研究发现高度在1.65以上的树苗有特殊的生长规律，于是从抽测高度在1.65以上（不含）的树苗中抽取3株做研究，设X为高度在的树苗数量，求X的分布列 (3)为做进一步对比研究，需从这批订购的树苗中随机选取3株，记为高度在的树苗数量，求的分布列 29．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．    (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 30．某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”，为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试（满分100分），并随机抽取50名学生的成绩进行统计，将其分成以下6组：，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)试估计全校学生成绩的第80百分位数； (3)若将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示成绩在中的人数，求随机变量的分布列. 31．2023年5月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12间寝室进行量化评估，其中有4间寝室被评为优秀寝室. (1)现从这12间寝室中随机抽取3间，求有1间优秀的概率； (2)以这12间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3间，记X表示抽到优秀的寝室间数，求X的分布列 32．在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. (1)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 题型七：服从二项分布的概率最值 33．如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大． 34．（多选）袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（   ） A． B．若每次取出的球不放回，则 C．若每次取出的球放回，则 D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球 35．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 36．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： (1)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列； (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值. 37．某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列 (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 38．河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的．小麦品种是在河南省广泛种植的一个品种，某科研基地在实验田种植的品种小麦收获时，随机取10个该小麦的种子样本，每个样本均为1000粒，测得每个样本的质量（称为千粒重，单位：）分别为40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，记这10个数据的平均数为． (1)从这10个数据中随机选取3个，记这3个数据中大于的个数为，求的分布列； (2)用这10个样本中千粒重大于的频率作为每个样本千粒重大于的概率，从品种小麦种子中随机抽取20个样本，千粒重大于的样本最有可能是几个？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项分布与超几何分布 题型一：n重伯努利试验的概率求法 题型二：求二项分布的分布列 题型三：超几何分布的辨析 题型四：利用超几何分布求概率 题型五：利用超几何分布求分布列 题型六：二项分布与超几何分布的综合 题型七：服从二项分布的概率最值 题型一：n重伯努利试验的概率求法 1．某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D 2．某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的分布列为： 1 2 3 4 5 P 设事件为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则， 所以某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为． 设某同学游戏结束时取走的奖品个数为，则，所以， 所以，， 所以． 故选：B 3．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的概率分布． 【答案】答案见解析 【详解】由题意可知,∴， 即， ， ∴的概率分布为 X 0 1 2 3 P 4．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)0.999 【分析】 【详解】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即． 因此 ， ， ， ， 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 5．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如下表所示： 产品类型 医用普通口罩 医用外科口罩 医用防护口罩 样本数量（件） 40 40 20 (1)已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%.若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率； (2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列 【详解】（1）记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩， 则，且两两互斥， 由题意：， 记事件为“选到绑带式口罩”，则， 所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为： . . （2）由题意知，， ， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 6．历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． (1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； (2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列 【详解】（1）由题意得； （2）该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件B ； （3）随机变量X的取值为 由题意可知： 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 题型二：求二项分布的分布列 7．某同学课后进行“抛掷一枚质地均匀的硬币次”的实验，每次抛掷硬币的结果互不影响.设事件次中反面朝上的次数大于0且小于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为“次中反面朝上的次数为0或”， 则，. 故选：B. 8．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为甲队与乙队实力之比为，所以每局比赛中甲获胜的概率为， 则甲队打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜， 其概率为， 故选：D. 9．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 10．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动1个单位．若移动4次，质子恰好向正方向移动4个单位的概率为 ；质子位于原点的概率为 ． 【答案】 /0.0625 / 【详解】质子向数轴正方向或向负方向移动的概率均为， 所以移动4次，质子恰好向正方向移动4个单位的概率为； 若移动4次，质子位于原点，则向数轴正方向或向负方向各有次， 所以质子位于原点的概率为. 故答案为：； 11．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（‌3局2胜‌是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ； 【答案】 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 故答案为： 题型三：超几何分布的辨析 12．下列说法正确的是（    ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故A正确； 对于选项B：因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故B正确； 对于选项C：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量X服从二项分布，故C错误； 对于选项D：因为样本都分为两类，随机变量X表示抽取4名样本中某类样本被抽取的人数， 所以随机变量X服从超几何分布，故D正确； 故选：ABD. 13．（多选）一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的最小号码服从超几何分布 B．取出的白球个数服从超几何分布 C．取出2个黑球的概率为 D．若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为 【答案】BC 【详解】对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数， 即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误； 对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确； 对于，取出2个黑球的概率为，故C正确； 对于，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小， 总得分最大的概率为，故不正确. 故选：. 14．下列问题中，哪些属于二项分布问题，哪些属于超几何分布问题． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 【答案】(1)二项分布 (2)二项分布 (3)超几何分布 (4)超几何分布 (5)答案见解析 【详解】（1）样本是独立重复试验问题，是二项分布问题. （2）样本是独立重复试验问题，是二项分布问题. （3）样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （4）样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （5）样本没有给出不合格产品数，无法计算的分布列，所以不属于超几何分布问题，也不是二项分布问题． 题型四：利用超几何分布求概率 15．小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 16．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 17．一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为，则这箱猕猴桃的烂果个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】设这一箱猕猴桃中有n个烂果． 由超几何概型，得， 解得或， 因为烂果率低于50%，所以，则． 故选：C 18．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 19．一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 【答案】 【详解】由题意根据超几何分布的概率公式，可知. 故答案为： 20．袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】设黄色小球有个，则， 则， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型五：利用超几何分布求分布列 21．学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示高二（1）班的候选人中被选中的人数，写出X的分布列． 【答案】答案见解析 【详解】由题意随机变量X可取0,1,2， ， ， ， 高二（1）班的候选人中被选中的人数X的分布列如下表． X 0 1 2 P 22．某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日抽取的100件产品的级别情况如柱状图所示： (1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率； (2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件产品中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列. 【答案】(1)； (2)分布列见解析. 【分析】 【详解】（1）由题图可知，抽取的100件产品中一级品的频率是， 故从出厂的所有产品中任取1件，该产品是一级品的概率是. 设从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件是一级品的事件为A， 则. （2）由题意可知抽取的10件产品中有一级品7件，二级品2件，三级品1件， 故的可能取值为0，1，2，，，， ∴的分布列为 0 1 2 P 23．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4 200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度． 某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下： 用户 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电量/度 1000 1260 1400 1824 2180 2423 2815 3325 4411 4600 (1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费； (2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列． 【答案】(1)2822.38 (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）(因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元， 第三档电价比第一档电价每度多0.3元， 编号为10的用户一年的用电量是4600度， 所以该户该年应交电费为 (元)． （2）设取到第二阶梯的户数为X， 易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4. ，，， ，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 24．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列 【详解】（1）法1：设所取的2道题都是甲类题为事件A，则 ， 所取的2道题都是甲类题的概率为； 法2：列举法也可以 将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道一类题依次编号为5，6，任取2道题， 基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个， 而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个 所以 = （2）X取值为0，1，2， ， ， ， 则分布列为 X     0     1     2      P          法2：由（1）得基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个   则分布列为 X     0     1     2      P          25．宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，现从全市m个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是大型机房的概率为 (1)求m的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列 【详解】（1）一共有个机房，抽取2个机房共有种方法； 其中全部是大型机房的有种方法； 所以全部是大型机房的概率为，则. （2）X的取值有0，1，2，3 ，， ，， X的分布列为 X 0 1 2 3 p 题型六：二项分布与超几何分布的综合 26．某学校组织天文学知识竞赛，甲､乙两人各自从4个问题中随机抽取3个问题作答，每答对一题得1分，已知这4个问题中，甲能正确回答其中的2个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲､乙两人对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)设甲得分为，求的分布列； (2)求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 【详解】（1）的取值为1，2， ， ， 所以分布列为 1 2 （2）设乙得分为随机变量， 甲得1分乙得0分的概率为， 甲得2分乙得1分或0分的概率为 ， 所以比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率. 27．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列 (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2. 所以，， 所以的分布列为： （3）从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件， 则，， 所以. 28．某公司订购了一批树苗，为了研究其生长规律，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理后得到如图①的频率分布直方图，其中最高的16株树苗高度的茎叶图如图②所示，以这100株树苗高度的频率估计整批树苗高度的概率． (1)求这批树苗的高度高于1.60的概率，并求图①中a，b，c的值； (2)研究发现高度在1.65以上的树苗有特殊的生长规律，于是从抽测高度在1.65以上（不含）的树苗中抽取3株做研究，设X为高度在的树苗数量，求X的分布列 (3)为做进一步对比研究，需从这批订购的树苗中随机选取3株，记为高度在的树苗数量，求的分布列 【详解】（1）这批树苗的高度高于1.60的概率为， ， . （2）以上（不含）的有株，其中高度在的树苗数量为株， , , 所以的分布列为： （3）依题意，即， , , , , 所以的分布列为： 29．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．    (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 【答案】(1)12（件） (2)分布列见解析， (3)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）质量超过克的产品的频率为， 质量超过克的产品数量为. （2）质量超过克的产品数量为， 则质量未超过克的产品数量为，服从超几何分布，的取值为，，. ，， . 的分布列为 解法一：的均值为. 解法二：的均值为. （3）根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为. 从流水线上任取件产品互不影响， 该问题可看二项分布，质量超过克的件数可能的取值为，，，且. ，，，. ， ， . 的分布列为 30．某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”，为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试（满分100分），并随机抽取50名学生的成绩进行统计，将其分成以下6组：，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)试估计全校学生成绩的第80百分位数； (3)若将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示成绩在中的人数，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)估计全校学生成绩的第80百分位数为85 (3)分布列见解析 【详解】（1）由题意得：， 解得：； （2）设全校学生成绩的第80百分位数为， ，，， ，， 估计全校学生成绩的第80百分位数为85； （3）因为成绩在与的学生比例为2:1， 所以从全校成绩在80分及以上的学生中抽取1人，此人成绩在的概率为， 故， 则，， 用表格表示的分布列如下： X 0 1 2 3 P 31．2023年5月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12间寝室进行量化评估，其中有4间寝室被评为优秀寝室. (1)现从这12间寝室中随机抽取3间，求有1间优秀的概率； (2)以这12间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3间，记X表示抽到优秀的寝室间数，求X的分布列 【详解】（1）设表示所抽取的3间寝室中有间寝室优秀，抽取的3间寝室中有1间优秀为事件， 则； （2）由题表数据可知，从12间寝室中任选1间是优秀的概率为， 由题可知的所有可能取值为，则 ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 32．在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. (1)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为， 取到小球的个数 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 （2）若每次抽取后都不放回，取到小球的个数服从超几何分布 ∴的分布列为 0 1 2 3 题型七：服从二项分布的概率最值 33．如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大． 【答案】 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果. 34．（多选）袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（   ） A． B．若每次取出的球不放回，则 C．若每次取出的球放回，则 D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球 【答案】AB 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，若每次取出的球不放回，则，故B正确； 对于C，若每次取出的球放回，则相互独立，且， 故， 故，故C错误； 对于D，若每次取出的球放回，设前5次取球中取到个红球， 则，故，其中， 令，则，故， 故前5次取球中最有可能取到2次红球，故D错误. 故选：AB. 35．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2). 【分析】 【详解】（1）所有可能的取值为，且. ； ； ； . 故的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”， 则30个人中剩下个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为， 所以. 所以，解得. 所以， 故当时，最大. 36．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： (1)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列； (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)6 【分析】 【详解】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户. 第二阶梯水量的户数的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得， 所以，其中0，1，2，…，10. 设， 若，则，； 若，则，. 所以当或，可能最大， ，所以的取值为. 37．某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列 (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 38．河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的．小麦品种是在河南省广泛种植的一个品种，某科研基地在实验田种植的品种小麦收获时，随机取10个该小麦的种子样本，每个样本均为1000粒，测得每个样本的质量（称为千粒重，单位：）分别为40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，记这10个数据的平均数为． (1)从这10个数据中随机选取3个，记这3个数据中大于的个数为，求的分布列； (2)用这10个样本中千粒重大于的频率作为每个样本千粒重大于的概率，从品种小麦种子中随机抽取20个样本，千粒重大于的样本最有可能是几个？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)8 【分析】 【详解】（1）， 易知40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，中有6个小于等于平均数，4个大于平均数， 所以的所有可能取值为，0，1，2，3； ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）由（1）知：每个样本千粒重大于的概率为， 设20个样本中千粒重大于的样本个数为, 由题意可知：, 所以， 设千粒重大于的样本最有可能是， 则， ， 解得：， 故， 所以千粒重大于的样本最有可能是8个. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $