19.3.2 菱形的性质与判定（题型专练，7基础题型+4提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

19.3.2 菱形的性质与判定 题型一 添加一个条件使四边形为菱形 1．要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：如图， 当，则为菱形，故A符合要求； 当，则不一定为菱形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则不一定为菱形，故D不符合要求； 故选：A． 2．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需要添加条件使得四边形是平行四边形即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 4．如图，直线l是四边形的对称轴，请再添加一个条件： ，使四边形成为菱形（不再标注其他字母） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查菱形的判定定理．根据菱形的判定定理添加条件即可求解．掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线l是四边形的对称轴， ∴，， ∴当添加或时，，则四边形成为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 利用菱形的性质求角度问题 1．如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，利用菱形的四条边相等及对边平行，再结合等腰三角形的性质来求解角度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得，推出，结合，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝ ° 【答案】25 【分析】根据菱形的性质得到，再根据垂直的定义即可得到∠BDE． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∵DE⊥AB ∴∠BDE＝90°-=25° 故答案为：25． 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每组内角． 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，，再由直角三角形的在得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 题型三 利用菱形的性质求线段的长度问题 1．如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线，根据菱形的性质得出，，再得出是等边三角形，，得出是的中位线，求出，进而利用勾股定理可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． 又∵E是的中点，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵四边形是菱形， ∴，是的中位线， ∴， ∴，． ∴​． 故选：C． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，由菱形的性质得出，结合已知条件以及直角三角形两锐角互余进一步得出，由含30度直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 在中， ． 故选：B 3．菱形的一个内角是，边长是cm，则这个菱形较短的对角线长是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据题意可得菱形角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，据此即可求解； 【详解】解：∵菱形的一个内角是， ∴其邻角为， 根据菱形的性质得，角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形， 故这个菱形较短的对角线长是cm． 故答案为：. 4．如图，在菱形中，过点作，垂足为E，与对角线交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，连接，可证明，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 题型四 求解与菱形的性质有关的面积问题 1．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 故选：B． 2．如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的面积．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半进行解答即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为 故答案为： 3．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD的面积之比是， 故选：A． 4．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)54 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∴菱形的面积为． 题型五 证明四边形是菱形 1．如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论. 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 2．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ,，， ， 平行四边形是菱形． 3．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 4．如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见详解 【分析】分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，则，所以四边形是菱形． 【详解】解：如图所示， ∵分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，即点是所求作的点． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、等腰三角形的判定，掌握菱形的判定条件“四条边都相等的四边形是菱形”是解题的关键． 题型六 利用菱形的性质进行其它证明 1．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．      （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）先判定△ABD与△BCD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“边边角”证明两三角形全等； （2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，全等三角形对应角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根据等边三角形的判定得解，利用旋转变换解答． 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2， ∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2， ∴△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴∠BDE＝∠C＝60°， ∵AE+CF＝2， ∴CF＝2﹣AE， 又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE， ∴DE＝CF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：△BEF是等边三角形．理由如下： 由（1）可知△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF， ∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°， ∴△BEF是等边三角形， 由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF． 故答案为（1）见解析；（2）△BEF是等边三角形．理由见解析． 2．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，     ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴，     ∴， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC＝AB＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝DF 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠EAG＝∠FCG， 在△AEG和△CFG中， ， ∴△AEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG， 在△DGE和△DGF中， ， ∴△DGE≌△DGF（SSS）， ∴∠DGE＝∠DGF． 4．如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接 ．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合菱形的性质，等边对等角，得，整理得，又因为，得，故，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型七 计算菱形的周长 1．菱形的边的长度为，则周长为（　　） A．6cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的四边相等，周长等于边长的4倍，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵菱形的边的长度为，且菱形的四边相等， ∴周长， 故选：C． 2．我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长等知识，推导出是解题的关键． 由菱形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴该菱形窗户的周长为， 故选：D． 3．已知在菱形中，，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 4．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【答案】． 【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 则菱形的周长为． 题型一 综合菱形的性质与判定求角度 1．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 2．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 3．如图在菱形中，边的垂直平分线与对角线相交于点E，，那么 度． 【答案】40 【分析】由菱形性质解得，进而证明，再由全等三角形对应角相等的性质，解得，结合线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】连接BE， 四边形ABCD是菱形， 在和中 在菱形中ABCD中， 边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E， 故答案为：40． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的性质，其中涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再由等边对等角及三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据菱形的对角线互相平分得出，，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接，如图所示： ∵四边形和四边形都是菱形，，， ∴，， ∴． 【点睛】题目主要考查菱形的性质及等边对等角，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 题型二 综合菱形的性质与判定求线段的长 1．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，可得，则可得． 【详解】解：由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，进行列式，可求解四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：8． 3．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 4．在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）由菱形的性质得到，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ． 在中，， 根据勾股定理，得， ． 题型三 综合菱形的性质与判定求面积 1．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，证明四边形是菱形，再根据为等腰直角三角形，可得，然后根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，    根据题意得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即重叠部分图形的面积是． 故选：C． 2．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了尺规作图作线段，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点，由作图过程可知四边形为菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 3．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、勾股定理以及含有的直角三角形，先证明是菱形，过点作的垂线，交于点，利用勾股定理求出的长度，最后代入菱形面积公式即可． 【详解】纸条对边平行 平行于，平行于 是平行四边形 两条纸条宽度都为 是菱形 过点作的垂线，交于点，即 解得：， 故答案为：． 4．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 题型四 菱形的性质与最小值问题 1．如图，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键． 【详解】解：过作于交于点，过作于点， ∵四边形是菱形， ∴且、互相平分，平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为线段的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 2．如图，菱形中，，，点E为的中点，点P为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．找出B点关于的对称点D，连接交于P，则就是最小值，求出即可． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，， ∴是等边三角形， 连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形，点E为的中点， ∵，(等腰三角形三线合一的性质)． 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，解答中涉及平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，两边之和大于第三边，垂线段最短，能够将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．先证明平行四边形是菱形，则点关于的对称点，连接，，过点作于点，可推出就是的最小值，再根据含角直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， 连接，，过点作于点， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则， ， 即就是的最小值， ， ， 在中， ，， ， 由勾股定理，得． 的最小值为． 故答案为：． 4．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 1．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 【答案】A 【分析】先证四边形EGFH是平行四边形，再证四边形EGFH是菱形即可，由，，可求，利用平角定义可求，于是，利用菱形性质求，从而求出． 【详解】解：E、G分别是AD、BD 的中点，F H分别是BC、AC的中点， ， ， 同理：， 四边形EGFH是平行四边形， AB=CD， GE=GF， 四边形EGFH是菱形 ∠ABD= 20°，∠BDC= 70°，， ，， ， ， ， FE平分 ，    故选:： A． 2．如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． ①连接构造全等三角形，得到，，进而可得，是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形的面积等于，则当时，可取得最小值，取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的，，进而求出． 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ， ， 可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ， 此时，，， ，④正确． 综上，正确的个数有个． 故选：． 3．如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定是解题的关键；过点B作于点E，连接，与交于点O，由折叠的性质可知：，垂直平分，即，由题意易得，则有，，然后可得四边形是菱形，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点B作于点E，连接，与交于点O，如图所示： 由折叠的性质可知：，垂直平分，即， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴； 故答案为． 4．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，，转动这个四边形，使它的形状改变．如图，当时，测得；则当时，四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质．先根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质、勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出即可求解． 【详解】解：由题意，当时， ∵， ∴四边形是正方形， 又∵，， ∴； 当时， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，则， ∴，则， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 5．在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)周长的最小值为 (3)或或 【分析】（1）先证明四边形是菱形得到，，再根据平行四边形的性质推导出，，则四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定可证得结论； （2）过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，则，由菱形的性质可求得，进而可得当F、B、M共线时取等号，的周长的最小值为；证明四边形、四边形是矩形，求得，，最后利用勾股定理求得即可求解； （3）先根据线段垂直平分线的判定与性质得到垂直平分，则，，设，则，，则，根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是菱形，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，如图， 则垂直平分， ∴， 由（1）知四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵的周长，当F、B、M共线时取等号， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， 在中，， ∴的周长的最小值为； （3）解：∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，设， ∴，，则， 根据题意，当是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段上且时，， ∴； 当点E在延长线上且时， ∴； 当时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则 ∴， 综上，满足条件的的值为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.3.2菱形的性质与判定（答案版） 基础达标题 题型一添加一个条件使四边形为菱形 1.A.2.AC⊥BD(答案不唯一)·3.AD=BC(答案不唯一)·4.BC=CD(答案不唯一)· 题型二利用菱形的性质求角度问题 1.D.2.B.3.25. 4.【详解】解：，四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°， ∴.∠ABO=∠CBO=40°，AC⊥BD: ∴.∠BAC=90°-40°=50°=∠ACB. '.BC=CE .∠CBE=∠CEB=1×180°-50=65°， ∴.∠OBE=∠CBE-∠CBO=65°-40°=25°. 题型三利用菱形的性质求线段的长度问题 1.C.2.B3.5. 4.【详解】解：如图所示，连接CF, :四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD,∠ADB=∠CDB, 又DF=DF, ∴·△ADF≌△CDF SAS, ∴CF=AF=4: :AE⊥BC, ∴∠CEF=90°， 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE=VCF2-EF2=4-(52=11 题型四求解与菱形的性质有关的面积问题 1.B.2.64cm23.A. 4.【详解】(1)证明：~点E为AB的中点，且EF=EO, ∴四边形AFBO是平行四边形， ,四边形ABCD是矩形， .'.OA=OB, ∴四边形AFBO是菱形： 2)解，菱形AFB0的面积为0F~AB-×12×9=54 题型五证明四边形是菱形 1.【详解】证明：在△ADE与△ABF中， ∠E=∠F AE=AF ∠EAD=∠FAB △ADE≌△ABF ASA, ∴AB=AD, 又，四边形ABCD是平行四边形， ,四边形ABCD是菱形 2.【详解】证明：，DE‖AC,CE‖DB, ∴.四边形DOCE是平行四边形， ,四边形ABCD是矩形， ·D0=BD,C0=AC,BD=AC, .'DO=CO, .平行四边形DOCE是菱形， 3.【详解】证明：.四边形ABCD是矩形 ∴.AD‖lBC,AB‖DC,AC=BD,∠ABC=90° ∴.AD EB,BF DC .'AE‖BD,CF BD ∴.四边形AEBD,四边形BFCD都是平行四边形 2/10 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AEBD,AE=BD,BD‖FC,BD=FC ∴.AE‖lFC,AE=FC .四边形AEFC是平行四边形 ,∠ABC=90° ∴.四边形AEFC是菱形. 4.【详解】解：如图所示， D 分别以B,D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C, .BC=BA,DC=DA, ∠B=∠D, AB=AD, ∴CB=CD=AD=AB, ∴四边形ABCD是菱形，即点C是所求作的点. 题型六利用菱形的性质进行其它证明 1.【详解】(1)证明：，菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2, ..AB=AD=BD=2,BC=CD=BD=2, ∴△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴.∠BDE=∠C=60°， .AE+CF=2, ∴.CF=2·AE, 又.'DE=AD·AE=2-AE, ∴DE=CF, 在△BDE和△BCF中， DE=CF {∠BDE=LC=60°， BD=BC ∴△BDE=△BCF(SAS): 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：△BEF是等边三角形.理由如下： 由(1)可知△BDE=△BCF, ∴BE=BF,∠DBE=∠CBF, ∴LEBF=∠DBE+LDBF=∠CBF+LDBF=∠DBC=6O°， △BEF是等边三角形， 由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF. 故答案为(1)见解析；(2)△BEF是等边三角形.理由见解析. 2.【详解】证明：四边形ABCD是菱形， .CB=CD, BE⊥CD于点E,DF⊥BC于点F, ∴.∠BEC=∠DFC=90°， ,∠C=∠C ∴△BEC≌△DFCAAS, ∴EC=FC, ∴.CD-EC=BC-FC, .BF=DE. 3.【详解】证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.DA=DC=AB=BC, .AE=CF, ∴.DE=DF 在△DAF和△DCE中， DF=DE ∠ADF=∠CDE, AD=CD .△DAF≌△DCE(SAS), ∴.∠EAG=∠FCG, 在△AEG和△CFG中， ∠EAG=LFCG ∠AGE=∠CGFb AE=CF .∴.△AEG≌△CFG(AAS), ∴.EG=FG, 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△DGE和△DGF中， DE=DF EG=FG DG=DG ∴.△DGE≌△DGF(SSS), ∴.∠DGE=∠DGF. 4.【详解】证明：，四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC, ∴∠CAD=∠ACD, 180°-∠CAD=180°-∠ACD,即∠EAD=∠FCD, DE=DE, ∴∠E=∠F, 在△AED和△CFD中， ∠EAD=∠FCD ∠E=∠F DE=DF ∴△AED≌△CFD AAS, ..AE=CF. 题型七计算菱形的周长 1.C.2.D.3.2 4..【详解】解：.四边形ABCD是菱形，BD=12cm,AC=6cm, 0A-AC=3cm.OB-BD-6cm.AC LBD. ..AB=OA2+OB2=3V5cm 则菱形ABCD的周长为4AB=12V5cm B 能力提升题 题型一综合菱形的性质与判定求角度 1.D.2.B.3.40. 4.【详解】(1)解：.四边形ABCD是菱形， .AB=AD, 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ABD=∠ADB, :∠BAD=100°， ∠ABD=∠ADB=180°，100°=40： (2)连接AC,如图所示： y B D E :四边形ABCD和四边形AECF都是菱形，∠BAD=100°，∠EAF=60°， ∠BAC=∠DAC=∠BAD=50,∠EAC=∠AC=∠EAF=30, ∴.∠BAE=∠BAC-∠EAC=20°. 题型二综合菱形的性质与判定求线段的长 1.C.2.8. 3.【详解】(1)证明：ABCD, ∴.∠CAB=∠DCA, .·AC平分∠BAD, ∴.∠CAB=∠DAC, ∴.∠DCA=∠DAC, ∴.CD=AD .AB=AD, ∴AB=CD, .AB‖CD, .四边形ABCD是平行四边形， .'AB=AD, .四边形ABCD是菱形： (2)解：，四边形ABCD是菱形， 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC⊥BD, OA=OC=1AC,OB=OD=1 BD=2. ∴.∠AOB=90°， 在Rt△A0B中，OA=AB2-0B=62-2=4R21 .CE⊥AB, ∴.∠AEC=90°， .OA=OC 0E=克AC=0A=492 4.【详解】(1)证明：，AD‖BC, .AD‖EF, .AE‖DF, ∴.四边形AEFD是平行四边形. .AE=AD, ∴.平行四边形AEFD是菱形： (2)解：.四边形AEFD是菱形， ∴.AF=2AG,AF⊥DE, ∴.∠AGD=90. 在Rt△AGD中，AD=5,DG=5, 根据勾股定理，得 AG=VAD2-DG2=295 ∴.AF=2AG=4V5 B 题型三综合菱形的性质与判定求面积 1.C.2.D.3.243 4.【详解】(1)解：四边形CEFG是菱形，理由如下： 由题意可知，△BCE2△BFE, '∠BEC=∠BEF,FE=CE, 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FGCE, ∴∠FGE=∠CEB, ∠FGE=∠FEG, :.FG=FE, ∴FG=EC, ∴四边形CEFG是平行四边形， 又CE=FE, ∴四边形CEFG是菱形： (2)解：，矩形ABCD中，AB=6,AD=10,BC=BF, ∴∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10, AF=102-6=8 ∴DF=2, 设EF=X,则CE=X,DE=6-X, :∠FDE=90°， 2+6-x2=x2 架ex=号 c-9 四边形CEFG的面积cCE-DF=10×2=20 3 题型四菱形的性质与最小值问题 1.24.2.233.3.4.7.8 拓展培优题 1.A.2.B.3.57.4. 3 2 2 5.【详解】(1)证明：：AD=AB,CD=CB,AB=CB, 四边形ABCD是菱形，则BC‖AD,BC=AD, 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形AEFD是平行四边形， ∴AD‖EF,AD=EF,DF=AE, EF=BC,EF‖BC, 四边形BCFE是平行四边形， :∠BEF=90°， 四边形BCFE是矩形； (2)解：过E作EN⊥AC交FD延长线于N,过B作BH⊥EN,交NE延长线于H,在NH延长线上截 取HM=HE,连接BM,如图， M图2 则BH垂直平分EM, ∴BE=BM, 由(1)知四边形ABCD是菱形，EF=AD, ACLBD.OA=OC=AC=2,OD=OB=BD=1. EF=AD=VOA2+0D2=V22+12=5 ·△BEF的周长(FB+BE+EF=FB+BM+V5≥FM+V5,当F、B、M共线时取等号， ∴△BEF的周长的最小值为FM+5, :∠NDO=∠DOE=∠OEN=90°，∠BOE=∠OEH=∠EHB=90°， ,∴四边形DOEN、四边形OBHE是矩形， .∠N=90°，DN=OE=BH,OD=NE=1,OB=HE=1, ..NM=NE+EH+HM=3,NF=DF+DN=AE+OE=OA=2, 在Rt△MNE中，FM=NF+NM-V2+32=13 ∴△BEF的周长的最小值为13+5： (3)解：，'AD=AB,CD=CB, ∴AC垂直平分BD, 9/10 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴OD=OB,AC⊥BD, :∠DAB=90°，BC=2AO,设OA=x, 0A=OB=OD-X'BC=CD=2X OC=BC-0B=3X 根据题意，当△BCE是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段AC上且CE=BC=2x时，DF=AE=OA+OC-CE=X+3x-2x=RV3-1)x, DF=3-1x_3-1 CE 2x 2 当点E在AC延长线上且CE=BC=2x时，DF=AE=OA+OC+CE=X+V3x+2x=3+3x .DF=3+3x-3+3 CE 2x 2 当BE=CE时，OE=OC-CE=3X-CE, 在Rt△OBE中，由勾股定理得OB+OE=BE2, x+R3x-CEP=CE 解得CE=25x,则DF=AE=0A+0C-CE=X+3x-23x=3+3X X日 3 3 3 3+3x D 3 3+3_3+1 CE 2V3 232 3+ 综上，满足条件 DP的值为3-1或3+1或3+3 C 2 、22 10/10 19.3.2 菱形的性质与判定 题型一 添加一个条件使四边形为菱形 1．要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 3．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件： ，使四边形为菱形． 4．如图，直线l是四边形的对称轴，请再添加一个条件： ，使四边形成为菱形（不再标注其他字母） 题型二 利用菱形的性质求角度问题 1．如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝ ° 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 题型三 利用菱形的性质求线段的长度问题 1．如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（    ） A．4 B． C． D．6 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．菱形的一个内角是，边长是cm，则这个菱形较短的对角线长是 cm． 4．如图，在菱形中，过点作，垂足为E，与对角线交于点，若，求的长． 题型四 求解与菱形的性质有关的面积问题 1．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为 ． 3．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ）    A． B． C． D．1 4．如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 题型五 证明四边形是菱形 1．如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 2．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 3．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 4．如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 题型六 利用菱形的性质进行其它证明 1．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．      （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 2．如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 3．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：． 4．如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接 ．求证：． 题型七 计算菱形的周长 1．菱形的边的长度为，则周长为（　　） A．6cm B． C． D． 2．我国传统建筑中常应用菱形窗户，其设计美观大气．如图，该菱形窗户边框的长为则该菱形窗户的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知在菱形中，，则菱形的周长为 ． 4．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 题型一 综合菱形的性质与判定求角度 1．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 3．如图在菱形中，边的垂直平分线与对角线相交于点E，，那么 度． 4．如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 题型二 综合菱形的性质与判定求线段的长 1．如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 3．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 题型三 综合菱形的性质与判定求面积 1．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 4．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 题型四 菱形的性质与最小值问题 1．如图，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值 ． 2．如图，菱形中，，，点E为的中点，点P为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为 ． 3．如图，在平行四边形中，，，平分，是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值是 ． 4．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 1．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 2．如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 4．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，，转动这个四边形，使它的形状改变．如图，当时，测得；则当时，四边形的面积为 ． 5．在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $