第十一章 立体几何初步 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十一章　立体几何初步　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,是世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14 159,这就是圆周率较为精确的近似值,胡夫金字塔底部形为正方形,整个塔形状为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米.因年久风化,胡夫金字塔现高约为136.5米,则与建成时比较顶端约剥落了 (　　) 图1 A.8米　 　B.10米 　 　C.12米　 　 D.14米 2.一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形(如图1所示),∠ABC=45°,AB=AD=1, DC⊥BC,则这个平面图形的面积为 (　　) A.+ B.2+ C.+ D.+ 3.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器,是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空,形状对称,如图2(1)(2)所示,圆筒内径长2 cm,外径长3 cm,筒高4 cm,中部为棱长是3 cm的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则该玉琮的体积为 (　　) 图2 A.(27-)cm3 B.(24+)cm3 C.(36-)cm3 D.(18+)cm3 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成的角的大小是 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如图3,在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则异面直线EF与CD所成的角是 (　　) 图3 A.30° B.45° C.60° D.90° 6.如图4,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论中正确的是 (　　) 图4 A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 7.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,若AB=2,BC=3,PA=4,则该三棱锥的外接球的表面积为 (　　) A.13π B.20π C.25π D.29π 8.如图5所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,则二面角E-BD-C的大小为 (　　) 图5 A.30° B.60° C.90° D.120° 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设α,β是空间中的两个不同平面,a,b,c是空间中的三条不同直线,下列命题为假命题的是 (　　) A.若α∥β,b∥α,则b∥β B.若直线a与b相交,a∥α,b∥β,则α与β相交 C.若β⊥α,a∥α,则a⊥β D.若α⊥β,α∩β=a,b⊂α,b⊥a,c⊥β,则b∥c 10.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”,则 (　　) A.“羡除”有且仅有两个面为三角形 B.“羡除”一定不是台体 C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除” D.“羡除”至多有两个面为梯形 11.我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”,而与其所有棱都相切的球称为棱切球,设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1,则下列说法中正确的有 (　　) A.正方体的棱切球的半径为 B.正四面体的棱切球的表面积为 C.等长正六棱柱的棱切球的体积为 D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,CD的中点,则点B到截面AEC1F的距离为　　　　.  13.点P是矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,AB=3,AD=4,PA=5,则直线PC与平面ABCD所成的角为　　　　,二面角P-BD-A的正切值为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  14.如图6(1),矩形ABCD中,AD=,点E在AB边上,CE⊥DE且AE=1.如图6(2),△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE.记二面角C-DE-A1的平面角为θ,当0°<θ<180°时, ①存在某个位置,使CE⊥DA1; ②存在某个位置,使DE⊥A1C; ③任意两个位置,直线DE和直线A1C所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的是　　　.(填序号)  (1) (2) 图6 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图7,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,CD⊥PA,DB平分∠ADC,E为PC的中点,∠DAC=45°,AC=. (1)求证:PA∥平面BDE; (2)若PD=2,BD=2,求四棱锥E-ABCD的体积. 图7 16.(15分)如图8,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F在BB1上. (1)求证:C1D⊥平面AA1B1B. (2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论. ①F为BB1的中点;②AB1=;③AA1=. 图8 17.(15分)在如图9所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (1)求证:BD⊥平面AED; (2)求二面角F-BD-C的余弦值. 图9 18.(17分)如图10,平面ABCD⊥平面AEBF,四边形ABCD为矩形,△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAF=∠AEB=90°. (1)求证:平面ADE⊥平面BCE; (2)若点G为线段FC上任意一点,求证:BG∥平面ADE. 图10 19. (15分)如图11(1),已知正三角形ABC的边长为a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC的中点.现将△ADC沿CD翻折,使平面ADC⊥平面BCD,如图11(2)所示. 　　 (1) (2) 图11 (1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由. (2)若三棱锥E-DFC的体积为,求a的值. (3)在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由. 第十一章　立体几何初步　单元测试卷　参考答案  1.B　设胡夫金字塔刚建成时高为h米,则由题意可得=3.141 59,解得h≈146.42,所以146.42-136.5=9.92≈10,即与建成时比较顶端约剥落了10米. 2.B　如图D 1,将直观图ABCD还原后为直角梯形A'BCD',其中A'B=2AB=2,BC=1+,A'D'=AD=1.故这个平面图形的面积S=×(1+1+)×2=2+. 图D 1 3.A　由题图可知,组合体的体积V=π×4×[()2-12]+3×3×3-π×3×()2=(27-) cm3,故选A. 4.C　取BC的中点E,连接AE,DE,∵侧棱CC1⊥底面ABC,∴侧面BB1C1C⊥底面ABC.又E为BC的中点,且△ABC为正三角形,∴AE⊥BC, ∴AE⊥平面BB1C1C,∴∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设AB=a,则AE=a,DE=, ∴tan∠ADE==,∴∠ADE=60°. 5.A　取AD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别是AC,BD的中点,所以EG∥CD,EG=CD,FG∥AB,FG=AB,又CD=2AB=4,所以EG=2FG=2,∠FEG为EF与CD所成的角(或其补角).因为EF⊥AB,所以EF⊥FG,所以∠FEG=30°. 6.C　因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理,DE⊥AC,又DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ABC,AC⊂平面ADC, 所以平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥平面BDE. 7.D　方法一　如图D 2.因为AB⊥BC, AB=2,BC=3,所以AC=,△ABC外接圆的圆心为AC的中点O'.设外接球的球心为O,连接OO',则OO'⊥平面ABC.因为PA⊥平面ABC,所以OO'∥PA,PA⊥AC,则点O在平面PAC内,且为△PAC的外接圆圆心,所以O为PC的中点,所以球的直径为PC.所以(2R)2=AP2+AC2,即R2=,所以球的表面积为4πR2=29π. 　　 图D 2 图D 3 方法二　由题意,以AB,BC,PA为长、宽、高构建长方体,如图D 3,则长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R==, 所以S球=4πR2=29π. 8.B　∵E为SC的中点,且SB=BC,∴BE⊥SC. 又DE⊥SC,BE∩DE=E,∴SC⊥平面BDE,∴BD⊥SC. 由SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD, 又SC∩SA=S,∴BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE, ∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角. 设SA=AB=1,则SB=. 在△ABC中,∵AB⊥BC,BC=SB=,∴AC=, ∴在Rt△SAC中,∠DCS=30°, ∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°. 9.ABC　若α∥β,b∥α,则b∥β或b⊂β,因此A为假命题; 若直线a与b相交,a∥α,b∥β,则α与β可能相交,也可能平行,因此B为假命题; 若β⊥α,a∥α,则a∥β,或a⊂β,或a与β相交,因此C为假命题; 若α⊥β,α∩β=a,b⊂α,b⊥a,可得b⊥β,又c⊥β,则b∥c,因此D为真命题. 10.ABC　如图D 4所示,AE∥BF∥CD,四边形ACDE为梯形. 图D 4 对于A,由图可知,“羡除”有且仅有两个面为三角形,故A正确; 对于B,若“羡除”是台体,则AE,BF,CD延长后一定交于一点,这与AE∥BF∥CD相矛盾,所以“羡除”一定不是台体,故B正确; 对于C,假设四边形ABFE和四边形BCDF为平行四边形,则AE∥BF∥CD,且AE=BF=CD,则四边形ACDE为平行四边形,与已知的四边形ACDE为梯形矛盾,故不存在,故C正确; 对于D,若AE≠BF≠CD,则“羡除”有三个面为梯形,故D错误. 故选ABC. 11.BCD　正方体的棱切球的半径为正方体面对角线的一半,长度为,故A错误; 如图D 5,四面体ABCD为棱长为1的正四面体, 取AD中点E,BC中点F,连接BE,CE,EF,则EF为其棱切球的直径, BE=CE=,则EF==,则其棱切球的半径为,故棱切球的表面积为4π×()2=,故B正确; 图D 5 图D 6 如图D 6,为等长正六棱柱, 其棱切球的直径长等于AD,则半径为1,则其棱切球的体积为×13=,故C正确; 由棱切球的定义可知,棱切球被每一个面所截,截面为该面对应n(n=3,4)边形的内切圆,则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为π×()2=,每一个侧面正三角形(边长为1)的内切圆的半径为,则四个侧面三角形的内切圆的面积为4×π×()2=,则等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为+=,故D正确.故选BCD. 9. 　设点B到截面AEC1F的距离为d,∵三棱锥E-AFB的体积V=S△AEF×d=S△ABF×1, 由题易知,S△AEF=××AC1×EF=××=,S△ABF=,∴d=×1,∴d=. 13.45°　　连接AC,∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角.∵四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=AD=4,∴AC=5,可知△PAC为等腰直角三角形.∴∠PCA=45°. 过点A作AH⊥BD于点H,连接PH.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.又PA∩AH=A,∴BD⊥平面PHA,∴BD⊥PH,∴∠PHA为二面角P-BD-A的平面角.在△ABD中,AH==,在Rt△PAH中,tan∠PHA===. 14.①③　对于①,∵CE⊥DE,平面A1DE∩平面CDE=DE,∴当平面A1DE⊥平面CDE时,CE⊥平面A1DE,进而CE⊥DA1,∴当二面角C-DE-A1的平面角θ=90°时,CE⊥DA1,故①正确.对于②,由题意知AD⊥AE,∴A1D⊥A1E,∴∠DEA1一定是锐角.已知CE⊥DE,当存在某个位置,使DE⊥A1C时,可得DE⊥平面A1EC,则∠DEA1=90°,与∠DEA1一定是锐角矛盾,故不存在某个位置,使DE⊥A1C,故②错误.对于③,过A1作垂直于DE的平面α,交DE于点F,交平面DEBC于一条直线l,过C作CM⊥l于点M,则易知CM⊥平面α,且CM=,连接A1C,A1M,设直线DE和直线A1C所成的角为θ,则在Rt△A1MC中,cos θ=,又CM为定值,A1C随着A1的变化而变化,且在任意两个不同的位置,A1C的长度都不同,故任意两个位置,直线DE和直线A1C所成的角都不相等,故③正确. 15.(1)设AC∩BD=F,连接EF. ∵PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥CD. ∵CD⊥PA,PA∩PD=P, ∴CD⊥平面PAD.∵AD⊂平面PAD,∴CD⊥AD. ∵∠DAC=45°,∴DA=DC. ∵DB平分∠ADC,∴F为AC的中点. ∵E为PC的中点,∴EF为△CPA的中位线,∴EF∥PA. 又EF⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE. (2)由(1)知DB⊥AC,将底面四边形ABCD的面积记为S, 则S=S△ADC+S△ABC=××+××=2. ∵点E为线段PC的中点, ∴V四棱锥E-ABCD=S×PD=×2××2=. 16.(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,依题意有A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°, 又D是A1B1的中点,则C1D⊥A1B1, 又AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D, 又A1B1∩AA1=A1,A1B1⊂平面AA1B1B,AA1⊂平面AA1B1B, 所以C1D⊥平面AA1B1B. (2)(i)选①③能证明AB1⊥平面C1DF. 连接A1B,如图D 7,则DF∥A1B. 图D 7 在△ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,则AB=,又AA1=,于是得四边形AA1B1B为正方形, 则有A1B⊥AB1,从而有DF⊥AB1.因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1, 又DF∩C1D=D,C1D⊂平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥平面C1DF. (ii)选①②不能证明AB1⊥平面C1DF. 连接A1B,如图D 7, 则DF∥A1B,在△ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,则AB=,AA1==1, 于是得四边形AA1B1B为长方形,则有A1B与AB1不垂直,即有DF与AB1不垂直, 所以不能证明AB1⊥平面C1DF. (iii)选②③不能证明AB1⊥平面C1DF. 在△ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,则AB=,又AB1==2≠,矛盾, 所以不能证明AB1⊥平面C1DF. 综上,只有选①③能证得结论. 17.(1)因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, 所以∠ADC=∠BCD=120°. 又CB=CD,所以∠CDB=30°, 因此∠ADB=90°,即AD⊥BD. 又AE⊥BD,且AE∩AD=A,所以BD⊥平面AED. (2)取BD的中点G,连接CG,FG. 因为CB=CD,所以CG⊥BD. 又FC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以FC⊥BD. 又FC∩CG=C,所以BD⊥平面FCG,所以BD⊥FG, 所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角. 在等腰三角形BCD中,因为∠BCD=120°,所以CG=CB. 又CB=CF,所以GF==CG, 故cos∠FGC=. 因此二面角F-BD-C的余弦值为. 18.(1)因为ABCD为矩形,所以BC⊥AB. 因为平面ABCD⊥平面AEBF,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AEBF=AB,所以BC⊥平面AEBF. 又AE⊂平面AEBF,所以BC⊥AE, 因为∠AEB=90°,即AE⊥BE,且BC,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,所以AE⊥平面BCE, 又AE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCE. (2)因为BC∥AD,AD⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE. 因为△ABF和△ABE均为等腰直角三角形,且∠BAF=∠AEB=90°,所以∠EAB=∠ABF=45°,所以AE∥BF, 又AE⊂平面ADE,所以BF∥平面ADE, 因为BC∩BF=B,所以平面BCF∥平面ADE. 又BG⊂平面FBC,所以BG∥平面ADE. 19.(1)AB∥平面DEF,理由如下. 在△ABC中,因为E,F分别是AC,BC的中点,所以EF∥AB. 又AB ⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AB∥平面DEF. (2)由题意,知AD⊥CD,又平面ADC⊥平面BCD,平面ADC∩平面BCD=CD,所以AD⊥平面BCD. 如图D 8,取CD的中点M,连接EM,则EM∥AD,所以EM⊥平面BCD,且EM=. 图D 8 因为三棱锥E-DFC的体积为, 所以××=,解得a=2. (3)线段AC上存在一点P,使BP⊥DF.理由如下. 易知△BDF为正三角形,过B作BK⊥DF交DC于点K,连接KF,过K作PK∥DA交AC于点P,连接BP,则点P即所求,如图D 8所示. 因为AD⊥平面BCD,PK∥DA,所以PK⊥平面BCD, 所以PK⊥DF. 又BK⊥DF,PK∩BK=K,所以DF⊥平面PKB, 所以DF⊥PB. 又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,所以DK=KF=KC. 故==,从而=. 学科网（北京）股份有限公司 $