圆周运动的临界问题 导学案 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

圆周运动的临界问题 【知识梳理】 1．水平面内圆周运动的临界极值问题 水平面内圆周运动的临界问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题。 （1）与摩擦力有关的临界极值问题分析 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有f=，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰好不向内滑动的临界条件和一个恰好不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 （2）与弹力有关的临界极值问题分析 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 2．竖直平面内圆周运动的临界问题 物理情境 示意图 在最高点的临界特征 做圆周运动能过 最高点的条件 细绳拉着小球在竖直 平面内做圆周运动 小球在竖直放置的光滑 圆环内侧做圆周运动 小球固定在轻杆上，在 竖直平面内做圆周运动 小球在竖直放置的 光滑管中做圆周运动 3．解决圆周运动中临界问题的一般方法： （1）对物体进行受力分析； （2）找到其中可以变化的力以及它的临界值； （3）求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值； （4）用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值。 【典型例题】 例1：如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度？ 变式训练：如例1中的O点与物块用一细线连接，求当时细线的拉力T1和时细线的拉力T2。 例2：如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法中正确的是： A．a一定比b先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω=是b开始滑动的临界角速度 D．当ω=时，a所受摩擦力的大小为kmg 例3：绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m = 0.5 kg，绳子长度为l = 40 cm，g取10 m/s2。 （1）水在最高点不流出的最小速度？ （2）设水在最高点速度为v =4m/s，求水对桶底的压力？ 例4：如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球（可视为质点）。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是： A．小球通过最高点时速度可能小于 B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零 C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大 D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小 【课后作业】 （ ）1．一质量为2×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是 A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B． 汽车转弯的速度为20 m/s，所需的向心力为1.4×104 N C． 汽车转弯的速度为20 m/s，汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不能超过7 m/s2 （ ）2．如图所示，小木块a、b和c（可视为质点）放在水平圆盘上，a、b两个质量均为m，c的质量为。a与转轴OO'的距离为l，b、c与转轴OO'的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是 A．b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落 B．当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等 C．b和c均未滑落时线速度一定相等 D．b开始滑动时的转速是 （ ）3．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是 A．小球过最高点时速度为零 B．小球开始运动时绳对小球的拉力为 C．小球过最高点时绳对小球的拉力mg D．小球过最高点时速度大小为 （ ）4．一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法中正确的是 A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 （ ）5．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是 A．小球通过最高点时的最小速度vmin= B．小球通过最高点时的最小速度vmin=0 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 （ ）6．如图所示,轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，则球B在最高点时 A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg （ ）7．如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是 A．数据a与小球的质量有关 B．数据b与圆周轨道半径有关 C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径 8．汽车与路面的动摩擦因数为，公路某转弯处半径为R，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车最大速度应为多少？ 9．如图所示，质量为0.1kg的木桶内盛水0.4kg，用40cm的绳子系住桶，并使它在竖直平面内做圆周运动。（桶可视为质点，取g=10m/s2） （1）要使水不洒出，木桶在最高点的速度至少多大？ （2）如果通过最低点时速度大小10m/s，求最低点时桶底对水的支持力大小。 10．如图所示，水平转台高1.5 m，半径为0.2 m，可绕通过圆心处的竖直转轴转动，转台的同一半径上放有质量均为0.4 kg的小物块A、B（可看成质点），A与转轴间距离为0.1m，B位于转台边缘处，A、B间用长0.1 m的细线相连，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为0.54 N，取g=10 m/s2。 （1）当转台的角速度达到多大时细线上出现张力? （2）当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动? 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆周运动的临界问题 【知识梳理】 1．水平面内圆周运动的临界极值问题 水平面内圆周运动的临界问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题。 （1）与摩擦力有关的临界极值问题分析 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有f=，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰好不向内滑动的临界条件和一个恰好不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 （2）与弹力有关的临界极值问题分析 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 2．竖直平面内圆周运动的临界问题 物理情境 示意图 在最高点的临界特征 做圆周运动能过 最高点的条件 细绳拉着小球在竖直 平面内做圆周运动 小球在竖直放置的光滑 圆环内侧做圆周运动 小球固定在轻杆上，在 竖直平面内做圆周运动 小球在竖直放置的 光滑管中做圆周运动 3．解决圆周运动中临界问题的一般方法： （1）对物体进行受力分析； （2）找到其中可以变化的力以及它的临界值； （3）求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值； （4）用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值。 【典型例题】 例1：如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度？ 答案： 变式训练：如例1中的O点与物块用一细线连接，求当时细线的拉力T1和时细线的拉力T2。 答案：T1= 0，T2 = μmg 例2：如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法中正确的是： C A．a一定比b先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω=是b开始滑动的临界角速度 D．当ω=时，a所受摩擦力的大小为kmg 例3：绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m = 0.5 kg，绳子长度为l = 40 cm，g取10 m/s2。 （1）水在最高点不流出的最小速度？ （2）设水在最高点速度为v =4m/s，求水对桶底的压力？ 答案：（1）2m/s（2）15N 例4：如图所示，轻杆长为L，一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球（可视为质点）。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度。下列说法正确的是： A A．小球通过最高点时速度可能小于 B．小球通过最高点时所受轻杆的作用力不可能为零 C．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大 D．小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小 【课后作业】 （ ）1．一质量为2×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是D A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B． 汽车转弯的速度为20 m/s，所需的向心力为1.4×104 N C． 汽车转弯的速度为20 m/s，汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不能超过7 m/s2 （ ）2．如图所示，小木块a、b和c（可视为质点）放在水平圆盘上，a、b两个质量均为m，c的质量为。a与转轴OO'的距离为l，b、c与转轴OO'的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是B A．b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落 B．当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等 C．b和c均未滑落时线速度一定相等 D．b开始滑动时的转速是 （ ）3．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是D A．小球过最高点时速度为零 B．小球开始运动时绳对小球的拉力为 C．小球过最高点时绳对小球的拉力mg D．小球过最高点时速度大小为 （ ）4．一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法中正确的是A A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 （ ）5．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是BC A．小球通过最高点时的最小速度vmin= B．小球通过最高点时的最小速度vmin=0 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 （ ）6．如图所示,轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，则球B在最高点时C A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg （ ）7．如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是D A．数据a与小球的质量有关 B．数据b与圆周轨道半径有关 C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径 8．汽车与路面的动摩擦因数为，公路某转弯处半径为R，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车最大速度应为多少？ 答案： 9．如图所示，质量为0.1kg的木桶内盛水0.4kg，用40cm的绳子系住桶，并使它在竖直平面内做圆周运动。（桶可视为质点，取g=10m/s2） （1）要使水不洒出，木桶在最高点的速度至少多大？ （2）如果通过最低点时速度大小10m/s，求最低点时桶底对水的支持力大小。 答案：（1）2 m/s（2）104N 10．如图所示，水平转台高1.5 m，半径为0.2 m，可绕通过圆心处的竖直转轴转动，转台的同一半径上放有质量均为0.4 kg的小物块A、B（可看成质点），A与转轴间距离为0.1m，B位于转台边缘处，A、B间用长0.1 m的细线相连，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为0.54 N，取g=10 m/s2。 （1）当转台的角速度达到多大时细线上出现张力? （2）当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动? 答案：（1）rad/s（2）3rad/s 学科网（北京）股份有限公司 $