专题09一元一次不等式组题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题09一元一次不等式组题型突破讲义 基础 过关题 1.一元一次不等式组的定义 2.求不等式组的解集 3.求一元一次不等式组的整数解 能力 提升题 4.用不等式组的解集求参数 5.由不等式组解集的情况求参数 6.不等式组与方程组结合的问题 7.列一元一次不等式组 拓展 拔高题 8.不等式组的行程问题 9.不等式组的经济问题 10.不等式组的分配问题 11.不等式组的方案选择问题 12.不等式组的阶梯收费问题 13.不等式组的其他应用 一、基本概念 1.一元一次不等式组:由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 2.不等式组的解集:不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 3.解不等式组:求不等式组解集的过程。 二、关键技能（必须掌握） 1.会解每一个一元一次不等式（移项、去分母、去括号、系数化为 1，注意：乘除负数要变号） 2.会在同一条数轴上表示各个不等式的解集 3.会找公共部分，确定不等式组的解集 4.会写出解集并检验 三、四种基本解集规律（必考） 设 a<b： 1. → 解集：x>b（同大取大） 2. → 解集：x<a（同小取小） 3. → 解集：a<x<b（大小小大中间找） 4. → 解集：无解（大大小小找不到） 四、解一元一次不等式组的标准步骤 1.分别解出每个一元一次不等式。 2.在同一数轴上表示出每个解集。 3.观察公共部分，写出不等式组的解集。 4.若无公共部分，则不等式组无解。 五、易错点（重点提醒） 1.去分母、系数化为负数时，不等号方向必须改变。 2.数轴表示： 含等号（≥、≤）用实心点 不含等号（＞、＜）用空心圈 3.解集是所有不等式的公共部分，不是合并或随便写一个。 4.书写规范：解集要用最简形式（如 2<x≤5），不能乱序。 【题型1.一元一次不等式组的定义】 1．下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 2．一般地，由几个 的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的 就是不等式组的解． 【答案】 含有同一个未知数 公共部分 【分析】根据定义填空即可． 【详解】一般地，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解． 故答案为：含有同一个未知数，公共部分． 【点睛】本题直接考查一元一次不等式组的定义，不等式组的解的定义．熟知定义是解题关键． 3．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 4．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 【题型2.求不等式组的解集】 5．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解集，根据不等式组解集的定义，找出两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】解：不等式组的解集为 故答案为： ． 6．如图，在数轴上表示其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画），在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，据此求解即可． 【详解】解：在数轴上表示如下所示： 故选：A． 7．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x的最大整数． 例如：，． 则下列结论：①；②；③若，则x的取值范围是； 其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了高斯函数的概念及其性质，解题的关键在于准确理解高斯函数的定义．根据高斯函数的定义，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：①，正确； ②取反例验证： 当时，，，和为； 当时，，，和为； 当时，，，和为． 因此结论②不总成立，错误． ③若，则， 解得，即，正确． 综上所述，①③正确， 故答案为：①③． 8．当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式．熟练掌握解不等式，是解题的关键． 由已知得，得，的最小值为4，，得 ，即得． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴的最小值为4， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【题型3.求一元一次不等式组的整数解】 9．不等式组的整数解是 ． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，由题意得不等式组的解集是：，据此即可求解. 【详解】解：由题意得：不等式组的解集是：， ∴整数解是0，1，2 故答案为：0，1，2 10．不等式组的整数解是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， 故选：C． 11．三个连续正整数的和小于333，这样的正整数有 组． 【答案】109 【分析】本题考查求不等式组的整数解，设三个连续的正整数为，根据三个连续正整数的和小于333，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：设三个连续的正整数为，由题意，得： ，解得：， ∴这样的正整数有组； 故答案为：109 解答题 12．解不等式组并写出非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，非负整数解为0，1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，先分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集，从而得出非负整数解即可 【详解】解：， 解不等式①：，，得， 解不等式②：，，得， 不等式组的解集为，非负整数解为0，1 【题型4.用不等式组的解集求参数】 13．写出满足不等式组的一个的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式组的解，先整理得，则满足题意，即可作答． 【详解】解：∵不等式组， 即， ∴满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 14．不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的字母参数，解题关键是掌握求不等式组的字母参数求法． 先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集是，得到关于m的不等式求解． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得：， 故选：D． 15．已知关于x的不等式组，下列三个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是．其中正确的结论的序号是 ． 【答案】① 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、根据不等式组的解求参数等知识点，根据不等式组的解集情况求参数成为解题的关键．先解出不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集逐个判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 若它的解集是， ，解得：，故①正确， 当时，，则该不等式组无解；故②错误； 若它的整数解仅有个，即， 的取值范围是，故③错误； 故答案为：①． 解答题 16．若不等式组的解集是，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别表示不等式组的解集，根据已知解集确定出与的值，即可求出原式的值． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意，得解得 ∴． 【题型5.由不等式组解集的情况求参数】 17．若不等式组有解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵不等式组有解， ∴， 故答案为：． 18．关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，掌握不等式组的解法是解题关键． 先解不等式组得到解集为，由整数解只有4个，可知整数解为，，，，从而确定的范围． 【详解】解不等式组得，， ∵关于x的不等式的整数解只有4个， ∴整数解为，，，， ∴的取值范围是， 故选：B． 19．关于x的不等式组至少有2个偶数解，且关于m，n的方程组的解均为整数，则符合条件的所有整数a的积为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和二元一次方程组的求参，首先解不等式组，得到解集范围，由至少有2个偶数解得出．再解方程组，由解为整数得出是4的约数，从而得到可能的a值，结合筛选出，这些均满足条件，求积得0． 【详解】解：解不等式组： 由，解得． 由，解得． 故不等式组的解集为且． 要求至少有2个偶数解，则需解集包含和，故，即． 解方程组：， 由第二式得，代入第一式得，即， 所以． 代入得． 要求m，n均为整数，则需是4的约数，即， 解得． 结合，得． 对于这些a值，验证不等式组均有至少2个偶数解，且方程组解为整数． 故所有整数a为0，1，3，4，6，其积为． 故答案为：0． 解答题 20．若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 【题型6.不等组与方程组结合的问题】 21．若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 22．已知关于、的方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论： ①；②当时，；③当时，此方程组的解也是方程的解．其中正确的是(　 　)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法．用加减法解出方程组，根据方程组的解对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， ①②得，， ①②得，， 由题意得，，， ，， ，①正确； ， 解得：，②正确； 时，，，③正确； 故选：D． 23．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 【题型7.列一元一次不等式组】 24．列不等式组：与的和不小于，且与的差是负数 ． 【答案】 【分析】表示出与3的和，与6的差即可． 【详解】解：与3的和不小于4， ； 与6的差是负数， ． 所列不等式组为． 故答案为：． 【点睛】本题考查列不等式组；“不小于4”及“负数”用数学语言表示是解决本题的易错点． 25．据气象台预报，2025年5月12日，郑州市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意列不等式组，根据题目中给出的最高气温和最低气温，确定气温的变化范围，最高气温为，最低气温为，因此应介于这两个温度之间且包含端点，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，当天的气温既不能低于最低气温，也不能高于最高气温， 因此， 故选：C． 26．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 ． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 【题型8.不等式组的行程问题】 27．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 28．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 解答题 29．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型9.不等式组的经济问题】 30．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 31．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，根据题意列出不等组，求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围为． 32．某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元 (2)共有7种购买方案 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可； （2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答． 【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元． （2）解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据题意，得 ， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴共有7种购买方案． 【题型10.不等式组的分配问题】 33．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 解答题 34．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 35．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【题型11.不等式组方案选择问题】 36．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 解答题 37．今年《哪吒之魔童闹海》总票房登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件A种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个A种娃娃的进价多5元． (1)每个A种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶共100个，且A种娃娃的数量不多于50个，购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)每个A种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； (2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）每个A种娃娃的进价为元，每个B种娃娃的进价为元，购进50件A种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元，列出一元一次方程，即可解答； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，购买资金不超过2260元，列出一元一次不等式，解出y的值，再根据A种娃娃的数量不多于50个，即可解答． 【详解】（1）解：设每个A种娃娃的进价为元，每个B种娃娃的进价为元，由题意得，， 解得， ， 答：每个A种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元． （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．根据题意，得 解得， 为正整数且， 的值可以为48或49或 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ， 一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 38．四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，育才中学组织八年级全体师生共人外出游学，学校计划租用，两种型号客车共10辆，已知型客车可以乘坐人，租金为元；型客车可以乘坐人，租金为元．在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过元，学校可以选择哪几种租车方案？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题目中的不相等关系列出不等式组，首先设学校租型客车辆，则租型客车辆，根据必须把所有的人全部送达目的地，可得不等式，根据租车费用不超过元，可列不等式，解不等式组求出的取值范围，在取值范围内取整数即可． 【详解】解：设学校租型客车辆，则租型客车辆， 由题意得：， 解得：， 为整数， 可以取或， 共有种租车方案， 方案一：租辆型客车，2辆型客车， 方案二：租辆型客车，1辆型客车． 【题型12.不等式组的阶梯收费问题】 39．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 40．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 解答题 41．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【题型13.不等式组的其他应用】 42．科研人员发现：A、B两种花卉的最佳生长温度分别在和之间．若把这两种花卉放在一起种植，请用不等式表示最佳的生长温度t应控制的范围为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用不等式解集确定方法得出答案． 【详解】解：∵A、B两种花卉的最佳生长温度t分别是和之间， ∴把这两种花卉放在一起种植，用不等式表示最佳的生长温度t应控制的范围为：． 故答案为：． 43．小豪和小浩依次进入电梯，当小浩进入电梯时，电梯因超重而响起警示音，且这个过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的质量超过700千克时警示音会响起，且小豪、小浩的质量分别为70千克、90千克．若小豪进入电梯前，电梯内已乘载的质量为千克，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．根据“小豪进入电梯后乘载重量小于等于700千克，小豪、小浩都进入电梯后乘载重量大于700千克”列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意知， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此满足题意的x的范围是， 故选：D． 解答题 44．某工厂用A、B两种原料组装成C、D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件． (1)现有A原件162个，B原件340个．若组装C、D两种产品共100个，设组装C产品x个． ① 根据题意，完成下面表格： C（件） D（件） A个 x B个 ② 按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有A原件162个，B原件a个，组装C、D两种产品，A、B两种原件均恰好用完．已知，求a的值． 【答案】(1)①见解析；②C产品38个，D产品62个；C产品39个，D产品61个；C产品40个，D产品60个； (2)，，303 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）①设组装C产品x个，则组装D产品个，根据组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件，进行解答即可； ②根据A原件162个，B原件340个列出不等式组，解不等式组即可 （2）设组装C产品m件，组装D产品n件，根据题意得出：，求出，根据为正整数，，即可得出答案． 【详解】（1）解：①设组装C产品x个，则组装D产品个，根据题意得： C产品需要A件x个，需要B件个，D产品需要A件个，需要B件个，填表如下： C（件） D（件） A个 x B个 ②∵现有A原件162个，B原件340个， ∴， 解得：， ∴组装方案有：C原件38个，D原件62个； C原件39个，D原件61个； C原件40个，D原件60个； （2）解：设组装C产品m件，组装D产品n件，根据题意得： ， 得：， ∴， ∵为正整数，， ∴，，303． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题09一元一次不等式组题型突破讲义 01 题型梳理 基础 1.一元一次不等式组的定义 2.求不等式组的解集 过关题 3.求一元一次不等式组的整数解 能力 4.用不等式组的解集求参数 5.由不等式组解集的情况求参数 提升题 6.不等式组与方程组结合的问题 7.列一元一次不等式组 8.不等式组的行程问题 9.不等式组的经济问题 拓展 10.不等式组的分配问题 11.不等式组的方案选择问题 拔高题 12.不等式组的阶梯收费问题 13.不等式组的其他应用 02 重点内容 基本概念 1.一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就 组成一元一次不等式组。 2.不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组 的解集。 3.解不等式组：求不等式组解集的过程。 二、关键技能（必须掌握） 1.会解每一个一元一次不等式（移项、去分母、去括号、系数化为1，注意： 乘除负数要变号)》 2.会在同一条数轴上表示各个不等式的解集 3.会找公共部分，确定不等式组的解集 4.会写出解集并检验 三、四种基本解集规律（必考） 设a<b: 试卷第1页，共3页 (x>a 1.{x>b 一解集：x>b(同大取大) ∫x<a 2.x<b →解集：x<a(同小取小) (x>a 3.1x<b →解集：a<x<b(大小小大中间找)》 (x<a 4.{x>b 一解集：无解（大大小小找不到） 四、解一元一次不等式组的标准步骤 1.分别解出每个一元一次不等式。 2.在同一数轴上表示出每个解集。 3观察公共部分，写出不等式组的解集。 4若无公共部分，则不等式组无解 五、易错点（重点提醒） 1.去分母、系数化为负数时，不等号方向必须改变。 2.数轴表示： 含等号（之、≤）用实心点 不含等号(>、<)用空心圈 3.解集是所有不等式的公共部分，不是合并或随便写一个。 4.书写规范：解集要用最简形式（如2<x≤5），不能乱序。 基础过关题 【题型1.一元一次不等式组的定义】 1.下列各式是一元一次不等式组的是() x+4=0 x2-x>0 [x>2 y+2>0 A. 1 B C D. -5>0 >4 x<-7 x+y<0 2.一般地，由几个 的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不 等式组，组成不等式组的各个不等式的解的 就是不等式组的解 3.下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是() 试卷第1页，共3页 0 x+1>0 1 1 「3x+1< y>2 (1) 2<3 (2) x>0 (3) (4<14 4x<5 2x<-1 3x-6<0 A.(3) B.(4) C.(1)(3) D.(2)、(4) 4.我们规定任意两点M、N之间的距离记作MN,已知点A在数轴上，对应的数是-4， 点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足2A+QB=5,请用不等式表示 出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 【题型2.求不等式组的解集】 x>-1 5.不等式组 的解集为」 x<2 x≤1 6.如图，在数轴上表示 x>一其中正确的是() A B. -2-10 -2-1 0 D. -2-1012 -2-10 7.高斯函数[x],也称为取整函数，即x]表示不超过x的最大整数. 例如：[2.3=2，【-1.5=-2. 则下列结论：①-2.1+[川=-2；②x+-x=0;③若[x+1=3,则x的取值范围是 2≤x<3: 其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)· 8.当x>0,y>0,且满足x+y-xy=0时，x+y>k2+2k+1恒成立.则k的取值范围为 () A.-3≤k≤1 B.-3<k<1 C.-1≤k≤3 D.-1<k<3 【题型3.求一元一次不等式组的整数解】 试卷第1页，共3页 x≤2 9.不等式组 的整数解是」 x>-1 「4x<3x 10.不等式组 了x+4 的整数解是() ->1 2 A.1 B.0 C.-1 D.-2 11.三个连续正整数的和小于333，这样的正整数有 组 解答题 12.解不等式组并写出非负整数解. x-3(x-2)≥4① 1+2x >x-1② 3 能力提升题 【题型4.用不等式组的解集求参数】 13.写出满足不等式组 x≤3 x2-2 的一个x的值： +5 ≥3x-1 14.不等式组 2 的解集是x<m+1,则m的取值范围是() x<m+1 2 A.m> C.m< 5 B.m≥2 D.ms2 2x-x+2 >1 3 15.已知关于x的不等式组 ,下列三个结论：①若它的解集是1<x≤3，则 x-a≤-1 a=4;②当a=-3时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是a≤2.其 中正确的结论的序号是 解答题 x-a>2 16.若不等式组 的解集是-1<x<2,求(a+b)225的值 b-2x>0 【题型5.由不等式组解集的情况求参数】 ( x-1<0 17.若不等式组{2 有解，则m的取值范围为 x>m 试卷第1页，共3页 x-m≥0 18.关于x的不等式 15-2x>1 的整数解只有4个，则m的取值范围是() A.-3<m<-2B.-3<m≤-2 C.-3≤m<-2 D.-3≤m≤-2 2x-1≤a am+n=5 19.关于x的不等式组x+1>2x+1至少有2个偶数解，且关于m,n的方程组 2 2m+n=1 6 的解均为整数，则符合条件的所有整数α的积为」 解答题 2x-3<4k-5 20.若关于x的不等式组 2x-10(2+k)>5k-3x 无解，求k的取值范围. 【题型6.不等组与方程组结合的问题】 2x+y=k 21.若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+2y>14,则飞的取值范围 x-y=8k 为 x+y=1-k 22.已知关于x、y的方程组 的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： x-v=3k+5 ①-3<k≤-1：②当k=时，x=y:③当k:-2时，此方程组的解也是方程x+y=5+k的 3 解.其中正确的是( A.①② B.②③ C.①③ D.①2③ 23.若关于x的不等式 4-2(x-1)≥3-x 有且只有3个整数解，且关于x,y方程组 9x-a>0 ax-4y=0 的解为整数，则满足条件的整数a的值为 x+2y=6 【题型7.列一元一次不等式组】 24.列不等式组：2x与3的和不小于4，且x与6的差是负数 25.据气象台预报，2025年5月12日，郑州市最高气温为35℃，最低气温为23℃，则当天 气温t(℃)的变化范围是() A.1>23 B.t≤35 C.23≤t≤35 D.23<t<35 26.如图，用图1中的α张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横 试卷第1页，共3页 式两种无盖纸盒，若a十b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做 竖式纸盒比横式纸盒多30个，则α的值可能是 图1①) 图(2) 拓展拔高题 【题型8.不等式组的行程问题】 27.某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12 时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 28.小华在公园的环形跑道（周长大于1km)练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并 用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4k的记录如 图所示.小华一共跑了24km且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（) 3km起点 4km 1km 2km A.14圈 B.15圈 C.16圈 D.17圈 解答题 29.如图(1，A,B两地间的公路长360km,其中有一段长10km的施工道路MN,，M距离 A地200km·甲、乙两辆轿车分别从A,B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出 发20min·在非施工道路（其限速情况如图(2）所示)，甲车始终以100km/h的速度行驶， 乙车始终以Vkm/h的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶. 120 60 ■■ 100 60 。 00 60 图(1) 图(2) 试卷第1页，共3页 (1)若V=90. ①甲车出发2h时，甲车行至处，乙车行至 处；（填““W'或“MN的中点”） ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为 h (2)己知两车在P处相遇， ①若P与N重合，求V的值： ②若P在非施工道路上(P不与M,N重合)，直接写出V的取值范围. 【题型9.不等式组的经济问题】 30.某企业产品换代升级，决定购买20台新设备，这种新设备现有A,B两种型号，A型每 台10万元，B型每台15万元.经预算，该企业购买设备的资金不高于215万元，则该企业 的购买方案有() A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 31,为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买 A,B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购 买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元.设购买A品牌足球 的数量为x,列出关于x的不等式组并求出x的取值范围 32.某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单 价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元. 1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购 进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【题型10.不等式组的分配问题】 33.学校现有若干个房间分配给初三（班的男生住宿，己知该班男生不足50人，若每间住 4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）·那么该班 的男生人数是 人 解答题 34.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后 一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数. 35.七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生.如 果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子 试卷第1页，共3页 不少于2个但少于4个.求参加端午节包粽子活动的学生的人数. 【题型11.不等式组方案选择问题】 36.学校购进单价分别为5元和7元的A,B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求 A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的 购买方案种数为() A.5 B.4 C.3 D.2 解答题 37.今年《哪吒之魔童闹海》总票房登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影 片，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的魔童”哪吒形象.为满足儿童对哪 吒的喜爱，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃.己知购进50件A种娃娃和40件B种 娃娃的费用共2000元；且每个B种娃娃的进价比每个A种娃娃的进价多5元. B (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (②)因销售效果不错，某玩具店决定购进A、B两种哪吒玩偶共100个，且A种娃娃的数量不 多于50个，购买资金不超过2260元.请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 38.四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，育才中学组织八年级全 体师生共500人外出游学，学校计划租用A,B两种型号客车共10辆，己知A型客车可以 乘坐54人，租金为380元；B型客车可以乘坐39人，租金为310元.在保证将全部师生送达 目的地的前提下租车费用不超过3750元，学校可以选择哪几种租车方案？ 【题型12.不等式组的阶梯收费问题】 39.如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车.它的收费标准如下：洗车13分钟内 (包括13分钟)收费6元，超出后加收0.5元/分钟，不足一分钟按一分钟计算.某同学的 爸爸洗车花费了9.5元，请你写出洗车的时间a的范围（单位：分钟） 试卷第1页，共3页 ETCC 24h然家当端室 101435 40.大连地铁票收费标准如下： 不超过6km,2元/人次；超过6km到12km(含)，3元/人次； 超过12km到18km(含)，4元/人次； 超过18km到26km(含)，5元/人次； 超过26km到34km(含)，6元/人次： 超过34km到44km(含)，7元/人次： 超过44km到54km（含)，8元/人次； 超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km. 位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为xk,用不等式表示x的 范围为一 解答题 41.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目 的.重庆市自来水的收费价格见价目表.注：水费按月结算.若某户居民1月份用水8立方 米，则应交水费：2x6+4×(8-6)=20(元)· 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部 4元/位方米 分 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水12.5立方米，则应交水费 元； (2)若小明家3月用水量为a立方米，当6<a≤10时，小明家应交水费元，当a>10时， 试卷第1页，共3页 小明家应交水费 元；（请用含a的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米(4月份用水量多于3月份)，共交水费38元， 则小明家3,4月份各用水多少立方米？ 【题型13.不等式组的其他应用】 42.科研人员发现：A、B两种花卉的最佳生长温度t分别在12≤1≤30（℃）和16≤1≤32（℃）之 间.若把这两种花卉放在一起种植，请用不等式表示最佳的生长温度应控制的范围为 (C. 43.小豪和小浩依次进入电梯，当小浩进入电梯时，电梯因超重而响起警示音，且这个过程 中没有其他人进出.已知当电梯乘载的质量超过700千克时警示音会响起，且小豪、小浩的 质量分别为70千克、90千克.若小豪进入电梯前，电梯内已乘载的质量为x千克，则x的 取值范围是() A.610<x≤630B.610<x≤700 C.540<x≤700 D.540<x≤630 解答题 44.某工厂用A、B两种原料组装成C、D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个 B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件. (1)现有A原件162个，B原件340个.若组装C、D两种产品共100个，设组装C产品x 个 ①根据题意，完成下面表格： C(件) D(件) A个 x B个 3100-x) ②按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有A原件162个，B原件a个，组装C、D两种产品，A、B两种原件均恰好用完.已 知290<a<306,求a的值. C(件) D(件) A个 2(100-x) 试卷第1页，共3页