专题10 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

本高中数学讲义聚焦余弦定理与正弦定理的应用，系统梳理距离、高度、角度等7类典型题型，构建从基础定理到实际问题解决的学习支架，助力学生掌握不同情境下的解题方法。 资料以实际情境为载体，通过分类题型与图形辅助，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理计算的能力，如距离问题中构造三角形求解不可到达点距离。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题10 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类 一、距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 二、高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 三、角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. （一） 距离问题 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形. 题型1：距离问题 1．（2026高一·全国·课后作业）一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 2．（2026高三·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 3．（2026高一·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 4．（2026高一·河南新乡·期末）小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（  ） A．40米 B．米 C．米 D．60米 5．（2026高一·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． （二） 高度问题 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. 题型2：高度问题 6．（2026高一·天津河北·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ）    A． B． C． D． 7．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 8．（2026高一·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 9．（2026高一·山东潍坊·期末）如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为 米． 10．（2026高一·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 11．（2026高一·江西上饶·期末）如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（   ） A． B． C． D． 12．（2026高一·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 13．（2026高一·重庆·月考）如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 14．（2026高一·河南平顶山·期末）为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为，，（），则（   ） A． B． C． D． （三） 角度问题 根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 题型3：角度问题 15．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 16．（2026高一·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 17．（2026高一·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 18．（2026高三·山东泰安·月考）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 19．（2026高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 20．（2026高一·全国·课后作业）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° （四） 其他应用 正余弦定理应用广泛。判断三角形形状时，能借边角关系定类型；解多边形问题，可分割成三角形求解；处理三角形中最值范围问题，通过定理结合三角函数性质，挖掘条件找临界，就能巧妙化解难题， 题型4：判断三角形形状 21．（2026高一·山东青岛·月考）在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 22．（2026高一·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 23．（2026高一·江苏·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 24．（2026高一·安徽亳州·期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型5：解多边形问题 25．（2026高三·安徽阜阳·期末）在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 26．（2026高三·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 27．（2026高三·安徽宿州·月考）在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 28．（2026高三·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 29．（2026高三·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 30．（2026高三·湖北随州·专题练习）如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 题型6：三角形中最值范围问题 31．（2026高二·四川·期末）平面上的四边形中，，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 32．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 33．（2026高三·湖南长沙·月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2026高三·陕西咸阳·专题练习）在中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 35．（2026高三·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 36．（2026高三·河北·期末）在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高三·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：正余弦定理的实际应用 38．（2026高一·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 39．（2026高一·内蒙古赤峰·月考）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 40．（2026高一·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 41．（2026高一·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 42．（2026高一·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 43．（2026高一·福建厦门·月考）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 1．（2026高一·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 4．（2026高三·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·江西鹰潭·月考）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（） A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m 6．（2026高二·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·湖北武汉·期末）海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 8．（2026高一·海南·月考）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．300m B．600m C． D． 9．（2026高一·陕西商洛·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．非等边等腰三角形 D．等边三角形 10．（2026高一·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 11．（2026高一·四川绵阳·期末）“一座越王楼，半部中国文学史”，位于四川省绵阳市龟山之巅的越王楼始建于唐高宗显庆年间（公元656-661年），其规模宏大，富丽堂皇，历代诗人咏越王楼的诗篇多达150余篇，如“危楼高百尺，手可摘星辰．不敢高声语，恐惊天上人”等．今天我们所看到的越王楼是2011年重建而成的，共有15层，站在楼上观光，可俯视整个绵阳的风景．现采用三角高程测量法测量越王楼的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 13．（2026高一·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m． 14．（2026高一·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为 m. 15．（2026高三·河南·月考）据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 小时． 16．（2026高一·河南·月考）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，测得. (1)求点A 和点 N 之间的距离； (2)求两山顶M，N间的距离. 17．（2026高一·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 18．（2026高一·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 19．（2026高三·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 20．（2026高三·陕西榆林·期中）如图所示，公园有一块边长为4的等边三角形草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上． (1)设，，求y关于x的函数关系式； (2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题10 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类 一、距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 二、高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 三、角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. （一） 距离问题 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形. 题型1：距离问题 1．（2026高一·全国·课后作业）一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【答案】D 【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可. 【详解】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里． 故选：D. 2．（2026高三·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 3．（2026高一·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【答案】C 【分析】作出辅助线，设，根据得到方程，求出，得到，进而在中，由余弦定理得到，求出答案. 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 4．（2026高一·河南新乡·期末）小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（  ） A．40米 B．米 C．米 D．60米 【答案】C 【分析】根据题意，作出图形，利用正弦定理和余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：由题可得、、，，， ，即， 故，则，则， 故. 故选：C. 5．（2026高一·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. （二） 高度问题 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. 题型2：高度问题 6．（2026高一·天津河北·期中）如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理可得，即， 因为点C测得塔顶A的仰角为，所以. 故选：C 7．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 8．（2026高一·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【答案】D 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 9．（2026高一·山东潍坊·期末）如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为 米． 【答案】 【分析】如图，在中，根据题设条件求三个内角的大小及的长度，再利用正弦定理，即可求解. 【详解】如图，在中，由题知，， 又旗杆与水平面垂直，所以，则， 由正弦定理知，得到， 故答案为：. 10．（2026高一·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高. 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米. 故答案为： 11．（2026高一·江西上饶·期末）如图，在山脚处测得山顶的仰角为，朝山顶沿坡度为的斜坡向上走到点处，此时测得山顶的仰角为，则山高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，再结合角的关系求得，最后在直角中求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 在中，， 所以山高. 故选：A 12．（2026高一·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中，由余弦定理求得，在中，运用正弦定理求得即可. 【详解】在中，设，则， 由余弦定理得， 即，解得． 在中，． 由正弦定理得，即，解得． 故选：B． 13．（2026高一·重庆·月考）如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解. 【详解】由题意可知，，，， 设，在中，，有； 在中，，有； 在中，，有， 又， 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则， 即，解得，即米. 故选：B 14．（2026高一·河南平顶山·期末）为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先由三角函数得到，，，在和中，分别使用余弦定理，结合得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，设， 则在中，，故， 同理可得，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由于，故， 即， 即， 解得. 故选：A （三） 角度问题 根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 题型3：角度问题 15．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【分析】根据题意，由即可得到的度数，即可得到结果. 【详解】由题意可知， ∵，∴， 从而可知灯塔在灯塔的北偏西． 故选：B 16．（2026高一·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 17．（2026高一·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 18．（2026高三·山东泰安·月考）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得. 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 19．（2026高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 20．（2026高一·全国·课后作业）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B （四） 其他应用 正余弦定理应用广泛。判断三角形形状时，能借边角关系定类型；解多边形问题，可分割成三角形求解；处理三角形中最值范围问题，通过定理结合三角函数性质，挖掘条件找临界，就能巧妙化解难题， 题型4：判断三角形形状 21．（2026高一·山东青岛·月考）在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】首先由余弦定理得，再由题干条件结合正弦定理得，故是等边三角形. 【详解】由，得，所以； 又，由正弦定理得，所以是等边三角形. 故选：C. 22．（2026高一·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 23．（2026高一·江苏·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理化简得出、的值，结合三角形内角的取值范围可得出角、的值，即可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 因为、，故，， 因此，为等腰直角三角形. 故选：A. 24．（2026高一·安徽亳州·期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边角互化得，进而移项整理得，再结合得或，进而得答案． 【详解】因为， 根据正弦定理边角互化得， 所以， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或，即的形状是等腰或直角三角形． 故选：D 题型5：解多边形问题 25．（2026高三·安徽阜阳·期末）在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理得得，，两式相除代入条件求得结论. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，所以 故选：C 26．（2026高三·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 27．（2026高三·安徽宿州·月考）在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 【答案】 【分析】设，根据和余弦定理得到方程，求出，从而得到，，相加可得答案. 【详解】由题意，如图，设，由角平分线定理可得， 由于，所以由余弦定理可得：， 即：，解得：， 可得：，， ． 故答案为： 28．（2026高三·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以. 即的面积为. （2）设， 在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以， 在中，,, 由正弦定理，所以， 所以， 所以，化简得， 所以， 因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即. 所以的取值范围为. 29．（2026高三·贵州遵义·月考）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 30．（2026高三·湖北随州·专题练习）如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，再在中，利用三角形的面积公式，列出方程，求得，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，求得，结合正弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，，且，可得， 在中，， 可得，， 在中，，， 可得，由， 可得，解得， 又由余弦定理得：， 所以，所以. （2）因为， 在中，，，可得，， 所以， 由正弦定理，可得，解得， 所以， 所以. 题型6：三角形中最值范围问题 31．（2026高二·四川·期末）平面上的四边形中，，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，设，先列出的关系确定，然后根据正弦定理列出的关系确定，从而得到结果. 【详解】延长交于点，因为，所以. 因为，所以. 所以 设，所以在中，. 设，因为，所以. 由得，解得. 在中，根据正弦定理，得到. 所以. 由于，所以有，解得. 所以的取值范围为. 故选：A. 32．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）在中，其面积为1，的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据条件得出，再利用余弦定理可得，再结合辅助角公式和三角函数的值域求解. 【详解】设，则由题意可知，，， 则， 由余弦定理可得， ， 则， 即，其中， 则，得， 当时，，得，则，， 故的最小值为. 故选：D 33．（2026高三·湖南长沙·月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为锐角三角形，可得，再利用正弦定理，即可得解． 【详解】因为为锐角三角形，角， 所以，解得，所以， 由正弦定理知，， 所以 故选：A． 34．（2026高三·陕西咸阳·专题练习）在中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解，再利用正弦定理边化角，结合辅助角公式，可求最大值. 【详解】由正弦定理，原等式可化为， 若，整理得， 故，因为，所以. 由正弦定理，， 则 ，其中为锐角，， 因为，故当时，取得最大值为. 故选：A. 35．（2026高三·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知及正弦定理、三角恒等变换得，再根据三角形内角性质得到、，进而有，最后由正弦定理、诱导公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数的性质求范围. 【详解】由已知及正弦定理，得， 因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以，故，则， 因为是锐角三角形，所以，解得，所以， 由正弦定理，得 ， 因为，所以． 故选：A 36．（2026高三·河北·期末）在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设结合余弦定理求出，接着将所求进行转化得到，再构造，过作，垂足为，过作，垂足为，数形结合即可分析求解. 【详解】因为，所以， 则， 由余弦定理，， 又，所以， 则. 如图，设，过作，垂足为，则， 过作，垂足为， 则. 故选：C 37．（2026高三·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得，然后由三角函数和差化积公式可得， 然后可得，然后结合三角形的正弦定理和面积公式可得答案. 【详解】的内角，，满足， ， ， ， ， 化为， ． 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得：， 由可得：， 则，即，则 由，及正弦定理得， 即， 面积满足， 故选：A 题型7：正余弦定理的实际应用 38．（2026高一·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 39．（2026高一·内蒙古赤峰·月考）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 40．（2026高一·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 41．（2026高一·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】(1)1小时 (2)3小时 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 42．（2026高一·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，． (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由和可得和，从而得，由正弦定理，可得AB； （2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值. 【详解】（1）由题意得：， 所以， 由正弦定理得即， 所以. （2）设乙出发（）后到达点，此时甲到达点，如图所示， 则，， 由余弦定理得： ， 所以当时，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. 43．（2026高一·福建厦门·月考）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【答案】(1)千米 (2) 【分析】（1）根据题意在由余弦定理可求出AC，再在中由正弦定理求DC即可. （2）根据已知条件、两个三角形和边角的联系建立需求量之间的等量关系，再由面积公式进行推算即可. 【详解】（1），则， 在中，，即， 在中，， 由正弦定理知；，即， 则千米. （2）设，则，在中：， 在中：， 则，得， 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故，故， 故，故， 所以 ， 当等号成立时，，， 此时，故此时为锐角三角形， 即圆心在的内部或边界， 所以. 【点睛】思路点睛：解决本题关键在于熟练掌握正余弦定理及其面积公式基础上抓住已知量和需求量的联系建立等量关系；解决三角形问题核心思想是边角互化，最值或取值范围问题常用理论：基本不等式或边化角利用三角函数值的有界性去解决. 1．（2026高一·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 2．（2026高一·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 3．（2026高一·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【分析】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【详解】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 4．（2026高三·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 5．（2026高三·江西鹰潭·月考）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（    ）（） A．37.52m B．35.48m C．33.26m D．31.52m 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得. 【详解】因为， 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理得，则， 所以， 即镇国寺塔的高度约为35.48m． 故选：B. 6．（2026高二·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 7．（2026高一·湖北武汉·期末）海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】依题意可求出，再由正弦定理可得，再利用余弦定理可求解. 【详解】如图所示，依题意． 在中，， 由正弦定理得，． 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 故选：C 8．（2026高一·海南·月考）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．300m B．600m C． D． 【答案】D 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，， 在中，， 在中， ． 故选：D. 9．（2026高一·陕西商洛·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．非等边等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解. 【详解】由已知在中，， 则， 又在中，， 则， 所以，即， 又， 所以， 由中，， 即， 所以， 由， 所以，即， 所以，即为等边三角形， 故选：D. 10．（2026高一·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 11．（2026高一·四川绵阳·期末）“一座越王楼，半部中国文学史”，位于四川省绵阳市龟山之巅的越王楼始建于唐高宗显庆年间（公元656-661年），其规模宏大，富丽堂皇，历代诗人咏越王楼的诗篇多达150余篇，如“危楼高百尺，手可摘星辰．不敢高声语，恐惊天上人”等．今天我们所看到的越王楼是2011年重建而成的，共有15层，站在楼上观光，可俯视整个绵阳的风景．现采用三角高程测量法测量越王楼的高度．如图是三角高程测量法的示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面的投影，，满足，，在点C处测得点B的仰角为，与的高度差为30m，在点B处测得点A的仰角为，则A，B两点到水平面的高度差约为（    ）（） A．69m B．72m C．79m D．82m 【答案】D 【分析】过作于，过作于，由题意可得，在中，由正弦定理可得，进而计算可求得A，B两点到水平面的高度差. 【详解】过作于，过作于， 由题意可得，， 在中，，所以， 所以，在中，，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以 ， 因为在点B处测得点A的仰角为，所以. 所以A，B两点到水平面的高度差约为m. 故选：D. 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 【答案】AB 【分析】画出示意图如图所示，在三角形中，由正弦定理即可求出的值，讨论船在B处和处时，即可求出答案. 【详解】画出示意图如图所示，由题意得，，， 所以，解得， 所以或． 当船在B处时，，所以； 当船在处时，，所以． 综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向． 故选：AB. 13．（2026高一·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m． 【答案】 【分析】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴m. 故答案为：. 14．（2026高一·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为 m. 【答案】 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 15．（2026高三·河南·月考）据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为 小时． 【答案】/ 【分析】作图，在中，由余弦定理求出.由题意知，当时，该市受影响.整理得到，解出不等式的解集，即可得到答案. 【详解】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置． 设台风移动小时后的位置为，则. 又，， 在中，由余弦定理，得， 由可得，， 整理可得，， 解得， 又， 所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时． 故答案为：. 16．（2026高一·河南·月考）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，测得. (1)求点A 和点 N 之间的距离； (2)求两山顶M，N间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在里，已知两角一边，先由三角形内角和求出，再用正弦定理算出 （2）在中，根据已知两角求出，再用正弦定理算出在中，已知，用余弦定理算出，再开方得 【详解】（1）由题意可得，，所以 在中，根据正弦定理可知 所以 则 （2）在中，，所以， 由正弦定理可得 则. 在中，， 由余弦定理得 ， 所以 故两山顶M，N间的距离为 17．（2026高一·吉林松原·期中）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. (1)求处到观测塔的距离； (2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？ 【答案】(1)海里 (2)北偏东的方向， 2小时 【分析】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解； （2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解. 【详解】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向， 得在中，，，， 由正弦定理，得，所以， 又， 所以海里，即处到观测塔的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理，得， 所以海里，航行时间至少为小时. 又， 且，所以，所以在的北偏东方向. 故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处. 18．（2026高一·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【详解】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 19．（2026高三·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【详解】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 20．（2026高三·陕西榆林·期中）如图所示，公园有一块边长为4的等边三角形草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上． (1)设，，求y关于x的函数关系式； (2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式求出，可得到，在中，利用余弦定理即可求得； （2）利用基本不等式可求得DE的最小值，根据函数单调性，可求得DE的最大值，进而确定DE的位置. 【详解】（1）， ∴， ∴，∴．     在中，， 所以． （2）由（1）知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以DE的最小值为．此时，且． 令，则，， 易证在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以． 所以． 所以DE的最大值为．此时DE与过点B或过C的高线重合 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $