精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

哈师大青冈实验中学2024——2025学年度高二上学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量得到斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量是，故斜率为， 设直线的倾斜角为，则，故. 故选：A. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 3. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到数列的周期为，即可得到答案. 【详解】，，， ，，……， 所以数列的周期为，. 故选：C 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点，再根据直角三角形中，结合双曲线的定义可得的关系，即可得答案； 【详解】，， ， ， 双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 5. 为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； ② 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同； ③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确； 对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误； 对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即③正确； 对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即④错误． 故正确的只有①③； 故选：D． 6. 若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到直线与圆有公共点，从而得到，再解不等式即可. 【详解】因为圆上存在点，直线上存在点，使得， 所以直线与圆有公共点. 所以，解得. 故选：A 7. 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立空间直角坐标系，设出的坐标，利用求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 8. 设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得，进一步得为等边三角形，且轴，从而可得解. 【详解】由椭圆的定义，得， 由余弦定理，得 ， 整理得：，又， ， 因此，，又，则为等边三角形， 由椭圆对称性得轴，所以. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 10. 在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为2，P，E，F分别为棱，，BC的中点，为侧面的中心， 建立空间直角坐标系如下图所示， 则, , A项， ， 设面的法向量为， 则，即解得：， 当时，， ∵， ∴直线与面不平行，A错误； B项， 设面的法向量为， 则，即解得：， 当时，， ∵， ∴直线与平面平行，B正确； C项， ，C正确； D项， 如图，三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线， ∴为三棱锥外接球的直径， 由几何知识得， ∴三棱锥的外接球表面积为，D正确； 故选：BCD. 11. 已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. C. 数列的通项公式为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求得公比的值，代入等比数列通项公式及等比数列求和公式计算判断选项ABC，再运用裂项相消法求和可求得数列的前项和为判断D选项. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 所以，故A项正确； 所以，故B项正确； 所以，故C项错误； 因为， 所以， 由，，有， 又因为单调递增，所以，所以取值范围为，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求得抛物线的右焦点坐标，由此求得抛物线方程. 【详解】椭圆的，故，故，所以椭圆右焦点的坐标为，故，所以，所以抛物线的方程为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查椭圆焦点的计算，考查根据抛物线的焦点计算抛物线方程，属于基础题. 13. 已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得圆与圆外切，再列式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆有3条公切线，得圆与圆外切， 则， 即，而，所以. 故答案为： 14. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，……．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则______． 【答案】198 【解析】 【分析】根据题意，由“斐波那契数列”的定义可得，再结合条件可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，，则， 则当时，， 因此，而， 所以． 故答案为：198． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． 【小问2详解】 由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 16. 等差数列的前项和为，，．数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和满足，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式以及对数运算性质转化求解求数列的通项公式；（2）求解数列的和，通过数列的前项和满足，即可求的值． 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， 则有， 解得，则. 又，即， 所以. （2）依题意得： . 又，则， 因为在上为单调递增函数， 所以． 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列及前项和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养． 17. 在平面直线坐标系XOY中，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，且. （1）求点C的轨迹方程. （2）设点C的轨迹与双曲线（）相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：是定值. （3）在（2）条件下，若双曲线的离心率不大于，求该双曲线实轴的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明略；（3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由向量等式运算，得点的坐标，消去参数即得点的轨迹方程； （2）将直线方程与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出，再结合向量的垂直关系得到关于的关系，化简即可证明是定值； （3）由（2）得，整理得，又，得，解得双曲线实轴长的取值范围. 试题解析：（1）设，由 则 （2）， 设M（）N（）则， 即 韦达定理代入化简得（定值） （3） 又代入得 该双曲线实轴的取值范围为 考点：轨迹方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 19. 设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则 （1）求数列和的通项公式； （2）记为数列的前n项的和，证明：； （3）任意，求数列的前项的和． 【答案】（1）;. （2）证明见解析. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，求得数列的公比，即可求得数列的通项公式；根据的关系可推得为等差数列，即可求得其通项公式. （2）利用（1）的结论求得的通项公式，利用错位相减法求得数列前n项的和，即得的表达式，判断其单调性，即可证明结论. （3）由（1）的结论可得的通项公式，分n为奇数和偶数，分别求和，可得答案. 【小问1详解】 因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列， 设公比为q,，则，即， 故，所以； 数列各项均为正数，为其前n项和，且满足， 当时，，则， 当时，，， 两式相减得，即， 因为，故， 即数列为等差数列，故. 【小问2详解】 证明：由（1）知，， 则， 故， 故 ， 所以， 故， 当时，， 当时， 设，则， 当时，，时取等号，即， 当时,随n的增大而减小， 故的最大值为， 综合可得. 【小问3详解】 任意，即， 当n为奇数时，， 设数列的前项的和为 ， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2024——2025学年度高二上学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； ② 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同； ③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ②③ D. ①③ 6. 若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 10. 在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积 11. 已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. C. 数列的通项公式为 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的方程为______． 13. 已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______. 14. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，……．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数（，）的图象过点，且． （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程． 16. 等差数列的前项和为，，．数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和满足，求的值． 17. 在平面直线坐标系XOY中，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，且. （1）求点C的轨迹方程. （2）设点C的轨迹与双曲线（）相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：是定值. （3）在（2）条件下，若双曲线的离心率不大于，求该双曲线实轴的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则 （1）求数列和的通项公式； （2）记为数列的前n项的和，证明：； （3）任意，求数列的前项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $