专题09 正弦定理10题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

本讲义聚焦正弦定理核心知识点，系统梳理定理表示、常见变形（如边化角、角化边）、三角形解的个数（代数与几何角度分析）、形状判断（化边化角途径）及面积公式，通过10类题型（如已知两角一边、两边一对角等）构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料以题型分类为特色，例题覆盖全面，结合代数推理与几何直观培养学生逻辑思维（数学思维），通过解的个数讨论与形状判断提升推理能力，面积周长问题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，深化知识理解与应用。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题09 正弦定理10题型分类 1.正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2.对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 3．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 4．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. （一） 已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 题型1：已知两角及任意一边解三角形 1．（2026高一·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026高三·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 3．（2026高三·贵州贵阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 4．（2026高二·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． （二） 已知两边及其中一边的对角解三角形 这一类型题目的解题步骤: ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 5．（2026高一·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 7．（2026高一·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 8．（2026高一·广东江门·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 9．（2026高一·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． （三） 利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 题型3：利用正弦定理判断三角形的解的个数 10．（2026高一·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（2026高一·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 13．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． （四） 三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 题型4：三角形形状的判断 15．（2026高一·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 16．（2026高一·广西南宁·月考）设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 17．（2026高一·贵州贵阳·月考）在中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 18．（2026高一·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 19．（2026高一·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 20．（2026高一·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （五） 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　 题型5：正弦定理的应用 21．（2026高一·甘肃白银·期末）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 22．（2026高一·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 23．（2026高一·江苏镇江·月考）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高一·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026高一·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型6：三角形的外接圆问题 27．（2026高一·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 28．（2026高一·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 29．（2026高一·福建福州·期末）已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 30．（2026高一·山东泰安·月考）已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 31．（2026高一·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 32．（2026高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 33．（2026高一·山东临沂·月考）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 34．（2026高一·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 35．（2026高一·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 题型7：正余弦定理的综合应用 36．（2026高三·山东济南·专题练习）中，若，，则（    ） A． B． C． D．或 37．（2026·四川雅安·模拟预测）在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 38．（2026高二·广东广州·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 39．（2026高二·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （六） 三角形的面积、周长问题 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 题型8：三角形的面积问题 40．（2026高一·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 41．（2026高一·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 42．（2026高一·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 43．（2026高一·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 44．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 45．（2026高一·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型9：三角形周长问题 46．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 47．（2026高二·浙江·开学考试）设的内角所对应的边分别为，其面积，若，则的周长为（    ） A．1 B． C．2 D． 48．（2026高二·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 49．（2026高一·重庆万州·期中）记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 50．（2026高三·云南昆明·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 题型10：求边或周长的最值范围问题 51．（2026高三·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 52．（2026高一·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 53．（2026高一·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（2026高一·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 1．（2026高一·山东青岛·期末）已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 2．（2026高一·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·四川达州·期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 4．（2026高一·河北保定·月考）在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 5．（2026高一·河南·月考）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·江西抚州·月考）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．（2026高一·山东济南·月考）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．（2026高一·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2026高一·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 12．（2026高一·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 13．（2026高一·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 14．（2026高一·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 15．（2026高一·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高一·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 17．【多选】（2026高一·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 18．（2026高一·北京·开学考试）在中，，则 . 19．（2026高一·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 20．（2026高一·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为 . 21．（2026高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 22．（2026高一·北京房山·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 23．（2026高一·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 24．（2026高一·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题09 正弦定理10题型分类 1.正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2.对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 3．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 4．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. （一） 已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 题型1：已知两角及任意一边解三角形 1．（2026高一·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 2．（2026高三·内蒙古锡林郭勒·期末）在中，设角的对边分别为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】， 由正弦定理可得即，故， 故选：A. 3．（2026高三·贵州贵阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 故选：C 4．（2026高二·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 故选：C （二） 已知两边及其中一边的对角解三角形 这一类型题目的解题步骤: ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 5．（2026高一·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 6．（2026高一·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 7．（2026高一·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 8．（2026高一·广东江门·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 9．（2026高一·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C （三） 利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 题型3：利用正弦定理判断三角形的解的个数 10．（2026高一·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 11．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）在中，已知，，，则符合条件的三角形个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由三角形的边角关系，可判断出三角形解的个数. 【详解】 因为，所以符合条件的三角形个数是2个. 故选：C. 12．（2026高一·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 13．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 14．（2026高一·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正弦定理得，再由有唯一一个得出或，即可求解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若满足上述条件的有且仅有一个，则或， 则或， 则边长的取值范围是. 故选：C （四） 三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 题型4：三角形形状的判断 15．（2026高一·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】将切化弦，再结合正弦定理得到，进而有，即可判断. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得 ∴， ∵，∴， 所以是等腰三角形 故选：A. 16．（2026高一·广西南宁·月考）设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理整理等式，解得角，可得答案. 【详解】由，根据正弦定理可得， 则，由，则， 可得，由，解得. 故选：D. 17．（2026高一·贵州贵阳·月考）在中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，即， 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 18．（2026高一·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 19．（2026高一·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 20．（2026高一·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. （五） 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　 题型5：正弦定理的应用 21．（2026高一·甘肃白银·期末）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理，得. 故选：A 22．（2026高一·湖南怀化·期末）在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，即可求解. 【详解】由，得到，又是锐角三角形， 所以，则，得到， 故选：A. 23．（2026高一·江苏镇江·月考）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 故选：B. 24．（2026高一·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 25．（2026高一·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果. 【详解】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 26．（2026高一·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果. 【详解】因为，，且，所以， 即， 由正弦定理得：, 又因为三角形中,, ， 因为,所以. 故选：C. 题型6：三角形的外接圆问题 27．（2026高一·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 28．（2026高一·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出外接圆直径. 【详解】设外接圆的半径为，则， 即外接圆的直径为． 故选：B． 29．（2026高一·福建福州·期末）已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式得，由正弦定理的边角互化以及余弦定理可得，再利用正弦定理即可求解. 【详解】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 所以， 所以， 又， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 所以△ABC外接圆的半径为． 故选：B． 30．（2026高一·山东泰安·月考）已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案. 【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为， 所以，解得， 由正弦定理，∴， 故选：B. 31．（2026高一·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积. 故选：A. 32．（2026高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，再结合正弦定理可得的外接圆半径，即可求面积. 【详解】因为，所以，得， 设的外接圆半径为，则，可得， 故的外接圆面积. 故选：C. 33．（2026高一·山东临沂·月考）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式得出角，再由余弦定理得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由，得， 又因，得，所以，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理得，所以， 所以圆的面积. 故选：C 34．（2026高一·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC， 因为，所以, , 所以， 由题意该圆即为三角形的外接圆， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 35．（2026高一·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B. 题型7：正余弦定理的综合应用 36．（2026高三·山东济南·专题练习）中，若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化知识结合题设可得答案. 【详解】因，由正弦定理边角互化，可得.则. 又,则或.又当时，， 由余弦定理可得：，得， 这与题意不符，则. 故选：B 37．（2026·四川雅安·模拟预测）在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为为钝角三角形，则， 所以， 由正弦定理得，又，则， 又因为，由余弦定理得. 故选：A. 38．（2026高二·广东广州·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，，即， 所以根据正弦定理有. 故选：C. 39．（2026高二·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由，根据正弦定理化简可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 在中，，则，即， 又，则， 由余弦定理得，，则， 即，则，则， 所以. 故选：B （六） 三角形的面积、周长问题 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 题型8：三角形的面积问题 40．（2026高一·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 41．（2026高一·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由余弦定理求出长，由求得，代入三角形面积公式计算即得. 【详解】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积. 故选：B. 42．（2026高一·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 43．（2026高一·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 44．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（    ） A．176 B．88 C．44 D．22 【答案】B 【分析】根据已知及正弦定理得、、，再由三角形内角的性质及和角正弦公式得，根据正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由，则，易知为锐角， 由正弦定理知，而，即，故， 所以，故， 由， 由正弦定理知，可得，故. 故选：B 45．（2026高一·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 题型9：三角形周长问题 46．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长. 【详解】，由正弦定理得 ， 又， 所以， 则，或，（舍）， 所以，， 则， . 故选：A. 47．（2026高二·浙江·开学考试）设的内角所对应的边分别为，其面积，若，则的周长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理得，代入即可求得，再利用正弦定理将角转化为边即可求解. 【详解】由正弦定理有，为的外接圆半径， 所以， 所以， 所以，即，又，所以的周长为. 故选：A 48．（2026高二·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形面积相等得到，再由正弦定理及和差角的正弦公式将化简得到，从而解出的值，进而求出的值，再利用余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】 作于，即， 所以， 又因为，所以. 因为，由正弦定理可得， ， 又因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又因为， 又因为，所以，所以， 所以解得， 将代入可得. 在中，由余弦定理 可得，即， 解得或（舍）. 所以的周长为， 故选：D 49．（2026高一·重庆万州·期中）记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理化边为角化简得，进而求得，根据余弦定理求得，即可求解周长. 【详解】因为，所以， 又，则，又为锐角，所以. 由，得，解得， 则的周长为. 故选：B 50．（2026高三·云南昆明·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 整理可得：， 可得， 因为为三角形内角，，所以． 因为，所以， 因为，且，所以， 解得， 由余弦定理得， 解得．所以， 故选：A． 题型10：求边或周长的最值范围问题 51．（2026高三·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 52．（2026高一·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【详解】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 53．（2026高一·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 54．（2026高一·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 1．（2026高一·山东青岛·期末）已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理和三角形面积公式即可求得结果. 【详解】设中角所对的边分别为， 因为的面积为，，所以， 又，所以，结合上式得：， 由余弦定理得：，故. 故选：A 2．（2026高一·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求得，进而求得. 【详解】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B 3．（2026高一·四川达州·期末）设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】∵，∴， 由三角形的面积公式可知，的面积为. 故选：B 4．（2026高一·河北保定·月考）在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据面积可求，再根据余弦定理可求，最后根据正弦定理求出外接圆半径. 【详解】由题设有，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形外接圆的半径为， 故选：B. 5．（2026高一·河南·月考）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正弦定理分别求出，，即可判断. 【详解】在中，由正弦定理可得， ， 因为，所以，， 所以． 故选：C． 6．（2026高一·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：D. 7．（2026高一·江西抚州·月考）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 8．（2026高一·山东济南·月考）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据正弦定理及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】在中，由正弦定理及可得：. 又，， ∴，即，即. 又∵，∴，∴，∴是直角三角形. 故选：A. 9．（2026高一·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 10．（2026高一·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 11．（2026高一·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 12．（2026高一·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 13．（2026高一·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由可得，已知，由即可得到半径. 【详解】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 14．（2026高一·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 【答案】A 【分析】对于A，由勾股定理逆定理即可判断；对于BCD，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A，因为，所以是以为直角边的直角三角形，故A正确； 对于B，若，，则，解得， 所以有两个解，故B错误； 对于C，若，则，解得，所以无解，故C错误； 对于D，若，则，解得， 所以有两个解，故D错误. 故选：A. 15．（2026高一·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A 16．【多选】（2026高一·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由余弦定理，代入求解方程即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 解得或． 故选：BC． 17．【多选】（2026高一·云南曲靖·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 18．（2026高一·北京·开学考试）在中，，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理，可得答案. 【详解】由余弦定理可得. 故答案为：. 19．（2026高一·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 20．（2026高一·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】由辅助角公式可得，结合，可求得，再利用余弦定理可得，结合可求得，从而可判断为直角三角形，即可求解. 【详解】由题意，即，因为，所以. 由余弦定理可知， 因为，所以，代入解得， 此时，所以为直角三角形， 所以的面积为. 故答案为：. 21．（2026高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)一解 (2)两解 (3)无解 【分析】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可. 【详解】（1）由正弦定理， ∴， ∵，∴， ∴只有一解，三角形解的个数为一解. （2）由正弦定理， ∴，∴， ∵，，∴， ∴有两解，三角形解的个数为两解. （3）∵，∴，∴， ∴无解，三角形无解. 22．（2026高一·北京房山·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可以得到，得到即可. （2）根据三角形的面积公式得出的面积即可. 【详解】（1），，，且由余弦定理可得， 则，， 又， （2）根据三角形的面积公式可得， 的面积为. 23．（2026高一·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【答案】(1) (2)为钝角三角形. 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可. （2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 24．（2026高一·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【详解】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $