精品解析：安徽县域高中联盟2025-2026学年高二上学期期末自测数学试题（B卷 ）

高二期末自测 数学（B卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章～第五章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. B. 3m/s C. D. 3. 已知等差数列中，，，则公差（    ） A. B. 1 C. D. 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“，两点到直线：的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知圆经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点，则圆的标准方程为（） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列是递增数列 C. D. 数列是等比数列 11. 已知点是棱长为的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若是中点，当在棱上运动时，存在点使得 C. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 D. 若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为函数的导函数，若，则___________． 13. 记等差数列的前项和分别为．若，则___________． 14. 已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 16. 已知圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若，求点到平面的距离． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 19. 已知数列满足且． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）令，记的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末自测 数学（B卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章～第五章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线， 则， 设直线的倾斜角为， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2. 某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. B. 3m/s C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得出的值，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 所以当时，该质点的瞬时速度为． 故选：C. 3. 已知等差数列中，，，则公差（    ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列的通项公式求公差即可. 【详解】等差数列中，，， 由等差数列的通项公式，可得，解得， 故选：C 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 5. “”是“，两点到直线：的距离相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，两点到直线：的距离相等， 则， 即， 解得或， 所以“”是“，两点到直线：的距离相等”的充分不必要条件， 故选：A 6. 已知圆经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点，则圆的标准方程为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆与直线相切于原点得到圆心在直线上，并依据与切线垂直得到圆心坐标参数关系；再代入圆经过抛物线焦点的条件求出圆心具体坐标，进而得到半径与圆的标准方程. 【详解】由抛物线得焦点， 又圆经过并与直线相切于原点， 设圆心，半径，圆过且在此点与直线相切，说明直线， 直线的斜率，则的斜率， 垂直条件：，， 且在圆上，所以，即， 经过：则， 代入和得： 展开得：，即， 即 故，， 由圆心为，半径，圆的方程为 故选：C 7. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 故选：D 8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 10. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列是递增数列 C. D. 数列是等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】令结合等比数列定义即可分析求解判断AB；由等比数列前n项和公式即可求解判断C；求出数列通项公式即可由等比数列定义分析判断D. 【详解】因为， 所以即， 所以数列是以3为首项和公比的等比数列，且数列是递增数列，故AB正确； 数列的前项和为，则， 所以由得，故C错误； 因为，所以常数， 所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB 11. 已知点是棱长为的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 若是中点，当在棱上运动时，存在点使得 C. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 D. 若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算以及坐标法可判断各选项. 【详解】A选项：由已知若，则在线段靠近的三等分点处，此时点不在正方体表面，A选项错误； 如图所示建立空间直角坐标系， B选项：由已知，又点在棱上，则可设，， 则由，得，解得，B选项正确； C选项：由已知，设，， 则，即， 则， 所以与所成角的余弦值为， 当时，， 当时，设，则， 综上所述，即，C选项正确； D选项：由已知，设，且， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 若平面，则，即， 即点在直线上， 又直线与正方形有公共点，所即存在点可使得平面，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为函数的导函数，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出导函数即可计算求解. 【详解】由题可得，所以. 故答案为： 13. 记等差数列的前项和分别为．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式、下标和性质结合题意直接计算即可得解. 【详解】因为数列为等差数列且， 所以. 故答案为： 14. 已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，计算，结合二次函数性质和题意即可分析求解. 【详解】由题可知，设，则， 所以， 因为函数的图象对称轴为，图象开口向上， 又由题意知当即时有，且， 所以，即，故满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导即可代入求解. （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 由，得， 所以曲线在处的切线方程为，即 16. 已知圆经过三点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）圆的标准方程. （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）由圆所过的点结合待定系数法计算求解即可； （2）由圆心到直线距离和弦长公式列等量关系求出直线斜率即可得解. 【小问1详解】 设圆M的方程为， 则由题有， 所以圆的方程为， 则圆的标准方程. 【小问2详解】 由题可知点在圆内，圆的圆心为、半径， 当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到该直线的距离为3， 此时弦长，不合题意， 所以直线的斜率存在，设直线，即， 又，所以圆心到直线距离或. 所以直线的方程为或. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点， （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再由平面夹角的向量法公式直接计算即可求解； （2）由点到平面的向量法距离公式计算即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，则， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，连接，因为平面，所以， 又，所以，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，即，取，则， 同理可得平面的一个法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为； 【小问2详解】 若，则， 又由（1）平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】（1）的方程为； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列关于的不等式组求出即可求解； （2）由点差法求出直线斜率即可由点斜式求解； （3）联立直线方程与双曲线方程求出韦达定理，由韦达定理结合弦长公式求出弦长，再由点到直线距离和面积求出参数k即可由数量积坐标运算分析计算求解. 【小问1详解】 由题可得，所以的方程为； 【小问2详解】 设，则， 所以， 所以直线的方程为即； 【小问3详解】 由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． 19. 已知数列满足且． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）令，记的前项和为，证明：． 【答案】（1） 因为且， 所以，即 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）； （3） ， 所以的前项和为 . 【解析】 【分析】（1）由题设得到即可由等比数列定义得证并求出通项公式； （2）由错位相减法结合等差等比前n项和公式计算即可； （3）由计算，从第三项起进行放缩结合等比数列前n项和公式计算即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）， 所以数列的前项和 ； 所以， 所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $