精品解析：黑龙江哈尔滨市2025-2026学年上学期期末考试高二数学试卷

高二数学试卷 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 4. 直线与双曲线交于不同两点，则斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设是等差数列前n项和，若，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 设，，是三个空间向量，则 B. 方程表示曲线，为实数，曲线不可能表示圆 C. 直线的斜截式方程可以表示平面内的所有直线 D. 点关于直线的对称点为 10. 已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，恒成立，则为递减数列 B. 若数列为等差数列，，，则的最大值在或时取得 C. 若数列为等比数列，则恒成立 D. 若数列为等比数列，则也为等比数列 11. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过焦点的直线交于，两点，则下列选项正确的是（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点直线有3条 B 当时， C. 为钝角三角形 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______． 13. 已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 14. 如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 16. 已知圆，直线：， （1）证明：直线恒过定点，并判断直线与圆的位置关系； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程及最短弦的长度． 17. 已知数列的前项和为，且满足，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知椭圆长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，，，，求四边形面积的最小值. 19. 如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． （1）若，，求证：，，，四点共面； （2）求； （3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可. 【详解】直线的倾斜角为30°， 直线的斜率. 故选：C 2. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程椭圆得出或，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】若曲线表示椭圆，有，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 3. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解. 【详解】由题意知，所以. 故选：C. 4. 直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 5. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得成等差数列，计算即可求得的值. 【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列， 因为，，所以，， 所以，所以，所以. 故选：A. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 7. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得， 再结合条件及间的关系可得，即可求解. 【详解】如图，不妨设在第一象限，则①，又②， 由①②得到，又由题知， 所以，整理得到， 所以，则，即，所以双曲线的渐近线为， 故选：D. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，分别为，的中点，先由线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及性质可得为线段上的点，再由向量的数量积的运算可得，从而可得结果. 【详解】设，分别为，的中点，连接，，，如图： 因为，，分别为，，的中点，所以，，. 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为，平面，，所以平面平面. 因为平面，所以为线段上的点. 由平面，平面，得， 又，则，由，，平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为，所以，， 且，，， 所以 ， 因为，所以. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 设，，是三个空间向量，则 B. 方程表示曲线，为实数，曲线不可能表示圆 C. 直线的斜截式方程可以表示平面内的所有直线 D. 点关于直线的对称点为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律判断A；根据曲线方程表示圆求参数判断B；根据斜截式方程使用的情况判断C；根据点关于直线对称设对称点坐标，利用斜率与中点坐标关系列方程得关系即可判断D. 【详解】对于A，设，，是三个空间向量，则，故A正确； 对于B，曲线若表示圆，则，满足条件的不存在，故该曲线不可能表示一个圆，故B正确； 对于C，斜截式方程可以表示平面内斜率存在直线，不能表示斜率不存在的直线，故C不正确； 对于D，设点关于直线的对称点为， 所以，解得：，故D不正确. 故选：AB. 10. 已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，恒成立，则为递减数列 B. 若数列为等差数列，，，则的最大值在或时取得 C. 若数列为等比数列，则恒成立 D. 若数列为等比数列，则也为等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式和求和直接求解． 【详解】对于A，若数列为等差数列，恒成立，则公差，故为递减数列，故A正确； 对于B，若数列为等差数列，，设公差为，由，得， 所以，所以当时，，故的最大值在或时取得，故B正确； 对于C，若数列为等比数列，当时，，， 当时，恒成立，故C正确； 对于D，若数列为等比数列，则， 所以，当时不是常数，故此时不是等比数列，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过焦点的直线交于，两点，则下列选项正确的是（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B. 当时， C. 为钝角三角形 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由抛物线的定义及点到准线的距离可求解抛物线的方程，判断点与抛物线的位置关系即可判断A；联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解面积，进而可得的值，利用焦半径公式即可求解B；根据数量积的坐标运算即可求解C，根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解D. 【详解】因为抛物线上一点到其准线的距离为3，所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 对于A，显然过点与抛物线相切的直线有2条， 当过点的直线与轴平行时，与抛物线也仅有一个公共点， 所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A正确； 对于B，由抛物线的方程可知，焦点， 当直线的斜率不存在时，，又，所以，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为0，设，，，， 联立，消去整理得， 所以，，，又， 所以， 解得，则，， 则，故B错误； 对于C，由选项B可知，， 所以，所以是钝角三角形，故C正确； 对于D，由选项B可知， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据等比数列的通项关系作除法运算即可得公比的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为各项均为正数，若，， 则， 故该等比数列的公比为. 故答案为：. 13. 已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】判断出两圆外离，根据求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以圆与圆外离， 所以. 故答案为： 14. 如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则该圆锥的表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系可求得小圆半径和扇形半径之间的关系，继而结合正方形的对角线长，列式求出底面圆的半径，继而求得圆锥的表面积，即得答案. 【详解】如图1，过圆心作于，于， 则四边形为正方形，设小圆半径为，扇形半径为，则， 小圆周长为，扇形弧长为， 剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得， 即，， 正方形铁皮边长为，， ，； 在图2中，圆锥的表面积. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把、用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以， . 【小问2详解】 已知，， 因为，， 所以 =. 16. 已知圆，直线：， （1）证明：直线恒过定点，并判断直线与圆的位置关系； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程及最短弦的长度． 【答案】（1）直线与圆相交；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据直线恒过定点，判断出点在圆内即可. （2）当直线垂直于时被截得的弦长最短，利用的斜率，求得直线的斜率，从而求得直线的方程，利用勾股定理求得最短弦的长度． 【详解】（1）直线的方程：，整理得： ，分析直线过的顶点， ，，解得， 即直线恒过定点，代入圆C的方程：，所以点在圆内，故直线与圆C相交． （2）因为直线恒过定点，故当直线垂直于CD时被截得弦长最短 由，. 所以直线被圆C截得的弦长最短时，直线的斜率为2， 此时直线的方程为，即， 又所以最短弦长为，故直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为，最短弦的长度为 17. 已知数列的前项和为，且满足，当时，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可证得数列从第二项开始为常数列，进而求出数列的通项公式； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【小问1详解】 当时，，得，作差可得， ，化简得，即， 所以数列从第二项开始为常数列，且，即 又，所以，不符合上式， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，； ， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，. 18. 已知椭圆长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，，，，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的简单几何性质求a、b、c，进而求出椭圆的方程； （2）设直线的直线方程，联立方程表示出弦长，及四边形的面积，再化简应用基本不等式计算得出面积的最小值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以，，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，，此时的长即为椭圆长轴长，， 从而； 当直线的斜率为零时，可得，； 设直线的斜率为，且，直线的方程为：， 直线的方程为， 设，，，， 由，消去得，显然成立， 所以，，从而， 由，消去得，显然成立， 所以，，从而， 所以， 因为，则，，则， 所以， 当且仅当，即时取得最小值，所以四边形面积的最小值为. 19. 如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． （1）若，，求证：，，，四点共面； （2）求； （3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用共面向量定理可证明； （2）由线面平行则直线上的点到平面的距离都相等，可将所求三棱锥的体积转化为，又由题意可得点在平面的射影落在上，可求得点到平面的距离，进而得解； （3）建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦可得解. 【小问1详解】 ，，， ，所以,,,四点共面. 小问2详解】 平面， 上的所有的点到平面的距离都相等， 同理上所有的点到的距离也相等， ， ， 点在平面的射影落在上，过点作，过点作， 平面， ，又与是平面内两条相交直线， 平面,，在直角三角形中，， ，解得, 又在直角三角形中，，， 在直角三角形中，可得， ； 【小问3详解】 设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，， ，，，， 由，可求得，， ，， 设为平面的法向量， ，取，，， ， ，， 设，， ， 设直线与平面所成角的为， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $