数学思想方法课件-2026届高三数学二轮复习

高考二轮复习——数学思想方法 1 思想一 函数与方程思想 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关 系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图 象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.如求数列中的 项或最值、求解三角形最值（范围）问题、求不等式中的参数、求 解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函 数思想转化为函数问题. 2 方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或 方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分 析问题、转化和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位 置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题. 3 真题示例 1.[2025· 全国一卷] 若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68， 则该等比数列的公比为____. ［解法关键］ 方法一：利用等比数列的求和公式列出方程组，两式作商即可得解； 方法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于 的 方程，解之即可得解； 方法三：利用等比数列前 项和的性质得到关于的方程，解之即可得解. 答案为 . 4 2.[2025· 全国二卷] 已知平面向量, ,若 ，则 ____. ［解法关键］ 根据向量运算的坐标表示得 ，再利用向量垂直的 坐标表示得到方程，解出的值后再求向量的模即可.答案为 . 5 3.[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同 一球面上，若该球的体积为 ,且 ,则该正四棱锥体积 的取值范围是( ) A. B. C. D. ［解法关键］ 画出图形,由题意可求出球的半径, 设正四棱锥的底面边长为 , 高为, 由勾股定理可得到与的关系,由的取值范围求出 的取值范围, 又因为,所以正四棱锥的体积 , 利用导数即可求出 的取值范围.答案为C. √ 6 自测题 1.若直线 与直线 平行，则 ( ) A.4 B. C.1或 D. 或4 [解析] 因为两直线平行，所以 ， 整理可得，解得或. 若 ，则直线与直线 平行， 符合题意； 若，则直线与直线 平行， 符合题意.综上所述，或 .故选D. √ 7 2.[2025·大连模拟] 如图，设抛物线的焦点为，过点 的直线与抛物线交于，两点，与轴的负半轴交于 点，已知 与的面积比为，则 _________. [解析] 由 ，可得， 所以，且 , . 根据题意，设直线 的方程为， 与抛物线方程联立，消去 得， 恒成立， 所以，则 . 由①②可得，从而 . 8 3.[2025·北京朝阳区一模]在中，， ，点 为所在平面内一点且，则 的最小值为 ( ) A.0 B. C. D. √ [解析] 在中，由余弦定理得 ， 故为钝角，又，所以点在三角形 底边的高线所在直线上， 则以所在直线为 轴，以其上的高线所在直线 为轴建立如图所示的平面直角坐标系 . 9 因为，所以 ， 故 ， ，则, ,. 设,，则, ， 故， 当且仅当 时取得等号， 所以的最小值为 .故选C. 10 4.[2025·汕头二模] 如图，在三棱锥中， 为等边三角形， ，，若，则三棱锥 的外接球的 体积的最小值为_ ____. [解析] 如图，取的中点，连接, ，则 ，， 又，所以 平面， 又 平面，所以 ， 又，,所以 平面 ， 11 所以三棱锥的外接球的球心必在过 的中 心且平行于的直线上，连接， ，则 设， 又 ，所以，， 设三棱锥 的外接球的半径为 ， 则 ， 所以当时，，即 ， 故三棱锥外接球的体积的最小值为 . 12 思想二 数形结合思想 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互 转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想体现了数与 形之间的转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.数形结合的 实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题 几何化、几何问题代数化. 数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题,参数 范围问题,以立体几何为模型的代数问题,解析几何中的斜率、截距、 距离问题等. 13 真题示例 1.[2025· 全国一卷]已知圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. ［解法关键］ 先求出圆心到直线 的距离，然后结合图象，根 据半径的变化可以找到到直线的距离为1的点有且只有2个的圆的临 界位置，即可得出结论.答案为B. √ 14 2.[2024· 新课标Ⅰ卷]当时，曲线 与 的交点个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 ［解法关键］ 画出函数和函数在 上的图象, 由图可知,两曲线有6个交点.答案为C. √ 15 3.[2024·天津卷] 在边长为1的正方形中，点为线段 的三等 分点，满足,，则__，若 为线段 上的动点，为的中点，则 的最小值为_____. ［解法关键］ 方法一:以,}为基底,根据向量的线性运算求,即可得 的 值,设,求,,结合向量数量积的运算求 的最小值; 16 方法二:建立平面直角坐标系,根据向量运算的坐标表示求 ,即可得 的值, 设,,求, ,结合向量数量积的坐标表示 求的最小值.答案为, . 17 自测题 1.[2025·北京东城区二模]已知 下列选项中能使 既是奇函数又是增函数的是( ) A. B. C. D. √ 18 [解析] 对于A，如图①，不符合题意；对于B,如图②，符合题意； 对于C，如图③，不符合题意；对于D，如图④，不符合题意.故选B. ① ② ③ ④ 19 2.[2025·河北石家庄一模]在平面直角坐标系中，点 , ，向量，且，若 为 抛物线上一点，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ [解析] ， 因为 ，所以，所以， 即点 在直线上. 如图，由图可知，当抛物线在点 处的切线 与直线平行时，可取得最小值， 20 由 得，即， 又点在抛物线上，所以 ，即， 所以的最小值为点到直线 的距离， 即 .故选D. 21 3.[2025·福建部分高中联考]已知函数 有两个零 点，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 令 ，得. 在同一坐标系内作出， 的图象如图所示，由图可知，当 时，，的图象有两个交点，即 有两个零点.故选B. 令 ， 则 的图象与 的图象有两个交点. √ 22 4.[2025· 广州二模] 在平面四边形中， , , ，若的面积是 的面积的2倍， 则 的长度为_____. [解析] 方法一：如图，设AC∩BD=E,以 点为坐标 原点,取的中点为,以所在直线为轴,以过点 且垂直于的直线为 轴，建立平面直角坐标系. 又， ，所以. 分别过，两点作 的垂线，垂足分别为， ， 则， 23 又 ，所以. 设，则 ，即,则 . 因为，，三点共线，所以 ， 设，则，即 . 又 ， 所以 ， 整理得， 结合 ，整理得，即 ， 解得或， 由图可得 ，则，，即 ， 则 . 方法二：通过分析题意，符合条件的图如图所 示（注意到定弦定角产生隐形圆）， 设 , ，则 , ， 展开化简得 ,解得或 （舍去），所以 ,即 , 所以在 中， . ， ， 因为 ,所以 ， 26 思想三 分类讨论思想 分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的 基础问题,通过对基础问题的解答解决原问题的思维策略,实质上就是 “化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.其研究的基本方向是“分”, 但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起.使用分类讨论思想应 明白这样几点:一是引起分类讨论的原因;二是分类讨论的原则,分类 标准统一，要做到不重不漏;三是明确分类讨论的步骤. 27 常见的分类讨论问题有以下几种:（1）由概念引起的分类讨论; （2）由性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论;（3）由数学 运算引起的分类讨论;（4）图形的不确定性引起的分类讨论;（5）由 参数的变化引起的分类讨论. 28 真题示例 1.[2024· 新课标Ⅱ卷]设函数,若 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D.1 ［解法关键］ 方法一:由题意可知,的定义域为,分类讨论与 , 的大小关系,结合符号分析判断,即可得 ,代入可得最值; 方法二:根据对数函数的性质分析 的符号,通过分类讨论进而 可得的符号,即可得 ,代入可得最值.答案为C. √ 29 2.[2024·全国甲卷] 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设 为前两次取出的球上 数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与 之差的 绝对值不大于 的概率为___. ［解法关键］ 根据排列可求样本点的总数,设前两个球的号码为, ,第三个球的号 码为,则,根据 的不同取值分类讨论后可 求随机事件发生的概率.答案为 . 30 3.（多选题）[2022·全国乙卷]双曲线的两个焦点为,，以 的实 轴为直径的圆记为，过作的切线与交于， 两点，且 ，则 的离心率为( ) A. B. C. D. √ √ 31 ［解法关键］ 依题意不妨设双曲线的焦点在轴上，过作圆的切线，切点为 ， 作，垂足为 ，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定 义得到或，即可得解，注意就, 在双支上还是在单 支上分类讨论，如图所示.答案为 . 32 自测题 1.（多选题）已知曲线 ，则下列结论 正确的是( ) A.曲线可能是直线 B.曲线 可能是圆 C.曲线可能是椭圆 D.曲线 可能是双曲线 √ √ √ 33 [解析] 因为，所以.对于A，当 时， 曲线为直线，故A正确； 对于B，若曲线 是圆，则,矛盾,故曲线 不可能是圆，故B错误； 对于C，当时，曲线，且， 此时曲线 为焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于D，当 时，曲线,为焦点在轴上的 双曲线，故D正确.故选 . 34 2.[2025·开封二模]将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至 少分配1名学生，每名学生只去1个社区，则不同的分配方法种数是 ( ) A.24 B.50 C.72 D.150 [解析] 将5名学生分为3组，有1,1,3和1,2,2两种情况. 若按1,1,3分组，则有（种）分配方法； 若按1,2,2分组，则有 （种）分配方法. 则不同的分配方法为 （种）.故选D. √ 35 3.[2025·长春四模] 已知函数在 上 的最大值比最小值大，则 ___. 1 [解析] 易知 为奇函数，根据题意，由对称 性可知在上的最大值比最小值大. 易知在 上单调递减，在上单调递增. 当，即时， 在 上单调递增，则 ，解得. 36 当，即时，在 上单调递减， 在上单调递增，则 ， 因为，所以 ， 所以， 解得 （舍去）或（舍去）.综上， . 37 思想四 转化与化归思想 转化与化归思想是指在解决数学问题时,采用某种手段将问题转 化,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把复杂的问题化归为容 易求解的问题,将较难的问题化归为较简单的问题,将未能解决的问题 化归为已经解决的问题,简单说就是化“生”为“熟”. 常见的转化与化归思想的应用具体表现在:将抽象函数问题转化 为具体函数问题,立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为 特殊点或特殊图形,“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为 逆向思维,空间与平面的转化,相等问题与不等问题的转化等. 38 真题示例 1.[2025·上海卷] 已知,, 是平面内三个不同的 单位向量.若，则 的取值 范围是_______. 39 ［解法关键］ 利用分段函数值分类讨论，可得,, ,0, ，再根据数量积关系设出,,坐标，不妨设, ， , ，利用坐标运算，转化为三角恒等变换 求解模的范围可得.答案为 . 40 2.[2023·全国乙卷]已知实数,满足 ,则 的最大值是( ) A. B.4 C. D.7 √ ［解法关键］ 本题的转化与化归方向有三种:一是设,则 ,代入原 方程化简得 ,即转化为此方程有解 的问题,利用判别式求解即可; 41 二是令, ,其中,用参数 表示, , 则,这样 的最大 值问题就转化为与参数 有关的三角函数的最值问题; 三是设 ,把此方程看成直线方程,利用圆心到直线的距离公式 求最值. 答案为C. 42 自测题 1.[2025·四川巴中一诊]已知复数在复平面内满足，则复数 对 应的点 的集合所形成图形的面积为( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得复平面内对应的点 的集合所形成的图形为 以为圆心，1为半径的圆及内部，故在复平面内对应的点 的 集合所形成图形的面积为 .故选B. √ 43 2.[2025·深圳一模]已知曲线与曲线 只有 一个公共点，则 ( ) A. B.1 C. D. [解析] 由题意知，方程 只有一个实数解， 而，当时， ，方程无解， 因此方程在上只有一个实数解. 令， ，则， √ 44 令上单调递增,且， 所以当时， ，，单调递减， 当时， ，，单调递增， 所以， 又当 以及 时， ，故若 在 上只有一个实数解，则 .故选B. 3.[2025·咸阳二模] 在直三棱柱 中， ， ，则三棱锥 的体积为__. [解析] . 46 4.[2025·浙江Z20联盟三联] 已知实数,满足，则 的 最大值为_ ___. [解析] 方法一：转化为向量解决. ，设向量 , ，则 ， 故，当且仅当,时等号成立， 故 的最大值为 . 47 方法二：转化为解析几何解决.如图，取直线， 因为，所以直线 恒过定点, 令，则点到直线 的距离, 当且仅当 时等号成立. 又，而当 时， ，此时等号成立， 所以 . 48 $