专题8.2 单项式乘多项式（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题8.2 单项式乘多项式 教学目标 1. 理解单项式乘多项式的法则，掌握单项式与多项式相乘的运算法则，明确法则的推导依据是乘法分配律和单项式乘单项式法则，建立新旧知识的关联； 2. 能熟练运用法则进行单项式乘多项式运算，准确处理负系数、不同次数多项式（一次、二次）的乘法运算（如2x·(3x+5)、-3ab·(a²b - 2ab³)等），杜绝漏乘、符号错误、指数运算错误； 3. 能解决单项式乘多项式相关基础应用问题，包括化简表达式、求乘积中某一项的系数与指数，为后续学习多项式乘多项式、整式混合运算奠定坚实基础。 教学重难点 1.重点 （1）掌握单项式乘多项式的法则，学会运用单项式乘多项式的法则计算； 2.难点 （1）掌握单项式乘多项式法则解决实际问题； 知识点01 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算的结果是（ ） A．a B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： （    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： （1）________________． （2）_________________． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）化简： 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）化简： (1) (2) (3) 题型01 单项式乘多项式法则 【典例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 题型02 单项式乘多项式的计算题 【典例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2). 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 利用单项式乘多项式法则求值 【典例1】（24-25七年级下·江苏·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则式子的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）先阅读下面的材料，再解答问题： 已知，求的值． 分析：由无法求出x，y的值，故考虑用整体思想，将整体代入． 解： ． 问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【变式4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 题型04 单项式乘多项式的化简求值问题 【典例1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 【变式4】（25-26七年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中． 题型05 单项式乘多项式错看、漏看问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知A=，B是多项式，在计算B-A时，小海同学把B-A错看成了B÷A，结果得，那么B-A的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了．结果得，求的值． 【变式2】（2025七年级下·江苏·专题练习）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期中）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 题型06 单项式乘多项式计算中含参问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏·期中）若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）若的计算结果中不含有项，则a的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【变式4】（24-25七年级下·江西九江·月考）若的展开式是一个三次二项式，则的值有可能是（   ） A． B． C．或 D．或 题型07 单项式乘多项式的实际应用 【典例1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【变式2】（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【变式4】（25-26七年级上·安徽宿州·月考）已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 题型08 单项式乘多项式的新定义运算 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ． ①；        ②；        ③ 【变式4】（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期中）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有，例如：，由此可知等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 7．（24-25八年级上·云南昭通·月考）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则 ． 9．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是 ． 10．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为 ．（用含有m和n的式子表示） 11．（25-26八年级上·山东济宁·月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是 ． 12．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的面积之和为，且，阴影部分的面积 ． 13．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 14．（2025九年级·全国·专题练习）计算：． 15．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 16．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 17．（25-26七年级上·广东深圳·期中）2025年10月31日23时44分，长征二号F遥二十一运载火箭从酒泉卫星发射中心点火发射，将神舟二十一号载人飞船精准送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．长征二号F运载火箭被誉为“神箭”，是我国现役唯一一型载人运载火箭．同学们倍受鼓舞，绘制了如图所示的火箭模型截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用含有a，b的代数式表示该截面的面积S； (2)当，时，求这个截面的面积． 18．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 19．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 20．（25-26七年级上·河北张家口·期中）规定：如果两个数的和等于这两个数积的一半，则称这两个数为和谐数，其和的值称为和谐值，例如：，与是和谐数，和谐值为． (1)下列几组数是和谐数且和谐值小于0的有___________（填序号） ①3，6       ②，2     ③2，0   ④ (2)已知是和谐数，求代数式的值． 21．（25-26八年级上·北京·期中）我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 22．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)写出用含x、y的代数式表示厨房的面积是_____；卧室的面积是_____； (2)写出用含x、y的代数式表示这套房的总面积是多少平方米？ (3)当时，求小王这套房的总面积是多少平方米？ (4)若在（3）中，小王到某商店挑选了的地砖来镶客厅和卧室，他应买多少块才够用？（结果保留整数） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 单项式乘多项式 教学目标 1. 理解单项式乘多项式的法则，掌握单项式与多项式相乘的运算法则，明确法则的推导依据是乘法分配律和单项式乘单项式法则，建立新旧知识的关联； 2. 能熟练运用法则进行单项式乘多项式运算，准确处理负系数、不同次数多项式（一次、二次）的乘法运算（如2x·(3x+5)、-3ab·(a²b - 2ab³)等），杜绝漏乘、符号错误、指数运算错误； 3. 能解决单项式乘多项式相关基础应用问题，包括化简表达式、求乘积中某一项的系数与指数，为后续学习多项式乘多项式、整式混合运算奠定坚实基础。 教学重难点 1.重点 （1）掌握单项式乘多项式的法则，学会运用单项式乘多项式的法则计算； 2.难点 （1）掌握单项式乘多项式法则解决实际问题； 知识点01 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 【即学即练】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算的结果是（ ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，通过乘法分配律展开并合并同类项化简代数式即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式，然后合并同类项即可简化． 【详解】解： 故选D 3．（24-25七年级下·江苏·期中）计算： （1）________________． （2）_________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算与合并同类项，掌握单项式乘多项式法则，以及合并同类项的法则是解题的关键． （1）通过单项式乘多项式法则展开并合并同类项； （2）运用单项式与多项式相乘的法则，分别相乘后合并． 【详解】解：（1）原式 ． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型01 单项式乘多项式法则 【典例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以多项式等于单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加，根据此法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，运用单项式乘以多项式运算法则计算出各选项后再进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故不符合题意； B、，原选项计算错误，故不符合题意； C、，原选项计算错误，故不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式4】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 题型02 单项式乘多项式的计算题 【典例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘、单项式乘以多项式法则等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据积的乘方、同底数幂相乘以及单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法等知识， （1）根据单项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型03 利用单项式乘多项式法则求值 【典例1】（24-25七年级下·江苏·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，掌握整体代入的方法是解题的关键． 先把所给条件变形为，再将代数式计算乘法，合并同类项得，变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，单项式乘以多项式．将所求代数式化简后，利用已知方程整体代入求值． 【详解】解∶由得， 则． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）先阅读下面的材料，再解答问题： 已知，求的值． 分析：由无法求出x，y的值，故考虑用整体思想，将整体代入． 解： ． 问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据单项式乘多项式的运算法则、积的乘方法则把原式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 当时， 原式． （2）解：， ， ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查整式的乘法、积的乘方运算、整体代入思想，掌握单项式乘多项式的法则，并能整体代入是解题的关键． 【变式4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式化简求值，掌握相关运算的法则是解题的关键． （1）先按单项式乘以多项式进行运算，再合并同类项，代值计算，即可求解； （2）先按单项式乘以多项式进行运算，再合并同类项，代值计算，即可求解． 【详解】解：（1） ． 当时，原式； （2） ． 当时，原式． 题型04 单项式乘多项式的化简求值问题 【典例1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练进行整式运算是解题关键；先去括号，再合并同类项完成化简，将代入求值即可． 【详解】解： 当时， ． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则． 先去括号，再合并同类项，得出化简结果，再代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式4】（25-26七年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘多项式，化简求值，先运用单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： 当时， 原式 题型05 单项式乘多项式错看、漏看问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知A=，B是多项式，在计算B-A时，小海同学把B-A错看成了B÷A，结果得，那么B-A的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到，从而求出B，再根据整式的加减计算法则求出B-A即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，整式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了．结果得，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，单项式乘以多项式，根据乘除法互为逆运算可得，据此求出B，再根据整式的加减计算法则求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 【变式2】（2025七年级下·江苏·专题练习）已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘除法的互逆性首先求出B，然后再计算即可求解． 【详解】解：由题意，得， 所以， 所以． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的乘法以及整式的加法，题目比较基础，基本计算是考试的重点． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·期中）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）（1）已知，，且的值与x无关，求k的值； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，多项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减的运算法则，先计算，根据题意得到关于k的方程，解方程即可解答； （2）设原来的多项式为M，根据题意先计算出M，然后根据多项式乘单项式的法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ∴， 解得； （2）解：设原来的多项式为M， 依题意得，， ∴正确的计算结果为． 题型06 单项式乘多项式计算中含参问题 【典例1】（24-25七年级下·江苏·期中）若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）若的计算结果中不含有项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 【变式4】（24-25七年级下·江西九江·月考）若的展开式是一个三次二项式，则的值有可能是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查多项式的乘法运算以及多项式的次数和项数的概念，解题的关键是根据多项式的次数和项数的要求确定m，n的值． 先根据单项式乘多项式法则展开式子，再根据展开式是三次二项式的条件，分别讨论m，n的取值，进而求出的值． 【详解】解： ∵展开式是一个三次二项式， ①当与是同类项时， ， ， ； ②当与是同类项时， ， ， ， ③当与是同类项时，不存在这种可能； 故选：A． 题型07 单项式乘多项式的实际应用 【典例1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，，且，则阴影部分面积为 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，根据图形进行面积计算是解题的关键．观察图形，阴影部分面积可以通过大正方形面积减去小正方形面积，再减去两个直角三角形的面积计算得出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴上式， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2)保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由见解析 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 【变式4】（25-26七年级上·安徽宿州·月考）已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 【答案】(1)； (2)44 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，单项式乘多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）由图可知，大长方形的长为；阴影长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，大长方形的长为； 阴影长方形的长为，宽为， 则阴影长方形的面积． 故答案为：  ； （2）解：由题意，知阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的周长为，阴影长方形的周长为， ∴阴影长方形与阴影长方形的周长的和为． ，则，即阴影长方形与阴影长方形的周长的和为44． 题型08 单项式乘多项式的新定义运算 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ． ①；        ②；        ③ 【答案】①③/③① 【分析】根据新运算的定义、整式的加法与乘法法则进行计算，逐个判断即可得． 【详解】解：，，则等式①成立； ， ，则等式②不成立； ， ，则等式③成立； 综上，等式成立的是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了整式的加法与乘法，理解新运算的定义是解题关键． 【变式4】（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，幂的运算法则，解题的关键是掌握整式的乘法运算，幂的运算，根据幂的运算法则和单项式乘以单项式进行计算即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用整体思想进行，将所求的代数式进行化简成和已知代数式相同的形式，然后进行代入求值． 本题考查了代数式的求值，解题的关键是：运用等式的性质进行变形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，理解题意并用代数式表示出面积是解题的关键．根据题意设，则，根据面积公式分别用含、、的式子表示出和即可得到的值． 【详解】解： 设，则， 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期中）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有，例如：，由此可知等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的混合运算，读懂题目中定义的新运算是解题的关键． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 【答案】B 【分析】本题考查的是数字类规律探究，整式的乘法运算，一元一次方程的应用，由题意可得，，，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选：B． 7．（24-25八年级上·云南昭通·月考）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法逆运算，代数式求值，合并同类项，先由得，再通过变形，然后整体代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：． 9．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 9．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为 ．（用含有m和n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，图3的阴影面积，据此求解即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即 ∴图3的阴影面积， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东济宁·月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式的运算，熟练掌握单项式乘多项式“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式的法则计算左边式子，再通过对比等式两边确定被污染的部分． 【详解】解： ， ∵， ∴对比得，即． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的面积之和为，且，阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值与几何图形的结合应用，正确归纳几何信息，熟练掌握代数式化简及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．根据题意可得：，，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积，然后进行化简计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积 ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．若，当m变化时，的值总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式运算的应用，分别表示出，根据的值总保持不变，得到值与的值无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∵当m变化时，的值总保持不变， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（2025九年级·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则、多项式除以单项式法则． 根据多项式除以单项式法则、积的乘方法则，以及单项式乘多项式法则进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 15．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． 16．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式． （1）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （2）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （4）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （5）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （6）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 17．（25-26七年级上·广东深圳·期中）2025年10月31日23时44分，长征二号F遥二十一运载火箭从酒泉卫星发射中心点火发射，将神舟二十一号载人飞船精准送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．长征二号F运载火箭被誉为“神箭”，是我国现役唯一一型载人运载火箭．同学们倍受鼓舞，绘制了如图所示的火箭模型截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用含有a，b的代数式表示该截面的面积S； (2)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用代数式表示图形的面积，整式运算的应用，已知字母的值求代数式的值，通过数形结合，正确列代数式是解题的关键． （1）分别计算出各部分的面积，再把各部分面积求和即可； （2）将的值代入上面的代数式中求解即可． 【详解】（1）解：； （2）当时，． 18．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值问题，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 根据整式的加减法则化简后，代入a的值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 19．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 20．（25-26七年级上·河北张家口·期中）规定：如果两个数的和等于这两个数积的一半，则称这两个数为和谐数，其和的值称为和谐值，例如：，与是和谐数，和谐值为． (1)下列几组数是和谐数且和谐值小于0的有___________（填序号） ①3，6       ②，2     ③2，0   ④ (2)已知是和谐数，求代数式的值． 【答案】(1)④ (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的加减法，熟练掌握以上知识点并读懂题意是解题的关键． （1）根据题意对每组数进行判断即可； （2）根据题意，可知，那么，然后将原式整理为，然后代入即可计算出答案． 【详解】（1）解：， 与是和谐数，和谐值为； ，，， 与2不是和谐数； ，， 与0不是和谐数； ，， 与是和谐数，其和谐值为； 故选：④； （2）解：已知是和谐数， ， ， 原式 ． 21．（25-26八年级上·北京·期中）我们在数学课上学习过积的乘方公式：，将这个公式从右往左看，得到公式：，我们可以借助这个公式用整体思想解决一些代数式求值的问题． (1)若，则_______；若，则_______． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键． （1）利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． （2）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； 故答案为：；． （2）解： ， ∵， ∴原式 ． 22．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：），解答下列问题： (1)写出用含x、y的代数式表示厨房的面积是_____；卧室的面积是_____； (2)写出用含x、y的代数式表示这套房的总面积是多少平方米？ (3)当时，求小王这套房的总面积是多少平方米？ (4)若在（3）中，小王到某商店挑选了的地砖来镶客厅和卧室，他应买多少块才够用？（结果保留整数） 【答案】(1)； (2) (3)388平方米 (4)488块 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，正确理解题意表示出对应图形的面积是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式求解即可； （2）表示出卫生间和客厅的面积，再结合（1）所求可求出房屋总面积； （3）根据（2）所求代值计算即可； （4）表示出卫生间和客厅的面积，进而求出卫生间和客厅的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，厨房的面积为，卧室的面积为； （2）解： ， ∴这套房的总面积是， （3）解：当时，， ∴小王这套房的总面积是388平方米； （4）解： ， 当时，， ∴客厅和卧室的总面积为312平方米， ∵， ∴他应买488块才够用． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $