精品解析：湖南张家界市永定区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

永定区2025年秋季学期九年级期末教学质量监测试卷 数 学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 若反比例函数y =的图象经过点，则该函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个方程中，是一元二次方程的是（   ） A. B. C. D. 3. 如图，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 5. 从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（ ） A. 样本容量越大，样本平均数就越大 B. 样本容量越大，样本的标准差就越大 C. 样本容量越小，样本平均标准差就越大 D. 样本容量越大，对总体的估计就越准确 6. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 某班男生的平均身高是165厘米．请你想一想，下面哪位男生最不可能是这个班的？（ ） A. 乐乐身高168厘米，是篮球队中锋 B. 力力身高132厘米，是全班最矮的 C. 明明身高165厘米，是全班最高的 D. 浩浩身高180厘米 8. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ） A. 95米 B. 米 C. 190米 D. 米 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 10. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①，②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共18分） 11. 反比例函数，，则在第二象限，随增大而______（选填“增大”或“减小”）． 12. 把一元二次方程化成一般形式：________． 13. 在中，均为锐角，且满足，则___________． 14. 如图，在中，，，，则______． 15. 在中，，为斜边上的中线，若，则的值为___________． 16. 如图，点，反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，点E在上，，的面积为10，则点E的坐标是_____． 三、解答题（共72分） 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 计算：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为． （1）画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为； （3）直接写出与的面积比． 20. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 21. （1）小明在探究性学习中发现，数形结合思想可以解决某些代数问题．他为了求的值，先构造，使，，，再延长到，使，连接，于是．请你按小明的构图，求出的值． （2）请你也画出一个几何图形，直接写出的正切值． 22. 城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． （1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ （2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求面积； （3）点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 24. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2025年秋季学期九年级期末教学质量监测试卷 数 学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 若反比例函数y =的图象经过点，则该函数图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．先根据点求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即点的横纵坐标之积等于k，判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴ 函数图象上点的横纵坐标之积为2． ∵， ∴不在图象上， ∵， ∴在图象上， ∵， ∴不在图象上， ∵， ∴不在图象上， ∴该函数图象一定经过点， 故选：B． 2. 下列四个方程中，是一元二次方程的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程． B、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． C、分母含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程． D、整理后为，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 故选：B． 3. 如图，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解． 【详解】解：∵ A. ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，相反数的定义，根据特殊角的三角函数值即可求解是解决问题的关键． 【详解】解：． ∴相反数为， 故选：B． 5. 从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（ ） A. 样本容量越大，样本平均数就越大 B. 样本容量越大，样本的标准差就越大 C. 样本容量越小，样本平均标准差就越大 D. 样本容量越大，对总体的估计就越准确 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本容量与总体的关系解答即可. 【详解】解：A、样本容量越大，样本平均数就越大，叙述错误； B、样本容量越大，样本的标准差就越大，叙述错误； C、样本容量越小，样本平均标准差就越大，叙述错误； D、样本容量越大，对总体的估计就越准确，叙述正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用样本估计总体，熟知在一个总体中，总体的估计只与样本容量在总体中所占的比例有关是解答关键. 6. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 可判断，故C选项符合题意； A， B， D选项均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 7. 某班男生的平均身高是165厘米．请你想一想，下面哪位男生最不可能是这个班的？（ ） A. 乐乐身高168厘米，是篮球队中锋 B. 力力身高132厘米，是全班最矮的 C. 明明身高165厘米，是全班最高的 D. 浩浩身高180厘米 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的特点：平均数比最小的数要大，比最大的数要小，解答即可. 本题考查了平均数的特点，熟练掌握平均数比最小的数要大，比最大的数要小是解题的关键. 【详解】解：男生的平均身高是165厘米．且平均数比最小的数要大，比最大的数要小， 故选C. 8. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ） A. 95米 B. 米 C. 190米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．该主塔为，在中，利用正切函数的定义求得，同理，在中，求得，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，该主塔为， 由题意，得：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴该主塔的高度为米． 故选：B 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式；通过计算一元二次方程的判别式来判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根. 【详解】解：∵方程中，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选：A. 10. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①，②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确； ②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明结论正确； ③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确； ④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，根据勾股定理求的长，计算的值，即可判断结论是否正确． 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ①正确； ， ， ， 是边的中点， ， ， ②正确； 如图，过点D作，分别交，于点M，N， 则四边形平行四边形， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ③正确； 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二、填空题（共18分） 11. 反比例函数，，则在第二象限，随增大而______（选填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，函数在第二象限内，随增大而增大，即可解答． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在第二、四象限，每个象限内随增大而增大， 在第二象限，随增大而增大， 故答案为：增大． 12. 把一元二次方程化成一般形式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 13. 在中，均为锐角，且满足，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的计算，偶次幂、绝对值的非负性，利用非负数的性质，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求． 【详解】解：∵ ，，且它们的和为0， ∴ ，， 即 ，， ∵ 均为锐角， ∴ ， ∴ ． 14. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，为斜边上的中线，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及余弦的定义，掌握相关性质定理和概念是解题的关键．首先根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，然后利用余弦的定义（邻边比斜边）求解即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 16. 如图，点，反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，点E在上，，的面积为10，则点E的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 用待定系数法求得m，n的值，从而得出k，设，则，，根据，得出x的值，即可得出点E坐标． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ，， 将代入得：， 则反比例解析式为； 设，则，， 轴，轴， ， 连接，， 则 ， 解得：， 则． 故答案为． 三、解答题（共72分） 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项，再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 即，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 即，． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，特殊三角函数值，解题的关键是掌握相应的计算法则进行求值后，再合并． 【详解】解： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为． （1）画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为； （3）直接写出与的面积比． 【答案】（1） 解：如图所示，点； （2） 解：如图，即为所作； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查作图---中心对称变换、位似变换以及相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （3）根据相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 20. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 略 21. （1）小明在探究性学习中发现，数形结合思想可以解决某些代数问题．他为了求的值，先构造，使，，，再延长到，使，连接，于是．请你按小明的构图，求出的值． （2）请你也画出一个几何图形，直接写出的正切值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型． （1）根据题意可得是等腰直角三角形，由勾股定理得，则，故． （2）仿照题意构造含15度角的直角三角形进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ，由勾股定理得， ， ， 在中，． （2）如图，构造的直角三角形： 解：如图，在中，，延长至点D，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∴． 22. 城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． （1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ （2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【答案】（1）每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． （2）精英型帐篷的售价为元或元． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用． （1）设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，利用“购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元”建立方程组求解即可； （2）由原有的销售量加上增加的销售量得到精英型帐篷每天的销量，由每顶帐篷的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得： ， 解得， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． 【小问2详解】 解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶； 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴精英型帐篷的售价为元或元． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求面积； （3）点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2） （3），，． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数、反比例函数的解析式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，求出，再求出，然后把和都代入，求出，即可作答． （2）设一次函数与x轴交点为点，根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则进行分类讨论，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，将点的坐标代入， 得：， 反比例函数的解析式为； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴把代入反比例函数， 得：， ∴， 则将和分别代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，设一次函数与x轴交点为点， 把代入，得， ， ， ． 【小问3详解】 解：①以为对角线时：， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， 点坐标为． ②当为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， 点坐标为， ③以为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， ∴点坐标为． 满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 24. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 【答案】 （1）∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键． （1）先证明，再由，即可证明． （2）如图，作于点H，同理可证明，则可推出，设，，则，由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）如图，作交于点H，连接，先求出，，同理可证明，得到，设，，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，解方程求出，再证明，即，可得． 【详解】解：（1）略 （2）如图，作于点H， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍）， ∴， ∴点P到的距离为； （3）如图，作交于点H，连接， ∵， ∴，， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍），． ∴， ∵平行， ∴，， ∴，即 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $