专题06二元一次方程组题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题06二元一次方程组题型突破讲义 基础 过关题 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定 4.二元一次方程组解的判定 5.代入消元法 6.加减消元法 7.三元一次方程组的定义及解 能力 提升题 8.由二元一次方程组的解求参数 9.二元一次方程组的特殊解法 10.错解复原问题 11.构造二元一次方程组求解 12.三元一次方程组的应用 拓展 拔高题 13.由二元一次方程组解的情况求参数 14.方程相同解问题 二元一次方程（重点总结） 一、核心概念 1.二元一次方程定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1的整式方程。 2.判断标准（缺一不可） (1)只含两个未知数（x、y 等） (2)未知数的次数都是1 (3)是整式方程（分母不含未知数） 3.一般形式ax+by=c(a0, b0) 二、解的概念 1.二元一次方程的解 使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作： 2.重要性质： (1)一个二元一次方程有无数个解 (2)每一组解都是成对出现的 二元一次方程组（重点总结） 一、核心概念 1.二元一次方程组 把两个含有相同两个未知数的二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。 2.方程组满足： (1)总共两个未知数 (2)每个方程都是一次、整式 (3)两个方程共用同一组未知数 二、方程组的解 1.二元一次方程组的解:同时满足两个方程的一对未知数的值。 2.关键理解： 方程组的解是两个方程的公共解 检验方法：把 x,y 代入两个方程都成立才是解 解二元一次方程组（重点总结） 一、核心思想 消元：把 “二元” 转化为 “一元”，先求一个未知数，再求另一个。 二、两种最基本、必考解法 (1)代入消元法（重点步骤） 1.变形：把其中一个方程变形成 y=ax+b 或 x=my+n 2.代入：将这个式子代入另一个方程 3.求解：得到一元一次方程，求出一个未知数 4.回代：把结果代入变形式，求另一个未知数 5.写出解：写成方程组形式 适用场景：某未知数系数为 ±1 时最简单。 (2)加减消元法（重点步骤） 1.整理：把两个方程写成标准形式 ax+by=c 2.扩倍：使同一个未知数的系数相等或互为相反数 3.加减： 系数相反 → 相加消元 系数相同 → 相减消元 4.求解一元，再回代求另一个 5.写出解并检验 适用场景：系数成整数倍、或容易统一时。 三、通用解题规范（必得分点） 1.解必须写成 大括号联立形式 2.计算后必须检验（至少口头 / 草稿检验） 3.步骤清晰：变形→代入 / 加减→求解→回代→写解 【题型1.二元一次方程的定义】 1．已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 2．已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知方程是二元一次方程，则 ． 4．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【题型2.二元一次方程的解】 5．若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 6．下列各组数值中，哪组是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 7．若二元一次方程的解为非负整数，则满足条件的解共有 组． 8．二元一次方程的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3.二元一次方程组的判定】 9．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 10．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【题型4.二元一次方程组解的判定】 12．方程组的解的情况是 ． 13．以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 14．现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 15．若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ） A．x+2y= -3 B． C． D． 【题型5.代入消元法】 16．二元一次方程组的解是 ． 17．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 18．设，当时，；当时，．当时，求的值是 . 19．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 解答题 20．解方程组： (1) (2) 【题型6.加减消元法】 21．从方程组中消去，得，的关系式为 ． 22．方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 23．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 24．已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 解答题 25．解方程（组）： (1) (2) 【题型7.三元一次方程组的定义及解】 26．请写出三元一次方程的一组解： ． 27．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 28．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 29．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 【题型8.由二元一次方程组的解求参数】 30．若是关于的二元一次方程的解，则的值为 ． 31．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 32．已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 33．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 解答题 34．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【题型9.二元一次方程组的特殊解法】 35．已知则 (用只含x 的代数式表示)． 36．若方程组的解为，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 38．若x，y满足方程组，则的值为（   ） A．17 B．9 C．21 D．34 【题型10.错解复原问题】 39．甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则= ，= ，c= ． 40．李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 41．李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为 ． 【题型11.构造二元一次方程组求解】 42．方程的一组解中，满足，这一组解是 ． 43．若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 44．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ． 45．对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 解答题 46．对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【题型12.三元一次方程组的应用】 47．夏季来临，某饮品公司推出A、B、C三种新饮品试销，4月份A、B、C三种饮品的销量之比为5：4：1．在5月份，公司对A打折促销，将A价格调整为原来的，B的价格不变，并停止销售C饮品，结果原来C销量的转移购买了A，其余转移购买了B．5月的总销量在4月的基础上增加了，其中B饮品的销量除去从C转移过的部分增长了，5月A的销售额占5月总销售额的，5月的销售总额是4月的倍，则4月C的销售额与4、5两月的销售总额的比为 ． 48．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 49．小华到学校超市买11支铅笔、5本作业本、2支笔芯，共用12.5元；小刚在这家超市买10支铅笔、4本作业本、1支笔芯，共用10元．购买1支铅笔、1本作业本、1支笔芯共需 元． 解答题 50．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【题型13.由二元一次方程组解的情况求参数】 51．已知是二元一次方程组的解，任意写出一个符合条件的二元一次方程组： ． 52．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 53．已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值 ． 54．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【题型14.方程组相同解问题】 55．关于x、y的方程组与有相同的解，则 56．已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．2007 57．与有相同的解，则 ， ． 解答题 58．方程组与方程组的解相同，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二元一次方程组题型突破讲义 基础 过关题 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定 4.二元一次方程组解的判定 5.代入消元法 6.加减消元法 7.三元一次方程组的定义及解 能力 提升题 8.由二元一次方程组的解求参数 9.二元一次方程组的特殊解法 10.错解复原问题 11.构造二元一次方程组求解 12.三元一次方程组的应用 拓展 拔高题 13.由二元一次方程组解的情况求参数 14.方程相同解问题 二元一次方程（重点总结） 一、核心概念 1.二元一次方程定义 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1的整式方程。 2.判断标准（缺一不可） (1)只含两个未知数（x、y 等） (2)未知数的次数都是1 (3)是整式方程（分母不含未知数） 3.一般形式ax+by=c(a0, b0) 二、解的概念 1.二元一次方程的解 使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作： 2.重要性质： (1)一个二元一次方程有无数个解 (2)每一组解都是成对出现的 二元一次方程组（重点总结） 一、核心概念 1.二元一次方程组 把两个含有相同两个未知数的二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。 2.方程组满足： (1)总共两个未知数 (2)每个方程都是一次、整式 (3)两个方程共用同一组未知数 二、方程组的解 1.二元一次方程组的解:同时满足两个方程的一对未知数的值。 2.关键理解： 方程组的解是两个方程的公共解 检验方法：把 x,y 代入两个方程都成立才是解 解二元一次方程组（重点总结） 一、核心思想 消元：把 “二元” 转化为 “一元”，先求一个未知数，再求另一个。 二、两种最基本、必考解法 (1)代入消元法（重点步骤） 1.变形：把其中一个方程变形成 y=ax+b 或 x=my+n 2.代入：将这个式子代入另一个方程 3.求解：得到一元一次方程，求出一个未知数 4.回代：把结果代入变形式，求另一个未知数 5.写出解：写成方程组形式 适用场景：某未知数系数为 ±1 时最简单。 (2)加减消元法（重点步骤） 1.整理：把两个方程写成标准形式 ax+by=c 2.扩倍：使同一个未知数的系数相等或互为相反数 3.加减： 系数相反 → 相加消元 系数相同 → 相减消元 4.求解一元，再回代求另一个 5.写出解并检验 适用场景：系数成整数倍、或容易统一时。 三、通用解题规范（必得分点） 1.解必须写成 大括号联立形式 2.计算后必须检验（至少口头 / 草稿检验） 3.步骤清晰：变形→代入 / 加减→求解→回代→写解 【题型1.二元一次方程的定义】 1．已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1，且 的系数不能为零的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于 和 的二元一次方程， ∴ ，， ∴a=−2， 故答案为：． 2．已知方程是二元一次方程，则“”可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，方程是二元一次方程，需满足两个条件：有两个未知数，且每个未知项的次数均为． 【详解】解：∵ 方程 是二元一次方程， 方程必须含有两个不同的未知数，且每个未知项的次数为 A选项：若为 ，则方程为 ，即 ，只含一个未知数，是一元一次方程，故A选项不符合题意； B选项：若为 ，则方程为 ，含两个未知数 和 ，且未知项的次数均为，是二元一次方程，故B选项符合题意； C选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是二元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．已知方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数均为1，且y的系数不为0作答即可． 【详解】解；由二元一次方程的定义，得且， 解得：或且， 即． 故答案为：2． 4．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 【题型2.二元一次方程的解】 5．若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握“将方程的解代入方程可构造关于未知参数的方程”是解题的关键． 将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故答案为：1． 6．下列各组数值中，哪组是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将每个选项中的x和y值代入方程，验证是否等于． 【详解】解：A、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意； B、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意； C、把代入方程得，是方程的解，符合题意； D、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意． 故选：C． 7．若二元一次方程的解为非负整数，则满足条件的解共有 组． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，解题关键是通过变形用一个未知数表示另一个未知数，再结合非负整数的限制条件逐一验证取值． 将方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据非负整数的条件确定未知数的可能取值． 【详解】解：由方程 ，解得 ． ∵，为非负整数， ∴必须是的倍数且，． 当时，，符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，非整数，不符合； 当时，，符合； 当时，，为负数，不符合． ∴满足条件的解有组． 故答案为：． 8．二元一次方程的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的整数解的含义，理解题意是解本题的关键； 把方程化为，再结合均为非负整数，从而可得答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵均为非负整数， 是2的倍数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，，（舍去） ∴方程的非负整数解为：或或共3对； 故选：C． 【题型3.二元一次方程组的判定】 9．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 10．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 11．已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 【题型4.二元一次方程组解的判定】 12．方程组的解的情况是 ． 【答案】 无解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 通过比较两个方程即可得到结论． 【详解】解：对于方程组 ， 观察两个方程，左边均为 ，但右边分别为 和 ， 由于 ，因此方程组矛盾，无解． 故答案为：无解． 13．以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键； 根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可． 【详解】解：当时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 14．现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 15．若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ） A．x+2y= -3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：、当，时，x+2y=-9≠-3, 故不是方程x+2y= -3的解，不符合题意； B、当，时，2x-y=2+2≠-3, 故不是方程的解，不符合题意； C、当，时，， 故不是方程的解，不符合题意； D、当和时，方程都成立， 故和是方程的解，故符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右两边相等的一组未知数的值即为该方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 【题型5.代入消元法】 16．二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可得到答案． 【详解】解： 把①代入②得，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 17．已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程，将方程进行正确的变形是解答本题的关键． 将方程通过移项和除法变形为用表示的形式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 18．设，当时，；当时，．当时，求的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把x与y的两对值代入等式列出方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值．再代入求y的值． 【详解】解：把时，；当时，代入等式得： ， 解得：，． 即， 当时，． 故答案为：． 19．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 解答题 20．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）利用代入法解二元一次方程组即可． （2）利用消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为：． （2）解： 由①②得：， 即， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为：． 【题型6.加减消元法】 21．从方程组中消去，得，的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查加减消元，解题的关键是熟练掌握加减消元法． 两个方程相减消去，即可得，的关系式． 【详解】解：， ，得：， 故答案为：． 22．方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．根据加减消元法进行求解即可． 【详解】解：A、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； B、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； C、①②，得 ， 变形后能消去未知数，故符合题意． D、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； 故选：C． 23．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 24．已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．由①②得，故，进而推断出，再求解即可． 【详解】解：． ①②，得． ． 又关于，的二元一次方程组的解满足， ． ． 故选：B． 解答题 25．解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法，掌握加减消元法的应用是解题关键． （1）先给方程两边同乘公分母去分母，再去括号，然后合并同类项，最后求出的值； （2）先对两边同乘公分母去分母、展开化简，得到二元一次方程组，再通过加减消元法消去一个未知数，求出，再将代入方程组求出，得到方程组的解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：原方程组可化为， 化简得， 可得，解得， 将代入中，解得， 故方程组的解为． 【题型7.三元一次方程组的定义及解】 26．请写出三元一次方程的一组解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键．写出合适的答案即可． 【详解】解：当时，那么符合题意； 故答案为：． 27．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 故选：． 28．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 29．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 【答案】A 【分析】本题主要考查代数方程的建立和求解，以及逻辑推理能力．通过设立方程组求解各卡片上的数值，再比较各数大小即可确定正确选项． 【详解】解：设五张卡片上的数分别， 根据题意列出方程：， 由方程①得，代入方程⑤得， 由方程②得，代入方程③得， 将和代入方程④：，解得：， 则， 比较各数大小：为最小值，故选项A正确． 其他选项中，非最小，，，均不成立． 故选：A． 【题型8.由二元一次方程组的解求参数】 30．若是关于的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】把与的值代入已知方程计算即可求出的值．本题考查已知二元一次方程的解求参数的值，理解方程的解的意义是解题的关键． 【详解】是关于的二元一次方程的解， ， 解得：， 故答案为：1． 31．小明求得方程组，的解为由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数“■”和“★”遮住了，则“■”和“★”表示的数分别为（    ） A．8，3 B．8，5 C．5，3 D．3，8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程求出y，再代入求■． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 故选：A． 32．已知是二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，得到关于的方程组，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 即：，解得：， ∴； 故答案为：． 33．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 解答题 34．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 【题型9.二元一次方程组的特殊解法】 35．已知则 (用只含x 的代数式表示)． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组，将二元一次方程组的两个方程对应相加，进而即可得出结论． 【详解】 得：， ， 即答案为：． 36．若方程组的解为，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及不等式性质的应用，对方程正确的变形是解题的关键．两式相减得出含未知数的的代数式，再根据可求出的取值范围． 【详解】解：， 两式相减得， ， ， ， ， ． 故选：B． 37．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 38．若x，y满足方程组，则的值为（   ） A．17 B．9 C．21 D．34 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组．熟练掌握条件和结论的关系，适当变形，是简便计算的关键． 通过观察方程组的结构，可以将两个方程都乘2后相加，即可直接求出目标表达式的值． 【详解】解：已知方程组：， 将方程①乘以2，方程②也乘以2， 得到． 将③和④相加， 得． 即． 因此，的值为34． 故选：D． 【题型10.错解复原问题】 39．甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则= ，= ，c= ． 【答案】 2 0 1 【分析】先把把代入求得c，把代入可得，把代入可得，最后解关于a、b的二元一次方程组即可解答． 【详解】解：把代入，解得： 再把代入可得： 把代入可得： 联立，解得． 故答案为：2，0，1． 【点睛】本题主要考查学生对二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，理解二元一次方程组的解是解答本题的关键． 40．李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故选：B． 41．李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型11.构造二元一次方程组求解】 42．方程的一组解中，满足，这一组解是 ． 【答案】 【分析】依据题意联立方程组求解即可 【详解】解，依题意得， ， 解得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解及解二元一次方程组；掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 43．若，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 44．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 45．对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 解答题 46．对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 【题型12.三元一次方程组的应用】 47．夏季来临，某饮品公司推出A、B、C三种新饮品试销，4月份A、B、C三种饮品的销量之比为5：4：1．在5月份，公司对A打折促销，将A价格调整为原来的，B的价格不变，并停止销售C饮品，结果原来C销量的转移购买了A，其余转移购买了B．5月的总销量在4月的基础上增加了，其中B饮品的销量除去从C转移过的部分增长了，5月A的销售额占5月总销售额的，5月的销售总额是4月的倍，则4月C的销售额与4、5两月的销售总额的比为 ． 【答案】/1：91 【分析】设4月份A、B、C三种饮品的销量分别为5a，4a，a，4月份A、B、C三种饮品的销售价格分别为x元、y元、z元，根据题意可得5月份A、B两种饮品的销售价格和销售量，并得出x、y、z之间的关系，再列式求解即可． 【详解】设4月份A、B、C三种饮品的销量分别为5a，4a，a，4月份A、B、C三种饮品的销售价格分别为x元、y元、z元，5月份A饮品的销量除去从C转移过的部分为m， 根据题意可得，5月份A种饮品的销售价格为元，B种饮品的销售价格为y元，5月份A种饮品的销量为，B种饮品的销售量为； ∵5月的总销量在4月的基础上增加了， ∴， 解得， ∴5月份A种饮品的销量为， ∵5月A的销售额占5月总销售额的， ∴， ∴， ∴5月的销售总额是=13ax， ∵5月的销售总额是4月的倍， ∴， ∴， ∴4月份的销售总额为：， ∴4月C的销售额与4、5两月的销售总额的比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，列代数式，关键是根据题意正确列出方程． 48．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 49．小华到学校超市买11支铅笔、5本作业本、2支笔芯，共用12.5元；小刚在这家超市买10支铅笔、4本作业本、1支笔芯，共用10元．购买1支铅笔、1本作业本、1支笔芯共需 元． 【答案】2.5 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用相关知识点，掌握通过设未知数，根据题意列出三元一次方程组，再利用整体思想来解决问题是解题的关键． 通过设铅笔、作业本、笔芯的单价分别为未知数，，，不需要分别求出未知数的值，通过对两个方程进行适当的运算，即可求出购买1支铅笔、1本作业本、1支笔芯的总费用． 【详解】解：设铅笔每支元，作业本每本元，笔芯每支元， 根据题意可得方程组： 得：， 即：购买支铅笔、本作业本、支笔芯共需元． 故答案为：2.5． 解答题 50．[阅读感悟]： 有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： (1)已知实数x、y满足，，求和的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【答案】(1)，19； (2)购买5 支铅笔、5块橡皮．5本日记本共需30元． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键． （1）根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵实数x、y满足，， ∴得， 得． （2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， ∴， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 【题型13.由二元一次方程组解的情况求参数】 51．已知是二元一次方程组的解，任意写出一个符合条件的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据方程组的解，够造方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴二元一次方程组的解即为； 故答案为：（答案不唯一）． 52．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 【详解】解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 53．已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由与互为相反数，得，代入原方程组，得到关于和的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 将代入方程组得： 化简得： ， 得：， 解得： 故答案为． 54．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 【题型14.方程组相同解问题】 55．关于x、y的方程组与有相同的解，则 【答案】-8 【分析】先联立仅含有字母的方程，求出方程组的解，将方程组的解代入含有字母的方程组中求解即可． 【详解】解：由题意联立方程组得： ①②得：，即， 把代入①得：， 将x，y值代入 解得：， 则 故答案为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，正确的解方程组是解题的关键． 56．已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．2007 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得x，y的值后，再联立解方程组，从而求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 把代入含有a，b的两个方程，得， 由②得． 则． 故选：C． 57．与有相同的解，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了同解方程组．先求出两个方程组的公共解，即解方程组和，得到，；然后将，代入和，得到关于，的方程组，解之即可． 【详解】解：解方程组，得． 将，代入和， 得． 解此方程组，相加得，； 代入 得， ． 故答案为：；． 解答题 58．方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴方程组和的解也相同， 解，得， 把代入，得， 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $