1.2.3整式的乘法第三课时多项式乘以多项式讲义 （知识填空+基础题型+拓展题型+巩固检测）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师大版七年级数学下册 第一章 整式的乘除 第二节整式的乘法第三课时 多项式乘以多项式 一、知识点填空 知识点1：基本法则 填空：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的________去乘另一个多项式的________，再把所得的积________。 公式：________ 推导过程： 语言描述：两个多项式相乘，本质是“逐项相乘，再合并同类项”（无同类项则直接保留）。 举例：计算________ 知识点2：法则的结构特征 填空： 1.左边：两个多项式（可二项式、三项式等），项数分别为和，则展开后共有项（未合并同类项前）； 2.右边：合并同类项后的多项式，次数为两个多项式次数的________（如二项式×二项式，展开后最高次为二次）； 3.符号规则：相乘时遵循“同号得正，异号得负”，注意负项的符号分配到每一项。 举例：计算________（体现负号运算） 知识点3：特殊形式（平方差公式雏形） 当两个二项式满足“一项同、一项反”时，展开后中间项抵消，即： （后续专项学习，此处为法则特殊应用） 推导依据：多项式×多项式法则展开后，，剩余平方项。 举例：计算________ 知识点4：法则逆用（因式分解基础） 若，则是多项式×多项式法则的逆运算。 推导依据：逆向应用乘法分配律，将多项式按“公因式”分组。 举例1：填空(x+2)(____)；举例2：填空（a+2）（____） 二、基础题型填空 题型1：二项式×二项式（不含负号） 1.计算________；举例：________ 题型2：二项式×二项式（含负项） 1.计算________；举例：________ 题型3：含系数的二项式相乘 1.计算________；举例：________ 题型4：多项式×三项式（基础） 1.计算________；举例：________ 题型5：法则逆用（简单因式分解） 1.填空(x+3)(______)；举例：填空(y-2)(______) 题型6：含参数的多项式相乘（求系数） 1.已知，则________，________；举例：已知，则________，________ 题型7：符号调整后相乘（负项在前） 1.计算________；举例：________ 三、拓展题型填空 题型8：三项式×二项式（复杂多项式） 1.计算________；举例：________ 题型9：多项式相乘混合运算（含加减） 1.计算________；举例：________ 题型10：法则逆用 1.填空(x+3)(_____)；举例：填空(a−3)(_____) 题型11：含乘方的多项式相乘 1.计算________；举例：________ 题型12：多项式相乘求参数（不含某一项） 1.已知展开后不含项和常数项，则________，________；举例：已知展开后不含项和项，则________，________ 题型13：连续多项式相乘（分步展开） 1.计算________；举例：计算________ 巩固检测 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4.若，则的值为（ ） A.7 B.9 C.12 D.15 5.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6.多项式展开后常数项为（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.1 7.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8.已知，则和可能是（ ） A.， B.， C.， D.， 9.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10.如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是三次 B．一定是四次 C．一定是七次 D．无法确定 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.计算________。 2.计算________。 3.填空。 4.已知，则________。 5.已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________。 三、解答题（共5题，每题10分，共50分） 1.计算： 2.计算： 3.定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 4.计算： 5.探究应用 计算：________。 ________。 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式________。（请用含、的字母表示）． 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A、     B、 C、    D、 直接用公式计算： ________。 ________。 参考答案 （一）知识点答案 1.每一项；每一项；相加；；举例： 2.和；举例： 3.举例： 4.举例1：；举例2：a−5 （二）基础题型答案 1.（题型1）；举例： 2.（题型2）；举例： 3.（题型3）；举例： 4.（题型4）；举例： 5.（题型5）；举例： 6.（题型6），；举例：， 7.（题型7）；举例： （三）拓展题型答案 1.（题型8）；举例： 2.（题型9）；举例： 3.（题型10）；举例： 4.（题型11）；举例： 5.（题型12），；举例：， 6.（题型13）；举例： 巩固检测答案 一、选择题 1.A解析： 2.A解析：B选项结果为，C选项为，D选项为 3.A解析： 4.C解析：展开得，故，， 5.A解析： 6.A解析：展开得，常数项为-2， 7.A解析： 8.A 9.B解析： 10.B解析：解：由于是一个四次整式，A、B都是关于的单项式， ∴A、B的次数都不能超过四次的单项式， ∵是一个七次单项式， ∴A与B中必定有一个是四次单项式，另外一个是三次单项式， ∴一定是四次多项式， 故选：B． 二、填空题 1.解析： 2.解析： 3. 4.解析：展开得，故 5.解析：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 三、解答题 1.解： 2.解： 3.解：（1）解：B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 4.解： 5.解： ； ； 解：由中的整式乘法计算结果，可以得到一个新的乘法公式； 解：A选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； B选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； C选项：与乘法公式符合  ，能用乘法公式计算； D选项：与乘法公式不符合，不能用乘法公式计算； 故选：C； 解： ， 故答案为：； 解： ； 故答案为：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $