精品解析：河北保定市定州市2025-2026学年上学期期末九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（　　） A. 极氨 B. 小鹏 C. 理想 D. 蔚来 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，即可判断． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为；根据题意确定出所求方程即可． 【详解】，可化为，其二次项系数是2，一次项系数是，常数项是， 故选：B． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故选：D． 4. 如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．结合已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了邻补角的概念，弧、弦、圆心角的关系定理等知识点，先求出，再运用“等弧所对的圆心角相等”即可得解，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵C、D是上的三等分点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 在一个不透明的布袋中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率计算公式， 设黑球的个数为x，根据概率公式代入计算即可得出答案． 【详解】解：设黑球的个数为x， 根据题意有：， 解得：， 则黑球的个数为16． 故选：A． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定有没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过计算判别式的符号，判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程， , ， ， 即， 故方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，依据题意，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴是轴， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ∵， ∴． 故选：C． 9. 一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）． A. 22 B. 21 C. 16 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 10. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 11. 某公司去年的产值200万元，现计划扩大生产，使今明两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程和对增长率问题的掌握情况，三年的总产值去年的产值今年的产值明年的产值，要明确每一年的产值的表达式．根据此等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个百分数为x，则有今年的产值为，明年的产值为， 由题意可得：． 故选：B． 12. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的画法，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由作图可知，平分，由， ，可得，，再证明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴长为， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 14. 一个正六边形的半径等于，则这个正六边形的周长等于________cm． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查圆的内接多边形，根据圆内接正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， 又∵， ∴是正三角形， ∴， ∴这个正六边形的周长等于. 故答案为：12 15. 如图，在扇形中，，半径是上一点，连接是上一点，且，连接．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，弧长的计算，掌握特殊角的三角函数，弧长公式的计算是解题的关键． 根据锐角三角函数值可得，，则有，再根据弧长公式（是弧长所对的圆心角的度数），即可求解． 【详解】解：在扇形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为________________． 【答案】，或， 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．当与轴相切时，点的纵坐标是2或，把点的坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标． 【详解】依题意，可设或． ①当的坐标是时，将其代入，得 ， 解得， 此时，或，； ②当的坐标是时，将其代入，得 ，即，此时无解． 综上所述，符合条件的点的坐标是，或，； 故答案为：，或，． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法得到，解之即可； （2）根据因式分解法得到，解之即可． 【小问1详解】 解： 解得，． 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，，则，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得，，， ， ． 19. 如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45，墙的最大可用长度为10m，求边的长． 【答案】5m 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． 【详解】∵，则矩形的长，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：边的长为5米． 20. 为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a=______，b=_____，c=______； （2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为______度； （3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率． 【答案】（1）2、45、20；（2）72；（3） 【解析】 【分析】（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值； （2）用360°乘以C等次百分比可得答案； （3）画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人， ∴a=40×5%=2，b=×100=45，c=×100=20， （2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°， （3）画树状图，如图所示： 共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个， 故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=． 【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． （1）求k与m的值； （2）连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，确定反比例函数及一次函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握两个函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意将点代入反比例函数即可求解； （2）根据题意及反比例函数的性质得出，设直线所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：两点在反比例函数的图象上． ∴， ∴， 将点代入得：，解得：； 【小问2详解】 ∵连接，并延长交反比例函数的图象于点C， ∴， ∵， 设直线所在直线的解析式为，代入得：， 解得：， ∴． 22. 已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． （1）求证：； （2）如果．，求的值 【答案】（1） 证明：∵分别是的高线， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），结合（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，内接于，为的直径，平分交于点D，交于点F，过点D作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图． ∵AB为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识． （1）连接，证明，由为的切线得到，即可证明； （2）连接BD，求出．证明，则，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接BD， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． （1）直接写出点B的坐标________； （2）求抛物线的表达式； （3）点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、平移、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据顶点式写出坐标即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）①由中点坐标公式得点，求出点E的坐标为，即可得到答案；②点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，求出点，根据平移规律即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ∴顶点为B的坐标为． 故答案为： 【小问2详解】 由题意得：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 抛物线的表达式为 即为； 【小问3详解】 ①由（1）知，， 由中点坐标公式得点， 当时，， ∴点E的坐标为， 则； ②由（2）知，， ∴点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O， 当时，， 则（不合题意的值已舍去）， 即点； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴根据点C平移的规律可得到 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（　　） A. 极氨 B. 小鹏 C. 理想 D. 蔚来 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的布袋中装有8个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 4 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定有没有实数根 8. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）． A. 22 B. 21 C. 16 D. 10 10. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 某公司去年的产值200万元，现计划扩大生产，使今明两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括去年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 14. 一个正六边形的半径等于，则这个正六边形的周长等于________cm． 15. 如图，在扇形中，，半径是上一点，连接是上一点，且，连接．若，则的长为_______． 16. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，求的度数． 19. 如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45，墙的最大可用长度为10m，求边的长． 20. 为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a=______，b=_____，c=______； （2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为______度； （3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知两点在反比例函数的图象上． （1）求k与m的值； （2）连接，并延长交反比例函数的图象于点C．若一次函数的图象经过A，C两点，求这个一次函数的解析式． 22. 已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． （1）求证：； （2）如果．，求的值 23. 如图，内接于，为的直径，平分交于点D，交于点F，过点D作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，如果，，求的长． 24. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B． （1）直接写出点B的坐标________； （2）求抛物线的表达式； （3）点C为的中点， ①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． ②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $