第二十章 勾股定理题型过关专练-2025-2026学年人教版八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】

第二十章 勾股定理 思维导图 【类型一】已知两边勾股定理求第三边 1．如图，在等腰中，，，则高的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．6 2．如图，中，，平分．已知，，则的长为（     ） A．9 B．13 C．6 D．12 3．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 【类型二】平面直角坐标系中两点的距离 1．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为 ． 【类型三】勾股定理表示数轴上的无理数 1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C．1 D． 2．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，则数轴上点所表示的数为 ． 【类型四】勾股数与直角三角形的条件 1．下列各组数中，是一组勾股数的是（　　） A．1，1， B． C． D．5，12，13 2．满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．， 3．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 【类型五】赵爽弦图 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 2．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是 ． 【类型一】勾股数问题 1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 【类型二】勾股定理的应用——门框问题 1．如图是一扇高为，宽为的门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下：①长3，宽；②长，宽；③长，宽．可以通过的木板是（   ） A．② B．③ C．②③ D．都不能通过 2．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条的长为 米． 3．一个门框尺寸如图所示，一块长2.5米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 【类型三】勾股定理的应用——梯子滑行问题 1．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米． 3．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【类型四】勾股定理的应用——大树折断问题 1．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（    ）       A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为 ． 3．2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【类型五】勾股定理的应用——水中筷子问题 1．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 2．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为 ． 3．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【类型六】勾股定理的应用——航行问题 1．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 2．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 3．如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 【类型七】勾股定理逆定理的应用 1．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 2．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 3．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【类型八】网格作图 1．在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 2．数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 3．在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： 示例：比较与的大小 如图①，在正方形网格中作△OPQ，使，，， ∵在中，， ∴． (1)参考示例的方法，在图②中构造图形，比较与，并说明理由； (2)如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是上任意一点，若满足取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出的值为________；若连接，直接写出的度数为________． 【类型一】勾股定理中的最值问题 1．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例如：已知，均为正实数，且求的最小值，如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 则，；因此当，，三点共线时有最小值，最小值为根据上述的方法，代数式的最小值为 ． 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段于点且于点且，点为线段上任意一点，则图1中最小值为______；图2中最小值为______： (2)如图3，中，，点是边的中点，点是边上任意一点，则的最小值是______； (3)如图4，中，且，作于点，过点的射线始终平行于，点是高上任意一点，点是射线上一点，点是线段上一点，且始终保持，则的最小值为______；则的最小值为______． 【类型二】勾股定理中的折叠问题 1．如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图的实线部分是由经过两次折叠得到的．首先将沿高折叠，使点B落在斜边上的点处，再沿折叠，使点A落在的延长线上的点处．若图中，则的长为 ． 3．折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 【类型三】勾股定理中的半圆问题 1．如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，△ABC的面积为，则与的大小关系为（      ） A． B． C． D．不能确定 2．古希腊的希波克拉蒂研究并得出了月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和．现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把图2中较小的两张半圆纸片重叠部分面积记为，大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为．则直角三角形的面积可表示成 （用含、的代数式表示）． 3．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【类型四】勾股定理的证明方法 1．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 2．如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． (1)如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． (2)观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值． 3．阅读材料，解答问题： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的重要工具．它不但应用广泛，证明方法也是层出不穷． (1)验证定理：如图，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，设的三边分别为，将裁剪拼接至的位置，如图，则利用图形的面积不变能够验证勾股定理．下面是该方法验证勾股定理的过程，请你将其补充完整（用含的式子表示）： 验证过程：连接，由拼图可知是直角三角形，， ________，________ 又 ________________________________， 整理得勾股定理____________________________________________________． (2)定理应用：如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【类型五】勾股定理中的线段平方关系 1．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 2．（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）． （3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：． （4）如图，四边形中，，求的值． 3．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【类型六】蚂蚁爬行问题 1．如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 2．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 3．如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【类型七】秦九韶——海伦公式 1．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． (2)如图，在四边形中，，求四边形的面积． 2．阅读材料，回答问题： 中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)已知一个三角形的三边长分别为3，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______； (2)如图，已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试根据勾股定理推导出秦九韶三角形面积公式；（提示：用含a，b，c的代数式表示） (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值． 3．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式： （秦九韶公式）： 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中，． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为，2，，选取合适的公式可以使计算更简便，则这个三角形的面积是______； (2)如图，在中，已知，，． ①则的面积的是______； ②作于点D，则BD的长是______． 【类型八】勾股定理中的新定义问题 1．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 【定义理解】 （1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个） （2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”； 【定义运用】 （3）如图2，已知是直角三角形，， ①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． ②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． 【问题拓展】 （4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度． 2．定义：如果一个三角形两边平方的和等于第三边平方的倍，我们称这样的三角形为“奇异三角形”． (1)根据“奇异三角形”的定义，下列结论中： 等边三角形一定是“奇异三角形”； 直角三角形可能是“奇异三角形”； 边长为、、的三角形是“奇异三角形”． 其中正确的有___________．（只填序号） (2)若是“奇异三角形”，且其两边长分别为，则第三边的边长为___________． (3)如图，在中，，以为斜边作等腰直角，，点是下方的一点，且满足，，猜想是否是“奇异三角形”，并证明． 3．在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”． (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据． (3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）下列为勾股数的是（   ） A． B．5，8，10 C．9，12，15 D．2，2，4 2．（25-26八年级上·江苏·月考）以下列长度的三条线段围成的三角形是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．1.5，2.5，2 D．，， 3．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，F是延长线上的一点，过点F作，交的延长线于点E，D是的中点，连接．若，，则的长是（   ） A．7 B． C．6 D． 5．（25-26八年级上·新疆·月考）已知某等边三角形的边长为a，则其面积为 （用含a的代数式表示）． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 7．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知中，，，，点是边上一动点，则的最小值为 ． 8．（25-26八年级上·浙江台州·月考）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作点，使得最小，并求出该最小值． 9．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）在Rt中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（    ） A． B．2 C．1 D．3 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，，为轴正半轴上一点，且，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从跳到处，第二步从跳到处，且，第三步从跳到处，且，第四步从跳到处，且，……，跳蚤按此规律一直跳下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形面积为 ． 6．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，是的角平分线，则 ． 7．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则 °；若，，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 9．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，在中，，于点． (1)若平分且分别交，于点E，F，求证：． (2)若，，求和的长． 10．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 1．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点，，轴有一点，使得是等腰三角形，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与边相交于点．若，为边上的动点，连接，，有下列结论： ①； ②； ③当取得最小值时，． 其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，等腰三角形中，是上任意一点，是高上任意一点，，，那么线段的最小值是（    ） A．5 B．3 C． D． 5．（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为 ． 6．（25-26八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，点是外一点，连接，若，则 7．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为 ； 8．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 9．（25-26八年级上·广东茂名·期末）有一些涉及三角形的数学问题，需要通过延长三角形某一边的中线，从而构造全等三角形进行解决． 【方法体验】 （1）如图1，在中，，点为中点，若，求的长．为解决此问题，小张延长至点，使得，连接，如图2，容易得到，可通过勾股定理求出线段的值，则__________． 【问题解决】 （2）如图3，在中，，点为斜边中点，点在线段上，连接，过点作交线段于点，连接，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，点为斜边中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，当时，求此时的长． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究： 【问题情景】如图1，在中，和是角平分线，和交于点，小明同学根据三角形内角和定理及角平分线性质能得出和的数量关系，并计算出点到边的距离，其中点到边的距离计算思路如下： 如图2，过点分别作于于于，连接，过点作于，然后利用等面积法可得： ，即：， 由角平分线的性质可得：，则有：． 【问题解决】（1）如图3，在中，，和是的角平分线，和交于点． ①___________． ②到边的距离为___________． （2）在（1）的条件下，求的面积． 【问题拓展】如图4，在中，和是的中线，和交于点，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 思维导图 【类型一】已知两边勾股定理求第三边 1．如图，在等腰中，，，则高的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得 ，然后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：，是边上的高， ，  ． 在中，由勾股定理得： ． 故选：C． 2．如图，中，，平分．已知，，则的长为（     ） A．9 B．13 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，由等腰三角形三线合一的性质得出，，再由勾股定理即可得出． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， 故选A． 3．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，等积法求线段的长．解题的关键是掌握勾股定理． 先根据勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ， ，即：， ； 故答案为：． 【类型二】平面直角坐标系中两点的距离 1．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据点所在的位置即可得． 【详解】解：点坐标为， ， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点， ， 又点位于轴的负半轴， 点的横坐标为， 故选：D． 3．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵的顶点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得. 故答案为：． 【类型三】勾股定理表示数轴上的无理数 1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴点表示的数． 故选：． 2．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 故选：D． 3．如图，，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟记定理并求出的长是解题的关键．先根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示解答．． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点在数轴上表示的数为， 数轴上点所表示的数为， 故答案为：． 【类型四】勾股数与直角三角形的条件 1．下列各组数中，是一组勾股数的是（　　） A．1，1， B． C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：不是整数，不是勾股数； 选项B：都不是整数，不是勾股数； 选项C：都不是整数，不是勾股数； 选项D：5，12，13都是正整数，且，是勾股数； 故选：D． 2．满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点，掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过计算角度或验证勾股定理逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形即可得答案． 【详解】解：A．∵， ∴最大角为，故不是直角三角形，符合题意， B．∵， ∴设，，，则，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； C．∵，，， ∴，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D．∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． 利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边为斜边． 故答案为：直角． 【类型五】赵爽弦图 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 2．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：A． 3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是 ． 【答案】76 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意得出，，，根据勾股定理求出，再求出这个风车的外围（实线）周长即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴这个风车的外围（实线）周长是：． 故答案为：76． 【类型一】勾股数问题 1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股树问题，由正方形A、B的面积可得正方形F的面积，由正方形C、D的面积可得正方形E的面积，由正方形E、F的面积可得正方形G的面积，从而可求出正方形G的边长． 【详解】解：∵正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9， ∴正方形F的面积，正方形E的面积， ∴正方形G的面积， ∴正方形G的边长， 故选：B． 2．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 【类型二】勾股定理的应用——门框问题 1．如图是一扇高为，宽为的门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下：①长3，宽；②长，宽；③长，宽．可以通过的木板是（   ） A．② B．③ C．②③ D．都不能通过 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可． 【详解】解：因为，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板． 故选：B． 2．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：． 3．一个门框尺寸如图所示，一块长2.5米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息，理解能通过的条件是解题的关键．连接，由勾股定理求出的长度，然后进行比较，即可得到答案． 【详解】解：结论：能通过． 理由：连接． 在中，，， ． 又， 木板的宽， 木板能从门框内通过． 【类型三】勾股定理的应用——梯子滑行问题 1．如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 2．如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是 米． 【答案】5 【分析】利用勾股定理可得，， 梯子移动过程中长短不变，建立等式，继而可求出的长，再利用勾股定理即可求出梯子的长度． 本题考查了勾股定理的应用，题中梯子与墙构成了一个直角三角形，可根据勾股定理边长的关系来列方程． 【详解】解：， ， ∴， 得， ∴梯子的长AB（米）． 故答案为：5． 3．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 【类型四】勾股定理的应用——大树折断问题 1．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（    ）       A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是 尺，则竹子折断处离竹子顶端为 尺，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是 尺，则竹子折断处离竹子顶端为 尺， 由勾股定理得： ， 解得： ， 即折断处离地面的高度是 尺． 故选：D． 2．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．根据题干信息结合图形表示出，，，再结合勾股定理即可得解． 【详解】解：根据题意得，，，， 根据勾股定理得． 3．2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面3米处被折断 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设米，则米， 由题意得4米， 在中，， ∴， ∴，即米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 【类型五】勾股定理的应用——水中筷子问题 1．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先求出，尺，再设尺，则尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，（尺），尺， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 2．《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 3．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 【类型六】勾股定理的应用——航行问题 1．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先用勾股定理判断三角形的形状，再结合方位角与直角三角形性质确定C相对于B的方位角； 本题考查了方位角，熟练掌握方位角相关内容是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 故选：B． 2．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 3．如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，过作于点，轴于点，连接，证明出是等腰直角三角形，求出海里， 海里，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于点，轴于点，连接． 由题意得（海里），（海里），， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴（海里）， （海里），（海里）， （海里）， 在中，海里． 【类型七】勾股定理逆定理的应用 1．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 2．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为． 故答案为：． 3．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 【类型八】网格作图 1．在的正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图②中，以格点为顶点，画出一个直角三角形，其中三边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理进行作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行作图即可． 【详解】（1）解：如图，线段为所作的线段． 理由如下： ． （2）解：如图，即为所作的三角形． 理由如下： ∵， ∴， 即， ∴为直角三角形，且三边长均为无理数． 2．数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． （1）利用网格特征画出图形即可； （2）设小正方形的边长为，利用网格特征，根据勾股定理分别求出，，的长，利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：设小正方形的边长为， 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形； 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形． 3．在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： 示例：比较与的大小 如图①，在正方形网格中作△OPQ，使，，， ∵在中，， ∴． (1)参考示例的方法，在图②中构造图形，比较与，并说明理由； (2)如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是上任意一点，若满足取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出的值为________；若连接，直接写出的度数为________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、轴对称的作图和性质． （1）根据勾股定理和三角形的三边关系进行解答即可； （2）根据轴对称的性质作图，利用勾股定理和逆定理证明是等腰直角三角形，得到，根据轴对称的性质即可得到即可． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图②所示构造，使得，， ∵在中，， ∴； （2）如图，点M即为所求， 如图，连接，作点C关于的对称点，连接交于点M， ∵， ∵关于轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：，． 【类型一】勾股定理中的最值问题 1．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，根据等边三角形的性质即可得到，结合点到直线的距离垂线段最短即可得到过B作交于一点即为最小距离点． 【详解】解：过作， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为， ∵是等边三角形，，， ∴， 故选：D    【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是作出图形找到最小距离点． 2．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例如：已知，均为正实数，且求的最小值，如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 则，；因此当，，三点共线时有最小值，最小值为根据上述的方法，代数式的最小值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数形结合是解题的关键． 仿照题干中的方法构造图形：，，，，，是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，则，，，当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值；过点作的垂线交于点F，则四边形是长方形，再利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，， 设， 则，，， 当，，三点共线时，取得最小值， 即取得最小值； 过点作的垂线交于点F， 则四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，， 即取得最小值为20； 故答案为：20． 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段于点且于点且，点为线段上任意一点，则图1中最小值为______；图2中最小值为______： (2)如图3，中，，点是边的中点，点是边上任意一点，则的最小值是______； (3)如图4，中，且，作于点，过点的射线始终平行于，点是高上任意一点，点是射线上一点，点是线段上一点，且始终保持，则的最小值为______；则的最小值为______． 【答案】(1)5；5 (2) (3)； 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． （1）连接交于点P，由点D，点P，点C三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，根据图形的对称性可知，当点，点P，点D三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，根据图形的对称性可得，即当点，点P，点D三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点，点F，点C三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；做辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点K，点，点D三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ∵， ∴当点D，点P，点C三点共线时，最小， ∵，， 由勾股定理可得，， ∴最小值为5； 作点C关于的对称点，连接交于点P，连接，如图， 由图形的对称性可知，， ∵， ∴当点，点P，点D三点共线时，最小， 同理可求， ∴最小值为5； 故答案为：5；5； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于点P，连接， 过点D作交于点H，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， ∴当点，点P，点D三点共线时，最小， 即， ∵在中，， 有勾股定理可得， ∵点是边的中点， ∴， ∴为等腰三角形，且， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点D关于射线的对称点， 连接交射线于点，连接，如图， ∵中，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， 且， ∵， ∴为的角平分线，即， ∵射线， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由图形的对称性可知，，， ∴当点，点F，点C三点共线时，最小， 即， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴最小值为； 作，使，连接，连接交于点，如图， ∵， ∴， 又，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴当点K，点，点D三点共线时，最小， 即， ∵，， 由， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【类型二】勾股定理中的折叠问题 1．如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 四边形是长方形， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故选：C． 2．如图的实线部分是由经过两次折叠得到的．首先将沿高折叠，使点B落在斜边上的点处，再沿折叠，使点A落在的延长线上的点处．若图中，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】由折叠的性质，，可知，，，则，由勾股定理得，，由，可求，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理是解题的关键． 3．折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究． 探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____； 探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度； 探索（3）：你能折出长度为的线段吗？ 请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段； 探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？ 请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求． 【答案】（1）；（2）；（3）图见解析，说明见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，再由折叠的性质即可求出的长； （2）由折叠的性质可得， ， ，，利用勾股定理可得，可证明得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，再利用勾股定理求出的长即可； （3）将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，由勾股定理可得 ，则线段即为所求； （4）将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，由折叠的性质可得，由勾股定理得则线段即为所求． 【详解】解：（1）在中，， ∴， 由折叠的性质可得； （2）由折叠的性质可得， ， ，， ∵， ∴，， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）如图3所示，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，则线段即为所求； （4）如图4所示，折叠将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，则线段即为所求． 【类型三】勾股定理中的半圆问题 1．如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，△ABC的面积为，则与的大小关系为（      ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得到，求出两个月牙形阴影部分的面积之和为，从而得到结论． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵， ∴ ， ∵． ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用、圆面积公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．古希腊的希波克拉蒂研究并得出了月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和．现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把图2中较小的两张半圆纸片重叠部分面积记为，大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为．则直角三角形的面积可表示成 （用含、的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、圆的面积等知识点，正确的识别图形并灵活运用所求知识是解答本题的关键． 设以的斜边为直径的半圆为大半圆，以为直径的半圆为中半圆，以为直径的半圆为小半圆，根据圆的面积公式和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：设以的斜边为直径的半圆为大半圆，以为直径的半圆为中半圆，以为直径的半圆为小半圆， ∵， ， ， 由勾股定理得： ∴ ∵， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积可表示成， 故答案为：． 3．探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 【类型四】勾股定理的证明方法 1．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3） 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）； ， ； （2），， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 2．如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． (1)如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． (2)观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是利用等积法证明勾股定理． （1）连接，利用等积法，根据求解即可； （2）根据面积法可进行因式分解，然后根据因式分解后所得的等式，把的两边平方即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵ （2）解：由图形可知， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．阅读材料，解答问题： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的重要工具．它不但应用广泛，证明方法也是层出不穷． (1)验证定理：如图，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，设的三边分别为，将裁剪拼接至的位置，如图，则利用图形的面积不变能够验证勾股定理．下面是该方法验证勾股定理的过程，请你将其补充完整（用含的式子表示）： 验证过程：连接，由拼图可知是直角三角形，， ________，________ 又 ________________________________， 整理得勾股定理____________________________________________________． (2)定理应用：如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)，，，，， (2) 【分析】（）根据图形的面积关系完成填空即可； （）由题意可得，即得，设绳索的长为，则，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的几何背景，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：验证过程：连接，由拼图可知是直角三角形，， ，， 又 ∴， 整理得勾股定理， 故答案为：，，，，，； （2）解：由题意可得，， ∴， 设绳索的长为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， 答：绳索的长为． 【类型五】勾股定理中的线段平方关系 1．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 2．（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值． （2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）． （3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：． （4）如图，四边形中，，求的值． 【答案】（1）的值为；（2）杆子底部滑动的距离为；（3）证明见解析；（4）的值为20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）在中，运用勾股定理求解即可； （2）根据题意求出的值，再在中，运用勾股定理求出，进而求解即可； （3）在和和和中，运用勾股定理即可求证； （4）延长、交于点，运用（3）中的结论即可求解． 【详解】（1）在中， ； （2）由题意可知， 在中， ， ， 即杆子底部滑动的距离为； （3）证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ；； ； （4）如图，延长、交于点， ， ， 则由（3）中结论可知 ． 3．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【类型六】蚂蚁爬行问题 1．如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，最短路径问题等知识点熟练掌握以上知识点是做题的关键，（1）根据题意，画出圆柱的侧面展开图即可；（2）根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 2．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【答案】任务一：；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 3．如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 【类型七】秦九韶——海伦公式 1．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． (2)如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】(1)I．；II． (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）I．直接代入海伦公式计算即可； II．直接代入秦九韶公式计算即可； （2）连接，先利用勾股定理求出的长度，进而求出的面积，再利用秦九韶公式算出的面积，两者相加即可． 【详解】（1）I．三角形的三边长分别为7，8，9， 假设，根据海伦公式，得． 所以该三角形的面积 II．三角形的三边长分别为， 假设， 根据秦九韶公式，得． 所以该三角形的面积 （2）如图，连接． 在中，， 所以． 在中，假设， 根据秦九韶公式，得． 所以． 所以． 2．阅读材料，回答问题： 中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． (1)已知一个三角形的三边长分别为3，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______； (2)如图，已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试根据勾股定理推导出秦九韶三角形面积公式；（提示：用含a，b，c的代数式表示） (3)若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理的应用，完全平方公式的应用． （1）任选一个公式将已知数据代入计算即可； （2）作交于D，设，，则，根据勾股定理得到，，则，即，进而得到，根据三角形面积公式得到，进而推导即可； （3）设另一边为，则第三边为，根据海伦公式得到，进而得到，根据即可求出此三角形的面积的最大值． 【详解】（1）解：秦九韶公式：∵一个三角形的三边长分别为3，5，6， ∴ ； 海伦公式：∵一个三角形的三边长分别3，5，6， ∴， ∴ ； 故答案为：； （2）解：如图，作交于D， 设，，则， ∴，， ∴ ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ； （3）解：设另一边为，则第三边为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 即此三角形的面积的最大值为． 3．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式： （秦九韶公式）： 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中，． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为，2，，选取合适的公式可以使计算更简便，则这个三角形的面积是______； (2)如图，在中，已知，，． ①则的面积的是______； ②作于点D，则BD的长是______． 【答案】(1) (2)①②9 【分析】本题考查的是三角形面积的计算，算术平方根的含义，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，理解题意，熟练的利用提供的公式计算三角形的面积是解本题的关键． （1）直接把数据代入两个公式进行计算即可； （2）①直接把数据代入两个公式进行计算即可；②先利用已知三角形的面积求解高，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）∵三角形的三边长依次为，2，，且， ∴ ， 故答案为：． （2）①∵，，， ∴ ∴ ． 故答案为：84． ②∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：9． 【类型八】勾股定理中的新定义问题 1．定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 【定义理解】 （1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个） （2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”； 【定义运用】 （3）如图2，已知是直角三角形，， ①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． ②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． 【问题拓展】 （4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）钝角；（2）见解析；（3）①，②或；（4）或 【分析】本题主要考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）根据“类直角三角形”的定义、三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）①由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解；②由题意易得或，则有或，然后根据三角形内角和可进行求解； （4）由题意可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：（1）设三角形的第三个内角为，由三角形内角和可知：， ∵该三角形是“类直角三角形”， ∴， ∴， ∴，即， ∴该三角形一定是钝角三角形， 故答案为钝角； （2）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴是“类直角三角形”． （3）解：①如图， ∵，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴，由于，所以不成立， ∴， ∴； 故答案为． ②如图， ∵，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为或． （4）解：如图， ∵，，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴或， 情形一：当时，过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∵，， ∴， 方法一：， ∴， ∴， ∴． 方法二：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得，解得：， ∴； 情形二：当时， 方法一：在上面找一点，连接，使得，延长至，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴； 方法二：作点关于的对称点，连接、，并延长交于点． ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵点、点关于对称， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 利用等积法可得：， ∴， 在中，， 设，在中，， ∴， 在中，． 2．定义：如果一个三角形两边平方的和等于第三边平方的倍，我们称这样的三角形为“奇异三角形”． (1)根据“奇异三角形”的定义，下列结论中： 等边三角形一定是“奇异三角形”； 直角三角形可能是“奇异三角形”； 边长为、、的三角形是“奇异三角形”． 其中正确的有___________．（只填序号） (2)若是“奇异三角形”，且其两边长分别为，则第三边的边长为___________． (3)如图，在中，，以为斜边作等腰直角，，点是下方的一点，且满足，，猜想是否是“奇异三角形”，并证明． 【答案】(1)； (2)或或； (3)是“奇异三角形”，见解析． 【分析】本题考查了“奇异三角形”定义，勾股定理，等腰三角形性质，三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“奇异三角形”定义逐一分析即可， （）设第三边的边长为，然后根据“奇异三角形”定义分，，三种情况分析，再结合三边关系即可求解； （）通过勾股定理，等腰三角形和“奇异三角形”定义即可求解． 【详解】（1）解：设是等边三角形，则， ∴， ∴为“奇异三角形”，故原结论正确； 设的直角边为，，斜边为， ∴， 若，或时，， ∴或， ∴可能是“奇异三角形”，故原结论正确； ∵，、， ∴， ∴边长为、、的三角形是“奇异三角形”，原结论正确； 故选：； （2）解：设第三边的边长为， ， 解得：，符合三边关系， ， 解得：，符合三边关系， ， 解得：，符合三边关系， 故答案为：或或； （3）解：是“奇异三角形”， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“奇异三角形”． 3．在《2025年中央广播电视总台春节联欢晚会》中，“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合，表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作“巳巳如意三角形”． (1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）“巳巳如意三角形”． (2)若某三角形的三边长分别为6，，8，则该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据． (3)在中，三边长分别为，，，且，．若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值． 【答案】(1)是 (2)该三角形是“巳巳如意三角形”．理由见解析 (3)的值为 【分析】（1）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可； （2）根据“巳巳如意三角形”的定义判断即可； （3）先由勾股定理求出的值，再根据“巳巳如意三角形”的定义判断出正确的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：是． ∵三角形为等腰直角三角形， ∴设直角边为，则斜边为 ∵， ∴该结果等于另一条直角边平方的倍，满足“巳巳如意三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”． （2）解：该三角形是“巳巳如意三角形”．理由如下： ，， ， ∴该三角形是“巳巳如意三角形”． （3）解：∵在中，三边长分别为，，，且，， 或． 当时，，即， 此时这个三角形是“巳巳如意三角形”， （负值已舍去）； 当时，，，， 此时这个三角形不是“巳巳如意三角形”． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、“巳巳如意三角形”的定义，熟练掌握勾股定理和“巳巳如意三角形”的定义是解题的关键． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）下列为勾股数的是（   ） A． B．5，8，10 C．9，12，15 D．2，2，4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，勾股数是三个正整数，满足勾股定理的逆定理 ，其中 是最大数． 根据勾股数的定义逐项验证即可． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足 ， A：不是正整数，不符合； B：，，，不符合； C：，，，符合； D：，，，不符合； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏·月考）以下列长度的三条线段围成的三角形是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．1.5，2.5，2 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、边长为9，16，25，且，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，由是等腰三角形的底边上的中线，，所以，，，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出，再利用勾股定理即可求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边上的中线，， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故选：． 4．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，F是延长线上的一点，过点F作，交的延长线于点E，D是的中点，连接．若，，则的长是（   ） A．7 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 延长交于点G，证明，可得，，然后在中，利用勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故选：B 5．（25-26八年级上·新疆·月考）已知某等边三角形的边长为a，则其面积为 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形“三线合一”求长度是解题的关键． 求出等边三角形的高，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，是等边三角形，过点A作交于点D， ∵的边长为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知中，，，，点是边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质和运用点到直线的距离垂线段最短是解决此题的关键． 延长至，使，连接，过点作于点，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再根据勾股定理求即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于点， ∵中，，，， ∴， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与共线时，为最小值， 此时， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江台州·月考）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作点，使得最小，并求出该最小值． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出点，再依次连接，得出，并写出点的坐标，即可作答． （2）先理解题意，找出点B关于轴对称的点，再连接，与轴交于点，然后运用勾股定理列式计算，得出的最小值，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标； （2）解：如图，点即为所求， ∴． 9．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，在等腰中，，点是斜边上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，熟记全等三角形的判定定理与性质定理及勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质及角的和差求出，，，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵在等腰中，， ，， 是等腰三角形，且， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ，， 在等腰中，， ， ，即， ， ， ． ∵， ∴（舍负）． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形的面积为36？ (2)时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查梯形的面积，全等三角形的判定及性质，勾股定理和等腰三角形的判定及性质，根据设问找到对应线段之间的等量关系是解题关键． （1）分两种情况讨论，用含t的代数式表示出对应线段，通过梯形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不确定，分两种情况讨论，借助勾股定理和全等三角形的判定与性质，用含t 的代数式表示出对应线段，利用腰相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： 第一种：点P抵达点C前，则，，，， 由题意，可得，， ∴即为梯形的高， 由梯形的面积公式可得，梯形的面积为， 令， 解得， 第二种：点P抵达点C后， ，， ∴当点P抵达点C时，，， ∴， 故梯形的面积为， 故该种情况不存在， ∴； （2）解：由（1）可知，此时点P在抵达点C前，则，，，， 分两种情况讨论： 第一种：如图，，过点Q作于点E，连接， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 解得； 第二种，如图，，过点P作于点E， 同第一种情况，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，，或． 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）在Rt中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，直接计算即可． 本题考查勾股定理的应用，涉及的知识点是直角三角形中勾股定理的内容．解题中用到的方法是公式代入法，直接应用勾股定理公式计算斜边．解题关键是准确识别直角边与斜边，避免边的位置混淆．易错点是记错勾股定理的公式，或混淆直角边与斜边的平方和关系． 【详解】∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选D． 2．（24-25八年级下·甘肃定西·期中）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵点A所表示的数为a， ∴, ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（    ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理．设，由折叠得，，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，，为轴正半轴上一点，且，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从跳到处，第二步从跳到处，且，第三步从跳到处，且，第四步从跳到处，且，……，跳蚤按此规律一直跳下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，利用直角三角形的性质得出，，再利用勾股定理求得，然后求得，同理可求得、，从中找出规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ......， ∴， ∴的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，含度角的直角三角形，积的乘方的逆用，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 5．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形面积为 ． 【答案】144 【分析】本题考查了勾股定理及学生知识迁移的能力，掌握知识点是解题的关键． 结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，即可解答． 【详解】解：字母B所代表的正方形的面积 故答案为：144． 6．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，是的角平分线，则 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等． 过点作于点，先由勾股定理求出，根据角平分线的性质定理得到，设，再由面积法得到，然后建立方程即可求解． 【详解】解：过点作于点 ∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， 设，则 ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则 °；若，，则的长为 ． 【答案】 45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理． 连接并延长，作，交的延长线于点F，则，由，得到，由旋转得出，则，，可证明垂直平分，则，，推导出，进而证明，证明出，得，则，求得，由，，求得，，则，利用勾股定理得到，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，作，交的延长线于点F，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵将边绕点C旋转至处， ∴， ∴，， ∵经过的中点E， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45，． 8．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我们知道，数轴上的点和实数是一一对应的，借助勾股定理可以在数轴上画出无理数、 对应的点．如图 爱动脑筋的小明发现，借助方格纸也可以画出很多长度是无理数的线段，请在下面的方格纸中画出长度为 的线段和长度为 的线段，已知每个小正方形的边长都是1，要求点A，B，C，D都是正方形的格点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和网格问题，熟练掌握勾股定理，并结合网格的特点解答是解本题的关键． 根据勾股定理结合网格特点画图即可． 【详解】如图所示（位置不唯一）． ，． 9．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，在中，，于点． (1)若平分且分别交，于点E，F，求证：． (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了角平分线的定义，勾股定理，对顶角相等，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义，再证明，结合对顶角相等即可得证； （2）由勾股定理计算即可得出的值，再由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1)，见解析 (2)9 【分析】（1）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得；由线段垂直平分线的性质可得，则可推出，可得，；可证明，则当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求， 此时的最小值即为线段的长，即的最小值为；    （2）解：∵在中，， ∴； ∵边的垂直平分线交于点E，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接，则， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9．    【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等等，正确理解题意确定线段之和取得最小值的情形是解题的关键． 1．（25-26八年级上·全国·期末）在中，，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理：根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【详解】解：在中，，因此为斜边，和为直角边． 由勾股定理，得， 则， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点，，轴有一点，使得是等腰三角形，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点的坐标是． 故选：B． 3．（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与边相交于点．若，为边上的动点，连接，，有下列结论： ①； ②； ③当取得最小值时，． 其中，正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结论①通过尺规作图得，用证，得，由同位角相等证；结论②由，直接得，再根据，等边对等角得，等量代换即可得；结论③利用角平分线性质()和勾股定理求，再通过证得，最后用面积公式比较与的关系即可． 【详解】解：①∵以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点； ∴ ∵以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点； ∴ ∵以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点； ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴(同位角相等，两直线平行)，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； ③当时，取得最小值(因为垂线段最短)， ∵是角平分线，，， ∴(角平分线上的点到角两边的距离相等) ， 在中，根据勾股定理， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即，故③正确． 故正确结论：①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查尺规作图的性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义以及三角形面积公式来逐一分析每个结论． 4．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，等腰三角形中，是上任意一点，是高上任意一点，，，那么线段的最小值是（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握以上性质．连接，过点作，交于点，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，利用勾股定理求出，根据轴对称的性质和垂线段最短得出，当点在同一条直线上时，且时，的值最小，最后利用等面积求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点， ∵为等腰三角形，，且为底边上的高， ∴垂直平分线段，， ∴，， 当点在同一条直线上时，且时，的值最小， 即的值最小，最小值为的长， ， 故选：C． 5．（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质， 先根据勾股定理求得，再根据中垂线的性质得，然后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵， 根据勾股定理，得． ∵是的中垂线， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，点是外一点，连接，若，则 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，度角的性质． 构造，延长交于E， 连接，延长交于F，再证明，然后证明，根据度角的性质得到，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，构造，延长交于E， 连接，延长交于F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为 ； 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． 由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，则；再根据，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 设，则， ∵ 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 故答案为：5. 8．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定理判定直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，在直角三角形中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出的长； （2）先通过勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再将四边形的面积拆分为两个直角三角形面积之和，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 9．（25-26八年级上·广东茂名·期末）有一些涉及三角形的数学问题，需要通过延长三角形某一边的中线，从而构造全等三角形进行解决． 【方法体验】 （1）如图1，在中，，点为中点，若，求的长．为解决此问题，小张延长至点，使得，连接，如图2，容易得到，可通过勾股定理求出线段的值，则__________． 【问题解决】 （2）如图3，在中，，点为斜边中点，点在线段上，连接，过点作交线段于点，连接，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，点为斜边中点，点在的延长线上，连接，过点作交射线于点，当时，求此时的长． 【答案】（1）10；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，垂直平分线的性质，掌握作辅助线的方法是解题的关键． （1）根据题意证明，得到，，进而在中，根据勾股定理求解即可； （2）延长至点，使得，连接，，证明，得到，，因此，得到，从而根据勾股定理有，又由即可证明； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，由（2）同理有，又，得到，即可求得．②当点在延长线上时，同理得到，求得（不合题意，舍去）．即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，． 故答案为：10． （2）延长至点，使得，连接，， ∵D为的中点 ∵在与中 ， ， ，， ∴ ∴在中，． ∵， ∴垂直平分， ， ． （3）分两种情况讨论： ①当点在线段上时， 由（2）同理有， ∵在中有：， ， ∵，，， ， 解得． ②当点在延长线上时， 由①同理有， 则， 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究： 【问题情景】如图1，在中，和是角平分线，和交于点，小明同学根据三角形内角和定理及角平分线性质能得出和的数量关系，并计算出点到边的距离，其中点到边的距离计算思路如下： 如图2，过点分别作于于于，连接，过点作于，然后利用等面积法可得： ，即：， 由角平分线的性质可得：，则有：． 【问题解决】（1）如图3，在中，，和是的角平分线，和交于点． ①___________． ②到边的距离为___________． （2）在（1）的条件下，求的面积． 【问题拓展】如图4，在中，和是的中线，和交于点，求的长． 【答案】问题解决：（1）①；②1；（2）；问题拓展： 【分析】问题解决：（1）①根据角平分线定义和三角形内角和定理进行求解即可； ②过点分别作于于于，连接，根据勾股定理求出，根据角平分线性质得出，根据等积法求出结果即可； （2）过点F作于点M，过点D作于点K，证明，得出，，设，则，根据勾股定理求出，求出，得出，根据三角形面积公式求出结果即可； 问题拓展：根据中线性质和勾股定理得出，，，设，，则，，根据勾股定理得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：问题解决：①∵在中，， ∴， ∵和是的角平分线， ∴，， ∴， ∴； ②过点分别作于于于，连接，如图所示： ∵在中，， ∴，， ∵和是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即到边的距离为1； （2）过点F作于点M，过点D作于点K，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ∴， ∴； 问题拓展： ∵在中，和是的中线， ∴，，， 设，，则，， ∵，， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，负值舍去． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积计算，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $