6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步学习指导讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步学习指导讲义 计数问题是数学中的重要研究对象之一，也是人们了解客观世界的一种最基本原则和一般策略.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习排列、组合的基础知识,这两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本计数规律，它们不仅是推导排列与组合中排列数、组合数计算公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，且课本中将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数原理的典型应用来设置.可见，其基本思想方法贯穿本章内容和解题的始末，因此它们是学好本章内容的关键知识点.另一方面，这两个计数原理也是同学们今后学习概率及进一步学习高等数学有关分支的预备知识.由此可见，无论在知识的结构上，还是对高中生在综合能力和核心素养的培养上，这两个计数原理都具有举足轻重的作用. 知识梳理与理解 1.关于两个计数原理的定义 (1)分类加法计数原理：去做一件事情，可以有类办法完成，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法,……,在第类办法中有种不同的方法.那么,完成这件事共有种不同的方法.分类加法计数原理也称加法原理. (2)分步乘法计数原理：去做一件事情，需要经过个步骤，且每个步骤缺一不可才能完成，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法.那么,完成这件事共有种不同的方法.分步乘法计数原理也称乘法原理. 2.对这两个计数原理的理解 (1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事；要注意“类”与“类”之间具有确定性、并列性、独立性的特点.  (2)分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步骤，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步或缺少一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事；要注意“步”与“步”之间具有相关性、依赖性、连续性的特点.  3.注意区分这两个计数原理的异同点 (1)相同点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数有多少的问题. (2)不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”完成,每类方案中的每一种方法都能单独并列完成这件事,是独立完成,满足类类相加原理,强调类类独立，不重复不遗漏.而分步乘法计数原理针对的是“分步”完成，每步依次完成才算完成这件事，每步中的每一种方法都不能独立完成这件事,是合作完成,满足步步相乘原理,强调步步相依,各步依次连续完整. 知识导学与应用 类型一、两个计数原理的区分应用 例1.(1)从广州到南昌，可以乘坐高铁，也可以搭乘飞机.如果一天中高铁有趟不同列车班次，飞机有个不同航班；那么一天中，乘坐这些交通工具从广州到南昌共有多少种不同方法?(2)某人准备外出旅游，计划从广州先到南昌再到北京，考虑到时间对接问题，从广州到南昌有种交通路线，从南昌到北京有种交通路线；该人按原计划从广州到北京旅游共有多少种不同的交通路线? 【解析】(1)分两类完成.第一类:若选择乘坐高铁有种不同方法；第二类:若选择搭乘飞机有种不同方法.由分类加法计数原理知，从广州到南昌共有种不同方法. (2)分两步完成.第一步:若从广州先到南昌有种不同路线选择；第二步:若从南昌再到北京有种不同路线选择.由分步乘法计数原理知，按原计划从广州到北京旅游共有种不同的交通路线. 【点评】先要审清楚题意，再区分做完该事情是与分类还是分步有关，然后确定分几类或几步来完成，每类或每步又有几种方法，最后分别用分类加法和分步乘法计数原理求出对应问题的答案. 例2.某单位职工参加义务献血活动，在体检合格的志愿者中，型血的有人，型血的有人，型血的有人，型血的有人.(1)若从体检合格的志愿者中任选一人去献血,有多少种不同选法?(2)若从体检合格的志愿者中,需四种血型各选一人去献血,有多少种不同选法? 【解析】(1)依题意分四类完成.第一类:从型血的人中选一人有种不同选法；第二类:从型血的人中选一人有种不同选法；第三类:从型血的人中选一人有种不同选法；第四类:从型血的人中选一人有种不同选法.由分类加法计数原理知，从体检合格的志愿者中选一人去献血,共有种不同选法. (2)依题意分四步完成.第一步:从型血的人中选一人有种不同选法；第二步:从型血的人中选一人有种不同选法；第三步:从型血的人中选一人有种不同选法；第四步:从型血的人中选一人有种不同选法.由分步乘法计数原理知，从合格者中四种血型各选一人去献血，共有种不同选法. 【点评】由于任选一人去献血，无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选一人去献血”的事情即可完成，故第(1)问用分类加法计数原理来解决.需从四种血型的人中各选一人去献血，即要在每种血型的人中依次选出一人后,这件“各选一人去献血”的事情才算完成，故第(2)问就要用分步乘法计数原理来解决. 类型二、两个计数原理的综合应用 例3.现有来自高二年级四个班的学生共人，其中(1)、(2)、(3)、(4)班的学生分别为人、人、人、人,他们自愿组成数学课外兴趣小组班.在开班仪式上要推选两人作中心发言,这两人须来自不同的班级，有多少种不同的选法? 【解析】总共分六类，每类又要分两步完成.第一类:从(1)、(2)班学生中各选一人，有种不同选法；第二类:从(1)、(3)班学生中各选一人，有种不同选法；第三类:从(1)、(4)班学生中各选一人，有种不同选法；第四类:从(2)、(3)班学生中各选一人，有种不同选法；第五类:从(2)、(4)班学生中各选一人，有种不同选法；第六类:从(3)、(4)班学生中各选一人，有种不同选法.由分类加法计数原理知，共有种不同的选法. 【点评】对于复杂的问题，在不能只用分类加法计数原理或只用分步乘法计数原理解决时，可考虑综合运用两个原理来求解；可采取先分类，在某一类中再分步，也可采取先分步，在某一步中再分类.本题是先根据两个班级的不同分类，再分步从该两个班级中各选一人. 例4.有一项师生互动的活动，现有名老师、名男学生和名女学生准备参加.若要选一名老师、一名学生参加活动，共有多少种不同选法? 【解析】法1.可分两类，每一类又分两步完成.第一类:选一名老师、一名男生，有 种选法；第二类:选一名老师、一名女生，有种选法.由分类加法计数原理得， 共有种选法. 法2.可分两步，一步选老师，另一步选学生，选学生分两类完成.第一步选老师，在名老师中选一人，有种选法.第二步选学生分两类：第一类选男生，在名男生中选一人，有种选法；第二类选女生，在名女生中选一人，有种选法；由分类加法计数原理得，选学生有种选法.最后，由分步乘法计数原理得，共有种选法. 【点评】在用两个计数原理解题时，无论是先分类，在分类中再分步完成，还是先分步，在分步中再分类完成，都要抓住两个原理解题的本质.分类时，应把问题分成互相排斥的几类，逐类解决，并将每一类的方法数相加而得；分步时，应把问题分化为几个互相关联的步骤，逐步解决，并将每一步的方法数相乘而得. 类型三、在函数对应关系问题中的应用 例5.已知是一个由集合到集合的函数.(1)求这样不同的函数有多少个?(2)求满足的不同函数有多少个? 【解析】(1)由函数的定义知，集合中四个元素的每一个都可选集合中的三个元素之一为函数值.由分步乘法计数原理得，共有个不同的函数. (2)由于定义域中的元素的函数值之和为,则加数可以有多种情况，按的分拆方案中含的个数分三类来完成.第一类：定义域中没有元素的函数值是,其和又为，必须中各元素的函数值均为,这样的函数只有个.第二类：定义域中有一个元素的函数值是,其余三个元素的函数值必为；这一类分三步完成，第一步选一个函数值是的有种方法，第二步选一个函数值是的有种方法，第三步剩下的两个函数值均是的有种方法，则这样的函数有个.第三类：定义域中有两个元素的函数值是,另两个元素的函数值必为；这一类分二步完成，第一步选两个函数值均是的有种方法，第二步剩下的两个函数值均是的有种方法,则这样的函数有个.由分类加法计数原理得，共有个不同的函数. 【点评】第(1)问可套用信投信箱模型:将封不同的信投入个不同的信箱，共有种不同方法,此结果也是用分步乘法计数原理得到的.第(2)问的关键是要结合函数概念并恰当确定分类标准，做到不重复不遗漏；特别在处理第三类的第一步时，由于在中选两个函数值均是的元素是没有先后顺序的，其选法有种，切记不要忽视除以. 类型四、在数字排列问题中的应用 例6.用这个数字,能组成多少个无重复数字的四位偶数? 【解析】法1.(直接法)依题意，分两类完成.第一类:千位取奇数数字中任意一个，个位取偶数数字中之一，而百位从剩下的五个数字中任取一个，十位再从剩下的四个数字中任取一个；由分步乘法计数原理得，这样的四位数有个.第二类:千位取偶数数字中任意一个，个位取含在内的剩下三个偶数数字中之一，而百位从剩下的五个数字中任取一个，十位再从剩下的四个数字中任取一个；由分步乘法计数原理得，这样的四位数有个.由加法原理得，共有个无重复数字的四位偶数. 法2.(间接法)先考虑分四步操作：第一步为个位上数字从四个偶数中任取一个；第二步为千位从剩下的六个数字中任取一个；第三步为百位仍从剩下的五个数字中任取一个；第四步为十位再从剩下的四个数字中任取一个；根据乘法原理得，这样的四位数有个.然后来考虑在上述求法中有不满足题意的四位数是千位上的数字为，个位是非的其它三个偶数数字之一，而百位从剩下的五个数字中任取一个，十位再从剩下的四个数字中任取一个；由乘法原理得，不满足题意的四位数有个.于是得满足题意的四位数共有个. 【点评】本题中含有特殊元素为“”和“奇数数字”，它们分别受限于特殊位置为“千位”和“个位”，在解题组数时要注意这些限制条件使用的局限性，应遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.在用直接法解题时，要先分类再分步，这样在计数时才能保证“不重不漏”；但当分类情况较多时，换用间接法思考可避免解题的繁杂性，通过先求出总数，然后减去不符合条件的方法数或是重复计算的数，这样就能轻松获取符合题意的解. 类型五、在染色问题中的应用 例7.用种不同的颜色为图中所给出的四个区域染色，每个区域染一种颜色，且要求相邻(有公共边)的区域不同色.求共有多少种不同的染色方法? 【解析】法1.可分三步完成染色事件.第一步染区域一，有种颜色可选.第二步染区域二，有种颜色可选.第三步同时染区域三和区域四，在区域一和区域二已确定染好的情况下可分两类完成:第一类是区域三的颜色与区域二相同，则区域四有种颜色可选；第二类是区域三的颜色与区域二不同，则区域三有种颜色可选，此时相对于区域三所选的每一种颜色而言，区域四均有种颜色可选；于是第三步有种染法.由分步乘法计数原理得，四个区域共有种不同的染色方法. 法2.可分三类完成染色事件.第一类是使用种颜色染，按区域一、二、三、四的顺序染，它们分别有种颜色可选，由乘法原理得，有种染法.第二类是使用种颜色染，则区域四与区域一同色，或区域三与区域二同色；当区域四与区域一同色时，按区域一、二、三的顺序染，它们分别有种颜色可选，由乘法原理知有种染法；同理区域三与区域二同色时也有种染法；则第二类有种染法.第三类是使用种颜色染，即区域四与区域一同色，同时区域三与区域二也同色，于是相当于只需染好区域一和区域二就行；按区域一、二的顺序染，它们分别有种颜色可选，由乘法原理知有种染法.由分类加法计数原理得，四个区域共有种不同的染色方法. 【点评】对于染色问题的一般解题思路是：1.为便于问题的分析，应先给各区域标上相应序号；2.按染色的顺序分步或按颜色选取情况进行合理的分类；3.要充分综合利用两个原理计数，在分步中要注意倒数第二块区域的染色会对最后一块区域的染色产生影响.本题中要认清区域四与区域一、区域三与区域二可同色也可不同色，若忽视这一点会导致解题出错. 【反思与提高】 1. 对两个原理综合运用的理解 (1)认真审题，弄清题目要做什么事情，怎样才能完成这件事情，完成该事情有哪些办法. (2)明确做这件事情是分成几类办法还是分成几个步骤来完成，或者是既要通过分类又要通过分步来解决,并且要确定分类或分步的标准是什么?做到处理问题不重复不遗漏. (3)对于较复杂的问题，按照完成这件事所必须的步骤来操作，该分类就分类，应分步就分步；或者是先分类，也或者是先分步，也可能是分类与分步同时交叉进行.总而言之，处理问题的目标应该明确，就是应该如何完成这件事，只要是完成这件事所必须的，就要一步步去完成. 2.解决基本计数原理问题所用的解题方法与技巧 (1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少且计数对象不规律的情况,有列表法和树状图等方法. (2)转换法：转换问题的角度或转换成其它已知问题等等. (3)间接法：若用直接方法比较复杂，甚至难以计数时，则可考虑利用正难则反的思维策略，采用间接法计算其反面的情形，再用总数减去不满足题意或重复的数量. (4)建模法：建立数学模型，将排列组合中的计数问题转化为数学求值问题来解决，是计数原理中的基本方法. 【针对训练题】 1.某高中学校学生会成员由高一年级人，高二年级人，高三年级人组成. (1)要选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法?(2)现从每年级选一人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法? 2.一个木架上放有个不同的白球，个不同的黑球，个不同的绿球.若从中取个不同色的球，共有多少种取法？ 3.已知集合，，.(1)从集合到集合可以建立多少个不同的映射?(2)从集合到集合可以建立多少个不同的一一映射?(3)从集合到集合的映射中，若要求集中的不同元素的象也不同,求这样的不同映射有多少个? 4.在一次运动会上有三项比赛的冠军在甲、乙、丙、丁四人中产生.(1)求不同的夺冠情况有多少种?(2)若每人至多获一项冠军，求共有多少种不同的夺冠情况? 5.用这六个数字，可组成多少个无重复数字且比大的四位偶数? 6.用种不同颜色给图中四个区域染色，规定一个区域只染一种颜色，相邻区域的颜色不能相同.求共有多少种不同的染色方案? 针对训练题答案及解析 1.解:(1)分三类完成.第一类:若从高一年级选一人,有种选法；第二类:若从高二年级选一人,有种选法；第三类:若从高三年级选一人,有种选法.由分类加法计数原理知，从三个年级选一人为学生会主席共有种选法. (2)分三步完成.第一步:从高一年级选一人,有种选法；第二步:从高二年级选一人,有种选法；第三步:从高三年级选一人,有种选法.由分步乘法计数原理知,从三个年级各选一人为校学生会常委成员共有种选法. 2.解：先分类、再分步，依题意共有种取法. 3.解:(1)由于集合中的每个元素，都可以与中的个元素之一对应，故从集到集可以建立个不同的映射.(2)由一一映射的定义及分步乘法计数原理知，从集到集可以建立个不同的一一映射.(3)依题意，满足条件的不同映射有个. 4.解：(1)因三项比赛的冠军均在甲、乙、丙、丁四人中选取,且每项冠军都有种选取方法.由乘法原理得,不同的夺冠情况有种.(2)依题意三项冠军按产生的先后顺序，得到夺冠的情况分别有种；故共有种不同的夺冠情况. 5.解:法1.用直接法分三类完成.第一类:用做个位且比大的四位偶数,可分三步完成；第一步为千位上数字从四个数中任取一个,第二步为百位上数字从剩下的四个数中取一个,第三步为十位上数字再从剩下的三个数中取一个；由乘法原理得，这样的四位数有个.第二类:用做个位且比大的四位偶数,也分三步完成；第一步为千位上数字从三个数中任取一个,第二步为百位上数字从剩下的四个数中取一个,第三步为十位上数字再从剩下的三个数中取一个；由乘法原理得，这样的四位数有个.第三类:用做个位且比大的四位偶数,其方法与第二类相似，且这样的四位数也有个.由加法原理得，共有个无重复数字且比大的四位偶数. 法2.用间接法.先求出组成无重复数字四位偶数的个数，分三类完成:第一类是用做个位，依题意顺次排千位、百位、十位上的数字分别有种、种、种方法，则这样的四位偶数有个；第二类是用做个位，依题意顺次排千位、百位、十位上的数字分别有种、种、种方法，则这样的四位偶数有个；第三类是用做个位，则这样的四位偶数与第二类一样也有个；于是共有个无重复数字的四位偶数.而上述求法中没有等于的四位数，但包含小于的四位数，它们的千位为，个位为三个偶数之一,百位为从剩下的四个数中取一个,十位为再从剩下的三个数中取一个；由乘法原理得，小于且无重复数字的四位偶数有个.从而可得符合题意的四位偶数共有个. 6.解:法1.依题意分四步完成，依次按的顺序染色，并注意三个区域彼此相邻，同时三个区域也彼此相邻；而与不相邻，则与的颜色可相同也可不同.因此，按四个区域的顺序染色，它们分别有种颜色可选；由乘法原理知，共有种不同的染色方案. 法2.依题意可分两类求解.第一类使用种颜色染，则四个区域的颜色彼此不同，有种染法.第二类使用种颜色染，显然此时区域与的颜色一样,有种染法.由加法原理知，共有种不同的染色方案. 学科网（北京）股份有限公司 $