精品解析：山东临沂市兰陵县2025-2026学年上学期期末质量调研（四）九年级数学试卷

2025—2026学年度上学期质量调研（四） 九年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下面的图形是用数学家的名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. 科克曲线 B. 费马螺线 C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线 2. 一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数 化成 的形式应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 5. 如图，点和分别是的边与上的点，且，，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在纸上有一点．按下列尺规作图的步骤进行： ①以点为圆心，以任意长为半径，画半圆，直径为； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交半圆于点； ③连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交半圆于点，连接，． 下列结论不正确的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 是的中点 C. D. 四边形的面积为 9. 如图，点为反比例函数（）图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数（）的图象交于点，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（　　） A. B. 3 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点，都在二次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”）． 12. 如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为______  ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为______________． 14. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是______． 15. 在纸片中，，，，是边上一点，连接，沿把纸片裁开，若是等腰三角形，则的长度是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果（：特别好；：好；：一般；：较差）绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题 （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中，类所占圆心角为______度； （3）学校想从被调查的类（1名男生2名女生）和类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）点关于坐标原点对称的点的坐标为______； （2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）在（2）中，求边所扫过区域的面积（结果保留）； （4）若、、三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形的位置发生怎样的变化？ 19. 材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，．若，，三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题： （1）______； （2）求的长．（结果精确到0.1cm；参考数据：，，） 20. “杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点的距离保持不变时，弹簧秤的示数是关于（弹簧秤与中点的距离）的反比例函数．已知当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 21. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图①），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图②），试问当与的大小满足怎样的关系时，，请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，如图③，且，请直接写出与满足的数量关系． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期质量调研（四） 九年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下面的图形是用数学家的名字命名的，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. 科克曲线 B. 费马螺线 C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形即在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形即把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形，熟练准确掌握两种图形的定义是解题的关键． 2. 一个不透明的口袋中装有个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为，由此根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 3. 将二次函数 化成 的形式应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式． 【详解】解：∵， ∴配方：， ∴顶点式为． 故选：A． 4. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 5. 如图，点和分别是的边与上的点，且，，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 7. 如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和可得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，根据等边对等角可得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据旋转的性质可得，，，根据等边对等角可得，推得，根据余角的性质可得，根据三角形内角和可得，即可求得． 【详解】∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴ 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，余角的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 8. 如图，已知在纸上有一点．按下列尺规作图的步骤进行： ①以点为圆心，以任意长为半径，画半圆，直径为； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交半圆于点； ③连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交半圆于点，连接，． 下列结论不正确的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 是的中点 C. D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、圆的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定． 由可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：，所以可以判定是等边三角形，由可知，所以可以判定是等边三角形，从而可以判定是等边三角形，所以可得，，所以可得四边形是菱形，所以可得A、B正确；由，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可知点是的中点，所以B选项正确；根据等边三角形的性质和勾股定理可得，根据菱形的面积公式可以得到，所以D选项错误．进而可得答案． 【详解】解：如下图所示，连接、，直线交于点， 由可知是的垂直平分线， ， 又， 是等边三角形，且， 由可知， 又， 是等边三角形，， ， 又， 是等边三角形，，， ， 四边形是菱形， 故选项A、选项C正确，不符合题意； 由A选项可知， ∴，即点是的中点， 故B选项正确，不符合题意； 由可知是中边上的高，是等边三角形， , ， ， 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，点为反比例函数（）图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数（）的图象交于点，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键．分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，根据反比例函数k的几何意义可知：，，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∵点A为反比例函数图象上的一点，点B为反比例函数图象上的一点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理．根据题意连结、OQ，当时，线段最短，即线段最短，再根据勾股定理求解即可． 【详解】如答图，连结、OQ． 是的切线， ， ， 当时，， 线段最短，即线段最短． ，， ， ， ， ， ． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点，都在二次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为： 12. 如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出其中心角，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，勾股定理等知识，作轴于点，轴于点，根据勾股定理求出，的长，得出相似比，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作轴于点，轴于点，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴，， ∴与的相似比， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是求解圆锥的展开图的扇形的圆心角的大小，先求解底面圆的周长，再利用弧长公式建立方程求解圆心角即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆直径， ∴底面周长为：， ∵母线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 15. 在纸片中，，，，是边上一点，连接，沿把纸片裁开，若是等腰三角形，则的长度是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，先利用三角函数和勾股定理求出，再分，，三种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图①，当时，为等腰三角形， ∴； 如图②，当时，为等腰三角形， 过点作于，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图③，当时，为等腰三角形， 过点作于，则，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 综上，当是等腰三角形，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程以及特殊角的三角函数混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用十字相乘法分解因式，进而计算得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值分别化简，再进行加减，进而得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果（：特别好；：好；：一般；：较差）绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题 （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中，类所占圆心角为______度； （3）学校想从被调查的类（1名男生2名女生）和类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） 补全统计图： （2）36 （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由条形统计图与扇形统计图，可求得C，D的人数，继而补全统计图； （2）由D占，即可求得扇形统计图中，D类所占圆心角； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选的两位同学恰好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵B有10人，占， ∴总人数：（人）， A占：， D占：， ∴C类：（人），D类：人． 【小问2详解】 解：D类所占圆心角为：； 故答案为：36； 【小问3详解】 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，所选的两位同学恰好是一男一女的有3种情况， ∴所选的两位同学恰好是一男一女的概率为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）点关于坐标原点对称的点的坐标为______； （2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）在（2）中，求边所扫过区域的面积（结果保留）； （4）若、、三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形的位置发生怎样的变化？ 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求作的图形； （3） （4）图形的位置是向右平移了3个单位 【解析】 【分析】此题考查了旋转作图，关于原点对称的点的坐标特征，扇形的面积公式，坐标与图形变化-平移的问题． （1）根据两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得出答案； （2）分别找到点A、B绕着点C顺时针旋转以后的对应点、，然后顺次连接即可得出旋转后的图形； （3）边旋转到所扫过的图形为扇形，且圆心角为90度，半径利用勾股定理求得，然后利用扇形的面积公式：计算即可； （4）横坐标都加3，纵坐标不变，根据平移规律：左右平移点的纵坐标不变，上下平移时点的横坐标不变即可得出图形向右平移了3个单位长度． 【小问1详解】 解：∵， ∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴； 【小问4详解】 解：∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变， ∴图形的位置是向右平移了3个单位． 19. 材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，．若，，三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题： （1）______； （2）求的长．（结果精确到0.1cm；参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为，． ∴， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ∵在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 20. “杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点的距离保持不变时，弹簧秤的示数是关于（弹簧秤与中点的距离）的反比例函数．已知当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】（1） （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）由题意直接利用待定系数法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和的取值范围计算即可； （3）根据题意及反比例函数的性质求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意，设关于的函数表达式为， 将，代入，得， ∴， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，关于的函数表达式为， ∵，， ∴随的增大而减小． ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为50， ∴当时，的值最小，最小值为， ∴弹簧秤的示数的最小值为12； 【小问3详解】 解：将代入，得． 根据反比例函数的性质，当时，． 由题意可知，故的取值范围是． 21. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 又是的切线，点是切点， ，即， 在和中，， ， ， 是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明得到，由此即可证明是的切线； （2）设的半径为，解求出，，则，再解求出，由勾股定理得，，解得，则的半径为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 22. 一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图①），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图②），试问当与的大小满足怎样的关系时，，请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，如图③，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】（1）能得到， 证明如下： 四边形，为正方形， ， ， ， ； （2）， 理由如下： 四边形，为菱形， ， ， ，即 ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）结合正方形性质证明，进而即可证明； （2）结合菱形性质证明即可； （3）结合矩形性质证明，进而即可推出与满足的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形，为矩形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质、菱形性质、矩形性质、全等三角形性质和判定，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，当时，求证：． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为10 （3） 证明：将代入抛物线得： ， ∴， 依题意得：， ∴，它的两个根为，， ∴，， ，， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把代入抛物线得：，再利用配方法将二次函数解析式写成顶点式，即可得顶点坐标； （2）先根据平移变换得到新的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求最小值和最大值即可； （3）将代入抛物线解析式，求得a，即可得出抛物线解析式，依题意得：，则，它的两个根为，，根据根的定义及根与系数的关系得，，，，再化简求的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：把代入抛物线得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵将二次函数向左移动1个单位， ∴，此时对称轴为， 当时，范围在对称轴的右侧，y值随x的增加而增加， ∴当时，； 当时，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $