2.2 一元一次不等式（分层作业，5基础&4提升题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

2.2 一元一次不等式 题型一 一元一次不等式定义的理解 一、单选题 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 三、解答题 4．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型二 求一元一次不等式的解集 一、单选题 1．若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若分式有意义，则的取值范围为 ． 5．不等式的解集是 ． 6．，则的取值范围是 ． 7．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是 ． 8．不等式的解集是 ． 三、解答题 9．定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 题型三 用数轴表示一元一次不等式的解集 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．计算： (1)； (2)解方程组： (3)解一元一次不等式，并在数轴上表示其解集． 题型四 求一元一次不等式的整数解 一、单选题 1．满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 2．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．写出不等式的一个正整数解 ． 5．已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 6．不等式的非负整数解是 ． 三、解答题 7．已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 题型五 列一元一次不等式 一、单选题 1．“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x与2的和是非负数，可表示成 C．m与4的差不多于3，可表示成 D．x不大于3，可表示成 3．语句“的与的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．当代数式的值小于代数式的值时，x的取值范围是 ． 5．的4倍与8的和比的5倍大，则可列不等式为 ． 三、解答题 6．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 题型一 一元一次不等式的含参问题与最值问题 一、单选题 1．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 3．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 4．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 5．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是 ． 三、解答题 6．已知、满足和，求的最小值． 7．已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)当取（1）中最大负整数值时，求的值． 8．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 题型二 解绝对值不等式 一、单选题 1．若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．已知（是整数），则的值是 ． 三、解答题 3．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 4．已知对任意都成立，求的取值范围． 5．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 题型三 一元一次不等式在实际问题中的应用 一、单选题 1．低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2025年购进两种型号新能源汽车共10辆，总价不超过180万元．据了解，型进价每辆15万元，型进价每辆20万元，问至少购买种型号新能源汽车多少辆？设型辆，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 3．某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2000元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，若打n折，则n的最小值是（    ） A．7.5 B．8 C．8.5 D．9 二、填空题 4．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 5．如图，书架长102cm，在该书架上按图所示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚1.5cm．若书架上已摆放30本语文书，设数学书摆放了本，则可列不等式为 ． 三、解答题 6．为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路灯比1盏B种路灯的费用多20元． (1)求A、B两种路灯的单价； (2)该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 7．中国雪乡位于黑龙江省牡丹江市海林市双峰林场，是国家级旅游风景区，其中马拉爬犁项目的收费标准是每人元．由于旅行团游客较多，景区提供了两种优惠方案．方案一：所有游客一律九折，方案二：人数超过人，超出部分打八折．（旅行团人数为人，其中） (1)若该旅行团按方案一购票，需付________元，按方案二购票，需付________元．（用含的代数式表示） (2)旅行团该如何选择方案更划算？ (3)已知游客人数多于人少于人，旅行团对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买中国雪乡明信片送给游客留作纪念，每人恰好一个，已知明信片单价为元（为正整数），请直接写出每张明信片的价格和旅行团的人数． 8．“双十一”购物节期间，某商场对A，B两种品牌的教学设备进行促销活动，这两种教学设备的进价和售价如下表所示： A B 进价/（万元/套） 0.8 1.2 售价/（万元/套） 1.5 2 A产品按原售价打八折出售，B产品按原售价打九五折出售，促销活动中A产品的销售量是B产品的2倍．若使得促销获利不少于65万元，则B产品至少售出几套？ 9．家电超市出售某种充电器，可从，两个厂家进货，进价均为60元/个，为了促销，两个厂家给出了不同的优惠方案： 厂家：一律打8折； 厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 设该家电超市计划购进这种充电器个，去厂家购进应付元，去厂家购进应付元． (1)分别求出，与之间的函数关系式； (2)若该家电超市只在一个厂家进货，怎样选择划算？ 10．某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办“快乐易物”活动．八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件，活动中学习用品的平均售卖价为10元/件，文娱玩具的平均售卖价为15元/件． (1)若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？（用方程组求解） (2)若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润． 题型四 一元一次不等式在几何问题中的应用 一、单选题 1．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 2．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．若三角形的三边长分别为a＋2，4，7，则a可能的值为（    ） A．1 B．5 C．9 D．11 5．已知A（0，2），B（0，4）两点，若直线l：y＝2x﹣1向上平移k个单位后与线段AB有交点，则k的取值范围为（　　） A．3＜k＜5 B．3≤k≤5 C．1≤k≤3 D．1＜k＜3 一、单选题 1．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．若是关于的一元一次不等式，则 ． 3．已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 4．阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 三、解答题 5．雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 6．列方程解下列问题： 截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？ (2)该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程队挖掘天数均为正整数） 7．项目式：智慧出行 【背景】“易出行”共享汽车公司为满足不同用户的需求，推出了两种计费套餐： 经济套餐：收费公式为： 轻享套餐：收费公式为： 其中，代表租车的总费用（元），代表用户的行驶里程（公里）． 【理解模型】（1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“20”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义． 【应用模型】（2）小宇的家位于市区，到郊野公园的单程距离为18公里．他家计划周末使用共享汽车前往此公园游玩，并预计在公园附近和返回市区后还会产生约15公里的额外行驶里程．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱． 【决策分析】（3）如果你是“易出行”公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱．请通过计算给出明确的建议． 8．疫情期间，某商店准备采购甲、乙两种消毒水进行售卖，每瓶的进价与利润如表： 已知采购甲种消毒水瓶和采购乙种消毒水瓶所需费用一样． 甲 乙 每瓶进价(元) 每瓶利润(元) (1)求的值； (2)若该商店准备拿出元全部用来进货，由于仓库存放限制，总数量不多于瓶，应如何进货能使消毒水全部售出后利润最大，最大利润是多少元？ 9．中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯，有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，已知进货4盒甲种月饼，3盒乙种月饼，花费145元，进货3盒甲种月饼，4盒乙种月饼，花费135元． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少? (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完，甲种月饼卖了后，发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒? 10．在教科书中，我们将不等式（，）趣称为“糖水不等式”． 【模型推广】 “如果，那么（，）”，它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液． （1）由，可判断_____（填写“”或“”），请证明不等式成立． 【应用模型】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为；（） 果汁：糖的浓度为． （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为_____． （3）饮料公司需要生产一批的混合果汁，果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 11．定义运算：，当时，；当时，；当时，或．例如：；．完成下列任务： (1) ； (2)，则x的取值范围是 ； (3)已知y关于x的函数的部分图象如图， ①补全图象； ② ， ； ③若，则x的取值范围是 ； ④若时，的最大值与最小值的差为，求的值． 12．某地A，B两村盛产柑橘，A村有柑橘村有柑橘，现将这些柑橘全部运到C，D两个仓库，已知仓库可储存仓库放满后再考虑运往D仓库．运输费用如下表： 村庄 运费 C仓库 D仓库 A村 20元/ 25元/ B村 15元/ 18元/ 设从A村运往C仓库的柑橘质量为两村运往两仓库的柑橘运输总费用分别为元和元． (1)判断和是否为的函数．若是，分别写出函数表达式． (2)若B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 13．某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共个，已知A品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个；B品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个. (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠元（）出售，B品牌保温杯售价不变，此时总利润的最大值为元，求的值． 14．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 15．阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 一元一次不等式 题型一 一元一次不等式定义的理解 一、单选题 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 二、填空题 3．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 4．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 题型二 求一元一次不等式的解集 一、单选题 1．若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴． 因此，x的取值范围是． 故选：D． 2．若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，点位于第三象限时，横坐标和纵坐标均为负数，已知纵坐标为，只需横坐标，求解即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴横坐标，纵坐标（已满足）， ∴， 解得， 故选A． 3．已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程与一元一次不等式，求出是解决本题的关键，有一定难度，注意细心解答． 先把代入得，则不等式化为，然后在的情况下解不等式即可． 【详解】解：把代入得，则， ∵ ∴， ∴化为， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 4．若分式有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ，同时被开方数 ， ∴， 解得，． 故答案为：． 5．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，首先判断系数的符号，由于，故系数为负数；不等式两边除以负数时，不等号方向改变；然后有理化分母得到解集，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 6．，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，解一元一次不等式，由绝对值的性质并结合题意可得，求解即可，熟练掌握绝对值的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再代入不等式，通过移项和有理化分母求解即可． 本题考查了算术平方根，解不等式，分母有理化，熟练掌握解不等式，分母有理化是解题的关键． 【详解】解：由题意，a是3的算术平方根， 故； 故变形得， 故， 移项得， 即， 由， 故 故解集为， 故答案为：． 8．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，严格遵循解不等式的基本步骤是解本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．通过移项、合并同类项、系数化为1，再根据二次根式分母有理化化简即可求出不等式的解集． 【详解】解：， ， ， 由于，所以，除以负数时不等号方向改变，得： ， 即， 分子分母同乘，得： ， 故答案为：． 三、解答题 9．定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 题型三 用数轴表示一元一次不等式的解集 一、单选题 1．若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴． 因此，x的取值范围是． 故选：D． 2．若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，点位于第三象限时，横坐标和纵坐标均为负数，已知纵坐标为，只需横坐标，求解即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴横坐标，纵坐标（已满足）， ∴， 解得， 故选A． 3．已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程与一元一次不等式，求出是解决本题的关键，有一定难度，注意细心解答． 先把代入得，则不等式化为，然后在的情况下解不等式即可． 【详解】解：把代入得，则， ∵ ∴， ∴化为， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 4．若分式有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ，同时被开方数 ， ∴， 解得，． 故答案为：． 5．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，首先判断系数的符号，由于，故系数为负数；不等式两边除以负数时，不等号方向改变；然后有理化分母得到解集，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 6．，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，解一元一次不等式，由绝对值的性质并结合题意可得，求解即可，熟练掌握绝对值的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再代入不等式，通过移项和有理化分母求解即可． 本题考查了算术平方根，解不等式，分母有理化，熟练掌握解不等式，分母有理化是解题的关键． 【详解】解：由题意，a是3的算术平方根， 故； 故变形得， 故， 移项得， 即， 由， 故 故解集为， 故答案为：． 8．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，严格遵循解不等式的基本步骤是解本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．通过移项、合并同类项、系数化为1，再根据二次根式分母有理化化简即可求出不等式的解集． 【详解】解：， ， ， 由于，所以，除以负数时不等号方向改变，得： ， 即， 分子分母同乘，得： ， 故答案为：． 三、解答题 9．定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 题型四 求一元一次不等式的整数解 一、单选题 1．满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解答的关键． 通过解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的最小整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小整数解为7． 故选：B． 2．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先求解不等式，再从解集中找出负整数解的个数． 【详解】解： 所以不等式的负整数解为，，，共个． 故选：C． 3．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 二、填空题 4．写出不等式的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及正整数解的确定，解题关键是先解不等式求出解集，再从解集中找出正整数解． 先解不等式 ，得到解集 ，再从中选取一个正整数解即可． 【详解】 因此，不等式的解集为 ． 满足条件的正整数解有 、、，任选其一即可． 故答案为：（故答案不唯一）． 5．已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 6．不等式的非负整数解是 ． 【答案】0、1、2、3 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的解法，以及不等式的非负整数解，掌握以上知识是解题的关键．先去括号，然后移项，合并同类项，再把系数化1，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴ 又∵不等式有非负整数解， 、1、2、3． 故答案为：0、1、2、3． 三、解答题 7．已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值；先解不等式得到最小整数解，代入方程求出参数，再计算代数式的值． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 即 ， 两边乘以 得 ， ∴ 最小整数解为 ． ∵ 是方程 的解， 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 当时 ． 题型五 列一元一次不等式 一、单选题 1．“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列不等式，先根据题意找出数量关系，再用不等式表示出来，关键在于理解“非负数”的含义，即大于等于0，然后根据“x与3的差的2倍”这一描述列出不等式． 【详解】解：x与3的差可表示为：， x与3的差的2倍可表示为：， ∵式子是非负数， ∴， 故选：C． 2．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x与2的和是非负数，可表示成 C．m与4的差不多于3，可表示成 D．x不大于3，可表示成 【答案】C 【分析】本题主要考查了列不等式，不是负数，则该数大于或等于0，非负数即为大于或等于0的数，不多于，即小于或等于，不大于，即小于或等于，据此列出对应选项中的不等式即可得到答案． 【详解】解：A、a不是负数，可表示成，原式错误，不符合题意； B、x与2的和是非负数，可表示成，原式错误，不符合题意； C、m与4的差不多于3，可表示成，原式正确，符合题意； D、x不大于3，可表示成，原式错误，不符合题意； 故选：C． 3．语句“的与的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列不等式； 根据题意，将语句转化为数学表达式即可，非负数对应为，关键是要明确“差”的结构． 【详解】解：a的四分之一即，b的3倍即，两者的差为，两者差的平方为， 所以语句“的与的3倍的差的平方是一个非负数”可以表示为， 故选：A． 二、填空题 4．当代数式的值小于代数式的值时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 由代数式的值小于代数式的值列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围． 【详解】解：根据题意，得 去分母，得 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 故答案为： 5．的4倍与8的和比的5倍大，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．根据x的4倍与8的和比x的5倍大，即可写出不等式． 【详解】解：∵x的4倍与8的和为：； x的5倍为：， ∴x的4倍与8的和比x的5倍大， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【答案】（）；（）；（）． 【分析】本题考查了列不等式，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：（）根据题意得，， ， ∴； （）根据题意得， ， ∴； （）根据题意得，， ， ， ， ， ∴． 题型一 一元一次不等式的含参问题与最值问题 一、单选题 1．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 2．已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵解方程组， 得， ∴①x与y互为相反数，则x=-y， m+2=2m m=2，故①正确； ②， 则m+2-2m=2-m m＜，则m的最大整数值为3，故②错误． ③x=y， 则m+2=-2m m=，故③错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键． 二、填空题 3．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 4．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 5．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是 ． 【答案】0 【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解即可得出． 【详解】∵， ∴ 解得： ∴最大整数解是0． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出是解题的关键． 三、解答题 6．已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 7．已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)当取（1）中最大负整数值时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先解二元一次方程组用m表示出x、y，再根据得到关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据（1）所求得到m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解： 用②－①得：，解得， 把代入到②得：，解得， ∵， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∵m取最大负整数， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，代数式求值，熟知相关计算方法是解题的关键． 8．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 题型二 解绝对值不等式 一、单选题 1．若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键． 根据绝对值的非负性，等式成立需，即，且代入验证成立． 【详解】， ， ，即， 故选． 二、填空题 2．已知（是整数），则的值是 ． 【答案】或或或0或1或2或3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得，再根据x是整数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是或或或0或1或2或3， 故答案为：或或或0或1或2或3． 三、解答题 3．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 4．已知对任意都成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值不等式，先求出，再由对任意都成立得，即可求解． 【详解】解：由题意得有解， ， ， 对任意都成立， ， 解得：， 故的取值范围． 5．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是 ； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 题型三 一元一次不等式在实际问题中的应用 一、单选题 1．低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2025年购进两种型号新能源汽车共10辆，总价不超过180万元．据了解，型进价每辆15万元，型进价每辆20万元，问至少购买种型号新能源汽车多少辆？设型辆，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，根据题意，设型车购买辆，则型车购买辆，总价不超过180万元，列出不等式即可判断正确选项． 【详解】解：∵型车每辆15万元，型车每辆20万元，共购10辆， 设型车辆，则型车为辆． ∴总价为万元． ∵总价不超过180万元， ∴． 选项A为，与上述不等式等价， 故选：A． 2．小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设圆珠笔数量为支，根据总花费不超过100元列出不等式，求解后取整数最大值，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【详解】解：设小刚买圆珠笔支，则笔记本本， 由题意可得： 解得：， ∵为整数， ∴最大为， 故小刚最多能买支圆珠笔， 故选：B． 3．某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2000元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，若打n折，则n的最小值是（    ） A．7.5 B．8 C．8.5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设打折，利用销售价减进价等于利润得到，然后解不等式求出的范围，从而得到的最小值即可． 【详解】解：设打折， 根据题意得， 解得． 所以最低可打7.5折． 故选：A． 二、填空题 4．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 5．如图，书架长102cm，在该书架上按图所示方式摆放数学书和语文书．已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚1.5cm．若书架上已摆放30本语文书，设数学书摆放了本，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握根据题意找出不等关系，正确表示两种书的总厚度是解题的关键． 先计算本语文书的总厚度，再表示出本数学书的总厚度，根据 两种书的总厚度不超过书架长度的条件，列出不等式． 【详解】解：本语文书的总厚度：， 本数学书的总厚度：， 总厚度不超过， 因此可列不等式：． 故答案为：． 三、解答题 6．为打造低碳社区，某社区决定购买A、B两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏A种路灯和1盏B种路灯共需100元，购买2盏A种路灯比1盏B种路灯的费用多20元． (1)求A、B两种路灯的单价； (2)该社区计划购买A、B两种路灯共10盏，且购买总费用不超过450元，最多可以购买多少盏B种路灯？ 【答案】(1)A 种路灯的单价 40 元，B 种路灯的单价 60 元 (2)最多购买2盏 B种路灯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设A 种路灯单价x元，B 种路灯单价y元，根据题意列方程组求解即可． （2）设购买 B 种路灯m盏，则 A 种盏，得到，再解不等式结合实际求解即可． 【详解】（1）设 A 种路灯单价x元，B 种路灯单价y元， 根据题意得 ， 解得， 答：A 种路灯的单价 40 元，B 种路灯的单价 60 元； （2）设购买 B 种路灯m盏，则 A 种盏，则有 , 解得： ∵m为非负整数， ∴m最大为 2， 答：最多购买 2 盏 B 种路灯． 7．中国雪乡位于黑龙江省牡丹江市海林市双峰林场，是国家级旅游风景区，其中马拉爬犁项目的收费标准是每人元．由于旅行团游客较多，景区提供了两种优惠方案．方案一：所有游客一律九折，方案二：人数超过人，超出部分打八折．（旅行团人数为人，其中） (1)若该旅行团按方案一购票，需付________元，按方案二购票，需付________元．（用含的代数式表示） (2)旅行团该如何选择方案更划算？ (3)已知游客人数多于人少于人，旅行团对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买中国雪乡明信片送给游客留作纪念，每人恰好一个，已知明信片单价为元（为正整数），请直接写出每张明信片的价格和旅行团的人数． 【答案】(1)，； (2)当时，选择方案一；当时，两种方案费用相同；当时，选择方案二 (3)每张明信片的价格为元，旅行团的人数为人 【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据不同方案列代数式、分情况讨论费用关系是解题的关键． （1）根据方案一的九折优惠计算总费用；方案二先算人的原价，再算超出人的部分的八折，求和得到总费用． （2）分三种情况（方案一费用方案二费用、方案一费用方案二费用、方案一费用方案二费用）列不等式或方程，求解得到人数范围，确定划算的方案． （3）根据人数范围，结合方案一与方案二的费用差为，代入人数范围验证得到具体人数和的值． 【详解】（1）解：方案一：需付（元）， 方案二：需付（元）， 故答案为：，； （2）解：①当方案一费用方案二费用时：， 解得， ∴当时，两种方案费用相同； ②当方案一费用方案二费用时：， 解， ∴当时，选择方案二更划算； ③当方案一费用方案二费用时： ， ∴当时，选择方案一更划算； （3）解：时方案二更划算，费用差为：， ， ， ∵为正整数， ∴为整数， ∵且为整数， ∴， ∴， 解得． 答：每张明信片的价格为元，旅行团的人数为人． 8．“双十一”购物节期间，某商场对A，B两种品牌的教学设备进行促销活动，这两种教学设备的进价和售价如下表所示： A B 进价/（万元/套） 0.8 1.2 售价/（万元/套） 1.5 2 A产品按原售价打八折出售，B产品按原售价打九五折出售，促销活动中A产品的销售量是B产品的2倍．若使得促销获利不少于65万元，则B产品至少售出几套？ 【答案】44 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式解决问题． 设产品售出套，则产品售出套．利用单件利润=售价×折扣进价，总利润=单件利润×销售数量，结合促销获利不少于万元，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设产品售出套，则产品售出套． 由题意，得， 解得． ∵为整数， ∴的最小整数值为． 答：产品至少售出套． 9．家电超市出售某种充电器，可从，两个厂家进货，进价均为60元/个，为了促销，两个厂家给出了不同的优惠方案： 厂家：一律打8折； 厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 设该家电超市计划购进这种充电器个，去厂家购进应付元，去厂家购进应付元． (1)分别求出，与之间的函数关系式； (2)若该家电超市只在一个厂家进货，怎样选择划算？ 【答案】(1)， (2)当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据“去厂家购买应付款进价折扣购买数量”求出与之间的函数关系；分别求出当时、当时，与之间的函数关系即可； （2）根据不同的取值范围，分别求出当、、时对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； 当时，； 当时，； 综上，， 与之间的函数关系为，与之间的函数关系为； （2）解：当时：； 当时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，；当时，；当时，． 当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算． 10．某校为积极响应“双减”政策，丰富学生课余生活，特举办“快乐易物”活动．八年级一班购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件，活动中学习用品的平均售卖价为10元/件，文娱玩具的平均售卖价为15元/件． (1)若商品全部售完，营业额为3600元，其中有多少件学习用品？（用方程组求解） (2)若购进的商品总价不高于1335元，其中学习用品的平均进价为4元/件，文娱玩具的平均进价为5元/件，商品全部售完，请求出利润最大的采购方案以及最大利润． 【答案】(1)有件学习用品 (2)利润最大的采购方案是购买件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润为2340元 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理清题意，根据等量关系列出方程组及根据数量关系列出函数表达式是解题的关键． （1）设学习用品有件，文娱玩具有件，根据“购进学习用品类和文娱玩具类商品共300件”和“营业额为3600元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设学习用品有件，则文娱玩具有件，利润为元，根据数量关系得，再根据购进的商品总价不高于1335元求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设学习用品有件，文娱玩具有件， 依题意得： 化简得：， 解得， 答：有件学习用品； （2）解：设学习用品有件，则文娱玩具有件，利润为元依题意得： ， ∵购进的商品总价不高于1335元， ∴， 解得． ∵，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最大，， 文娱玩具数量件． 答：利润最大的采购方案是购买件学习用品，购买135件文娱玩具，最大利润为2340元． 题型四 一元一次不等式在几何问题中的应用 一、单选题 1．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 2．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 3．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 4．若三角形的三边长分别为a＋2，4，7，则a可能的值为（    ） A．1 B．5 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：7-4<a+2<4+7， 解得：1<a<9， 选项中只有5符合题意， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形的三边关系及求不等式组的解集，理解题意，掌握三角形的三边关系是解题关键． 5．已知A（0，2），B（0，4）两点，若直线l：y＝2x﹣1向上平移k个单位后与线段AB有交点，则k的取值范围为（　　） A．3＜k＜5 B．3≤k≤5 C．1≤k≤3 D．1＜k＜3 【答案】B 【分析】先求出平移后的函数解析式，再由题意知平移后的函数图象与y轴的交点在A和B点之间，即可求解． 【详解】解：直线l向上平移k个单位后的函数解析式为：， 由于它的图象与线段AB有交点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与y轴的交点位置问题，解题的关键是理解题意，掌握函数图象与解析式的关系． 一、单选题 1．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 二、填空题 2．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数为且系数不为，列方程求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元一次不等式， ∴未知数的次数，解得； 未知数的系数，解得． 综合以上两个条件，可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是同时满足 “未知数次数为” 和 “系数不为” 两个条件，避免只考虑次数而忽略系数的错误． 3．已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 4．阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解．由题意，表示不超过的最大整数（根据例子 ，可知），已知且 ，得 ，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案． 【详解】解：且 ， ， ，， ， 故， 故答案为：2023． 三、解答题 5．雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【答案】(1) (2)①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台 (3)a的值为时（2）中的所有方案付出的总运费相同 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等的应用，方程和方案问题，熟练掌握一次函数的应用和一元一次不等式的应用是解题的关键， （1）设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，根据题意可列出W关于x的关系式，再结合实际问题可得到x的取值范围； （2）由于总运费多于元，可得，解得，再根据，可得到三种方案； （3）：设调整后曙光村A型运费为元/台，可得调整后的总费用与x的关系式，因为所有方案总运费相同，所以消去x的影响，得到，即可得到a的值，最后验证即可确定答案． 【详解】（1）解：设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，由题可得： ， 整理得到：， ∵调运数量非负且不超过库存， ∴x的取值范围为：，且为整数， ∴． （2）解：∵总运费多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， ∴有三种方案，分别是： ①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台． （3）解：设调整后曙光村A型运费为元/台， 总运费变为：， 整理得：， ∵所有方案总运费相同， ∴， 解得：， 经验证，符合题意， ∴时，所有方案总运费相同． 6．列方程解下列问题： 截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？ (2)该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程队挖掘天数均为正整数） 【答案】(1)甲工程队每天挖掘米，乙工程队每天挖掘米 (2)施工方案有两种：①甲队施工天，乙队施工天；②甲队施工天，乙队施工3天 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道36米，乙工程队每天可挖掘隧道24米． （2）解：设乙队施工天数为天， 隧道总长720米，甲队施工天，挖掘米，剩余隧道长度米， ∴乙队施工天数， ∵、为正整数， ∴为偶数，， ∴， 依题意得：，即 解得：， 又∵， ∴可取， 当时，乙队施工天数为， 当时，乙队施工天数为， 答：施工方案有两种：方案①甲队施工16天，乙队施工6天；方案②甲队施工18天，乙队施工3天． 7．项目式：智慧出行 【背景】“易出行”共享汽车公司为满足不同用户的需求，推出了两种计费套餐： 经济套餐：收费公式为： 轻享套餐：收费公式为： 其中，代表租车的总费用（元），代表用户的行驶里程（公里）． 【理解模型】（1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“20”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义． 【应用模型】（2）小宇的家位于市区，到郊野公园的单程距离为18公里．他家计划周末使用共享汽车前往此公园游玩，并预计在公园附近和返回市区后还会产生约15公里的额外行驶里程．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱． 【决策分析】（3）如果你是“易出行”公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱．请通过计算给出明确的建议． 【答案】（1）经济套餐中，“”表示每公里费用元，“20”表示固定基础费用20元；轻享套餐中，“”表示每公里费用元；（2）经济套餐；（3）当行驶里程小于50公里时，选择轻享套餐更省钱；当行驶里程大于50公里时，选择经济套餐更省钱；当行驶里程等于50公里时，两者费用相同． 【分析】本题考查了一次函数的应用、不等式的应用． （1）根据公式形式，经济套餐包含固定费用和每公里费用，轻享套餐仅包含每公里费用； （2）计算总行驶里程，并分别计算两种套餐的费用，比较后得出经济套餐更省； （3）通过求解方程找到费用相等的临界点分三种情况计算，据此给出选择建议． 【详解】（1）解：经济套餐公式中，“”表示每公里费用为0.4元，“20”表示固定基础费用为20元； 轻享套餐公式中，“”表示每公里费用为元； （2）解：总行驶里程包括往返市区与郊野公园的里程以及额外里程， 单程距离18公里，往返里程为（公里）， 加上额外里程15公里，总里程（公里）， 经济套餐费用：（元）， 轻享套餐费用：（元）， ∵， ∴选择经济套餐更省钱； （3）解：当时，，解得，轻享套餐更省钱； 当时，，解得，经济套餐更省钱； 当时，，解得，两者费用相同； 答：当行驶里程小于50公里时，选择轻享套餐更省钱；当行驶里程大于50公里时，选择经济套餐更省钱；当行驶里程等于50公里时，两者费用相同． 8．疫情期间，某商店准备采购甲、乙两种消毒水进行售卖，每瓶的进价与利润如表： 已知采购甲种消毒水瓶和采购乙种消毒水瓶所需费用一样． 甲 乙 每瓶进价(元) 每瓶利润(元) (1)求的值； (2)若该商店准备拿出元全部用来进货，由于仓库存放限制，总数量不多于瓶，应如何进货能使消毒水全部售出后利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲瓶，乙瓶时利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）由（1）得：甲种消毒水的每瓶进价为30元，乙种消毒水的每瓶进价为50元，设甲种买了x瓶，则乙种买了瓶，根据题意，列出不等式，可得，然后设利润为y，可得到利润y关于x的函数关系式，再由一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验是方程的解，所以的值为； （2）设甲种买了瓶，则乙种买了瓶， 由题意可得：， 解得 ， 设利润为，可得 ，即， ， 随增大而增大． 当  有最大值为，即购进甲瓶，乙瓶． 答：购进甲瓶，乙瓶时利润最大，最大利润为元． 9．中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯，有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，已知进货4盒甲种月饼，3盒乙种月饼，花费145元，进货3盒甲种月饼，4盒乙种月饼，花费135元． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少? (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完，甲种月饼卖了后，发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒? 【答案】(1)甲种月饼的进货单价为25元/盒，乙种月饼的进货单价为15元/盒 (2)甲种月饼至少购进68盒 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立方程组或不等式求解． （1）设甲种月饼的进货单价为a元/盒，乙种月饼的进货单价为b元/盒，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒，列一元一次不等式求出，根据为整数，求出m的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种月饼的进货单价为a元/盒，乙种月饼的进货单价为b元/盒， 根据题意：， 解得， 答：甲种月饼的进货单价为25元/盒，乙种月饼的进货单价为15元/盒； （2）解：设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒， 由题意可得： ， 解得：， 为整数， ； 答：甲种月饼至少购进68盒． 10．在教科书中，我们将不等式（，）趣称为“糖水不等式”． 【模型推广】 “如果，那么（，）”，它可以看作两种浓度不同的溶液，取质量按进行混合，混合溶液的浓度高于低浓度的溶液，低于高浓度的溶液． （1）由，可判断_____（填写“”或“”），请证明不等式成立． 【应用模型】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为；（） 果汁：糖的浓度为． （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为_____． （3）饮料公司需要生产一批的混合果汁，果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1），见解析；（2），；（3）生产果汁的质量为，生产果汁的质量为时，能获得最大利润，最大利润为2720元． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据不等式的性质可得，则可证明，再证明，即可证明，即； （2）根据两种果汁的糖的浓度和果汁的糖的浓度计算公式求解即可； （3）设生产果汁的质量为，则生产果汁的质量为，根据混合果汁的糖的浓度不高于列出不等式求出x的取值范围，再根据果汁A每千克的利润小于果汁B每千克的利润可得答案． 【详解】解：（1）∵，且， ∴不等式两边同时乘以得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为； （3）设生产果汁的质量为，则生产果汁的质量为， 由题意得，， 解得， ∴x的最小值为160， ∵果汁和果汁的利润分别为5元/和12元/，且， ∴生产果汁A的质量越小，则获得的利润越大， ∴当时，能获得最大利润， 此时，最大利润为元， 答：生产果汁的质量为，生产果汁的质量为时，能获得最大利润，最大利润为2720元． 11．定义运算：，当时，；当时，；当时，或．例如：；．完成下列任务： (1) ； (2)，则x的取值范围是 ； (3)已知y关于x的函数的部分图象如图， ①补全图象； ② ， ； ③若，则x的取值范围是 ； ④若时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)x (3)①见解析②1，③或；④ 【分析】本题考查新定义下的运算，负整数指数幂，一次函数图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，比较，可得到结果； （2）仿照示例，可得到，解不等式，可得到结果； （3）根据题意，求出k，b，画出分段函数的图象即可，再结合图象，得到函数的最值，得到结果． 【详解】（1）解： ，， ∵， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴x， 故答案为：x； （3）解：①∵， 结合图象可知，的图象过点， ∴， 解得， ∴， ∴， 图象如下： ②由①可知， 故答案为：； ③当时，即， 当时， ，即， ∴结合函数图象知，当，则x的取值范围是或， 故答案为：或； ④∵若当，即时，对应的函数图象的左支，解析式为， ∴y的最大值为，y的最小值为， 若y的最大值与最小值的差为， 则， 方程无解； 若当时，对应的函数图象的右支，解析式为， ∴y的最大值为m，y的最小值为， ∴， 方程无解； 当时，y的最小值为， 结合函数图象，y的最大值为或m， ∴或， 解得， 综上所述，． 12．某地A，B两村盛产柑橘，A村有柑橘村有柑橘，现将这些柑橘全部运到C，D两个仓库，已知仓库可储存仓库放满后再考虑运往D仓库．运输费用如下表： 村庄 运费 C仓库 D仓库 A村 20元/ 25元/ B村 15元/ 18元/ 设从A村运往C仓库的柑橘质量为两村运往两仓库的柑橘运输总费用分别为元和元． (1)判断和是否为的函数．若是，分别写出函数表达式． (2)若B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 【答案】(1)是x的函数，；是x的函数， (2)当A村运往C仓库，运往D仓库；B村运往C仓库，运往D仓库时，两村运费之和最小，最小值为9580元 【分析】本题考查了函数，列一次函数解析式，解一元一次不等式，一次函数的性质，正确列出函数式是解题关键． （1）根据运输费用=每吨费用×总量，即可求出求出、与x之间的函数关系式； （2）根据B村的柑桔运费不得超过4830元，求得，再根据两村运费之和为，根据一次函数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：根据题意，得， 当给定x的值，、分别有唯一值与x对应，则是x的函数，是x的函数； （2）解：∵B村的柑橘运费不得超过4830元， ∴， 解得， 两村运费之和为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，最小，最小值为， ∴当A村运往C仓库，运往D仓库；B村运往C仓库，运往D仓库时，两村运费之和最小，最小值为9580元． 13．某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共个，已知A品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个；B品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个. (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠元（）出售，B品牌保温杯售价不变，此时总利润的最大值为元，求的值． 【答案】(1)购进品牌个，品牌个 (2)元 (3) 【分析】本题考查了利润=售价-进价的运用，总利润种保温杯的利润种保温杯的利润的运用，熟练掌握一元一次方程的应用及一次函数的应用是解题的关键． （1）设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，根据题意列出一元一次方程，计算即可求解； （2）设设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，由题意得，总利润，由，可得，即且为整数，当时，最大，代入即可求出最大值； （3）根据题意，列出优惠后的利润为 ，分两种情况讨论即可求出的值． 【详解】（1）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个， 由题意得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得， 则， 答：购进品牌个，品牌个． （2）解：设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元， 总利润 ， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴，且为整数， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，最大，最大值为元 ． （3）解：优惠后， ① 当时，随增大而增大，时最大， 即，解得； ② 当时，随减小而增大，时最大， ，不符合题意； 综上所述，． 14．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②由①得，则，再分和两种情况讨论，求出的最小值，再结合“当时，都成立”，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得，     ∴的表达式为； （2）解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； ②由①得，， ∴， ∴， 当时，则， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，a的取值范围为或． 15．阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【答案】(1)3， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值． （1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值； （2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值； （3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：3，． （2）解：， 当且仅当，即，解得， ∵， ∴时，的最小值为． （3）解： , 当时，． 当且仅当，，且， ∴，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $