6.2 排列与组合 练习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2排列与组合练习题 一、单选题 1．将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 3．现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 4．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 5．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 6．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 7．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（    ）. A．3120种 B．3360种 C．5160种 D．5520种 8．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某课题组的3名女老师和6名男老师乘坐这三辆车去参加团建活动，每辆车随机安排3名老师乘坐，则（   ） A．车辆A不安排女老师的概率为 B．车辆A至少安排2名女老师的概率为 C．车辆B安排1名女老师的概率为 D．这三辆车均安排了女老师的概率为 10．由组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（    ） A．奇数有60个 B．能被5整除的有24个 C．1在万位而2不在个位的有18个 D．比12345大的有108个 11．某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B．若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法 C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法 D．若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法 三、填空题 12．现将2本相同的数学书、3本相同的物理书、1本化学书摆放成一排放在一个单层的书架上，则不同的放法有 种． 13．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 14．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有 种．（用数字作答） 四、解答题 15．（1）求的值； （2）解不等式. 16．7本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学. (1)若甲同学分得2本，乙同学分得2本，丙同学分得3本，共有多少种不同的分法； (2)若其中一人分得2本，另一个人分得2本，第三人分得3本，共有多少种不同的分法. 17．将四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 18．从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 19．有8名男生和5名女生，从中任选6人． (1)有多少种不同的选法？ (2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？ (3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？ (4)其中有2名女生，4名男生，分别负责6种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？ (5)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】确定三组书的数量，结合组合计数原理以及部分平均分组思想可求得结果. 【详解】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、， 所以，不同的分组方法种数为. 故选：B. 2．B 【分析】根据排列的定义，结合分步计数原理进行求解即可. 【详解】因为甲不去重庆动物园， 所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有， 故选：B 3．D 【分析】根据分步计数乘法原理即可求解判断A；把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书进行排列即可计算求解判断B；先全排再根据定序问题计算求解即可判断C；根据先分组后排序计算即可求解判断D. 【详解】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法， 根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确； 对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻， 可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有种放法，所以B不正确； 对于C，将五本书并排成一排，， 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有种， 所以C不正确； 对于D，将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 有种分组方法， 再将其分给三人，共有种分法，所以D正确. 故选：D 4．B 【分析】利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理可得结论. 【详解】由题意，“礼”排第二只有一种排法，若“数和书”排第三，第四时有两种排法， 乐、射、御全排列，有种次序，由分步乘法计数原理有种次序； 同理可得若“数和书”排第四，第五和排第五，第六时各有种次序； 所以由分类加法计数原理可得“六艺”讲座不同的次序共有种. 故选：B． 5．D 【分析】先从10张书签中选出4张，其中两张相同，另外两张各不相同，再分配给4位同学. 【详解】第一步，先从10张书签中选出4张，由题可知选到的4张书签中有两张汉字相同，其余两张各不相同， 共有种不同的选法； 第二步，将抽到的4张书签分给4位同学有种不同的分法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有：种. 故选：D. 6．D 【分析】 先将女生排好，再利用插空法，排列男生，并根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 7．C 【分析】本题是一个分类和分步原理的综合应用，横向相邻种，在这三种蔬菜的排列就是,排在上排与排在下排又是两种方案，可以选择的方案:分两种情况，当与在同一排时，又分两种情况，根据计数原理得到结果. 【详解】①当与同行，与也同行时，有种种植方案； 与不同行时，有种种植方案； ②当与不同行时，有种种植方案. 故不同的种植方案有（种）. 故选：C. 8．C 【分析】先对图中挂件进行编号，根据已知条件分析讨论各层挂件的涂色方法数，从而得出所有的涂色方法种数． 【详解】给挂件进行如图所示的编号， 中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件， 用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色， 1号有4种涂色方法，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： ①若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ②若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ③若5号与1号异色，与3号同色，5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，7号有2种涂色方法； 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ④若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； 综上，所有的涂色方法种数为，故C正确． 故选：C． 9．ACD 【分析】利用超几何分布或选取问题用组合数思想，结合古典概型来解题即可 【详解】由题意得车辆不安排女老师的概率为，A正确． 车辆至少安排2名女老师的概率为，B错误． 车辆B安排1名女老师的概率为，C正确． 这三辆车均安排了女老师的概率为，D正确． 故选：ACD. 10．BC 【分析】先选末位为奇数再排列可判断A；先选末位为，再排列可判断B；先排数字，再排列其他数字可判断C；利用间接法可判断D. 【详解】末位为奇数有种选择，再将其他数字进行排列，故奇数有个，故A错误； 能被5整除，则末位为，共个，故B正确； 数字的位置有种选择，则1在万位而2不在个位的有个，故C正确； 由组成没有重复数字的五位数共个，其中最小的五位数是， 故比12345大的有119个，故D错误. 故选：BC 11．ABD 【分析】利用捆绑法，消序法，插空法，间接法来求解带限制条件的排列问题即可. 【详解】对于A. 若要求3名男生相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故A正确； 对于B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有种不同的排法，故B正确； 对于C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故C错误； 对于D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有种不同的排法，故D正确； 故选：ABD. 12． 【分析】先将6本书全排列，随后去掉重复情况可得答案. 【详解】将6本书全排列有种情况，因2本数学书，3本物理书相同， 则每种情况重复了次， 则满足题意的放法有：. 故答案为：. 13．5160 【分析】根据分步乘法和分类加法的计数原理，结合是否与同行，以及是否同行，进行分类讨论，即可求解. 【详解】①当与同行，与也同行时，有种种植方案； 与不同行时，有种种植方案； ②当与不同行时，有种种植方案. 故不同的种植方案有（种）. 故答案为： 14．1080 【分析】由计数原理分析求解即可. 【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法． 因为，， 所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置， 再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置， 最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置， 故填好，，，，，，共有种方法． 因此，按照要求填好该方格共有种方法． 故答案为：1080. 15．（1）280；（2） 【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案； （2）根据排列数公式，解不等式，即得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 16．(1) (2) 【分析】（1）首先从本不同的书中选本给甲同学，再从剩下的本不同的书中选本给乙同学，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）先分组，再分配，部分平均分组需除以组（相等的组）的全排列； 【详解】（1）首先从本不同的书中选本给甲同学，有种； 再从剩下的本不同的书中选本给乙同学，有种； 最后把剩下的本不同的书分给并， 按照分步乘法计数原理可得一共有种不同的分法； （2）首先从本不同的书中选本作为一组，有种； 再从剩下的本不同的书中选本作为一组，有种； 剩下的本不同的书作为一组， 最后将三组书分配给三个同学，则有种不同的分法. 17．种 【分析】利用分类计数加法原理和排列数即可求解. 【详解】依题意必须4种颜色全用上，要分五类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，有种； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，有种； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，有种； （4）③与⑤同色、②与④同色，有种； （5）②与④同色、③与⑥同色，有种； 根据分类加法计数原理得不同的涂色方法共有种． 故答案为： 18．(1) (2) 【分析】利用分类分步计数原理，借助优先特殊位置和排列数公式即可求解. 【详解】（1）第一类：排末位且数字不同的五位数有种； 第二类：排末位且数字不同的五位数有种； 所以可以组成数字不同的五位数的偶数有：种； （2）第一类：首位是比2大的五位数有：种； 第二类：首位是2，千位是比4大的五位数有：种； 第三类：首位是2，千位是4，百位比4大的五位数有：种； 所以大于24500的数字不同的五位数有：种. 19．(1)1716 (2)560 (3)1568 (4)504000 (5)1688 【分析】（1）直接由组合数计算即可； （2）先选女生，再选出男生，再由分步乘法计数原理即可计算； （3）分“没有女生，1名女生，2名女生，3名女生”四类情况结合分类加法计数原理即可求解， （4）先选出需求的男女生人数，接着分配工作，再结合分步乘法计数原理即可求解； （5）用间接法，排除掉全是男生的情况即是符合题意的选法. 【详解】（1）由题可得适合题意的选法有种； （2）第1步，选出女生有种；第2步，选出男生有种， 由分步乘法计数原理知，适合题意的选法有种； （3）至多有3名女生包括：没有女生，1名女生，2名女生，3名女生四类情况． 第1类没有女生，有种选法；第2类1名女生，有种选法； 第3类2名女生，有种选法；第4类3名女生，有种选法． 由分类加法计数原理知，适合题意的选法共有种； （4）第1步，选出适合题意的6人，有种； 第2步，给这6人安排6种不同的工作，有种． 由分步乘法计数原理知，适合题意的分工方法共有种； （5）由题意知不可能6人全是女生，所以只需排除全是男生的情况， 所以有种选法． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $