专题04：正余弦定理【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题04：正余弦定理】 总览 题型梳理 【核心知识复习】 一、核心知识梳理 核心前提：在中，角所对的边分别为，外接圆半径为，面积为，角平分线为（对应角），中线为（对应边） （一）正弦定理 1.定理内容 2.核心推论 ①边角互化：，，；，，②比例性质：③角角关系：，故，④特殊结论：若，则或 3.适用条件 ①已知两角及一边（AAS、ASA）：求第三角和另外两边②已知两边及其中一边的对角（SSA）：判断解的个数③边角互化：统一边或角，求解三角形形状、角的大小 4.易错辨析 ①忽略SSA型解的个数判断，直接代入求解②边角互化时，混淆边与角的对应关系③忽略三角形内角和为，求解角时超出范围④误用比例性质，将写成 5.重点记忆 ①核心是边角对应成比例，核心用途是边角互化②SSA型解的个数判断：用大边对大角，结合判断③牢记外接圆半径的关联，推论优先套用 （二）余弦定理 1.定理内容 ①边的形式：，，②角的形式：，， 2.核心推论 ①边角关系（判断角的类型）：若，则，若，则，若，则，②特殊结论： 3.适用条件 ①已知两边及夹角（SAS）：用边的形式求第三边②已知三边（SSS）：用角的形式求角，结合内角和求另外两角③已知两边及一边对角（SSA）：正弦定理有疑问时用余弦定理④判断三角形形状、求三角形最值 4.易错辨析 ①记错余弦定理公式符号，误将写成②已知三边求角时，忽略角的范围③判断三角形形状时，仅判断一个角就下结论④整体代入时计算错误 5.重点记忆 ①核心是边的平方关系，兼顾求边、求角、判形状②角的形式口诀：对边平方减和方，除以两边两倍长③与正弦定理互补：SSA优先试正弦，SAS、SSS直接用余弦 （三）正余弦定理共性补充 1.三角形面积公式：；2.解题核心思想：边角互化，化未知为已知3.注意事项：解需满足三角形内角和为、大边对大角、边长为正 （四）补充定理 1.射影定理（也叫投影定理） ①定理内容：在中，；；②核心推论：可由正余弦定理推导，用于快速边角转化、简化计算③易错辨析：混淆边与对应角的余弦值，误写对应关系④重点记忆：一边等于另外两边分别乘以其对角余弦值的和，适配选择填空快速解题 2.和差化积公式（三角形专用，简化三角函数运算） ①核心公式（常用4组）：；；；②核心推论：结合，可化简为（常用）③易错辨析：记错公式符号（尤其最后一组），混淆和差化积与积化和差④重点记忆：仅记三角形常用组，结合内角和简化，适配三角函数式化简、求角 3.角平分线性质定理 ①定理内容：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两条邻边对应成比例即：若平分，交于，则②核心推论（角平分线长度公式）：（对应角的角平分线，同理可推导）③易错辨析：忽略“内角平分线”前提，误用比例；记错角平分线长度公式④重点记忆：核心是“分对边比例等于邻边比例”，长度公式可结合正余弦定理推导，无需死记 4.中线性质定理 ①定理内容：三角形的任意一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；三角形两边的平方和等于第三边的一半的平方与该边中线平方的两倍之和即：若是边上的中线（为中点），则（中线对应边）②核心推论（中线长度公式）：（同理可推导）③易错辨析：记错中线长度公式的符号和系数；忽略“中线分三角形面积相等”的性质④重点记忆：核心是“两边平方和与中线、第三边的关系”，长度公式可快速求解中线长度，适配中档题 5.爪形结构中的张角定理 ①爪形结构定义：在中，点在边上（或延长线上），连接，形成“爪形”，，，②定理内容：，即③核心推论：当平分时（），可推导角平分线长度公式，与角平分线定理呼应④易错辨析：混淆爪形结构的张角范围（为三角形内角）；记错公式的分子分母对应关系⑤重点记忆：核心是“张角的正弦值与对应边长、线段长度的关系”，适配爪形结构求线段长度、角的大小，高频用于拓展题 （五）解题思路拓展（多三角形+最值求解，教案重点拓展） 1.同一题中多个三角形（两次使用正弦定理） ①核心思路：多个三角形存在公共边、公共角或互补角，先找到关联量（公共边/角），分别在两个三角形中套用正弦定理，建立等式求解未知量②关键要点：标注每个三角形的边角对应关系，明确公共量的桥梁作用，避免混淆不同三角形的边角③易错辨析：混淆不同三角形的外接圆半径；忽略公共边的长度相等，建立等式错误④重点记忆：核心是“找关联、分三角形、套定理、建等式”，适配多三角形综合题 2.同一题中多个三角形（两次使用余弦定理） ①核心思路：多个三角形有公共边或公共角，且已知条件以“边”为主（如三边、两边及夹角），分别在两个三角形中套用余弦定理，利用公共边建立等式，求解未知量或化简②关键要点：优先选择含公共边的三角形，统一公共边的表达式，避免重复计算③易错辨析：记错余弦定理符号；混淆不同三角形的边角对应关系；公共边表达式化简错误④重点记忆：适配已知多组边长、夹角的多三角形问题，核心是“公共边建等式” 3.对边对角模型+基本不等式求最值 ①核心思路：由对边对角（如），用正弦定理边角互化，将未知边转化为三角函数形式，再结合基本不等式（），结合边长约束条件求最值②关键要点：先通过正弦定理统一边或角，确保基本不等式的使用条件（正、定、等），结合三角形边长为正、内角和约束③易错辨析：忽略基本不等式“一正二定三相等”的条件；边角互化时对应关系错误；忽略三角形边长约束导致最值范围偏差④重点记忆：核心是“边角互化+基本不等式”，适配对边对角求边长和、积的最值 4.邻边对角模型（已知一边及其邻角，求其他量） ①核心思路：已知一边（如）及其邻角（如），结合内角和，优先用正弦定理求其他角和边；若已知两边及邻角，用余弦定理求第三边②关键要点：明确“邻角”对应关系（邻角是已知边的两个夹角之一），灵活选择正余弦定理，避免复杂运算③易错辨析：混淆“邻角”与“对角”，误用定理；忽略内角和约束，求解角时超出范围④重点记忆：适配已知“边+邻角”求其他量的基础题和中档题，优先选正弦定理简化运算 5.面积、周长范围/边长的比值范围（利用三角函数的值域求最值） ①核心思路：将面积、周长、边长比值转化为单一三角函数（如、）的表达式，结合三角函数值域（、），结合三角形内角范围求最值②关键要点：通过正弦定理边角互化，将所有未知量转化为同一个角的三角函数，利用三角恒等变换化简表达式，标注角的取值范围③易错辨析：边角互化错误；三角恒等变换化简失误；忽略三角形内角的取值范围（如）导致三角函数值域偏差④重点记忆：核心是“转化为单一三角函数+值域约束”，适配面积、周长、边长比值的范围问题，是高频拓展考点 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：余弦定理解三角形】 （2025高二上·山西·学业考试）若在中，，，，则边BC的长为 .经典例题1例题 （2025·广东佛山·一模）已知的内角的对边分别为，若，，，则 .小试牛刀1 （2025·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ．小试牛刀2 【题型2：正弦定理解三角形】 （2025-2026学年第一学期教学质量监控样卷高二数学）在中，，，，则此三角形的最短边的长度是 .经典例题1例题 （25-26高二上·北京延庆·期末）已知中，，，，则 ， ．小试牛刀1 （2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则 .小试牛刀2 【题型3：余弦定理边角互化/求角】 （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .经典例题1例题 （24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 .小试牛刀1 （24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 小试牛刀2 【题型4：正弦定理边角互化/求角】 （25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则 ．经典例题1例题 （25-26高三上·云南昆明·月考）在中，角A，B，C的对边分别是，已知，则角 ．小试牛刀1 （25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 .小试牛刀2 【题型5：正余弦定理判断三角形形状】 （24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ）经典例题1例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 （2025高三上·湖北黄冈·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（    ）小试牛刀1 A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 （25-26高三上·山东淄博·期中）已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（    ）小试牛刀2 ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6：正余弦定理判断三角形解的个数】 （25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ）小试牛刀1 A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 （24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型7：求三角形周长/面积】 （25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ）经典例题1例题 A． B．1 C． D． （云南楚雄州中小学2025-2026学年上学期期末教育学业质量监测高中二年数学试题）的内角的对边分别为，已知.小试牛刀1 (1)求； (2)若的面积为，求的周长. （河北省承德市2026届高三上学期期末数学试题）在中，角的对边分别为．已知，且．小试牛刀2 (1)求； (2)求的面积． 【题型8：正余弦定理综合计算（中等类）】 （25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·河南开封·一模）在中，角所对的边分别为，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：与中线有关的计算】 （25-26高二上·北京·期末）中，角的对边分别为．已知．经典例题1例题 (1)求的大小； (2)若，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． ①边上的中线长为； ②； ③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． （25-26高三上·山西运城·期末）记的内角，，的对边分别为，，，且满足．小试牛刀1 (1)求； (2)设点为边的中点，，的面积为，求，． （25-26高二上·浙江杭州·期末）记是内角的对边分别为，已知，点在边上，．小试牛刀2 (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【题型2：与角平分线有关的计算】 （2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. 经典例题1例题 (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． （25-26高二上·贵州遵义·期末）已知的内角所对的边分别为.小试牛刀1 (1)求角； (2)若的角平分线与交于点的面积为，求. （2026·重庆·一模）已知中，角的对边分别为的面积为且满足小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若的平分线交于点，且，求的面积． 【题型3：与爪形结构有关的计算】 （25-26高二上·四川德阳·期末）在中，，，分别是角，，的对边，已知.经典例题1例题 (1)求角的大小； (2)已知点在边上，且，，且的面积为，求边的长. （2026·江苏镇江·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知小试牛刀1 (1)求； (2)若的面积为． ①求b，c； ②设在线段BC上，且，求线段AD的值． （25-26高三上·浙江金华·期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若为线段AC上一点，满足，求的面积. 【题型4：多次使用正弦定理的技巧】 （2026·湖南株洲·一模）在中，角为锐角，．经典例题1例题 (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，且，求的值． （25-26高三上·山东烟台·期末）已知的内角的对边分别为，点满足.小试牛刀1 (1)若，求面积的最大值； (2)若，求. （2026·山东济南·一模）已知分别是内角的对边，.小试牛刀2 (1)若，求的面积； (2)若，求的正切值. 【题型5：多图形的综合计算】 （2026·重庆九龙坡·一模）如图，中，为上一点，．经典例题1例题 (1)若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; (2)若，求AD． （25-26高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，．小试牛刀1 (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． （2026·四川广安·一模）在中，角的对边分别为，且．小试牛刀2    (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长． 【C·拓展培优题型】 【题型1：周长的最值与范围】 （2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．经典例题1例题 (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． （25-26高二上·贵州遵义·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知.小试牛刀1 (1)若，求的面积； (2)若，求周长的取值范围. （25-26高二上·湖南·期末）在中，内角的对边分别为，且满足．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.小试牛刀3 (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【题型2：面积的最值与范围】 （25-26高三上·湖南·月考）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题1例题 (1)求A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． （25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.小试牛刀1 (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． （25-26高三上·全国·月考）记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角．小试牛刀2 (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． （25-26高二上·浙江·开学考试）如图，在平面四边形中，，与交于点，记.小试牛刀3 (1)用表示； (2)求四边形面积的取值范围； (3)当为何值时，. 【题型3：边长的比值的最值与范围】 （25-26高三上·黑龙江·月考）在中，角是的内角，且.经典例题1例题 (1)求； (2)若为边BC的中点，且，，求的面积； (3)求的最大值. （25-26高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·云南大理·月考）的内角，，的对边分别为，，，已知．小试牛刀2 (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． （25-26高三上·福建厦门·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．小试牛刀3 (1)若，，求的大小； (2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【题型4：内接圆与外接圆】 （25-26高二上·广东·期中）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，.经典例题1例题 (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. （2026·辽宁大连·模拟预测）△中角的对边分别为，满足，.小试牛刀1 (1)证明：； (2)求△的内切圆半径的取值范围； (3)若，△的内切圆上有一点，求点到三点的距离的平方和的最值. （25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知在 中， 分别是角所对的边，且 ,,为 外接圆劣弧 上一动点.小试牛刀2 (1)求A； (2)在四边形 中，若 为 的内角平分线，记 的面积分别为， ，若 ， 求 的取值范围. （2025·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)若，求此时的内切圆半径的最大值； (3)求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【专题04：正余弦定理】 总览 题型梳理 【核心知识复习】 一、核心知识梳理 核心前提：在中，角所对的边分别为，外接圆半径为，面积为，角平分线为（对应角），中线为（对应边） （一）正弦定理 1.定理内容 2.核心推论 ①边角互化：，，；，，②比例性质：③角角关系：，故，④特殊结论：若，则或 3.适用条件 ①已知两角及一边（AAS、ASA）：求第三角和另外两边②已知两边及其中一边的对角（SSA）：判断解的个数③边角互化：统一边或角，求解三角形形状、角的大小 4.易错辨析 ①忽略SSA型解的个数判断，直接代入求解②边角互化时，混淆边与角的对应关系③忽略三角形内角和为，求解角时超出范围④误用比例性质，将写成 5.重点记忆 ①核心是边角对应成比例，核心用途是边角互化②SSA型解的个数判断：用大边对大角，结合判断③牢记外接圆半径的关联，推论优先套用 （二）余弦定理 1.定理内容 ①边的形式：，，②角的形式：，， 2.核心推论 ①边角关系（判断角的类型）：若，则，若，则，若，则，②特殊结论： 3.适用条件 ①已知两边及夹角（SAS）：用边的形式求第三边②已知三边（SSS）：用角的形式求角，结合内角和求另外两角③已知两边及一边对角（SSA）：正弦定理有疑问时用余弦定理④判断三角形形状、求三角形最值 4.易错辨析 ①记错余弦定理公式符号，误将写成②已知三边求角时，忽略角的范围③判断三角形形状时，仅判断一个角就下结论④整体代入时计算错误 5.重点记忆 ①核心是边的平方关系，兼顾求边、求角、判形状②角的形式口诀：对边平方减和方，除以两边两倍长③与正弦定理互补：SSA优先试正弦，SAS、SSS直接用余弦 （三）正余弦定理共性补充 1.三角形面积公式：；2.解题核心思想：边角互化，化未知为已知3.注意事项：解需满足三角形内角和为、大边对大角、边长为正 （四）补充定理 1.射影定理（也叫投影定理） ①定理内容：在中，；；②核心推论：可由正余弦定理推导，用于快速边角转化、简化计算③易错辨析：混淆边与对应角的余弦值，误写对应关系④重点记忆：一边等于另外两边分别乘以其对角余弦值的和，适配选择填空快速解题 2.和差化积公式（三角形专用，简化三角函数运算） ①核心公式（常用4组）：；；；②核心推论：结合，可化简为（常用）③易错辨析：记错公式符号（尤其最后一组），混淆和差化积与积化和差④重点记忆：仅记三角形常用组，结合内角和简化，适配三角函数式化简、求角 3.角平分线性质定理 ①定理内容：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两条邻边对应成比例即：若平分，交于，则②核心推论（角平分线长度公式）：（对应角的角平分线，同理可推导）③易错辨析：忽略“内角平分线”前提，误用比例；记错角平分线长度公式④重点记忆：核心是“分对边比例等于邻边比例”，长度公式可结合正余弦定理推导，无需死记 4.中线性质定理 ①定理内容：三角形的任意一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；三角形两边的平方和等于第三边的一半的平方与该边中线平方的两倍之和即：若是边上的中线（为中点），则（中线对应边）②核心推论（中线长度公式）：（同理可推导）③易错辨析：记错中线长度公式的符号和系数；忽略“中线分三角形面积相等”的性质④重点记忆：核心是“两边平方和与中线、第三边的关系”，长度公式可快速求解中线长度，适配中档题 5.爪形结构中的张角定理 ①爪形结构定义：在中，点在边上（或延长线上），连接，形成“爪形”，，，②定理内容：，即③核心推论：当平分时（），可推导角平分线长度公式，与角平分线定理呼应④易错辨析：混淆爪形结构的张角范围（为三角形内角）；记错公式的分子分母对应关系⑤重点记忆：核心是“张角的正弦值与对应边长、线段长度的关系”，适配爪形结构求线段长度、角的大小，高频用于拓展题 （五）解题思路拓展（多三角形+最值求解，教案重点拓展） 1.同一题中多个三角形（两次使用正弦定理） ①核心思路：多个三角形存在公共边、公共角或互补角，先找到关联量（公共边/角），分别在两个三角形中套用正弦定理，建立等式求解未知量②关键要点：标注每个三角形的边角对应关系，明确公共量的桥梁作用，避免混淆不同三角形的边角③易错辨析：混淆不同三角形的外接圆半径；忽略公共边的长度相等，建立等式错误④重点记忆：核心是“找关联、分三角形、套定理、建等式”，适配多三角形综合题 2.同一题中多个三角形（两次使用余弦定理） ①核心思路：多个三角形有公共边或公共角，且已知条件以“边”为主（如三边、两边及夹角），分别在两个三角形中套用余弦定理，利用公共边建立等式，求解未知量或化简②关键要点：优先选择含公共边的三角形，统一公共边的表达式，避免重复计算③易错辨析：记错余弦定理符号；混淆不同三角形的边角对应关系；公共边表达式化简错误④重点记忆：适配已知多组边长、夹角的多三角形问题，核心是“公共边建等式” 3.对边对角模型+基本不等式求最值 ①核心思路：由对边对角（如），用正弦定理边角互化，将未知边转化为三角函数形式，再结合基本不等式（），结合边长约束条件求最值②关键要点：先通过正弦定理统一边或角，确保基本不等式的使用条件（正、定、等），结合三角形边长为正、内角和约束③易错辨析：忽略基本不等式“一正二定三相等”的条件；边角互化时对应关系错误；忽略三角形边长约束导致最值范围偏差④重点记忆：核心是“边角互化+基本不等式”，适配对边对角求边长和、积的最值 4.邻边对角模型（已知一边及其邻角，求其他量） ①核心思路：已知一边（如）及其邻角（如），结合内角和，优先用正弦定理求其他角和边；若已知两边及邻角，用余弦定理求第三边②关键要点：明确“邻角”对应关系（邻角是已知边的两个夹角之一），灵活选择正余弦定理，避免复杂运算③易错辨析：混淆“邻角”与“对角”，误用定理；忽略内角和约束，求解角时超出范围④重点记忆：适配已知“边+邻角”求其他量的基础题和中档题，优先选正弦定理简化运算 5.面积、周长范围/边长的比值范围（利用三角函数的值域求最值） ①核心思路：将面积、周长、边长比值转化为单一三角函数（如、）的表达式，结合三角函数值域（、），结合三角形内角范围求最值②关键要点：通过正弦定理边角互化，将所有未知量转化为同一个角的三角函数，利用三角恒等变换化简表达式，标注角的取值范围③易错辨析：边角互化错误；三角恒等变换化简失误；忽略三角形内角的取值范围（如）导致三角函数值域偏差④重点记忆：核心是“转化为单一三角函数+值域约束”，适配面积、周长、边长比值的范围问题，是高频拓展考点 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：余弦定理解三角形】 （2025高二上·山西·学业考试）若在中，，，，则边BC的长为 .经典例题1例题 【答案】2 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，由余弦定理, 即，则， 解得：或(舍去负值)， 所以， 故答案为： （2025·广东佛山·一模）已知的内角的对边分别为，若，，，则 .小试牛刀1 【答案】3 【分析】利用三角函数关系式平方和关系求出，根据三角形面积及已知条件求出的值，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为， 所以， 由，， 所以，解得：， 由余弦定理得： 即， 由，所以， 故答案为：3. （2025·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】由余弦定理及已知条件，整理得到的值，然后求，由三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由余弦定理得， ∵，，∴，即， 整理得，即，所以， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 【题型2：正弦定理解三角形】 （2025-2026学年第一学期教学质量监控样卷高二数学）在中，，，，则此三角形的最短边的长度是 .经典例题1例题 【答案】/ 【分析】由，求出，判断得到为最短边，利用正弦定理求出的值即可． 【详解】在中，，，，故为最短边， 又，由正弦定理，得，解得. 故答案为：. （25-26高二上·北京延庆·期末）已知中，，，，则 ， ．小试牛刀1 【答案】 / / 【分析】代入正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，可知， 且，所以，所以， ，所以， ，. 故答案为：； （2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则 .小试牛刀2 【答案】或 【分析】首先根据正弦定理求解角，然后再根据内角和为求解角即可. 【详解】在中，已知，，， 根据正弦定理，由，得：，解得：. 又，所以得：或. 由，得：或. 故答案为：或 【题型3：余弦定理边角互化/求角】 （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .经典例题1例题 【答案】或2 【分析】由余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由余弦定理有，所以， 解得 或2. 故答案为：或2. （24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 .小试牛刀1 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： （24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合余弦定理即可得结果. 【详解】因为，整理可得， 则， 且，所以. 故答案为：. 【题型4：正弦定理边角互化/求角】 （25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以， 因为， 所以. 故答案为： （25-26高三上·云南昆明·月考）在中，角A，B，C的对边分别是，已知，则角 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用正弦定理进行边化角，再运用二倍角公式，结合特殊三角函数值，即可得解. 【详解】解析：由得， 因为，故， 所以得，即， 因为，，故， 因此可得， 所以，故. 故答案为：. （25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 【题型5：正余弦定理判断三角形形状】 （24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ）经典例题1例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C （2025高三上·湖北黄冈·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（    ）小试牛刀1 A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，进而得到即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以为钝角三角形． 故选：D （25-26高三上·山东淄博·期中）已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（    ）小试牛刀2 ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用和差角的余弦公式判断①，根据正弦定理判断②，结合锐角三角形及正弦函数的性质判断③，结合两角和的余弦公式判断④. 【详解】对于①：若，即， 即，则， 所以，所以， 又，所以，所以，则，所以， 则一定是等腰三角形，故①正确； 对于②：在中，由正弦定理及，得，故②正确； 对于③：由是锐角三角形，得，所以， 又在上单调递增， 因此，即，故③正确； 对于④：由，得，在中，， 所以， 则，即，于是， 即，所以，因此是钝角，则为钝角三角形，故④错误. 故选：C 【题型6：正余弦定理判断三角形解的个数】 （25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. （25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ）小试牛刀1 A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． （24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 【题型7：求三角形周长/面积】 （25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ）经典例题1例题 A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合二倍角公式和正弦定理，可得，根据余弦定理，可得a值，根据勾股定理，可得角，代入面积公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C （云南楚雄州中小学2025-2026学年上学期期末教育学业质量监测高中二年数学试题）的内角的对边分别为，已知.小试牛刀1 (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，边化角即可求解； （2）由三角形面积公式得到，再结合余弦定理，求得，即可求解. 【详解】（1）因为， ， 故， 因为，所以， 所以， 故. （2）因为的面积为，所以. 又，所以， 则，解得， 所以， 所以的周长为. （河北省承德市2026届高三上学期期末数学试题）在中，角的对边分别为．已知，且．小试牛刀2 (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，根据诱导公式及辅助角公式可得，利用特殊角三角函数，求得，进而求得； （2）由余弦定理求得，根据三角形面积公式求得的面积． 【详解】（1）由，结合正弦定理，得 又在中，， 代入上式，得， 即， 因为，所以，所以， 即，即， 又，所以， 故． （2）已知，由，得，由（1）知， 由余弦定理，得， 即，解得． 所以的面积为． 【题型8：正余弦定理综合计算（中等类）】 （25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，且，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理、二倍角的余弦公式及正弦定理求解. 【详解】在中，由，得为钝角，， 由及正弦定理， 得，由余弦定理得， 则， 即，由正弦定理得，则， 而函数在上单调递增，且，于是， ，又，因此， 所以. 故选：C （2026·河南开封·一模）在中，角所对的边分别为，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两角和差的余弦公式经过拆角变形为，再由正弦定理边化角得到，然后由两角和差的余弦公式再拆角，结合二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ， ， 由正弦定理可知， 即， 因为，故， 所以， 所以. 故选：D. （25-26高三上·安徽·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理将边化角即可求出，再由余弦定理及正弦定理得到，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得，代入得到， 由余弦定理，所以， 由正弦定理可得，所以， 又，， 所以. 故选：C. 【B·能力提升题型】 【题型1：与中线有关的计算】 （25-26高二上·北京·期末）中，角的对边分别为．已知．经典例题1例题 (1)求的大小； (2)若，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． ①边上的中线长为； ②； ③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)①；②不唯一，不能选；③. 【分析】（1）利用正弦定理边角化及二倍角公式，结合特殊值对应特殊角即可求解； （2）①根据（1）的结论及余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解； ②根据（1）的结论及余弦定理即可求解； ③根据（1）的结论及余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解； 【详解】（1）由及正弦定理，得 由于，两边约去,得 利用二倍角公式得 因,可约去，得，即. 在内解得，所以. （2）由（1）知，. 若选条件①：设BC中点为D，则AD为BC边上的中线. 在中，由余弦定理得，即，解得或（舍）. 若选条件②: 在中，由余弦定理得，即，解得或. 此时有两解，不满足“存在且唯一确定”，此条件不符合要求. 若选条件③: 由与余弦定理联立得，解得或（舍）. （25-26高三上·山西运城·期末）记的内角，，的对边分别为，，，且满足．小试牛刀1 (1)求； (2)设点为边的中点，，的面积为，求，． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理化简可得，再结合，即可求得，从而可求解； （2）由题可得，两边同时平方后化简可得，再结合，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 即. 因为，所以， 所以，则， 又因为，则， 所以，解得. （2）由题得， 所以， 所以. 又因为，则① 由，得，② 由①②得. （25-26高二上·浙江杭州·期末）记是内角的对边分别为，已知，点在边上，．小试牛刀2 (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用条件以及正弦定理化简可得； （2）根据得出，再利用余弦定理求出，即可求出面积 【详解】（1）在中利用正弦定理有，结合， 可得， 因为，所以； （2）因为，且，所以，，如下图： 在和中利用余弦定理可得， ， ， 因为，所以，即， 因为， 所以在中利用余弦定理有， 则， 则的面积为. 【题型2：与角平分线有关的计算】 （2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. 经典例题1例题 (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出． （2）利用向量的数量积求出的值，设的长为，则，利用三角形的面积公式得到的等式，解出的值，即为的长． 【详解】（1）由． 故，而，得． （2）由， 设的长为，由． 即的长为． （25-26高二上·贵州遵义·期末）已知的内角所对的边分别为.小试牛刀1 (1)求角； (2)若的角平分线与交于点的面积为，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知及正弦定理的边角关系有，再应用三角恒等变换、三角形内角的性质求角的大小； （2）根据已知，结合三角形面积公式、余弦定理得，再由和面积公式求的长. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ， ， 又，所以， ，即， ，即 又，所以， 所以，则； （2）由（1）知， 则，所以，又， 由余弦定理有， ，则， 又为的角平分线，则， 则， . （2026·重庆·一模）已知中，角的对边分别为的面积为且满足小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若的平分线交于点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知，应用三角形面积公式、余弦定理得，再由三角恒等变换得，即可求角； （2）由及三角形面积公式得，结合余弦定理有，联立求边长，进而求面积. 【详解】（1）由余弦定理，得 所以，又， 所以，可得， 所以，，则； （2）由，则， 即，则， 由余弦定理有，即， 所以，可得， 所以，则，可得，所以. 【题型3：与爪形结构有关的计算】 （25-26高二上·四川德阳·期末）在中，，，分别是角，，的对边，已知.经典例题1例题 (1)求角的大小； (2)已知点在边上，且，，且的面积为，求边的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理即可求出； （2）利用已知条件求出的长，再利用面积公式求出的长，最后在中利用余弦定理即可求出. 【详解】（1），，则，, 故上式化为， 根据二倍角公式，得， 根据正弦定理，得， ，，, 又，，. （2），三角形为直角三角形，又，三角形为等腰直角三角形， ，又，， 又的面积为，根据面积公式得，解得， 在中，根据余弦定理得， 即，所以， 故边的长为. （2026·江苏镇江·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知小试牛刀1 (1)求； (2)若的面积为． ①求b，c； ②设在线段BC上，且，求线段AD的值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和与差及辅助角公式化简求值； （2）①由面积公式和余弦定理求解；②由向量的模求线段的值. 【详解】（1）已知，由正弦定理边化角得（*）， 因为，， 所以（*）式即， 整理得：， 即，因为， 所以，即，， 解得或，即或， 因为，所以. （2）对①：由三角形面积公式：，由（1）得，所以， 又由余弦定理，代入，得， 由得或，又，所以； 对②：因为点分为， 所以， 所以， 所以，即线段的值为.    （25-26高三上·浙江金华·期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若为线段AC上一点，满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角变换可得，从而可求. （2）设，根据余弦定理构建关于的方程组，求出其解后可求三角形面积；或者用表示，由及余弦定理可构建关于的方程组，求出其解后可求三角形面积. 【详解】（1）由正弦定理得， ， ， . （2）法1：设，则， ，由余弦定理得， 化简得：①， 在中，由余弦定理得②， 由①②式得，.         法2：设， 即①； 在中，由余弦定理得②； 由①②式得，.         法3：延长BD至使得， 结合，.    在中，由余弦定理得：①， 在中，由余弦定理得②， 由①②式得，故. 【题型4：多次使用正弦定理的技巧】 （2026·湖南株洲·一模）在中，角为锐角，．经典例题1例题 (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，利用和差角公式展开化简求得； （2）根据（1）的结论及题设条件可得，在和中分别利用正弦定理列式求得答案. 【详解】（1），又， ， ，                  ， ，                    ， ，又为锐角，. （2），，                  在中，，① 在中，， ，② 由①和②，得，                  ，又， ， ， . （25-26高三上·山东烟台·期末）已知的内角的对边分别为，点满足.小试牛刀1 (1)若，求面积的最大值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式可求的最大值，再结合三角形的面积公式求三角形面积的最大值. （2）分别在和中，利用正弦定理，可得和，再结合，可求角. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 所以. 所以，当且仅当“”时取“”， 所以，即面积的最大值为. （2）在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理得，，即， 因为，所以， 于是，整理得， 又， 即， 因为，所以，所以， 解得. （2026·山东济南·一模）已知分别是内角的对边，.小试牛刀2 (1)若，求的面积； (2)若，求的正切值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由及余弦定理求出，再由正弦定理求出，由内角和求出，由面积公式求解； （2）在中，有，在中，有，两式相比化简求值. 【详解】（1）因为， 所以. 因为，所以， 因为，所以. 所以，又，所以，所以， ， 所以. （2）因为，所以为中点. 由题设及余弦定理可得，因为，所以. . 设，在中，有①， 在中，有②， ①②相除，得： ，所以， 所以，即， 所以的正切值为. 【题型5：多图形的综合计算】 （2026·重庆九龙坡·一模）如图，中，为上一点，．经典例题1例题 (1)若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; (2)若，求AD． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用三角形面积公式求解. （2）法1，利用三角形面积公式可得，再利用和角的余弦公式，结合直角三角形边角关系列式求解；法2，利用余弦定理、垂直关系的向量表示并结合数量积的运算律列出方程组求解. 【详解】（1）令，， 由为钝角，为等腰三角形，得， 又为等腰三角形，且，则， 在中，，则， 所以的面积为. （2）法1：在中，由，得，而，， 由，得， 由，得， 则， 因此，即，又， 所以. 法2：在中，，由余弦定理得， 而，即，又，则， 即，于是，解得， 则，解得， 所以. （25-26高三上·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，．小试牛刀1 (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. （2026·四川广安·一模）在中，角的对边分别为，且．小试牛刀2    (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的等式，结合三角形内角和的正弦展开式化简，再通过辅助角公式求解； （2）利用正弦定理，余弦定理，二倍角公式及三角形几何性质，结合已知条件求出对应角的度数，再利用正弦定理求出外接圆半径． 【详解】（1）由正弦定理得，， ，， ， 由三角形内角和知，，则，代入后化简： ， ， ，即， ， ， ，． （2）在中，由正弦定理得， ，， ，，， 在中，， ， 是等腰三角形，， ， 由余弦定理得， 即， ， 和均为锐角，正弦为正， ，即，解得， ， 由正弦定理得，解得， 的外接圆半径为． 【C·拓展培优题型】 【题型1：周长的最值与范围】 （2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．经典例题1例题 (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． （25-26高二上·贵州遵义·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知.小试牛刀1 (1)若，求的面积； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义结合条件可求出，再由面积公式可求解. （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，及得， 又所以， 所以的面积. （2）由余弦定理得， 又，，所以. 又（当且仅当时取等号）， 所以，即 因为， 所以（当且仅当时取等号）， 又， 所以，， 所以周长的取值范围是. （25-26高二上·湖南·期末）在中，内角的对边分别为，且满足．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和诱导公式，结合两角和的正弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）利用余弦定理，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）在中，，故， 将其代入等式得，即， 整理得， 由，得，解得， 又，故． （2）由余弦定理代入可得，则， 由基本不等式，可得， 则，由可得，当且仅当时等号成立， 所以， 则周长的最大值为. （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.小试牛刀3 (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 【题型2：面积的最值与范围】 （25-26高三上·湖南·月考）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题1例题 (1)求A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换的有关公式结合三角形内角和定理，得到，再根据求角. （2）确定角的值，根据正弦定理表示出边，利用三角形的面积公式，结合三角函数的性质，求的面积的取值范围． 【详解】（1）由， 得， 即，又， 所以，又，所以或． （2）因为为锐角三角形，所以，由正弦定理得，， 即， 则 ， 又，解得， 则，， 所以． （25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.小试牛刀1 (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. （25-26高三上·全国·月考）记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角．小试牛刀2 (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换可求得，可求角B的大小； （2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式可求得，进而可求得面积的最大值．方法二：利用正弦定理可得，，从而可得，利用三角恒等变换及辅助角公式可求得面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以， 即． 因为，所以，，又已知，所以． （2）方法一：在中，由余弦定理得， 又因为，，所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，即的面积的最大值为． 方法二：由，及正弦定理，得， 所以，， 所以的面积 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值1， 取得最大值， 即面积的最大值为． （25-26高二上·浙江·开学考试）如图，在平面四边形中，，与交于点，记.小试牛刀3 (1)用表示； (2)求四边形面积的取值范围； (3)当为何值时，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理求得，由四点共圆得到，再由正弦定理求得； （2）由题意得四边形的面积，代入边后由三角恒等变换化简，由取值范围求得四边形面积的取值范围； （3）由题意得，然后得分别求得，由此得到它们之间的关系.由题意建立方程后解得的值. 【详解】（1）由及正弦定理， 得，即，解得. 又，所以. 又，所以四点共圆， 所以. 因为，所以由正弦定理，得， 即，所以. （2）由题意得四边形的面积. 易知是四边形外接圆的直径，所以， 所以，所以， 所以 . 因为，所以，所以， 所以四边形面积的取值范围是. （3）由题意，得， ， ， 所以. 因为，所以. 又，所以， 所以当，即时，. 【题型3：边长的比值的最值与范围】 （25-26高三上·黑龙江·月考）在中，角是的内角，且.经典例题1例题 (1)求； (2)若为边BC的中点，且，，求的面积； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）运用和差角的正余弦公式以及三角形内角和的诱导公式，对原式进行化简，得到，即可得到； （2）由中线向量定理可得，两边平方后，代入，，，即可依次求得，再运用三角形面积公式即可得解； （3）法一：利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换对原式进行化简得到关于的二次函数，再利用换元法令，结合的取值范围求出的取值范围，即可求出函数的最大值； 法二：运用余弦定理进行化简，得到关于的二次函数，再利用正弦定理边化角及三角恒等变换将转化为，结合的取值范围求出的取值范围，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 整理得， 又，所以， 所以，又，所以. （2）因为为边BC的中点，所以， 因为，，， 所以 ， 即，解得，即，所以. 所以，即的面积为. （3）法一：由正弦定理得 . 令，由知. 当时，； 当时，，此时. 综上，. 令，， 易知，故， 即当且仅当时，取得最大值0. 法二：由余弦定理得，则 . 由正弦定理得， 令，由知， 当时，；当时，， ，此时. 综上，. 令，， 易知，故， 即当且仅当时，取得最大值0. （25-26高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知及正弦定理、三角恒等变换得，再根据三角形内角性质得到、，进而有，最后由正弦定理、诱导公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数的性质求范围. 【详解】由已知及正弦定理，得， 因为，所以， 所以 ， 因为，，所以， 所以，故，则， 因为是锐角三角形，所以，解得，所以， 由正弦定理，得 ， 因为，所以． 故选：A （25-26高二上·云南大理·月考）的内角，，的对边分别为，，，已知．小试牛刀2 (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)的面积为 (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，再利用三角形的面积公式进行求解即可. （2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，再结合角的范围进行计算即可. 【详解】（1）根据题意，以及正弦定理可得， 因为 ，因为，所以， 所以，又，所以， 由余弦定理可得，可得， 即，因为，所以， 所以. （2）由正弦定理可得，因为，所以， 因为角为钝角，所以，可得，则，，即， 所以的取值范围为. （25-26高三上·福建厦门·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．小试牛刀3 (1)若，，求的大小； (2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将边化为角后，借助余弦定理的推论可求得，即可得，结合条件计算可得，再利用正弦定理，可用角表示出，计算即可得； （2）设，利用垂心性质计算可用表示出、，则可表示出，再利用三角恒等变换公式将其化简后结合计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又， 又，故， 由，，则，即，故， 由，则， ， 故 , 则，又，则， 则或，解得或； （2）由为锐角三角形，则垂心在内部， 如图，于点，设， 由为的垂心，，则， ，，则， ， 故 ， 由，则，故， 故. 【题型4：内接圆与外接圆】 （25-26高二上·广东·期中）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，.经典例题1例题 (1)求. (2)若内心为，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围. 【详解】（1）由可得， 化简得， 则由正弦定理得 ， 又由余弦定理， 因，所以； （2）如图， 因内心为，则和分别平分和， 则，则， 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为. （2026·辽宁大连·模拟预测）△中角的对边分别为，满足，.小试牛刀1 (1)证明：； (2)求△的内切圆半径的取值范围； (3)若，△的内切圆上有一点，求点到三点的距离的平方和的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）利用余弦定理结合条件，将边长关系转化为代入，得到，再利用三角形边的关系完成不等式证明； （2）由内切圆半径公式与已知的三角比值，通过消元将表达为关于的二次函数，结合的取值范围，得到的范围； （3）在特定边长下建立平面直角坐标系，利用内切圆的参数方程表示动点，通过三角恒等变换将距离平方和化为关于的一次函数，从而求得最值. 【详解】（1）证明，由知，在中由余弦定理得： （2）由 可知 又 而. （3） 由 解得，可知为直角三角形，且， 以为原点，分别为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，设内心有 设 整理得：， ，即所求得最小值为，最大值为. （25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知在 中， 分别是角所对的边，且 ,,为 外接圆劣弧 上一动点.小试牛刀2 (1)求A； (2)在四边形 中，若 为 的内角平分线，记 的面积分别为， ，若 ， 求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和正弦公式及正弦定理边化角得到，再由展开化简即可求解； （2）令的中点为，在中，由余弦定理得：，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由， 可得：，又， 即， 由正弦定理可得：， 又，得到， 即， 即, 即， 因为，所以， 所以， 即， 即，又， 所以， 所以，即； （2） 由题意， 又，所以， 即， 所以， 令的中点为，由条件可知为的直径，为外接圆的圆心， 由圆的性质可得：，可得， 在中，由余弦定理得：， 所以， 所以由，得：， 又为三角形内角，， 化简可得：，又， 所以. （2025·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)若，求此时的内切圆半径的最大值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用正弦定理进行边化角，再利用两角和与差的正弦公式进一步化简可求得B； （2）勾股定理得，然后利用基本不等式求出的范围，代入直角三角形内切圆半径公式即可求得其最大值； （3）由正弦定理得代入原式得 ，令，利用换元法及二次函数的单调性求范围. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以， 因为，，所以，， 又，所以. （2）由知为直角三角形，满足， 所以直角三角形内切圆半径公式为， 因为， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以，的内切圆半径的最大值. （3）因为，所以， 由正弦定理得， 令，则， 因为，所以， 则， 因为函数在上单调递增， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $