重难点突破01 立体几何中的动态、轨迹问题（6大题型）（寒假预习讲义）高二数学苏教版

重难点突破01 立体几何中的动态、轨迹问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 方法总结 立体几何动态、轨迹问题的核心的是将空间动态问题降维转化为平面几何问题，解题关键在于抓住不变量与运动约束，灵活运用以下方法快速求解。 一是坐标法，万能且稳妥，优先建空间直角坐标系，设动点坐标，将几何约束（距离、垂直、平行等）转化为代数方程，化简后判断轨迹类型。二是投影法，将空间点、线投影到合适平面（底面、侧面等），通过平面轨迹反推空间轨迹。 三是定义法，紧扣几何定义，由已知条件直接判定轨迹（如到定点距离定值为球面，限制在平面内为圆）。四是特殊位置试探法，借助起点、终点、极限位置等特殊点，快速确定轨迹形状。解题需注意，动点在几何体表面时，轨迹多为线段、圆弧，而非完整曲线，避免易错点。 题型一：由动点保持平行关系求轨迹 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（   ） A．27 B． C．12 D．6 【变式1-1】（25-26高三上·山西太原·期中）如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式1-2】（25-26高二上·江西景德镇·月考）如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·北京·期中）如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D．9 题型二：由动点保持垂直关系求轨迹 【例2】（25-26高二上·浙江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（）    A．点S可以是棱的中点 B．点S的轨迹是矩形 C．点S轨迹所围成的图形面积为 D．点S轨迹的长度为 【变式2-1】（25-26高二上·湖南·期末）如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内（不包含边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·广东揭阳·期中）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·全国·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），是线段上的两个动点，且，是的中点，则下列说法中不正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．在线段上存在一点，使得平面 C．存在点，使得平面 D．若，那么点的轨迹长度为 题型三：由动点满足等距（或定长）条件求轨迹 【例3】（24-25高三上·广西·月考）已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知正四面体，动点在内，且点到平面的距离与点到点的距离相等，则动点的轨迹为（    ） A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．一条线段 【变式3-3】（24-25高一下·河南·月考）如图，在正方体，中，，为正方形内（含边界）一动点，是棱，的中点，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 题型四：由动点满足等角（或定角）条件求轨迹 【例4】（多选题）（25-26高三上·云南·月考）已知正方体的棱长为2，点，，分别为棱，，的中点，则（    ） A．面 B．与面所成角的正弦值为 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 【变式4-1】（25-26高三上·北京昌平·月考）设正方体的棱长为2，点在底面内且满足性质．若点的轨迹为抛物线的一部分，则性质可以为（   ） ①点到直线的距离与它到平面的距离相等； ②点到点的距离与它到直线的距离之和为4； ③直线和夹角为； ④直线和夹角为． A．①或③ B．①或④ C．②或③ D．②或④ 【变式4-2】（25-26高二上·辽宁·期末）在长方体中，，动点在表面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 题型五：由投影条件确定动点轨迹 【例5】如图，在等腰中，，，为的中点，为的中点，为线段上一个动点（异于两端点），沿翻折至，点在平面上的投影为点，当点在线段上运动时，以下说法不正确的是（    ）． A．线段为定长 B． C． D．点的轨迹是圆弧 【变式5-1】如图，在中，， ，，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将沿线段 AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点 D的移动过程中，下列说法错误的是（ ） A．不存在点，使得 B．点在平面上的投影轨迹是一段圆弧 C．与平面所成角的余弦值的取值范围是 D．线段的最小值是 【变式5-2】在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 题型六：翻折变换下的动点轨迹问题 【例6】如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：    ①平面平面： ②与的夹角为定值： ③三棱锥体积最大值为： ④点的轨迹的长度为. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【变式6-1】如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连接，在翻折过程中，下列说法中正确的是（       ） ①四棱锥的体积最大值为②．中点的轨迹长度为 ③与平面所成角的正弦值之比为 ④三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值 A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③ 【变式6-2】如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（    ） A．四棱锥体积的最大值为 B．PD的中点F的轨迹长度为 C．EP，CD与平面PAD所成的角相等 D．三棱锥外接球的表面积有最小值 【变式6-3】如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（    ） A．椭圆的一段 B．抛物线的一段 C．双曲线的一段 D．一段圆弧 1．（24-25高二上·重庆·月考）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二上·上海宝山·月考）如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（   ）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）    A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B．保持与垂直时，点的轨迹长度为 C．若保持，则的轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为直角梯形 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北·月考）在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 6．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京·开学考试）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．点轨迹的长度为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹所围成的图形面积为 8．（25-26高三上·北京海淀·期末）在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（   ） A．点可以在点处 B．点在底面上的轨迹为线段 C．点的轨迹是直角三角形 D．直线与点的轨迹所在平面相交 9．（多选题）（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，则直线与直线所成角的最小值为 D．若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为 10．（多选题）（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）空间直角坐标系中，点，定义.如图，正方体的棱长为3，为棱的中点，点是平面内两个动点，，，则以下结论正确的是（    ） A．点的轨迹是正方形 B．点的轨迹是圆 C．点的轨迹是直线 D．的取值范围 11．（多选题）（25-26高二上·浙江宁波·月考）设正方体的棱长为，点在底面内且满足性质.若点的轨迹为抛物线的一部分，则性质可以为（    ） A．点到直线的距离与它到平面的距离相等； B．点到点的距离与它到直线的距离之和为； C．直线和夹角为； D．直线和夹角为. 12．（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，已知正方形和正方形所在的平面相互垂直，，．（    ） A．平面 B．二面角的正切值为 C．三棱锥外接球体积为 D．侧面内的动点满足平面，则点轨迹长度为 13．（多选题）（25-26高二上·山东济宁·月考）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点P为的中点，点Q为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（    ）    A．平面截四棱柱所得的截面是五边形 B． C．平面与平面所成角的余弦值为 D．若平面，则点轨迹的长度为 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破01 立体几何中的动态、轨迹问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 方法总结 立体几何动态、轨迹问题的核心的是将空间动态问题降维转化为平面几何问题，解题关键在于抓住不变量与运动约束，灵活运用以下方法快速求解。 一是坐标法，万能且稳妥，优先建空间直角坐标系，设动点坐标，将几何约束（距离、垂直、平行等）转化为代数方程，化简后判断轨迹类型。二是投影法，将空间点、线投影到合适平面（底面、侧面等），通过平面轨迹反推空间轨迹。 三是定义法，紧扣几何定义，由已知条件直接判定轨迹（如到定点距离定值为球面，限制在平面内为圆）。四是特殊位置试探法，借助起点、终点、极限位置等特殊点，快速确定轨迹形状。解题需注意，动点在几何体表面时，轨迹多为线段、圆弧，而非完整曲线，避免易错点。 题型一：由动点保持平行关系求轨迹 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（   ） A．27 B． C．12 D．6 【答案】B 【解析】分别取，的中点，，连接，. 因为，， 所以，平面，平面. 所以平面.又，平面，平面. 所以平面，平面， 所以平面平面. 所以当点在线段上运动时，有平面， 所以点的轨迹长为.故B正确. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高三上·山西太原·期中）如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点P的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点的轨迹长度为. 故选：A 【变式1-2】（25-26高二上·江西景德镇·月考）如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，取中点，连接，，， 点，分别为，中点， ， 又几何体为正方体， 则，， 四边形为平行四边形， ， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又直线与平面无公共点， 平面， 点平面， 点平面， 又点平面，且平面平面， 点， 即动点的轨迹为线段， 且， 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·北京·期中）如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D．9 【答案】C 【解析】如图所示： 取的中点，取的中点，连接， 所以，又因为点，分别是和的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又点是棱的中点，点是棱的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面． 又是侧面内一动点（含边界），且平面， 所以点的运动轨迹为，又在长方体中，，， 所以. 故选：C 题型二：由动点保持垂直关系求轨迹 【例2】（25-26高二上·浙江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（）    A．点S可以是棱的中点 B．点S的轨迹是矩形 C．点S轨迹所围成的图形面积为 D．点S轨迹的长度为 【答案】C 【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为2，分别为的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为，所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取， 连接，则， 则， ， 所以，， 又，且平面平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故B错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 正三角形边长为，则面积为，故C正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：C 【变式2-1】（25-26高二上·湖南·期末）如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内（不包含边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：如图：取中点，连接，由可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面，所以，又因为， 所以平面，所以，在平面内轨迹为以为直径的圆弧． 方法二：由方法一，平面，作， 故可以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨取，则，则，． 由点在平面内，可设，因为，所以，，， 即化简得：得：． 所以，在平面内一个以为圆心，为半径的圆弧上， 所以点在正方形内（不包含边界）的轨迹为， 故选：C． 【变式2-2】（25-26高二上·广东揭阳·期中）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正方体中，以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，所以， 设，则， 因为，则， 当时，，当时，， 取、、、， 连接、、、， 则，， 因为，故，所以四边形为矩形， 所以，，即，， 又和为平面中的两条相交直线，所以平面， 又，， 所以为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，，所以，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 【变式2-3】（2025·全国·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），是线段上的两个动点，且，是的中点，则下列说法中不正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．在线段上存在一点，使得平面 C．存在点，使得平面 D．若，那么点的轨迹长度为 【答案】C 【解析】三棱锥的体积，点到直线距离为，而且，则面积为定值， 又点到平面的距离为1，因此三棱锥的体积为定值，故A正确． 当点为的中点时，连接，由是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面， 所以平面，又平面，则平面即平面， 所以平面，故B正确． 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，． 设是平面的一个法向量，则，取，则． 若平面，则，所以存在，使得，则，解得， 因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，故C错误． 因为平面平面，， 所以，则点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是， 所以点的轨迹长度为，故D正确． 故选：C． 题型三：由动点满足等距（或定长）条件求轨迹 【例3】（24-25高三上·广西·月考）已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，正三棱锥，设正的中心为，得 ，又， 点在内部（含边界）运动，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧， 作于，则点的轨迹长度为. 故选：A. 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】解法一：如图，将，，分别延长至，，， 使得，，，连接， 则平面即平面， 则满足条件的点的轨迹为和平面平行的平面与平面的交线 落在四边形内部（含边界）的部分，不妨设为线段. 由面面平行的性质知，线段与平行.设点到平面的距离为， 连接，则由，得， 解得，连接，则线段在的左侧.不妨设点在线段上，在线段上. 过点分别作，交于点，于点，连接， 作于点，易知，，平面， 从而有平面，作，垂足为，则，， 平面，从而有平面，即点到平面的距离为. 易知，， 因为，所以. 设，则，故，，.由及可得， 解得（舍去）或，故为的中点，所以为的中点， 所以，即点的轨迹的长度为，. 解法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为点在平面内， 所以可设， 则，，. 设平面的法向量为，则由，得， 即，取，则， 则点到平面的距离为，所以. 因为点是四边形内（包含边界）的一个动点，所以， 即，由得， 即点的轨迹方程为，. 所以点的轨迹的长度为. 故选：D 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知正四面体，动点在内，且点到平面的距离与点到点的距离相等，则动点的轨迹为（    ） A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．一条线段 【答案】A 【解析】在正四面体，平面不垂直于平面， 过作平面于，过作于，连接，则平面， 所以，故为二面角的平面角，设为， 则中，； 又点到平面距离与到点的距离相等， 故，则； 又在正四面体，平面不垂直于平面，故为锐角， 所以，所以（定值）， 故由椭圆定义知，点轨迹为椭圆在面内的一部分． 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一下·河南·月考）如图，在正方体，中，，为正方形内（含边界）一动点，是棱，的中点，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接， 因为是棱的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，， 又因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在平面的圆弧， 记圆弧与正方形的边的交点为，连接， 由对称性可得，又， 所以，所以可得， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的， 所以点的轨迹的长度为. 故选：C. 题型四：由动点满足等角（或定角）条件求轨迹 【例4】（多选题）（25-26高三上·云南·月考）已知正方体的棱长为2，点，，分别为棱，，的中点，则（    ） A．面 B．与面所成角的正弦值为 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】以为原点建立空间直角坐标系，如图， 则，， ， 又都在平面内，所以平面，A正确； 平面的法向量为，设与面所成角为， ， ，故B错误； 依次连接的中点， 由正方体的性质可知正六边形即为平面截正方体所得的截面， 其边长为，故截面面积为，故C正确； 因为面，设垂足为， 因为直线与直线的夹角为 所以在平面内，以为圆心，为半径作圆，则该圆即为点的轨迹， 由正方体的性质可知：，所以半径， 所以点的轨迹长度为，D正确； 故选：ACD 【变式4-1】（25-26高三上·北京昌平·月考）设正方体的棱长为2，点在底面内且满足性质．若点的轨迹为抛物线的一部分，则性质可以为（   ） ①点到直线的距离与它到平面的距离相等； ②点到点的距离与它到直线的距离之和为4； ③直线和夹角为； ④直线和夹角为． A．①或③ B．①或④ C．②或③ D．②或④ 【答案】A 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， ，设， 对于①：点到直线的距离，即点到点的距离， 所以， 点到平面的距离，即点到的距离，为， 所以，化简得，为开口向左，顶点为的抛物线， 在底面内时，，轨迹为抛物线的一部分，故①符合要求； 对于②：点到直线的距离，即点到点的距离， 所以， 所以，即， 两边平方得， 即，两边平方得， 即，即，不符合抛物线要求，故②不符合要求； 对于③：， 所以， 可得，在底面内时，， 轨迹为抛物线的一部分，故③符合要求； 对于④：， 所以，可得， 此为圆心在原点，半径为2的圆，不符合抛物线要求，故④不符合要求； 综上：符合条件的为①③. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·辽宁·期末）在长方体中，，动点在表面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，设点， 则，， ，化简得， 因为，故，故, 此时，所以动点的轨迹方程为抛物线的一部分. 故选：D. 题型五：由投影条件确定动点轨迹 【例5】如图，在等腰中，，，为的中点，为的中点，为线段上一个动点（异于两端点），沿翻折至，点在平面上的投影为点，当点在线段上运动时，以下说法不正确的是（    ）． A．线段为定长 B． C． D．点的轨迹是圆弧 【答案】B 【解析】翻折后的立体图形，如图所示． 对A，因为点在平面上的投影为点，所以平面， 又平面，所以， 故为直角三角形，又为斜边的中点， 所以为定长. 故A正确． 对C，当在处时，此时点在平面上的投影为点与重合，故， 又在中，，因为为线段上一个动点（异于两端点）， 所以. 故C正确． 对D，因为，为的中点，所以点的轨迹是圆弧． 故D正确． 故选：B． 【变式5-1】如图，在中，， ，，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将沿线段 AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点 D的移动过程中，下列说法错误的是（ ） A．不存在点，使得 B．点在平面上的投影轨迹是一段圆弧 C．与平面所成角的余弦值的取值范围是 D．线段的最小值是 【答案】D 【解析】过点B作AD的垂线,交AD于点E,连接,,过点 作BE的垂线,交BE于点H,易知,则 平面 ,所以为二面角的平面角的补角,即 ,所以,即 H为BE的中点,易知平面平面,又 ,所以平面ABC,所以在平面ABC上的投影为点 H, 对于选项A,若,连接CH,则,而这是不可能成立的,故A正确； 对于选项B,因为,所以点E的轨迹为以AB为直径的一段圆弧,又 H为 BE的中点,所以点H的轨迹也为一段圆弧,故B正确； 对于选项C,连接AH,则与平面ABC所成的角为,设 ,则,所以由 ,得 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,故C正确； 对于选项D,设,则, , , 其中,故,故D错误, 故选:D 【变式5-2】在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 【答案】 【解析】 设将沿折起后得到的平面为平面， 在矩形中，过作，垂足为， 旋转后，故为二面角的平面角， 因平面平面，，故， 而，平面， 故平面，故为在平面上的射影， 因为，故在以为直径的半圆上（如图所示，去除）， 连接，交半圆于， 因为，故，故在劣弧（去除）上， 其长度为， 故答案为： 题型六：翻折变换下的动点轨迹问题 【例6】如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：    ①平面平面： ②与的夹角为定值： ③三棱锥体积最大值为： ④点的轨迹的长度为. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解析】对于①：由题意知，为等边三角形，点是边的中点 ，，平面， 平面，又平面， 所以平面平面，故①正确； 对于②：设的中点为，易得 所以或其补角即为与的夹角. 在中， 由余弦定理可得， 所以，所以与的夹角为 .故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当面时，三棱锥体积最大，此时，故③错误； 对于④：设的中点为，则，点的轨迹是以为圆心为半径的上半圆，所以点的轨迹长度为，故④正确. 故答案为：①②④. 【变式6-1】如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连接，在翻折过程中，下列说法中正确的是（       ） ①四棱锥的体积最大值为②．中点的轨迹长度为 ③与平面所成角的正弦值之比为 ④三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值 A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【解析】由已知梯形面积为，直角斜边 上的高为.当平面平面时，四棱锥的 体积取最大值. ①正确； 取中点为，则平行且相等，四边形是平行四边形， 所以，点的轨迹与点的轨迹完全相同，过作的垂线，垂足为 的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，从而 中点的轨迹长度为.②错误； 由四边形是平行四边形知， 则平面，则到平面距离相等， 故，与平面所成角的正弦值之比为等于. ③正确； 外接圆半径为是中点，根据正弦定理 外接圆半径为是圆与圆公共弦，. 设三棱锥外接球球心为，半径为， 则 因为，所以，所以最小值为，没有最大值. ④正确； 故选：C 【变式6-2】如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（    ） A．四棱锥体积的最大值为 B．PD的中点F的轨迹长度为 C．EP，CD与平面PAD所成的角相等 D．三棱锥外接球的表面积有最小值 【答案】B 【解析】由已知条件可知，梯形AECD的面积为6，，直角斜边AE上的高为，当平面平面AECD时，四棱锥的体积取得最大值， 即，则正确； 取的中点，连接，，，则且， ∴四边形ECFG是平行四边形， ∴点的轨迹与点的轨迹形状完全相同．过作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，从而PD的中点的轨迹长度为， 则错误； 由四边形ECFG是平行四边形，知，则平面PAD， 则E，C到平面PAD的距离相等， 故PE，CD与平面PAD所成角的正弦值之比为，则正确； △外接圆的半径为，为的中点，直角△外接圆的半径为，为的中点，是圆与圆的公共弦，, 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则, 因为，所以，所以球表面积的最小值为， 则正确, 故选：. 【变式6-3】如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（    ） A．椭圆的一段 B．抛物线的一段 C．双曲线的一段 D．一段圆弧 【答案】D 【解析】在四边形中，过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，如图1， 所以当四边形确定时， 和三边长度均为定值， 当沿着翻折到，形成如图2的几何体，并取中点，连接， 由于在翻折过程中，， 所以由中位线定理可得为定值， 所以线段中点的轨迹是以中点为圆心的圆弧上的部分. 故选：D 1．（24-25高二上·重庆·月考）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 故选：B 2．（24-25高二上·上海宝山·月考）如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（   ）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）    A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B．保持与垂直时，点的轨迹长度为 C．若保持，则的轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为直角梯形 【答案】B 【解析】对于A，将正方体的下底面和侧面展开可得如图图形， 连接，则，故A错误； 对于B，如图：   平面，平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，，平面，所以平面． 所以过点作交于，过作交于， 由，可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面，则平面平面． 设平面交平面于，则的运动轨迹为线段， 由点在棱上，且，可得， 连接，则，所以，又，所以， 所以，故B正确； 对于C，如图： 若，则在以为球心，为半径的球面上， 过点作平面，则， 此时． 所以点在以为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为． 点的运动轨迹长度，故C错误； 对于D，如图： 延长交于点，连接交于，连接， 所以平面被正方体截得的截面为． ，所以， ，所以， 所以，所以且， 所以截面为梯形，， 所以截面为等腰梯形，故D不正确． 故选：B． 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以点为坐标原点，分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则，，设，， 所以，， 由，得，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，此圆在正方形内部， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 4．（25-26高二上·河北·月考）在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则动点一定在以为球心，以3为半径的球面上， 再由动点在矩形的内部及其边界上运动，则矩形面截以为球心，以3为半径的球面可得圆弧，如图， 因为，结合勾股定理可得：， 所以圆弧， 故选：D. 5．（24-25高二上·广东惠州·期末）如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为． 故选：A． 6．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 在长方体中，取，的中点，，连接，，， 由点为的中点，得，，则四边形是平行四边形， 所以， 又，，则四边形是平行四边形， 于是， 取中点E，在上取点F，使得，连接，，， 而，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 于是平面， 由为的中点，E为中点，得， 而平面，平面，则平面， 又，平面， 因此平面平面， 又由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹就是线段， 而， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 7．（25-26高二上·北京·开学考试）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．点轨迹的长度为 C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹所围成的图形面积为 【答案】D 【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为，的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故C错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 正三角形边长为，则面积为，故D正确； 点轨迹的长度为，故B错误； 故选：D 8．（25-26高三上·北京海淀·期末）在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（   ） A．点可以在点处 B．点在底面上的轨迹为线段 C．点的轨迹是直角三角形 D．直线与点的轨迹所在平面相交 【答案】D 【解析】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，令， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； 对于选项，当在时，，，故选项正确； 对于选项，当在底面时，，即，则，由于，故在底面上的轨迹是，与中点连线所在的线段，故选项正确； 对于选项，由前两项的分析可知，，在上符合题意，故，连接，，面，则三角形就是的轨迹，由于，，，故，则三角形为直角三角形，故选项正确； 对于选项，三角形就是的轨迹，且面，则为面的法向量，由于，，故面，且直线上没有点在平面内，故面，故选项错误； 故选：. 9．（多选题）（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，则直线与直线所成角的最小值为 D．若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为 【答案】AB 【解析】对于A：由可知，点在平面内， 若，则在上. 在正方体中，平面，因为平面， 所以，A正确； 对于B：若，则在直线上， 三棱锥的体积即三棱锥的体积， 中为到平面的距离， 由于在上，且，的面积为定值，为定值， 故体积为定值，B正确； 对于C：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 若，，则的坐标为， ，设直线与直线所成角为， 则， 当时，，所以，故最小角不是，C错误； 对于D：三棱锥的顶点， 其外接球的球心，半径，在平面内且在球面上， 轨迹为平面与球的交圆， 因为球心到平面的距离为，交圆的半径， 轨迹长度为，D错误； 故选：AB. 10．（多选题）（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）空间直角坐标系中，点，定义.如图，正方体的棱长为3，为棱的中点，点是平面内两个动点，，，则以下结论正确的是（    ） A．点的轨迹是正方形 B．点的轨迹是圆 C．点的轨迹是直线 D．的取值范围 【答案】AB 【解析】以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则各点坐标为：，，，，， 由 为 中点，故 ， 点 在平面 内，设 ，， 由 得： 在平面 上，方程 表示一个中心在 、 顶点为 、、、 的边长为 的正方形，选项 A 正确； ， ， 由 得 ， ， 两边平方：， 化简得：， 整理得： 在平面 上，这是圆心为 、半径为 的圆，选项 B 正确，选项 C 错误； 表示点 （在正方形边界上）与点 （在圆上）之间的欧几里得距离， 最小距离：圆心 到正方形边界的最短距离为 （在线段 到 上取得）， 圆的半径为 ，故两图形不相交，最小距离为 最大距离：圆心到正方形边界的最远距离为 （在点 处取得）， 故最大距离为而选项 D 给出的上界为 ，因此，选项 D 错误. 故选：AB 11．（多选题）（25-26高二上·浙江宁波·月考）设正方体的棱长为，点在底面内且满足性质.若点的轨迹为抛物线的一部分，则性质可以为（    ） A．点到直线的距离与它到平面的距离相等； B．点到点的距离与它到直线的距离之和为； C．直线和夹角为； D．直线和夹角为. 【答案】AC 【解析】根据题意，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，设， 对于A选项，点到直线的距离，即点到点的距离，所以， 点到平面的距离，即点到的距离，即， 所以，化简得，为开口向左，顶点为的抛物线， 在底面内，时，，轨迹为抛物线的一部分，故A正确； 对于B选项，点到点的距离为， 点到直线的距离，即点到点的距离，所以， 所以，两边平方化简得， 即，不符合抛物线要求，故B错误； 对于C选项，，， 所以， 化简得，在底面内，时，，轨迹为抛物线的一部分，故C正确； 对于D选项，，， 所以， 化简得，此为圆心在原点，半径为的圆，故D错误. 故选：AC 12．（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，已知正方形和正方形所在的平面相互垂直，，．（    ） A．平面 B．二面角的正切值为 C．三棱锥外接球体积为 D．侧面内的动点满足平面，则点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】对于A：正方形中，， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，所以， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， 令，则， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，， 所以， 则，故B正确； 对于C：设球心为， 则， 解得， 所以球的半径， 所以球的体积为，故C错误； 对于D：取的中点，的中点，连接，， 所以，平面，平面，平面， 又因为为中点， 所以，平面，平面，平面 平面， 所以平面平面， 所以当在上运动时，平面， 所以点轨迹为，长度为，故D正确； 故选：ABD 13．（多选题）（25-26高二上·山东济宁·月考）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点P为的中点，点Q为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（    ）    A．平面截四棱柱所得的截面是五边形 B． C．平面与平面所成角的余弦值为 D．若平面，则点轨迹的长度为 【答案】BC 【解析】对A，取中点，连接PM，则（都与平行）， 所以四点共面， 则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A错误． 对B，连接，由题意可得，底面， 底面ABCD，所以，而平面， 所以平面，又平面，所以，B正确． 对C，设AC与BD交于点，以为坐标原点， 的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，易知平面ABCD的一个法向量为， 则，由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为，C正确． 对D，连接，由A项知四点共面，平面， 又平面平面，所以， 所以的轨迹为线段（不含点），， 则则点轨迹的长度为， D错误． 故选：BC 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $