杨辉三角模型中各类创新题求解策略讲义-2026届高三数学二轮专题复习

杨辉三角模型中各类创新题求解策略 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，即二项式系数在三角形中的一种几何排列；杨辉三角又称贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角.杨辉三角是我国古代数学的瑰宝，利用杨辉三角不仅可以讨论二项式系数的一些性质，它本身还包含着许多有趣的数量关系、数学规律和各类性质，主要体现在求一些组合数多项式的和、含数表型数列的项或数列求和问题、以及实际生活和娱乐游戏中的概率问题等．正因为如此，以杨辉三角为背景的试题在历年的高考与各地模拟题中频繁出现，有力地考查了考生对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力．下面采撷几例，与同学们共享成果． 题型一、利用性质证明与二项式系数有关的组合数恒等式 杨辉三角中包含着一系列的基本性质，它们主要是二项展开式中二项式系数即组合数的性质，这些性质是研究杨辉三角其他规律的基础，也是用来证明组合恒等式的常用工具. 例1.求证:. 【证明】因(),则左边 ,故，即恒等式获证. 【点评】杨辉三角中的几个基本组合数性质非常重要,主要有下列五个:(1); (2)(3)(4); (5).这些性质在有关组合数的计算、化简、证明中常作为工具使用，本例的证明就用到了上述第(3)个和第(5)个性质. 【变式训练1】求证:. 题型二、与二项式系数有关的数列求和问题 组合数的两个性质:和在数列中也有着广泛的应用，它们常常用来求与二项式系数有关的数列之和. 例2.如图1所示,在杨辉三角中,斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：,,,,,,,,记这个数列的前项的和为;(1)求的值;(2)求的表达式.  【解析】(1)根据图1,由杨辉三角数表的排列规律知,数列中的首项是,第2项是,第3项是,第4项是,,第15项是,第16项是.于是有 . (2)由杨辉三角数表的排列规律知,数列中的第1项是,第2项是,第3项是,第4项是,,第项是,第项.则 . 【点评】本题是杨辉三角与数列知识结合的一道数列求和题;将数列的各项还原为二项展开式中对应的二项式系数,并依次连续应用杨辉三角数表中的规律(即组合数性质2)来化简计算,从而求得数列的和,且第(2)问是对进行推广,很具价值. 【变式训练2】将和式化简. 题型三、求数表型数列中的某一项或通项公式 在一些数表型数列中，根据各数在表中的排列规律，可由条件求出数列的任意一项或通项公式. 例3.观察如图2数表，请问此表的最后一个数是什么?并说明理由． 【解析】因第1行有100个数,以后每一行都比前一行少一个数,从而知数表共有100行,每一行中距离首末两端等距离的两项和都是相等的，且从第2行开始,表中每一个数都等于该数肩上的两个数之和.根据数表观察可得规律为:第1行首尾两项之和为;第2行首尾两项之和为;第3行首尾两项之和为;第4行首尾两项之和为;;第99行首尾两项之和为.从而知最后一个数,即第100行的那个数是它肩上第99行首尾两数之和，它等于. 【点评】本题是一道以杨辉三角为背景材料的考题,审清楚题意与掌握数表中各数据之间所具有的特点是解决问题的关键;通过观察数表的构成规律,找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子把它表达出来,最终使问题获解. 【变式训练3】将全体正整数排成一个三角形数阵,如图3所示,根据数阵中数的排列规律,求出数阵中第行的从左向右的第3个数的通项公式. 题型四、在一些通道游戏里求某些事件的概率问题 在一些与杨辉三角布阵排列类似的通道游戏里，由于游戏的通道从上至下依次增多一条，且通道由上一层进入到下一层的规律是相同的,可借用杨辉三角的一些性质来求一些事件的概率等问题. 例4.如图4,是放置在竖直平面内的一个“通道游戏”.图中竖直线段和斜线段都表示通道,且在交点处相通,假设一个小弹子在交点处向左或向右是等可能.若竖直线段仅有一条的为第一层,有两条的为第二层,,依此类推,现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动.(1)求该小弹子落入第四层第2个(从左到右数)竖直通道的概率;(2)求出小弹子落入第层的第个竖直通道里的概率;(3)探究该小弹子落入第层第个竖直通道的概率与该小弹子落入第层第个竖直通道的概率之和等于什么? 【解析】(1)因小弹子每次在交点处向左或向右落入是等可能的,用表示要落入第四层的第个通道内在前3次落入时有次是向右的,则小弹子落入第四层第1个竖直通道的路径有条,落入第四层第2个竖直通道的路径有条,落入第3个有条，第4个有条,且;故所求概率. (2)设小弹子落入第层第个竖直通道里的概率为,依据杨辉三角中数据的规律特点,由第(1)问分析易知:用表示要落入第层有个竖直通道的第个通道内在前次落入时有次是向右的,则落入第层的总路径有条,其中落入第层第个通道里的路径有条;故所求的概率为. (3)根据性质知则;由第(2)问即可得,这表明小弹子落入第层第个竖直通道的概率与该小弹子落入第层第个竖直通道的概率之和等于小弹子落入第层第个竖直通道里概率的两倍. 【点评】本题是一道将概率知识与“杨辉三角”巧妙结合在一起且创意新颖的考题;不难发现,此游戏装置原理是以“杨辉三角”为原型,利用二项式系数的基本性质及蕴涵的数量关系，把一个较难的概率问题通过用递推数列关系式表示,便可使问题迎刃而解. 【变式训练4】某旅游景点给游客准备了这样一个游戏,制作了“迷你游戏板”:在一块倾斜放置的矩形木板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉,钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙,第2行3个铁钉之间有2个空隙,…,第8行9个铁钉之间有8个空隙(如图5所示).该庄家的游戏规则是:游客在迷你板上方入口处放入一小球,每玩一次(放入一小球就算玩一次)先付给庄家1元.若小球到达①②③④号球槽,分别奖20元、5元、0元、-5元.(小球的滚动方式为:通过第1行的空隙向下滚动,小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙;以后小球按类似方式继续往下滚动,落入第8行的某一个空隙后,最后掉入迷你板下方的相应球槽内).恰逢周末,某同学看了一个小时,留心数了数有80人次玩.试用你学过的知识分析,这一小时内游戏庄家是赢是赔？通过计算,你得到什么启示？ 题型五、在一些三角数表中按规律求解问题 有些题是以杨辉三角原理为载体，设计了一个三角数表，这样的试题面貌焕然一新，考查了考生的观察、归纳、猜想、建模等数学综合素养，提升对学生逻辑思维能力、实践和创新能力的培养是教师课堂教学的主要任务和终极目标. 例5.将杨辉三角中的奇数换成,偶数换成,得到如图所示的三角数表.从上往下数,第次全行的数都为的是第行,第次全行的数都为的是第行第次全行的数都为的是第 行;第行中的个数是 . 【解析】依题意及由图6知：善于发现0-1三角数表中的规律是解题的关键所在，第1行全是1，第3行全是1；按表中规律,第且行中共有个数字且两端都各是数字1，从第2行起每一行中间的每个数的奇(数字1)与偶(数字0)都是由它肩上的两个数的奇偶性之和来确定，即(奇+奇)与(偶+偶)都得数字0，而(奇+偶)与(偶+奇)都得数字1，按照此规律排列下去，易得如下图7所示的三角数表，可得第7行全是1，由此规律一直排列下去......根据题意和规律易知第n次全行的数都为1的是第行.若将图7继续按规律排列到第4次全行的数都为的是第15行共有16个数，此时易发现其前一行为第14行中是由一个1一个0相间出现最后是1结束,而其前两行为第13行中是由两个1两个0交替出现最后是两个1结束,至此可以说该三角数表中的数字0和1的排列规律才完全确定下来.由于第6次全行的数都为1的是第行共有64个数1；而其前一行为第62行中是由一个1一个0相间出现最后是1结束，该行共有63个数,其中数1有32个、数0有31个；但其前两行为第61行中是由两个1两个0交替出现最后是两个1结束,该行共有62个数,其中数1有32个、数0有30个.综上所述，故知第一空填:,第二空填:32. 【点评】本题若仅列出数表的前7行则解决第一个空应该没有多大问题，但有可能对第二个空作出误判，只有列出数表的前15行才能对数表的构成规律作出准确判断；因此，善于发现数表的构成规律是解题的关键因素，而判断出第行、第行、第行的数字0与1的构成规律是解题的突破口和有效之举. 【变式训练5】在如图8所示的0-1三角数表中，从上往下数,第次全行的数都为的是第行,第次全行的数都为的是第行，第次全行的数都为的是第行，按照此规律一直排列下去(1)求第次全行的数都为的行与第次全行的数都为的行之间共有0的个数是多少？(2)求第次全行的数都为的行与第次全行的数都为的行之间共有0的个数是多少？ 变式训练题答案及解析 1.法1:利用性质则左边 ,即获证.法2:令 ①,由性质, 则 ②,将①②两式相加并合并同类项得,,即命题获证. 2. 解:由组合数基本性质,可得 ,.把上述各等式两端相加即得 . 3.解:因该数阵的第1行有1个数,第2行有2个数,,第行有个数;根据表中规律则第行的最后一个数为,故第行的第3个数. 4.解:设游客每玩一次庄家获利为元,则随机变量;因从第1行开始,小球从一个空隙往下滚动,小球碰到此空隙下方的一个铁钉后以的概率滚入铁钉左边空隙,同样以的概率滚入铁钉右边空隙,当小球继续往下滚时,每次总有落入铁钉左边和右边空隙两种结果,到最后落入某一个球槽内,一共进行了7次独立重复试验;设7次独立重复试验中落入铁钉左边空隙的次数为,则.于是有或 ;;;.则游客每玩一次庄家获利的期望为 元.因一小时内游戏有80人次玩,故游戏庄家平均获利为元.显然由概率知识确认游戏庄家是赢家;同学们要用所学知识来武装自己的头脑,不但自己不去玩,还应劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑. 5.解:善于发现0-1三角数表中的规律是解题的关键所在，本题虽然数的排列格式与杨辉三角相似，但与其性质关系不大,主要以观察构成规律为主. (1)由题意及图8可知：第次全行是1的数为第1行，第次全行是1的数为第3行，第次全行是1的数为第7行；按表中规律依次排下去知第次全行是1的数为第15行，并且从第8行至第14行共有7行，从上往下数各行中的数字0的个数分别为7,6,5,4,3,2,1，这些数字0恰好构成一个倒三角图形，即第次全行的数都为的行与第次全行的数都为的行之间共有0的个数是. (2)第n次全行是1的数为第行.而第行的数不仅全是1，且共有个1；其下一行是第行,其中两端各有一个1、中间有个全是0，且1和0的个数之和共有个；再接下去的这一行是第行,其中两端各有两个1、中间有个全是0，且1和0的个数之和共有个；按此规律排下去：在均含有数字1和0的相邻的两行中下一行总比上一行多1个数，且下一行的两端比上一行的两端各多1个数1、而中间全是0的地方却少1个数0，照规律如此排列下去，中间仅有1个数字0的行是第行；再接下去就是第n+1次全行是1的数为第行.因此，从第行至第行共有行，从上往下数各行中的数字0的个数分别为,,,3,2,1，这是一个公差为的等差数列，且这些数字0恰好构成一个倒三角图形，即第次全行的数都为的行与第次全行的数都为的行之间共有0的个数是. 学科网（北京）股份有限公司 $