精品解析：河南鹤壁市浚县2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学素质训练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下面结论成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 随着的增大，可能是 D. 随着的增大，稳定在附近 4. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 5. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法确定 9. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（约为），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10. 如图，⊙A过原点O，分别与x轴、y轴交于点C和点D，点B在⊙A上，已知∠B=30°，⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 12. 已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=_______． 13. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______． 14. 如图，、分别是的边、上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是______． 15. 已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sinθ的值为___． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程或计算： （1） （2） 17. 若关于x的方程有实根，试化简． 18. 一个不透明的口袋中装有四个形状、大小、质地都相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4． （1）随机摸出一个小球的标号是“3”，该事件的概率为________． （2）随机摸出一个小球后放回，搅匀后从中再随机摸出一个小球．用列表或树状图法求取出的2个小球中，至少有1个的标号为“3”的概率． 19. 图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，） 20. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价x（元）成一次函数关系． （1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过元，当售价为多少元时，利润为元； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，AB＝4cm，∠ACB＝45°． （1）尺规作图：作△ABC的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若弦AB和其所对的劣弧所围成图形的面积为S，求S的值． 22. 如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D． （1）求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标． （2）若点Q（m，n）在该二次函数图象上， ①求n的最小值； ②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围． 23. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素质训练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 先计算的值，再求其相反数即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 故选：C． 2. 已知，则下面结论成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进一步即可求出. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查了分式的求值，属于基本题目，掌握求解的方法是关键. 3. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 随着的增大，可能是 D. 随着的增大，稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 4. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且为常数）．掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，且． 【详解】解：由题意，得且， 解得． 故选：D． 5. 圆心角为的扇形的半径为，则这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：这个扇形的面积为： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 6. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：， 二次函数的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， ， ， 故选：C 7. 一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为，第二次降价后售价为，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，则列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 8. 已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，直线与圆的位置关系． 先求二次函数的最小值，得到圆的半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，有最小值为， ∴的半径是， ∵圆心O到直线l的距离， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：A． 9. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（约为），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是正确理解掌握黄金矩形的定义． 根据黄金矩形的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，⊙A过原点O，分别与x轴、y轴交于点C和点D，点B在⊙A上，已知∠B=30°，⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接CD，过A作AE⊥OC于E，根据圆周角定理得到CD是⊙O的直径，解直角三角形得到OD=CD=2，OC=CD=2，根据垂径定理得到结论． 【详解】解：连接CD，过A作AE⊥OC于E， ∵∠COD=90°， ∴CD是⊙O的直径， ∴CD=4， ∵∠DCO=∠B=30°， ∴OD=CD=2，OC=CD=2， ∵AE⊥OC， ∴OE=CE=OC=，AE=AC=1， ∴A（，1）， 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零且被开方数是非负数求解即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为且． 12. 已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=_______． 【答案】 【解析】 【详解】∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根， ∴． ∴． 故答案为：． 13. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，、分别是的边、上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定． 和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似． 【详解】解： 当或或时，∽， 故答案为：． 15. 已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sinθ的值为___． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：设圆锥的母线长为R，由题意得65π=π×5×R， 解得R=13． ∴sinθ=． 考点：1.圆锥的计算；2.锐角三角函数的定义． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程或计算： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 17. 若关于x的方程有实根，试化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，涉及二次根式的化简、绝对值的化简等知识，掌握相关知识是解题关键．由一元二次方程有实根得到，继而解得，再由完全平方公式因式分解，化简二次根式，结合绝对值的性质解题． 【详解】解：∵方程有实根， ∴， ∴． ． 18. 一个不透明的口袋中装有四个形状、大小、质地都相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4． （1）随机摸出一个小球的标号是“3”，该事件的概率为________． （2）随机摸出一个小球后放回，搅匀后从中再随机摸出一个小球．用列表或树状图法求取出的2个小球中，至少有1个的标号为“3”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵共四个小球，标号是“3”的小球有一个， ∴随机摸出一个小球的标号是“3”，该事件的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的2个小球中， 至少有1个的标号为“3”的结果有7种， 取出的2个小球中，至少有1个的标号为“3”的概率为． 19. 图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，） 【答案】92.5 【解析】 【分析】过点作于点，延长交地面于点，利用即可进行求解. 【详解】过点作于点，延长交地面于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴把手离地面的高度为. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据图形构造直角三角形进行求解. 20. 一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为元的新款头盔每月的销售量（件）与售价x（元）成一次函数关系． （1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过元，当售价为多少元时，利润为元； （2）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当售价为元时，利润达到元 （2）售价定为元时，月销售利润最大为元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得， 整理得：， 解得：， ∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元， ∴不合题意舍去， 答：当售价为元时，利润达到元． 【小问2详解】 设利润为W元，则 ∵，即：， 又∵， ∴当时，， 答：售价定为元时，月销售利润最大为元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键． 21. 如图，AB＝4cm，∠ACB＝45°． （1）尺规作图：作△ABC的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若弦AB和其所对的劣弧所围成图形的面积为S，求S的值． 【答案】（1）如图，⊙O即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作线段BC的垂直平分线MN，作线段AB的垂直平分线EF，直线MN交EF于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可． （2）连接OA，OB，证明∠AOB＝90°，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）连接OA，OB． ∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，AB＝4cm， ∴AO＝OB＝2cm， ∴S＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×2×2＝2π﹣4． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外心，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22. 如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D． （1）求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标． （2）若点Q（m，n）在该二次函数图象上， ①求n的最小值； ②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1），与x轴的交点坐标为和 （2）①-4；②1﹣＜m＜0或2＜m＜1+ 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令，解即可求得交点坐标． （2）①把函数解析式变形为顶点式即可求得答案；②根据平面直角坐标系内点到x轴的距离的特点即可求解． 【小问1详解】 解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， ，解得， 故抛物线的表达式为， 令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得或， 故抛物线与x轴的交点坐标为和． 【小问2详解】 ①， 故n的最小值为﹣4； ②令，解得或2或， 故m的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质和待定系数法是解题的关键． 23. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到；然后证明可得，设，则，解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：过点作， ∵在中， ， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设，则，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $