专题4.3 公式法 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

公式法 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 用平方差公式分解因式 考点梳理 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 典例引领 考向01 平方差公式分解因式 【例1】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括平方差公式和提取公因式后应用完全平方公式． （1）观察式子结构，识别平方差形式，直接应用公式分解； （2）先提取公因式，剩余部分再判断是否为完全平方式，进一步分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 对点提升 【对点1】如下图，在边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形． (1)阴影部分的面积为 （用代数式表示）． (2)先将上述代数式因式分解，再计算当，时，阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，直接列代数式； （2）对代数式用平方差公式因式分解，再代入数值简化计算． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，即． （2）解：． 当，时， 阴影部分的面积 答：阴影部分的面积为． 考点02 用完全平方公式分解因式 考点梳理 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 典例引领 考向02 完全平方公式分解因式 【例2】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)时，多项式有最小值，最小值为 (3)，时，多项式的最小值为 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴当且时，多项式取最小值， 即时，多项式有最小值，最小值； （3）解： ， ，， ∴当且时，多项式取最小值， 即当，时，多项式的最小值为． 对点提升 【对点2】按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算和分解因式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）考查单项式乘多项式的运算，关键是掌握单项式与多项式相乘的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）考查因式分解中的完全平方公式，关键是识别完全平方式的结构特征：． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点03 系数为1的二次三项式的因式分解 考点梳理 用十字相乘法分解因式 典例引领 考向03 十字相乘法 【例3】先化简并分解因式，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算、因式分解及求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，再因式分解，然后把的值代入式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式 ． 对点提升 【对点3】如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 考点04 拓展 考点梳理 1．因式分解的步骤 一提：有公因式的先提公因式． 二套：套用公式，两箱式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式． 三查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 2．当多项式中的某一项与公因式相同时，提取公因式后，要在该项相应的位置写1，切勿遗漏． 3．先局部展开，再因式分解 当多项式不能直接因式分解，但含有单项式与多项式的乘积或多项式与多项式的乘积时，一般先将乘积项展开，合并同类项后，再根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解． 4．利用因式分解可以解决整除问题，拼图问题，判断三角形的形状等． （1）利用因式分解解决整除问题，就是设法将已知的代数式利用乘法公式进行因式分解，写成几个因式乘积的形式，在几个因式中凑出想要整除的那部分，即可解决问题． （2）因式分解与拼图的结合，是将几何图形与代数的解法结合起来，数形结合更利于学生对因式分解和乘法公式的理解，用图形去演绎某个代数式因式分解的结果，体现了逆向思维． （3）因式分解还可能与三角形等知识点结合进行综合考查．将等式化为右边等于0，左边（或左边的部分代数式）进行因式分解，结合题意判断三角形的形状． 典例引领 考向04 判断能否用公式法分解因式 【例4】下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 考向05 综合应用公式法分解因式 【例5】（1）计算：；     （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考向06 综合提公因式和公式法分解因式 【例6】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再对余下的多项式应用平方差公式进行因式分解即可，掌握因式分解的基本方法和要求是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 考向07 实数范围内分解因式 【例7】在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，先配方，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 考向08 因式分解在有理数简算中的应用 【例8】（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 【答案】（1）-4051；（2）34 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式和分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式变形为，再去括号后提取公因数4051，进而求解即可； （2）根据完全平方公式得到，则可求出的值，进而可得答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴． 又∵． ∴， ∴． 考向09 分组分解法 【例9】在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 考向10 因式分解的应用 【例10】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值是 【答案】 1 【分析】本题主要考查因式分解，二元一次方程组的运用，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是关键． 由于多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个因式为，则，根据多项式的乘法法则求解即可． 【详解】解：∵ 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为 ， ∴设， 等式右边， ∴， 解得，， 故答案为：1． 对点提升 【对点4】下列各式中不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，通过因式分解的常用方法（如平方差公式、完全平方公式）或判别式判断各选项是否能分解． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项 C：，不能进行因式分解，符合题意； 选项 D：，不符合题意； 故选：C． 【对点5】（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、用公式法分解因式． (1)用多项式乘以多项式的法则把多项式各部分展开，再去括号、合并同类项； (2)先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对点6】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先处理符号，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式                 ； （2）解：原式             【对点7】在实数范围内进行因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 【对点8】利用因式分解简化计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握识别完全平方公式的结构特征，用公式因式分解简化计算是解题的关键． 观察式子结构，发现其符合完全平方和公式的形式，用公式因式分解后简化计算． 【详解】解：原式 ． 【对点9】阅读下面分解因式的过程：．上述分解因式的方法，叫做分组分解法．利用以上方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若是的三边，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查因式分解和三角形三边关系． （1）使用分组分解法进行因式分解； （2）通过因式分解将表达式变形，结合三角形三边关系证明不等式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）证明：∵ ∵，，是的三边 ∴， 由 得 ，由 得 ∴ 即 【对点10】计算 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，同底数幂的乘法的逆用，通过提取公因式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．数学刘老师是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，信，阳，数．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．爱数学 C．爱信阳 D．我爱信阳 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用．先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 【详解】解：∵， 对应密码字： 我， 爱， 数， 学， 因式相乘的顺序可交换，调整为有意义的词组即可， ∴密码信息为“我爱数学”， 故选：A． 2．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【详解】解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 3．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，将代数式分解因式，利用三角形三边关系得，，然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵，，是三角形三边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即原代数式的值小于零， 故选：． 4．下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式展开，再去括号，合并同类项，简化给定表达式为，分析其整除性质． 【详解】解：原式 对于任意整数n，总能被4整除， 故选：B． 5．如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 6．对于任何整数，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过因式分解判断整除性． 利用平方差公式将多项式分解因式，并化简，根据结果判断整除性． 【详解】解：原式 因为是整数，所以和也是整数． 因此，原式一定能被整除． 故选：A． 7．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 【答案】A 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解的应用，熟练进行因式分解，再结合三角形的三边关系，判断每个因式的符号，进而判断积的符号是解题的关键． 将代数式因式分解为平方差形式，利用三角形三边关系判断每个因式的正负，从而确定整个式子的符号. 【详解】解：∵ = = 又∵ 为三角形的三边， ∴ ，，， ∴ ，且 ， ∴ ∴ 代数式的值一定为负数. 故选：A． 8．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，8，，，m，分别对应下列六个字：爱，我，丰，城，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．丰城爱学 B．我爱丰城 C．丰城学校 D．我爱学校 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 又， ， ， ，对应汉字：丰、城、爱、我， 组合为“我爱丰城”， 故选：B． 9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 10．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将等式左边进行因式分解，得到两个完全平方的和为零，利用非负数的性质得出三边相等即可． 【详解】解：， ， 即， ， 且， 且， ， 是等边三角形． 故选：B． 2、 填空题 11．已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，故，结合三角形三边关系得，又因为c为最长边且为偶数，故或或，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得， ∵三角形的三边为，满足， ∴， ∴， ∵c为最长边， ∴， ∵c为偶数， 故或或， 则或或， ∴该三角形的周长为或或， 故答案为：或或． 12．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解；先根据已知求出，，然后把提取公因式分解因式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴将代入可得， ∴， 故答案为：． 13．已知，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用和代入求值，熟记公式形式是解题的关键； 利用恒等式将原式转化为平方差形式，计算、、之间的差值并平方求和，最后乘以得到结果． 【详解】解：由恒等式，得， 已知，，， 设，则，，， 计算差值，得，，， 平方，得，，， 代入，得， ∴， 故答案为：7． 14．1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为 ． 【答案】44 【分析】本题考查了数字类规律，多项式乘法运算，因式分解的应用，有理数的乘法运算，解题的关键根据题意找出规律求解． 由题意可得，，则得到，据此求解即可． 【详解】解：第2斜列上第1个数记为，第2个数记为，第3个数记，第个数记为，即； 第3斜列上第1个数，第2个数，第3个数，第4个数，，那么第个数为， ∴由题意得，， ∴， 整理得，， 左边因式分解得，， 由有理数乘法可得，或或， 当时，解得（不符合题意，舍）； 当时，解得； 当时，方程组无解， ∴的值为44， 故答案为：44． 15．同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小： （填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，因式分解的应用，正确表示出和是解题的关键． （1）等于图1中外面大长方形的面积减去中间空白的长方形面积，等于图2中外面大长方形的面积减去中间空白的长方形面积，据此求出和，再利用作差法求解即可； （2）根据（1）所求可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得， ， ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴由（1）得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 3、 解答题 16．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． 【解决问题】 (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）根据题意可得，则，据此根据非负数的性质求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义和构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 若该等腰三角形的三边长为2，1，1， ∵，不满足三角形的三边关系， ∴不能构成三角形，舍去； 若该等腰三角形的三边长为2，2，1， ∵， ∴可构成三角形， ∴此时等腰三角形的周长为． 17．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请用两种不同方法计算图2的面积，并写成因式分解的形式： ； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】(1)图2的面积为或， (2)56 (3)画图见解析， 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）图2 图形的面积为正方形的面积表示为，图2 图形的面积为3个小正方形的面积加上三个小长方形的面积，据此即可得到因式分解的形式； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由1个边长为的小正方形和4个边长为的长方形和3个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：图2面积为：；图2的面积为：， ∴； 故答案为：； （2）解：，，， ． ； （3）解：如图所示 ∴ 18．甲、乙两位同学将一个多项式分解因式，甲同学因看错了二次项系数而分解成，乙同学因看错了一次项系数而分解成． (1)求原来正确的多项式； (2)将原来的多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解、整式的乘法． (1)根据整式的乘法法则计算可得：甲看到的多项式是，乙看到的多项式是，因为甲看错了二次项系数，但是其他项没有看错，乙看错了一次项系数，其他项没有看错，可知原来的多项式的三次项是，二次项是，一次项是； (2)把(1)得到的正确的多项式分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， 原来的多项式为； （2）解： ． 19．对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式． 利用图1，可以得到一个因式分解等式：；如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可因式分解为________； (2)若图2中每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，试求图2中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似的，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】本题考查几何图形与整式乘法，熟练掌握整式乘法的应用是解题的关键， （1）利用两种不同的方法计算图中的面积，即可得，从而得到答案； （2）根据题意可得：所有裁剪线长之和为：，由于每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，所以可得到，，进而求出的值，即可得到答案； （3）根据图中图形的变化关系可得到几何体的体积不变，分别求出几何体变化前后的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由图2可得：矩形的面积为：， ∴， 故答案为：． （2）解：由图得，所有裁剪线长之和为：， 每块小长方形的面积为7，， 四个正方形的面积之和为22， ， ∴， ∴， 或（舍去）， ． （3）解：由图3中左图得，几何体体积为：， 由图3中右图得，几何体体积为， ． 故答案为：． 20．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求最小值：的最小值_______； (2)已知，求的值_______； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)18，见解析 【分析】本题考查了非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解-分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： （3）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 公式法 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 用平方差公式分解因式 考点梳理 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 典例引领 考向01 平方差公式分解因式 【例1】因式分解： (1) (2) 对点提升 【对点1】如下图，在边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形． (1)阴影部分的面积为 （用代数式表示）． (2)先将上述代数式因式分解，再计算当，时，阴影部分的面积． 考点02 用完全平方公式分解因式 考点梳理 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 典例引领 考向02 完全平方公式分解因式 【例2】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 对点提升 【对点2】按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)分解因式：． 考点03 系数为1的二次三项式的因式分解 考点梳理 用十字相乘法分解因式 典例引领 考向03 十字相乘法 【例3】先化简并分解因式，再求值：，其中． 对点提升 【对点3】如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有 个． 考点04 拓展 考点梳理 1．因式分解的步骤 一提：有公因式的先提公因式． 二套：套用公式，两箱式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式． 三查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 2．当多项式中的某一项与公因式相同时，提取公因式后，要在该项相应的位置写1，切勿遗漏． 3．先局部展开，再因式分解 当多项式不能直接因式分解，但含有单项式与多项式的乘积或多项式与多项式的乘积时，一般先将乘积项展开，合并同类项后，再根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解． 4．利用因式分解可以解决整除问题，拼图问题，判断三角形的形状等． （1）利用因式分解解决整除问题，就是设法将已知的代数式利用乘法公式进行因式分解，写成几个因式乘积的形式，在几个因式中凑出想要整除的那部分，即可解决问题． （2）因式分解与拼图的结合，是将几何图形与代数的解法结合起来，数形结合更利于学生对因式分解和乘法公式的理解，用图形去演绎某个代数式因式分解的结果，体现了逆向思维． （3）因式分解还可能与三角形等知识点结合进行综合考查．将等式化为右边等于0，左边（或左边的部分代数式）进行因式分解，结合题意判断三角形的形状． 典例引领 考向04 判断能否用公式法分解因式 【例4】下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 考向05 综合应用公式法分解因式 【例5】（1）计算：；     （2）因式分解：． 考向06 综合提公因式和公式法分解因式 【例6】因式分解： ． 考向07 实数范围内分解因式 【例7】在实数范围内因式分解： ． 考向08 因式分解在有理数简算中的应用 【例8】（1）利用因式分解计算； （2）已知，．求的值． 考向09 分组分解法 【例9】在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 考向10 因式分解的应用 【例10】若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值是 对点提升 【对点4】下列各式中不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【对点5】（1）计算：； （2）分解因式：． 【对点6】因式分解： (1)； (2)． 【对点7】在实数范围内进行因式分解 ． 【对点8】利用因式分解简化计算：． 【对点9】阅读下面分解因式的过程：．上述分解因式的方法，叫做分组分解法．利用以上方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若是的三边，求证：． 【对点10】计算 ． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．数学刘老师是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，信，阳，数．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．爱数学 C．爱信阳 D．我爱信阳 2．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 3．若，，是三角形三边的长，则代数式的值（    ） A．小于等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零 4．下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 6．对于任何整数，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 7．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 8．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，8，，，m，分别对应下列六个字：爱，我，丰，城，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．丰城爱学 B．我爱丰城 C．丰城学校 D．我爱学校 9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 10．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2、 填空题 11．已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为 ． 12．已知，则的值为 ． 13．已知，，，则 ． 14．1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为 ． 15．同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小： （填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为 ． 3、 解答题 16．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． 【解决问题】 (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 17．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请用两种不同方法计算图2的面积，并写成因式分解的形式： ； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 18．甲、乙两位同学将一个多项式分解因式，甲同学因看错了二次项系数而分解成，乙同学因看错了一次项系数而分解成． (1)求原来正确的多项式； (2)将原来的多项式分解因式． 19．对于一个平面图形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，可以得到一个因式分解等式． 利用图1，可以得到一个因式分解等式：；如图2所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①、②都是剪成边长为a的大正方形．③、④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形． (1)观察图2，可以发现多项式可因式分解为________； (2)若图2中每块小长方形的面积为7，四个正方形的面积之和为22，试求图2中所有裁剪线（虚线部分）长之和； (3)类似的，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________． 20．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求最小值：的最小值_______； (2)已知，求的值_______； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $