精品解析：浙江金华十校2025-2026学年第一学期期末质量检测高二数学试题

金华十校2025-2026学年第一学期期末质量检测 高二数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．考生答题前，务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上． 2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净． 3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效． 选择题部分（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线倾斜角的定义即可得解. 【详解】因为直线与轴垂直，因此直线的倾斜角是． 故选：C． 2. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的模长公式运算求解即可. 【详解】因为空间向量，所以. 故选：B. 3. 火箭发射后，其高度（单位：m）为，则发射后第10s时，火箭爬高瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的意义，将题目转化为求时的导数值. 【详解】由题，所以， 所以火箭发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度为. 故选：B. 4. 已知直线和直线，若，则（ ） A. B. 2或 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到关于的等式，计算验证即可. 【详解】若，则，解得或， 当时，直线，即和直线重合，舍去， 当时，直线和直线，此时符合题意. 综上，. 故选：D. 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前7项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，进而求出的通项公式，结合裂项相消法求和即可. 【详解】因为是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，. 所以. 所以数列的前7项和为：. 故选：C. 6. 已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数，得到单调递增，再分析各选项中与的距离变化情况是否符合的单调即可. 【详解】令，又，则，在定义域上单调递增， 对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，故，又与的距离越来越大，此时单调递减，故A错误， 对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故B正确， 对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确， 对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故D正确， 故选：A. 7. 已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点与准线方程，即可得到，不妨令在第一象限，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出的坐标，即可求出面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，则， 因为，不妨令在第一象限，则， 所以直线的方程为， 由，解得，所以，则轴， 所以. 故选：B 8. 正方体的棱长为1，点为直线与平面的交点，则点到正方体各顶点的距离的不同取值有（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】首先可证平面，得到点为正三角形的中心，可求点到正方体各顶点的距离的值. 【详解】 因为底面为正方形，所以， 又平面，平面，， ，所以面， 面，所以， 同理，， 所以平面， 由正方体的对称性易知，平面， 点为正三角形的中心，与平面的交点也是正三角形的中心， 故， ， ， ， 故点到正方体各顶点的距离的不同取值有4个． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前4项为，则数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据通项公式逐一判断即可. 【详解】对于A，，不符合； 对于B，，符合； 对于C，，不符合； 对于D，，符合， 故选：BD 10. 已知三棱锥中，，，且两两垂直，点是底面内的一个动点．则以下说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的外接球的体积为定值 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是一条线段 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由线面垂直的判定定理和性质定理可得出结论；对于B，将三棱锥外接球的半径和体积转化为对应长方体外接球的半径和体积；对于C，由线面角的定义得出即为直线与平面所成角，再通过求的正切值得出的大小；对于D，设点到三个侧面的距离依次为，由三棱锥的体积公式得出为定值，由此得出结论. 【详解】对于A：因为两两垂直，所以， 因，，， 由线面垂直的判定定理可知， 因为，由线面垂直的性质定理可知，所以A正确； 对于B：因为两两垂直， 所以问题可转化为求分别以为长、宽、高的长方体外接球的体积， 记长方体外接球的半径为，则， 因为长方体外接球半径为定值，所以长方体外接球体积为定值， 即三棱锥外接球体积为定值，所以B正确； 对于C：因为，所以在直角三角形中，， 由选项A知，同理可得， 所以即为直线与平面所成角， 在直角三角形中，， 因为，所以，所以C错误； 对于D：设点到三个侧面的距离依次为， 且， 因为， ，，， 且，，，为定值，所以为定值， 即点到平面的距离为定值，所以点的运动轨迹是一条线段，所以D正确. 故选：ABD. 11. 在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C. 曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D. 若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，可通过判断点关于原点对称点是否在曲线上来确定；对于选项B，联立方程求解判断；对于选项C，根据曲线的性质和正方形的特点进行分析；对于选项D，可通过联立方程并结合图形进行分析. 【详解】设曲线上任意一点，其关于原点的对称点为， 将其代入曲线方程左边可得， 所以曲线关于原点对称，A选项正确； 对于选项B，联立直线与曲线的方程， 得，即， 进一步变形，当时，方程变为，方程无解，即直线与曲线无公共点，B选项错误； 对于选项C，曲线的方程可化为，即，也就是， 这两条曲线关于原点对称，如图以原点为圆心作圆，当时， 根据对称性，四边形为正方形．故选项C正确； 对于选项D，当圆与相切时，最小， 由，得； 当圆与曲线相切时，最大， 由，得，即， 令，得，由，得， 结合图象知圆与曲线恰有4个公共点，则. 故选项D错误. 故选：AC 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由确定为异面直线与所成角，再由得出答案. 【详解】连接，设 四边形为平行四边形，即 即为异面直线与所成角 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题. 13. 在等差数列中，，是函数的两个极值点，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】对函数求导，根据导数与函数极值的关系得到与的关系，再利用等差数列的性质求出，进而求出. 【详解】函数，， 由题意得，是的两个根， 则， 又为等差数列，，所以， . 故答案为：3. 14. 已知点分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线位于第一象限的点，且．则该双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设交轴于，根据已知条件可得为的角平分线，再利用角平分线定理和相似即可求出. 【详解】已知，，作，垂直于轴，轴于，两点， 设交轴于，连接，为的角平分线， 由角平分线定理和相似可知， ． 由双曲线定义可知． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，满足．等比数列满足． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）计算等差数列，等比数列的基本量，并利用通项公式可得答案； （2）利用分组求和可得答案. 【小问1详解】 由题意得，， 又， ，公差， ， 又公比， ； 【小问2详解】 记数列的前项和为， 16. 已知圆，直线． （1）判断直线与圆的位置关系，试说明理由； （2）若是圆上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1）直线与圆相交，理由见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得直线的定点，然后计算点在圆内即可判断. （2）根据题意列出方程组，通过判别式即可求解. 【小问1详解】 直线， 令，则，故直线恒过定点， 而，所以定点在圆的内部，从而直线与圆相交. 【小问2详解】 设，则，消去并整理得，， 又直线与圆有交点， 由，解得． 所以的取值范围为. 17. 如图，四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，且平面平面，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）过直线作平面与棱，分别交于，两点，其中，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证明即可得到平面； （2）通过空间向量法求解平面与平面所成夹角的余弦值即可； （3）通过空间向量法，求出平面的一个法向量，再通过求出F点的位置，最后再将的体积转化为三棱锥的体积求解即可． 【小问1详解】 取线段AD的中点，连接， 平面平面，是交线，为正三角形， 所以，进一步可得平面， 又因为，底面为菱形，易知， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则各点坐标为， 所以， 所以， 又，平面，所以平面． 【小问2详解】 平面的一个法向量， 可知， 设平面的一个法向量， ， 令，则， 设平面与平面所成夹角为，则． 【小问3详解】 如图所示，, 由题意可知，， 又由（1）可知， 设平面的一个法向量， ， 令，则， 设， 又四点共面，所以，解得， 因为，所以，， 四棱锥的体积 ． 18. 已知椭圆过点．过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线方程； （3）点在射线上，若椭圆上存在点使四边形OANM为平行四边形，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解； （2）设直线，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及题设列方程求解即可； （3）设，易得，结合均在椭圆上，分别将其坐标代入椭圆方程化简可得，再结合（2）中韦达定理可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 易知直线斜率存在，故设直线， 联立方程组，消去得， 显然，且 则， 解得，所以直线的方程为. 【小问3详解】 设， 即，而均在椭圆上， 则， 化简得到①， 由（2）得，， 则， 代入①式得到， 则， 所以的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）记函数． （i）若，存在两个相异的正实数满足，求证：； （ii）若不等式对于任意正实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，点斜式即可求解. （2）（i）因为，要证，只要证，即证，由的单调性知只要证，又 只要证，移项作差构造函数即可求解. （ii）先找使不等式成立的必要条件，再证充分性. 【小问1详解】 当时，． 所以，切线的方程是即； 【小问2详解】 （i）可得． 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 不妨设，令， 则 所以函数在上单调递增，从而 即时，恒成立． 而，从而，又， ，函数在上单调递减． ，得． 令，则，当时单调递增； 当时单调递减，所以，即， 由不等式得， 成立，所以. （ii），整理得． 令，因为在上恒成立， 所以，得，即． 下面证明：当时，在上恒成立． 因为，所以． 设，则． ①当时，由知恒成立， 所以在上单调递增，所以当时，恒成立． ②当时，设， 当时，，则在上恒成立， 所以在上单调递增． 所以当时，，所以在上单调递减， 所以当时，恒成立． 综合①②可知，当时，在上恒成立． 实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华十校2025-2026学年第一学期期末质量检测 高二数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．考生答题前，务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上． 2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净． 3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效． 选择题部分（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 2. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 4 3. 火箭发射后，其高度（单位：m）为，则发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和直线，若，则（ ） A B. 2或 C. D. 2 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前7项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 正方体的棱长为1，点为直线与平面的交点，则点到正方体各顶点的距离的不同取值有（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前4项为，则数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知三棱锥中，，，且两两垂直，点是底面内的一个动点．则以下说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的外接球的体积为定值 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是一条线段 11. 在平面直角坐标系中，曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 对于任意的实数，直线与曲线总有公共点 C. 曲线上存在四个点，使得四边形是正方形 D. 若圆与曲线恰有4个公共点，则的范围是 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为__________. 13. 在等差数列中，，是函数两个极值点，则___________． 14. 已知点分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线位于第一象限的点，且．则该双曲线的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，满足．等比数列满足． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知圆，直线． （1）判断直线与圆位置关系，试说明理由； （2）若是圆上任意一点，求的取值范围． 17. 如图，四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，且平面平面，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）过直线作平面与棱，分别交于，两点，其中，求四棱锥体积． 18. 已知椭圆过点．过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点． （1）求椭圆标准方程； （2）若的面积为，求直线方程； （3）点在射线上，若椭圆上存在点使四边形OANM为平行四边形，求的范围． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）记函数． （i）若，存在两个相异的正实数满足，求证：； （ii）若不等式对于任意正实数都成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $