精品解析：浙江湖州市2025-2026学年高三第一学期期末调研测试数学试题

湖州市2025学年第一学期期末调研测试卷 高三数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用集合并集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，，可得. 故选：B. 2. 复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行分母实数化，化简得到实部和虚部，再根据对应点的坐标符号判断其在复平面的象限. 【详解】对复数的分子分母同乘，得，继续化简得， 复数对应的点坐标为，该点位于第四象限. 故选：D 3. 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图像完全重叠，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图像变换，结合题意，得到，求得，解得，即可得到答案. 【详解】将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得， 将函数向左平移个单位长度后，可得， 要使得和的图像重合，即， 可得， 解得，即， 因为，当时，可得，即的最小值是. 故选：C. 4. 已知圆，直线，若圆上恰有四个点到直线的距离都等于1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“圆上恰有四个点到直线距离为”的条件，转化为 “圆心到直线的距离小于”，最后用点到直线距离公式列不等式求解的范围. 【详解】因为圆上恰有四个点到直线的距离为，说明圆心到直线的距离必须满足，而，故； 直线的一般式为：，依据点到直线的距离公式， 由得：，两边平方：或. 故选：A 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合立方和公式可得，结合二项式的展开式通项公式求结论. 【详解】因为. 的二项展开式的通项公式为. 而， 所以的系数为为. 故选：C. 6. 已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出组合体的轴截面，根据圆台的母线、高和两底面圆的半径差的关系，列出方程，求得，即，化简，结合基本不等式，求得的值，再由圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，画出组合体的轴截面，设圆台的上、下底面圆心分别为， 内切球的球心为，圆台的上、下底面圆的半径为， 可得圆台的母线长为，高为， 在直角中，可得，即， 整理得，即，且， 则圆台的上下底面面积分别为，所以， 因为代入得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以圆台的体积为. 故选：B. 7. 已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一点，是坐标原点，若是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，，三种情况，列式求解椭圆的离心率即可. 【详解】如图1： 若，因为是等腰直角三角形，所以，即， 所以，所以.故A有可能成立； 如图2： 若，因为是等腰直角三角形，所以. 将代入，所以，所以. 所以，即，所以，所以， 所以或（舍去），故B有可能成立； 如图3： 若，则点横坐标为，将代入，得， 由，所以，所以， 所以或（因为，故舍去）. 由，所以.故D有可能成立. 故选：C 8. 一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回地摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三次摸球视为三个独立的伯努利试验，分别计算每次有效摸球的概率，再利用期望的线性性质将各次概率相加，即可得到有效次数的期望. 【详解】每次有效摸球的概率： 第一次：，只有一种可能，概率为， 第二次：，只有两种可能，概率为， 第三次：，只有三种可能，概率为， 利用期望的线性性质： 设表示第次是否有效（为有效，为无效），则， 因为期望的线性性质对任意随机变量都成立，所以：， 而每个是伯努利变量，期望，代入得：. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的中位数为14 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是－4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数的定义判断A；由正态分布的对称性，求出，判断B；根据所给数据的个数，求得中位数，判断C；根据回归直线恒过样本中心点，求得实数的值，判断D. 【详解】若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，越接近1，或越接近-1. 当越接近1时，两个变量的线性正相关性越强，越接近-1时，这两个变量的线性负相关性越强.所以A正确. 若随机变量服从正态分布，则. 因为，则，所以B正确. 数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的中位数为，所以C错误. 若样本数据的中心点为，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知点是抛物线上的一动点，过点作圆的一条切线，为切点，直线交于，是坐标原点，则（ ） A. 以线段为直径的圆经过点 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. 切线长的最小值为 D. 的面积的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，设的方程为：，，，将直线方程与抛物线联立，由韦达定理得：,，表示，，计算，即可判断； 对于B，由，， 利用，计算即可； 对于C，利用切线长，计算即可； 对于D，由弦长公式得：，利用点到直线的距离公式得：，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】如图： 对于A，圆的方程为：，. 设的方程为：，，，即有， 联立，整理得：， 所以,. 是坐标原点， ，， ，， 以线段为直径的圆经过点，故A正确； 对于B，，，， 因为以线段为直径的圆的圆心为线段的中点， 圆心坐标，半径， 圆心到轴的距离为， 若以线段为直径的圆与轴相切，则， 两边平方得：，整理得：， ，，解得：，则， 当时，以线段为直径的圆与轴相切，此时与抛物线只有一个交点，不符合题意，故B错误； 对于C，，， 切线长， 而， 时，，故C错误； 对于D，由上可知，,， ， 是坐标原点，直线的方程为，即， 到直线的距离， ， 当时，的面积最小，最小值为，故D正确. 故选：AD 11. 已知三次函数，则（ ） A. 函数一定有两个极值点 B. 当时， C. 当时，的极小值为0 D. 在区间上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AD，利用特例法可判断其正误，对于B，利用作差法可判断其正误，对于C，判断导数的符号可判断其正误. 【详解】对于A，当时，，该函数在上为增函数，无极值点，故A 错误； 对于B，， 而，故，故，所以， 故B正确； 对于C，， 若，则，此时当或时，， 当时，，故在处取极小值； 若，则，此时当或时，， 当时，，故在处取极小值； 故C正确； 对于D，当，时， 则当或时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 取，则， 考虑方程在上是否有解， 设，则， ， 由零点存在定理可得在上存在零点，设该零点为，则, 则在上的值域为， 故D成立， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于三次函数中定义域与值域一致的问题，我们先利用导数判断函数的单调性，再结合函数在闭区间上端点处、在区间内的最值的关系来判断处理即可. 第II卷 （非选择题部分，共92分） 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 所以， 又 ， 所以，解得. 故答案为： 13. 若函数是奇函数，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数的定义建立的方程，并对分类讨论求解. 【详解】因为是奇函数，则， 所以， 即， 又因为是单调函数， 所以， 化简可得：， 则， 当时，有， 化简方程可得：， 由于该恒等式对定义域内所有成立，则， 解得，当时，， 定义域为，关于原点对称， 且， 满足奇函数定义，所以，. 当时，同理可化简方程得：，方程不能恒成立， 综上可知，. 故答案为：1. 14. 正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为，在容器中恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】当两球相外切，且同时相切于四棱柱的两个侧面时高最小，作出截面，数形结合可得解. 【详解】 设四棱柱为 由已知半径为的玻璃球与四棱柱的四个侧面均相切， 则当两球相外切，且同时相切于四棱柱的两个侧面时高最小， 假设半径为的球与侧面和均相切， 作出平面如图所示， 易知此时，，，， 且四边形为直角梯形， 则， 则四棱柱的高， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列和满足：，，且． （1）求和的通项公式； （2）（i）求数列的前项和； （ii）试比较与的大小． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用累加法求的通项公式，利用作商的方法求的通项公式； （2）（i）由于，利用裂项相加法求和； （ii）当时，，适当放缩可得证. 【小问1详解】 由， 得，，，，． 相加得， 解得． 又满足上式，因此有． 故，则，相除得， 又满足上式，因此有． 【小问2详解】 （i）由得， ， . （ii）因为，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 当时，．下面证明， ． 16. 如图（1），在直角梯形中，，，，是中点，过点作交于点，．将三角形沿直线折起（如图（2）），使得二面角的大小是． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，先证明平面，进而得到平面，利用线面垂直的性质即可证明； （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用向量法求解；方法二：求出点到平面的距离为，利用几何法求出答案. 【小问1详解】 取中点，连接，， 在图（1）中， 因为，，，所以四边形为菱形， 则有，，又，平面， 所以平面， 又平面 故平面平面. 因为四边形为菱形， 则，， ，且， 又，所以且，故四边形为平行四边形， 则，则，故， 即，结合平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 方法一：建立如图所示的空间直角坐标系： 由（1）可知，， 所以是二面角的平面角，则， 又由（1）可知点在平面内的射影为线段中点． 则，，，， 则，，， 设面的法向量， 则，令，则，， 则， 设直线与平面所成角为， 故， 即直线与平面所成角的正弦值. 方法二：由（1）知， 所以是二面角的平面角，则． 因为，则，所以， 在中，作于，则， 由（1）知平面，所以即点到平面的距离， 又因为，平面，平面， 所以平面， 所以即点到平面的距离， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 在中，是线段上一点，且，，设． （1）求线段的长度（用表示）； （2）若，求的值； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，求出，在中，利用余弦定理得，通过计算得到的值； （2）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值． （3）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值，利用基本不等式求出最大值.方法2：建立平面直角坐标系，由可知，点在以为直径的圆上，显然当直线与圆相切时，的最大值，此时可求出的值，利用同角关系式求出． 【小问1详解】 在中，． 在中，由余弦定理得 因此. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得， 即， 所以． 【小问3详解】 在中，由正弦定理得， 即， 即， 解得 当且仅当，即时，取到最大值. 方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系． 由可知，点在以为直径的圆上， 显然当直线与圆相切时，的最大值． 此时，故． 18. 已知双曲线的离心率为，左顶点为．过右焦点作直线与的右支交于，两点，连接，分别与直线交于，两点，过点且垂直于的直线交于点． （1）求的方程； （2）求证：点为线段的中点； （3）记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数，使得?若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在实数 【解析】 【分析】（1）根据离心率及顶点列方程组计算求解； （2）设直线再联立方程组得出韦达定理，应用中点坐标公式证明即可； （3）方法一：应用弦长公式计算结合面积关系计算求解；方法二：根据斜率关系得出，再结合为中点，计算面积求解. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以的方程为 ； 【小问2详解】 设直线的方程为，，． 联立，得， 则，， 直线的方程为， 令，得，所以． 同理， 则 ． 直线的方程为，令，得， 所以，因此点为线段的中点． 【小问3详解】 方法一： 由， ， 得． 又 ， 则 ， 故．因此存在实数，使得 . 方法二：因为，， 所以． 因此， 又为中点，所以， ， 由，同理，, ， 故．因此存在实数，使得. 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再计算与，最后用点斜式得切线方程. （2）由无单调递增区间得恒成立，转化为恒成立，求最小值得取值范围. （3）先确定单调性得，再根据，令，推出与关系，求最小值得的最小值. 【小问1详解】 当时，，故， 所以，又因为， 所以切线方程是． 【小问2详解】 由题意得， 若不存在单调增区间，则恒成立（*）， 即恒成立，令，， 所以，当时，当时， 所以在递减，在递增， 所以，所以， （经检验当时，（*）式成立）， 因此函数存在单调递增区间，可知； 可知所求实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，，令， 所以，即在上单调递减， 又因为，， 所以必存在正数，使得， 故， 由（2）知，当时，，当时，，当时，， 由上知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即， 令， 因为， 所以当时，单调递减，时，单调递增， 所以， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖州市2025学年第一学期期末调研测试卷 高三数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，或者向左平移个单位长度后，两者的图像完全重叠，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知圆，直线，若圆上恰有四个点到直线的距离都等于1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一点，是坐标原点，若是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回地摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的中位数为14 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是－4 10. 已知点是抛物线上的一动点，过点作圆的一条切线，为切点，直线交于，是坐标原点，则（ ） A. 以线段为直径的圆经过点 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. 切线长的最小值为 D. 的面积的最小值为16 11. 已知三次函数，则（ ） A. 函数一定有两个极值点 B. 当时， C. 当时，的极小值为0 D. 在区间上的值域为 第II卷 （非选择题部分，共92分） 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数__________． 13. 若函数是奇函数，则实数__________． 14. 正四棱柱容器（表面厚度和忽略不计）底面正方形边长为，在容器中恰好能放入半径分别为和的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列和满足：，，且． （1）求和的通项公式； （2）（i）求数列的前项和； （ii）试比较与的大小． 16. 如图（1），在直角梯形中，，，，是中点，过点作交于点，．将三角形沿直线折起（如图（2）），使得二面角的大小是． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，是线段上一点，且，，设． （1）求线段的长度（用表示）； （2）若，求的值； （3）求的最大值． 18. 已知双曲线的离心率为，左顶点为．过右焦点作直线与的右支交于，两点，连接，分别与直线交于，两点，过点且垂直于的直线交于点． （1）求的方程； （2）求证：点为线段的中点； （3）记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数，使得?若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $