专题 1.5 平行线的性质（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.5 平行线的性质（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行性质的性质一 1 ★【题型 1】利用“两直线平行，同位角相等”求值证明 1 【知识点二】平行性质的性质二 5 ★【题型 2】利用“两直线平行，内错角相等”求值证明 5 【知识点三】平行性质的性质三 7 ★【题型 3】利用“两直线平行，同旁内角互补”求值证明 7 ★★【题型 4】利用平行线的性质综合求值证明 10 ★★【题型 5】过“拐点”作平行线求值证明 14 ★★【题型 6】平行线的性质与判定与三角板综合 19 ★★【题型 7】平行线的性质与判定与旋转问题综合 24 ★★【题型 8】平行线的性质与判定与折叠问题综合 30 二.中考模拟真题 34 （一）单选题（6题） 34 （二）填空题（6题） 38 （三）解答题（2题） 42 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】平行性质的性质一 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。 垂直于同一直线的两条直线平行。 ★【题型 1】利用“两直线平行，同位角相等”求值证明 【例题1】（浙教版七下27页作业题第2题改编）（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图，D，E 分别是上的点． 已知，， ． (1)与平行吗？请说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)与平行，理由见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与平行线的性质，解题的关键是根据同位角相等证明两直线平行． （1）根据同位角相等即可判断出两直线平行； （2）根据平行线的性质得到的度数． （1）解：与平行，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．根据两直线平行，同位角相等即可判定． 解：， ，故选项D符合题意， 、、均不符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握垂直于同一条直线的两条直线平行，以及平行线的同位角相等的性质是解题的关键． 先根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，再利用平行线的性质求出的度数． 解：， ， ， ∵， ∴ ． 故答案为：70°． 【变式3】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____①_____，理由如下： （已知）， _____②_____（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， _____③_____（等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． _____④_____（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 【答案】①，②，③，④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质即可求解． 解：与的位置关系是，理由如下： （已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③，④． 【知识点二】平行性质的性质二 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。 ★【题型 2】利用“两直线平行，内错角相等”求值证明 【例题2】（浙教版七下29页课内练习第1题改编）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在墙面上安装某一管道需要经过两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数是（   ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 解：根据题意，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行， ∴， 故选：C ． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·四川泸州·月考）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点、、、在同一条直线上，若，则 ． 【答案】55 【分析】本题考查直线平行的性质．根据的度数可求其补角的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得到答案． 解：∵， ∴， 由题可知， ∴， 故答案为：55． 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与直线交于点O，，平分． (1)射线是的平分线吗？请说明理由； (2)，，求的大小． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据垂直得，进而得到及，根据角平分线的性质得，进而得到，即可得出结论； （2）设，则、，根据，列方程，求出的值，再根据平行线的性质得到，据此解答即可． （1）解：是的平分线，理由如下： 、 平分 是的平分线； （2）解： 设，则、 ． 【知识点三】平行性质的性质三 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 ★【题型 3】利用“两直线平行，同旁内角互补”求值证明 【例题3】（浙教版七下30页作业题第2题改编）（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，、分别是、上的点，若，则．完成下面的说理过程： 已知， 根据（           ）， 得 ． 又根据（              ）， 得． 【答案】内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是本题的关键． 运用平行线的性质和判定，即可得出答案． 解：已知， 根据内错角相等，两直线平行， 得． 又根据两直线平行，同旁内角互补， 得． 故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 解：如图          ， ， ， ， ， . 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，直线、被直线所截，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据同旁内角互补即可求解． 解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面给出了命题“如图，如果，那么”的说理过程，请补充完整． （   ）， ________________（   ）． （   ）． 【答案】已知；；内错角相等，两直线平行 ；两直线平行，同旁内角互补. 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线判定和性质即可求解. 解：（已知   ）， （内错角相等，两直线平行   ）． （两直线平行，同旁内角互补   ）． 故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行 ；两直线平行，同旁内角互补. ★★【题型 4】利用平行线的性质综合求值证明 【例题4】（浙教版七下30页作业题第4题改编）（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，是上一点，，交于点，是上一点，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，从而得到，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，再由，即可求解． （1）证明：， ．                                       ， ．                   ． （2）解：， ．                                        ， ．                                       ， ，                                 ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·甘肃天水·期末）如图所示，若，则下列结论中，正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据已知条件得出，进而利用平行线的性质得出结论． 解：∵， ∴， ∴，无法证明，． ∴正确的结论有：①④． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定逐项判断即可． 解：①∵， ∴，正确； ②∵， ∴， 但不一定平分， ∴推不出， 即不一定正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，正确； ④∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴平分，正确 故正确的有①③④． 故答案为：①③④ ． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）请将下面的说理过程补充完整． (1)如图，（已知）， _______（   ）． 又（已知）， ________（   ）． ________________（   ）． (2)如图，（已知）， ________，________，（   ） ________=________（两直线平行，内错角相等）， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）． 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行，，同旁内角互补，两直线平行，，，平行于同一条直线的两条直线平行 (2)，，两直线平行，同位角相等，，，，，，，， 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求证即可； （2）根据平行线的性质求证即可． （1）解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）． 又（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． （平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行，，同旁内角互补，两直线平行，，，平行于同一条直线的两条直线平行． （2）解：（已知）， ，，（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等）， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：，，两直线平行，同位角相等，，，，，，，，． ★★【题型 5】过“拐点”作平行线求值证明 【例题5】（23-24七年级·广东深圳·月考）如图，已知直线． (1)如图1，猜测，和之间有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，，分别平分，，则和有怎样的数量关系？请说明理由． (3)如图3，点E在直线的右侧，、仍平分、，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1),理由见解析 (2),理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线和角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）作直线l平行于，根据两直线平行内错角相等，可得，，则∠； （2）根据角平分线的性质可得，根据（1）的结论可得，所以； （3）过点E作，由两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的性质可得，代入前式得． 【详解】（1）解：,理由如下： 过点E作直线l平行于，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ 即， （2）解：如图2， ∵，分别平分，， ∴，， ∴ 由（1）可得，， ∴． （3）解：． 如图3， 过点E作 ∵，， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知，， 又∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴ 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线辅助线是解题的关键． 过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ，且 ． ，， ． ，， ． 由图可知， 将、代入， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题关键在于通过作辅助线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，将已知角与所求角建立联系，进而通过角的和差计算得出结果． 【变式3】（2023·河北秦皇岛·一模）将北斗七星的位置画到纸上，分别标为，，，，，，，然后将，，，，，，顺次首尾连接（如图所示），设恰好经过点，且，，在一条直线上．已知，，．    （1）的度数为 ； （2）连接，若，则的度数为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线．添加平行线，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． （1）过点C作，可得，从而求出，再根据即可求解； （2）先根据，求出，再相加即可． 【详解】解：⑴过点C作    ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）   ∵， ∴ ∵ ∴ ★★【题型 6】平行线的性质与判定与三角板综合 【例题6】（24-25七年级下·浙江台州·期末）三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，详见解析 【分析】平移的性质；平行线的应用-三角尺问题，平行公理，两直线平行，内错角相等． (1)过点B作直线，可得，根据平行线的性质即可求解； (2)①过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解； ②过点D，点B作直线，直线，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作直线， 由得，， 则，， 从而 （2）①如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， ． ②如图，分别过点D，点B作直线，直线， 由得，， ，，，，， . 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·月考）将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，， ．若固定三角板，将三角板绕点A转动，当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，分类讨论，是解题的关键． 过点A作，得，根据平行线性质,分两种情况，当在点A下方时，，，得； 当在点A上方时，，，得． 【详解】解：过点A作， ∵， ∴， 当在点A下方时， ，， ∴； 当在点A上方时， ，， ∴； ∴的度数为或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题供其他同学研究． 实践操作，提出问题： (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为________． (2)善思小组的同学们将一个三角板放在一组直线与之间，如图2，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们将三角板按图3方式摆放，使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的数量关系_________． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． ★★【题型 7】平行线的性质与判定与旋转问题综合 【例题7】（24-25七年级上·陕西延安·月考）如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒）、且a、b满足．    (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒，两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系； (2)若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒，若旋转中，求t的值． 【答案】(1)； (2)若旋转中，t的值为10或85． 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a，b的值，由题意可得，再根据即可得到，从而可得，再根据，可得，从而可得，即可得出结论； （2）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵a、b满足． ∴， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 过点C作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴，即射线旋转的角度小于， ①当，即时， ， 解得：； ②当且，即时， ， 解得：； ③当，即时， ， 解得：（不合题意，舍去）； ∴若旋转中，t的值为10或85． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如下图，点，，，在同一直线上，现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为秒，下列的值，不能满足的是（   ） A．18 B．36 C．45 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，根据题意，第一次时，应有即；第二次时，应有即；第三次时，应有即，分类计算即可． 【详解】解：根据题意，t秒后，转过，转过，即， 如图，第一次时，即，则即， 解得：； 第二次时，即，则即， 解得：； 第三次时，即，则即， 解得：； 综上，不能满足的值是． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁大连·月考）如图，直线 点P，Q分别在直线上，射线绕点 P 按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即绕点P按照原来的速度逆时针旋转，旋转的过程中记为射线 ；射线绕点 Q 按顺时针方向以每秒的速度旋转，旋转的过程中记为射线，当射线 与射线重合时，两条射线同时停止旋转．若射线先旋转5 秒，则射线旋转 秒时， ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，一元一次方程的应用，设当射线旋转秒时，，分两种情况进行讨论即可． 【详解】解：解：设当射线旋转秒时，， ①当时，如图，则， ∵， ∴， 即， 解得，； ②当时，如图，则， ∵， ∴， 即， 解得，；    综上，当射线旋转的时间为秒或秒时，． 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解． （2）根据是的倍，结合（1），得出方程，解得，进而求得，即可得证； （3）分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；．． （2）． 理由：由题意，得， 解得， 即， ， ． （3）存在．分以下两种情况： ①如图1，，． ， ． ， ，解得； ②如图2，， ， ， ，解得． 综上所述，的值为或． ★★【题型 8】平行线的性质与判定与折叠问题综合 【例题8】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 【答案】想法一：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；想法二：同位角相等，两直线平行；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和平行公理的应用，熟记平行线的判定定理与平行公理推论是解题的关键． 阅读材料：想法一：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可； 想法二：根据“同位角相等，两直线平行”求解即可； 解决问题：由垂直可证明，由平行线的性质可得到，可证得结论，据此解答即可． 【详解】解：阅读材料：想法一：，， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 想法二：由图②中的折叠得，， ， 由图③中的折叠得，， ， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； 解决问题：证明：于点，于点， ， ，， 又， ， 平分． 【变式1】（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 【详解】解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·山东临沂·月考）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用． （1）利用同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行分析即可； （2）利用同位角相等，两直线平行进行分析即可； （3）由题意可得，则有，，再由角平分线的定义可得，则可求得． 【详解】（1）解：，， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）； （2）解：，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）证明：于点，于点， ∴， ，， 又平分， ． ． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，由两直线平行，同位角相等可得的度数，再由对顶角相等可得的度数． 解：如图所示，∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，方位角．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解． 解：如图： 由题意得，， ∴， ∴ 故选：C． 3．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 4．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，易得，根据平行线的性质，进行求解即可．过拐点作平行线，是解题的关键． 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 5．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答． 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选C． （二）填空题（6题） 7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可． 解：∵，， ∴， 故答案为： 8．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ． 根据两直线平行，内错角相等即可求解． 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解． 解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意，得到两条折射光线平行，根据平行线的性质得到，即可． 解：∵， ∴在空气中的两条直线也平行， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 11．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数． 解：如图，过点作． ，且 ． ，， ． ，， ． 由图可知， 将、代入， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题关键在于通过作辅助线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，将已知角与所求角建立联系，进而通过角的和差计算得出结果． 12．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，过点作，运用平行线的性质得，即，又因为，的平分线相交于点N，得，同理得，所以，即可作答． 解：过点作，过点作，如图所示： 依题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点N， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （三）解答题（2题） 13．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，四边形中，连接，E，F是直线上的点，G是射线上的点，若，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，正确运用疏导他对于空间解答本题的关键． （1）先证明，得；再证明，可得； （2） 运用平行线的性质求解即可． （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴．     ∵， ∴． ∴ 14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，已知，E为射线上一点，连接，平分． 【问题探究】 （1）如图1，当点在线段上时，求证：． 【问题解决】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，用了方程的思想，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据平行线的性质求出，推出，根据平行线的判定得出，求出∠DAE=∠BEA即可； （2）根据，设，，，根据平行线的性质得出方程，求出x即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵， 即， ∴，， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 平行线的性质（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行性质的性质一 1 ★【题型 1】利用“两直线平行，同位角相等”求值证明 1 【知识点二】平行性质的性质二 3 ★【题型 2】利用“两直线平行，内错角相等”求值证明 3 【知识点三】平行性质的性质三 4 ★【题型 3】利用“两直线平行，同旁内角互补”求值证明 4 ★★【题型 4】利用平行线的性质综合求值证明 5 ★★【题型 5】过“拐点”作平行线求值证明 7 ★★【题型 6】平行线的性质与判定与三角板综合 8 ★★【题型 7】平行线的性质与判定与旋转问题综合 9 ★★【题型 8】平行线的性质与判定与折叠问题综合 11 二.中考模拟真题 12 （一）单选题（6题） 12 （二）填空题（6题） 14 （三）解答题（2题） 15 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】平行性质的性质一 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。 垂直于同一直线的两条直线平行。 ★【题型 1】利用“两直线平行，同位角相等”求值证明 【例题1】（浙教版七下27页作业题第2题改编）（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图，D，E 分别是上的点． 已知，， ． (1)与平行吗？请说明理由． (2)求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，．若，则的度数为 ． 【变式3】（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____①_____，理由如下： （已知）， _____②_____（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， _____③_____（等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． _____④_____（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 【知识点二】平行性质的性质二 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。 ★【题型 2】利用“两直线平行，内错角相等”求值证明 【例题2】（浙教版七下29页课内练习第1题改编）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在墙面上安装某一管道需要经过两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数是（   ）    A． B． C． D．不能确定 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·四川泸州·月考）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点、、、在同一条直线上，若，则 ． 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与直线交于点O，，平分． (1)射线是的平分线吗？请说明理由； (2)，，求的大小． 【知识点三】平行性质的性质三 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 ★【题型 3】利用“两直线平行，同旁内角互补”求值证明 【例题3】（浙教版七下30页作业题第2题改编）（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，、分别是、上的点，若，则．完成下面的说理过程： 已知， 根据（            ）， 得 ． 又根据（              ）， 得． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【变式2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，直线、被直线所截，若，，则 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面给出了命题“如图，如果，那么”的说理过程，请补充完整． （    ）， ________________（    ）． （    ）． ★★【题型 4】利用平行线的性质综合求值证明 【例题4】（浙教版七下30页作业题第4题改编）（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，是上一点，，交于点，是上一点，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式1】（23-24七年级上·甘肃天水·期末）如图所示，若，则下列结论中，正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是 ． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）请将下面的说理过程补充完整． (1)如图，（已知）， _______（    ）． 又（已知）， ________（    ）． ________________（    ）． (2)如图，（已知）， ________，________，（    ） ________=________（两直线平行，内错角相等）， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）． ★★【题型 5】过“拐点”作平行线求值证明 【例题5】（23-24七年级·广东深圳·月考）如图，已知直线． (1)如图1，猜测，和之间有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，，分别平分，，则和有怎样的数量关系？请说明理由． (3)如图3，点E在直线的右侧，、仍平分、，请直接写出和的数量关系． 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 【变式3】（2023·河北秦皇岛·一模）将北斗七星的位置画到纸上，分别标为，，，，，，，然后将，，，，，，顺次首尾连接（如图所示），设恰好经过点，且，，在一条直线上．已知，，．    （1）的度数为 ； （2）连接，若，则的度数为 ； ★★【题型 6】平行线的性质与判定与三角板综合 【例题6】（24-25七年级下·浙江台州·期末）三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，点A，C在直线上，点E，F在直线上．固定三角板，将三角板向右平移． (1)如图2，当点B落在线段上时，求的度数； (2)在三角板平移过程中，连接，记为，为． ①如图1，当点D在直线左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． ②如图3，继续向右平移三角板，当点B在直线左侧时，第①题中结论是否仍成立？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·月考）将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，， ．若固定三角板，将三角板绕点A转动，当时，的度数为 ． 【变式3】（24-25七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题供其他同学研究． 实践操作，提出问题： (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为________． (2)善思小组的同学们将一个三角板放在一组直线与之间，如图2，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们将三角板按图3方式摆放，使顶点在直线上，直角顶点在直线上，若，请直接写出与之间的数量关系_________． ★★【题型 7】平行线的性质与判定与旋转问题综合 【例题7】（24-25七年级上·陕西延安·月考）如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒）、且a、b满足．    (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒，两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系； (2)若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒，若旋转中，求t的值． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如下图，点，，，在同一直线上，现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为秒，下列的值，不能满足的是（   ） A．18 B．36 C．45 D．54 【变式2】（23-24八年级下·辽宁大连·月考）如图，直线 点P，Q分别在直线上，射线绕点 P 按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即绕点P按照原来的速度逆时针旋转，旋转的过程中记为射线 ；射线绕点 Q 按顺时针方向以每秒的速度旋转，旋转的过程中记为射线，当射线 与射线重合时，两条射线同时停止旋转．若射线先旋转5 秒，则射线旋转 秒时， ． 【变式3】（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． ★★【题型 8】平行线的性质与判定与折叠问题综合 【例题8】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 【变式1】（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【变式3】（23-24七年级下·山东临沂·月考）【问题情境】 学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 （1）发现一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． （2）发现二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】（3）如图⑤，于点，平分，于点．求证：． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ． 8．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ． 10．（2025·四川广安·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，a，b为两条平行的光线，，则的度数为 ． 11．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 12．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °． （三）解答题（2题） 13．（2025·河南安阳·模拟预测）如图所示，四边形中，连接，E，F是直线上的点，G是射线上的点，若，． (1)求证：，； (2)若，求的度数． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，已知，E为射线上一点，连接，平分． 【问题探究】 （1）如图1，当点在线段上时，求证：． 【问题解决】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，若，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $