专题10定义.命题.证明题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题10定义.命题.证明题型突破讲义 基础 过关题 1.判断是否是命题 2.写出命题的题设与结论 3.判断命题真假 4.写出命题的逆命题 5.判断是否为互逆命题 6.定理与证明 7.识别互逆定理 能力 提升题 8.举例说明假(真)命题 9.书写已知求证及证明过程 10.已知证明过程填写理论依据 11.代数问题证明 拓展 拔高题 12.几何背景下的推论与论证 13.代数背景下的推论与论证 一、核心概念（必须熟记） 1. 定义 对名称或术语的含义作出明确规定的句子，叫做定义。 特点：清晰、无歧义、可判断。 2. 命题 判断一件事情的句子叫做命题。 命题必须是陈述句，能判断真或假。 疑问句、感叹句、祈使句不是命题。 3. 命题的结构 任何命题都可以写成：如果……（条件 / 题设），那么……（结论） 条件：已知事项 结论：由已知推出的事项 4. 真命题与假命题 真命题：条件成立，结论一定成立。 假命题：条件成立，结论不一定成立（举反例即可说明是假命题）。 5. 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。 其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。 注意：原命题真，逆命题不一定真。 6. 公理（基本事实） 人们在长期实践中总结出来，不需要证明，作为判断其他命题真假的原始依据。（如：两点确定一条直线；两点之间线段最短等） 7. 定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 定理可以作为继续推理的依据。 8. 证明 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，经过一步步推理，判断命题是否正确的过程叫做证明。 证明要步步有据，不能凭感觉、看图、猜想。 二、证明的基本要求与格式（必考） 1. 证明的一般步骤 1.根据题意，画出图形； 2.结合图形，用符号写出已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程（每一步要有依据）。 2. 证明依据只能是： 1.已知条件 2.定义 3.基本事实（公理） 4.已经学过的定理 三.常见易错点（重点提醒） 1.不是所有陈述句都是命题，必须是能判断真假的句子。 2.写逆命题时，要准确交换条件与结论，不能只简单颠倒词语。 3.证明时不能用 “看起来像”“显然”，必须严格推理。 4.说明一个命题是假命题，只需要举一个反例即可。 5.互逆命题的真假没有必然关系：真命题的逆命题可能假，假命题的逆命题可能真. 【题型1.判断是否是命题】 1．一个命题是由 两部分组成． 【答案】题设（或条件）和结论 【分析】此题考查了命题的组成．命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论．据此回答即可． 【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成． 故答案为：题设（或条件）和结论 2．下列语句中，不是命题的是（   ） A．两个锐角的和大于直角 B．作的平分线 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义以及各性质定理． 根据命题的定义，判断各选项是否为可以判断真假的陈述句． 【详解】解： 选项A：“两个锐角的和大于直角”是命题，不符合题意； 选项B：“作的平分线”是祈使句，描述一个操作而非陈述事实，无法判断真假，因此不是命题，符合题意; 选项C：“三个角对应相等的两个三角形全等”是命题，不符合题意； 选项D：“两直线平行，同位角相等”是陈述句且为真命题，不符合题意； 故选：B． 3．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 4．下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 【题型2.写出命题的题设与结论】 5．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ． 【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角 【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论． 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．该命题可以改写成“如果…那么…”的形式，从而确定题设和结论． 【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们是平行线的内错角”， 所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角”． 故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角． 6．下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设： ， 结论： ． 【答案】 在同一平面内两条直线垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论即可解答． 【详解】解：∵可改写为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． ∴题设是在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行． 故答案为：在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，找到相应的条件和结论是解答本题的关键． 解答题 8．如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【分析】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可； （2）根据平行线的性质或判定进行证明即可. 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【题型3.判断命题真假】 9．命题“如果，那么”，该命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了真假命题，根据平方的性质即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 10．下列语句中，是真命题的是（    ） A．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．延长线段 C．明天会下雨吗？ D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据垂线的性质、不等式的性质等分析判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，故本选项符合题意； B、延长线段，不是命题，故本选项不符合题意； C、明天会下雨吗？不是命题，故本选项不符合题意； D、如果，当时，那么，则原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：A 11．观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和 对于，（是整数），有 真 【分析】本题考查对数字等式规律，命题和证明，解题关键是通过观察等式特征归纳出通用规律，再用代数方法化简等式两边证明规律成立． 观察题目中的等式，发现两个连续整数的平方差等于这两数的和，用符号表示该规律，并验证其正确性即可， 【详解】解：观察给出的例子，发现每个等式都是较大的数的平方减去较小的数的平方，结果等于这两个数的和．例如，，．因此，规律可以表述为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和． 设较大的数为，较小的数为，则规律可表示为：． 展开左边并简化：左边： ； 右边： ， ∵左边右边， ∴该命题是真命题； 故答案为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和；对于，（是整数），有；真． 12．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数，不等号的方向不变． 根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可． 【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合， ①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题； ③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题； ⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题， 故真命题一共有2个， 故选：B． 解答题 13．下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 【题型4.写出命题的逆命题】 14．命题“如果或，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么或 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换命题的题设和结论之后即可写出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果或，那么”的逆命题是：如果，那么或． 故答案为：如果，那么或． 15．关于命题“对顶角相等”，下列说法正确的是(   ) A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题是假命题，逆命题是真命题 C．原命题和逆命题都是真命题 D．原命题和逆命题都是假命题 【答案】A 【分析】本题考查了逆命题，判断真假命题；原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题为“相等的角是对顶角”，需判断逆命题的真假． 【详解】解：对顶角的定义是两条直线相交形成的角中，互为反向延长线的两个角．根据几何基本定理，对顶角一定相等，因此原命题是真命题． 逆命题为“如果两个角相等，那么它们是对顶角”， 原命题的逆命题是假命题． 故选：A． 16．命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若a<b，则-3a>-3b 【分析】根据逆命题睥定义求解即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若a<b，则-3a>-3b， 故答案为：若a<b，则-3a>-3b． 【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键． 17．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被整除；③末位数是的数，能被整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，命题的真假，先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②偶数一定能被整除的逆命题是能被整除的是偶数，是真命题； ③末位数字是的数，能被整除的逆命题是能被整除的数，末位数字是，是假命题，因为末尾数也可以是； ④对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； ∴逆命题是假命题的个数是个， 故选：． 解答题 18．举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假，正确写出逆命题是解此题的关键． （1）先写出原命题的逆命题，再根据数的整除判断即可； （2）先写出原命题的逆命题，再根据直角的概念判断即可． 【详解】（1）解：如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除，逆命题是如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5，是假命题， 反例：30能被5整除，但个位数字不是5； （2）解：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题， 反例：两个角都是，但都不是直角． 【题型5.判断是否为互逆命题】 19．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 20．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 解答题 21．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 【题型6.定理与证明】 22．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 23．下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键. 【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意； 定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意； 对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意； 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意； 故选：C 24．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 【题型7.识别互逆定理】 25．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 26．下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意； D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意； 故选：B． 解答题 27．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 【题型8.举例说明假(真)命题】 28．用一组a，b，m的值说明“若，则”是错误的，这组数可以是 ， ， ． 【答案】 1 2 0 【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理证明，而判断一个命题是假命题，只需举反例即可． 本题中依据题意选出适当的a、b、c即可，答案不唯一． 【详解】解：当时， 满足，而，不满足， ∴符合题意． 故答案为：1,2,0. 29．能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵能说明判定命题“若，则”是假命题的反例， ∴举例需满足，且， 选项中只有，满足，，所以能说明命题“若，则”是假命题， 其他选项不能说明． 故选：D． 30．举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理，，，则，，满足，不满足，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，，则，，满足，不满足， ∴命题“若， 则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 31．为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的大小比较、有理数的乘方法则计算，判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、若，，则，，， ，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； B、若，则，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； C、若则，，， ，说明原命题是假命题，故选项符合题意； D、若，，则，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； 故选：C． 解答题 32．我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题： (1)命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题； (2)若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举反例说明假命题，列代数式，数的整除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据反例满足命题题设，但不满足结论，举例即可； （2）设，整理得到，即可证明能被13整除． 【详解】（1）解：，满足的结果的个位数字为4，但， 若计算的结果的个位数字为4，则为假命题．（例子不唯一，个位数字为8的两位数均可）； （2）证明：a、b、c为三个连续整数， 设， 则 ， ， 能被13整除． 【题型9.书写已知求证及证明过程】 33．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 34．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 解答题 35．把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】见解析 【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 【题型10.已知证明过程填写理论依据】 36．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 解答题 37．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【题型11.代数问题证明】 38．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 解答题 39．证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 40．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 【题型12.几何背景下的推理与论证】 41．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 42．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 解答题 43．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【题型13.代数背景下的推理与论证】 44．图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解： 甲：当时，选择这本书； 乙：只有当时，才不能选择这本书； 丙：当，，全是1时，选择这本书； 丁：当时，不选择这本书． 其中理解错误的同学是 ． 【答案】乙 【分析】根据题意的值要么为1，要么为0，当关键词出现在书中时，元素，否则（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可． 【详解】解：根据题意的值要么为1，要么为0， 甲：∵， ∴，，， ∴关键词“，，”同时出现在书中， ∴选择这本书，故甲表述正确； 乙：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书， ∴当或或时，不能选择这本书，故乙的说法错误； 丙：∵当，，全是1时，，，， ∴关键词“，，”同时出现在书中， ∴选择这本书，故丙表述正确； 丁：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书，故丁表述正确； 综上分析可知，说法错误的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键． 45．将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 【答案】D 【分析】根据甲乙丙三位同学的得分情况分析，只能是1,2,5的组合，且必须是三个数字的和，得到唯一组合，根据黄卡片的张数不超过红卡片的张数，分析可得黄卡数量可能是3张或2张或1张，逐项判断分析可得结论． 【详解】解：每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分， 结果甲得6分，， 甲同学拿了3张绿卡， 乙得11分，， 乙同学拿了2张红卡和一张黄卡，故A选项正确； 丙得9分，， 丙同学拿了2张绿卡和一张红卡， 已经分得9张卡片，分别是5张绿卡，3张红卡，1张黄卡，还有3张卡片给丁同学， 已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，则黄卡数量可能是3张或2张或1张， 若剩余卡片中全部是红卡，则红卡共6张，大于绿卡数量，故D选项不正确； 若剩余卡片中2张黄卡，1张绿卡，则丁通行可能得4分，故B选项正确； 若剩余卡片中红，黄，绿各一张，则丁同学可能同时拿三种花色卡片，故C选项正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了有理数的加法，逻辑推理，根据已知数据推理是解题的关键． 46．某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为 ； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为 ． 【答案】 140 120 【分析】本题考查的是逻辑推理，先由甲车必须使用慢充桩，需要分钟，再确定两个快充的安排即可；由丙，丁的慢充时间最短为，选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长，选择丁慢充；再进一步安排即可. 【详解】解：甲车必须使用慢充桩，需要分钟， 另外两个快充一个安排乙，戊或一个安排丙，丁； ∴其他4辆车完成充电的总用时最短为； ∵丙，丁的慢充时间最短为， ∴选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长， ∴选择丁慢充； 一个快充安排甲，乙，丙；另一个快充安排戊， 此时所花时间最短为； 故答案为：140；120 解答题 47．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题10定义.命题.证明题型突破讲义 01 题型梳理 1.判断是否是命题 2.写出命题的题设与结论 基础 3.判断命题真假 4.写出命题的逆命题 过关题 5.判断是否为互逆命题 6.定理与证明 7.识别互逆定理 能力 8.举例说明假（真）命题 9.书写已知求证及证明过程 提升题 10.已知证明过程填写理论依据 11.代数问题证明 拓展 12.几何背景下的推论与论证 13.代数背景下的推论与论证 拔高题 02 重点内容 、核心概念（必须熟记） 1.定义 对名称或术语的含义作出明确规定的句子，叫做定义。 特点：清晰、无歧义、可判断。 2.命题 判断一件事情的句子叫做命题。 命题必须是陈述句，能判断真或假。 疑问句、感叹句、祈使句不是命题。 3.命题的结构 任何命题都可以写成：如果…（条件/题设），那么…（结论） 条件：已知事项 结论：由已知推出的事项 4.真命题与假命题 试卷第1页，共3页 真命题： 条件成立，结论一定成立。 假命题： 条件成立，结论不一定成立（举反例即可说明是假命题）。 5. 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结 论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。 其中一个叫原命题，另一个叫逆命题。 注意：原命题真，逆命题不一定真。 6.公理（基本事实） 人们在长期实践中总结出来，不需要证明，作为判断其他命题真假的原始依据 。(如：两点确定一条直线；两点之间线段最短等) 7.定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 定理可以作为继续推理的依据。 8.证明 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，经过一步步推理，判断命题是 否正确的过程叫做证明 证明要步步有据，不能凭感觉、看图、猜想。 、 证明的基本要求与格式（必考） 1.证明的一般步骤 1.根据题意，画出图形 2.结合图形，用符号写出已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程（每一步要有依据）。 2.证明依据只能是： 1.已知条件 2.定义 3.基本事实（公理） 4.已经学过的定理 三.常见易错点（重点提醒） 1.不是所有陈述句都是命题，必须是能判断真假的句子。 试卷第1页，共3页 2.写逆命题时，要准确交换条件与结论，不能只简单颠倒词语。 3.证明时不能用“看起来像“显然”，必须严格推理。 4说明一个命题是假命题，只需要举一个反例即可。 5.互逆命题的真假没有必然关系：真命题的逆命题可能假，假命题的逆命题可 能真。 基础过关题 【题型1.判断是否是命题】 1.一个命题是由 两部分组成 2.下列语句中，不是命题的是() A.两个锐角的和大于直角 B.作∠A的平分线 C.三个角对应相等的两个三角形全等D.两直线平行，同位角相等 3.“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流， 流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受·在数学中也有 这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11， 343等·下列几个命题：①6666是“回文数”；②所有两位数中，有9个“回文数”；③所有 三位数中，有90个“回文数”；④任意六位数的“回文数”是11的倍数，其中，真命题有 (填序号). 4.下列是假命题的是() A.取线段AB的中点 B.同角的余角相等 C.相等的角是对顶角 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【题型2.写出命题的题设与结论】 5.命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 结论是 6.下列描述是定义的是() A.a⊥b B.不相交的两条线段是平行线 C.用“=”连接而成的式子叫作等式 D.同角的补角相等 试卷第1页，共3页 7.请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设： 结论： 解答题 8.如图，有下列三个条件：①DE∥BC;②∠1=∠2；③∠B=∠C. D-1X2 -E ()若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几 个命题？请你都写出来： (2)选择你写的一个真命题写出证明过程， 【题型3.判断命题真假】 9.命题“如果a=b,那么a2=b2”,该命题是命题.（填“真”或“假”） 10.下列语句中，是真命题的是() A.在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与己知直线垂直 B.延长线段AB C.明天会下雨吗？ D.如果a>b,那么ac>bc 11.观察下列各式：32-22=3+2,42-32=4+3,52-42=5+4，，用文字语言表示你 发现的规律： 一；用符号语言表示你发现的规律：一；这是一个命题（填 “真”或“假”). < 2.用三个不等式y>0,< ,x+y>0中的一个不等式与x>y作为条件，余下的其中 一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 解答题 13.下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如 果…那么”的形式，再找出命题的条件和结论 (I)己知点P到A,B两点的距离PA,PB之和等于线段AB的长，则点P在线段AB上. (②)己知点P到A,B两点的距离PA,PB之和大于线段AB的长，则点P在直线AB上. 试卷第1页，共3页 (3)当a=b时，有a2=b2. (4)当a2=b2时，有a=b. 【题型4.写出命题的逆命题】 14.命题“如果a=0或b=0,那么(a+b)2=a2+b2”的逆命题是 15.关于命题“对顶角相等”，下列说法正确的是() A.原命题是真命题，逆命题是假命题 B.原命题是假命题，逆命题是真命题 C.原命题和逆命题都是真命题 D.原命题和逆命题都是假命题 16.命题“若-3a>-3b,则a<b”的逆命题是 17.下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被2整除；③末位数是5的数， 能被5整除；④对项角相等，逆命题是假命题的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解答题 18.举例说明下列命题的逆命题是假命题： (1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除； (2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 【题型5.判断是否为互逆命题】 19.命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为，那么2+b2=c2.命 题2：如果一个三角形的三条边长分别为a,b,飞，且+b2=c2,那么这个三角形是直 角三角形.则命题1与命题2是 命题 20.命题“如果x=y以，那么x2=y2的逆命题是( A.如果xy,那么x2y2 B.如果x=b以，那么x2y2 C.如果x2=y2,那么x=y川 D.如果x2y2,那么xyl 解答题 21.写出下列命题“若p,则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假. (1)全等三角形的对应边相等： (2)互为相反数的两个数的和为零。 试卷第1页，共3页 【题型6.定理与证明】 22.用 的方法判断为正确的命题叫做定理.定理可以作为判断其他命题真假的 依据。 23.下列说法不正确的是() A,证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B.定理是命题，而且是真命题 C.“对顶角相等”是命题，但不是定理 D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 24.下列命题可以作定理的有个. ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除： ③x=5是方程)x+7=9+2的根；④三角形的内角和是180°. 2 6 【题型7.识别互逆定理】 25.请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： 26.下列说法错误的是() A.任何命题都有逆命题 B,任何定理都有逆定理 C.真命题的逆命题不一定是真命题 D.互逆定理中的两个命题都是真命题 解答题 27.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理. ()等腰三角形的两个底角相等. (2)内错角相等，两直线平行. (3)对顶角相等. 能力提升题 【题型8.举例说明假（真）命题】 28.用一组a,b,m的值说明“若a<b,则ma>mb”是错误的，这组数可以是 a= ,b= m= 29.能说明命题“若a>b,则a2>b2”是假命题的反例是() A.a=-1,b=0 B.a=2,b=-1 C.a=2,b=1 D.a=-1,b=-2 试卷第1页，共3页 30.举出一个可以说明命题“若a2=b2,则a=b”是假命题的反例： 31.为说明命题“若m<n,则m2<n2”是假命题，下列反例正确的是（) A.m=-2,n=5 B.m=5,n=2 C.m=-5,n=2 D.m=-3,n=-5 解答题 32.我们用符号(ab)表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即 (ab)=10a+b,类似的，我们用符号(abc)表示一个三位数.请根据以上材料，解答下列问 题： (1)命题：若计算(ab)的结果的个位数字为4，则b=2.请举反例说明它是个假命题； (2)若a、b、c为三个连续整数，试证明：(abc)+7(ab)-6b能被13整除. 【题型9.书写已知求证及证明过程】 33.要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、 定理（包括推论)，一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做」 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条 件，但不具备命题的 的实例. 34.试说明“若∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题.以下 是排乱的推理过程： ①因为∠A=∠C(已知)： ②因为∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°（已知）； ③所以∠B=180°-∠A,D=180°-∠C(等式的性质)； ④所以∠B=∠D(等量代换)； ⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换)， 正确的顺序是() A.①→③→②-→⑤→④ B.②→③-→⑤→①-→④ C.②→③→①-→⑤→④ D.②→⑤→①→③→④ 解答题 35.把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果.那么...”的形式，指出它的题设 和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题. 试卷第1页，共3页 【题型10.己知证明过程填写理论依据】 36.老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： a 证明：如图，：b1a, :∠1=90°. c⊥a, ∠2=90°， .∠1=∠2， .b∥c. 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是() A.在同一平面内，若b⊥a,且c⊥a,则b∥cB.在同一平面内，若b∥c,且 b⊥a,则c⊥a C.两直线平行，同位角不相等 D.两直线平行，同位角相等 解答题 37.补全下列推理过程： 如图，EF⊥BC,AD⊥BC,∠1=∠2，试说明DG∥BA. C G 3入 B 2 A E 解：：EF⊥BC,AD⊥BC,(已知)， ∠BFE=LBDA=90°（垂直的定义）， :EF AD .∠2=∠3( ) :∠1=∠2（己知)， 试卷第1页，共3页 (等量代换)· .DG∥AB 【题型11.代数问题证明】 38.下列说法正确的是() A.真命题都可以作为定理 B.公理不需要证明 C.定理必须要证明 D.证明只能根据定义、公理进行 解答题 39.证明：两个奇数之和是偶数。 40.代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学 命题的正确性 例如：证明命题“如果a<b,c<d,那么a+c<b+d”是真命题， 证明：：a<b,(已知) :在不等式两边都加上C,得a+c<b+c,(不等式的基本性质) “c<d,(已知》 :在不等式两边都加上b,得b+c<b+d.(不等式的基本性质) :a+c<b+c,b+c<b+d,(已证) :a+c<b+d.(不等式的传递性) (1)已知有理数x、y满足x>y>0,证明：x2>y2(补全下列推理过程)； 证明：：x>y且x,y均为正数，（已知） :不等式的两边都乘以同一个正数x,得x2> (不等式的基本性质) 不等式的两边都乘以同一个正数y,得y> (不等式的基本性质) :x2>y2.(不等式的传递性) (2)请你尝试证明：若a<b,则a+也<b (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明若为 假命题，请举一个反例说明， 拓展拔高题 【题型12.几何背景下的推理与论证】 试卷第1页，共3页 41.《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多 的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法.这种方法所体现的数学思想是() 国 何 几何原本 A.数形结合思想 B.分类讨论思想 C.转化思想 D.公理化思想 42.如图，在长方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的一个三等分点，FB与EC,ED分 别交于点G,H,FC与ED交于点Z.则S S四边形ABCD A B 解答题 43.如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆 内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小 圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想 【题型13.代数背景下的推理与论证】 44.图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A出现在书B,中时， 4=1,否则a,=0（i,j为正整数).例如：当关键词A出现在书B,中时，a14=1,否则 4=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A,A,A”的书，现有 试卷第1页，共3页