第9讲 一次函数的图象与性质（综合检测）-备战2026年浙江中考数学一轮复习

备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第三单元 函数 第9讲 一次函数的图象与性质 一、选择题 1．（2022•临安区一模）当b＜0时，一次函数y＝x+b的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案． 【解析】解：∵一次函数y＝x+b中k＝1＞0，b＜0， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 【点睛】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 2．（2023•开化县模拟）关于一次函数y＝2x的图象，下列说法正确的是（　　） A．经过点（1，1） B．在第二、四象限 C．关于x轴成轴对称 D．y随x的增大而增大 【思路点拨】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可． 【解析】解：A、当x＝1时，y＝2．所以图象不过（1，1），故错误； B、因为k＝2＞0，所以一次函数y＝2x的图象在第一、三象限，故错误； C、关于原点成中心对称，故错误； D、因为k＝2＞0，所以y随x的增大而增大，故正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质． 3．（2022•诸暨市模拟）如图，周长为定值的平行四边形ABCD中，∠B＝65°，设AB的长为x，AD的长为y，平行四边形ABCD的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．反比例函数关系，一次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【思路点拨】先设平行四边形ABCD的周长为a，根据2（x+y）＝a得出y＝﹣x+；再根据矩形的面积公式列出S关于x的函数关系式，从而得出结论． 【解析】解：设平行四边形ABCD的周长为a，根据题意得： 2（x+y）＝a， ∴y＝﹣x+； ∴y与x满足的函数关系是一次函数； ∵S＝AB•sin65°•BC ＝xysin65° ＝x（﹣x+）sin65° ＝﹣sin65°•x2+sin65°•， ∴S与x满足的函数关系是二次函数． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数的应用，关键是找等量关系列出函数解析式． 4．（2024•杭州二模）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【思路点拨】首先根据一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，得k＞0，然后再根据题目中的四个选项即可得出答案． 【解析】解：∵一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴x＝2时，y＞1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，解答此题的关键是理解一次函数的性质：对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 5．（2022•绍兴）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【思路点拨】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解析】解：∵直线y＝﹣2x+3， ∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5， ∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3， ∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意； 若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意； 若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意； 若x2x3＜0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2＞0，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 6．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【思路点拨】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y1＞y3＞y2． 【解析】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 7．（2025•嘉兴二模）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（0，3），由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论： ①函数表达式为y＝x+3； ②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大； ③点P（3a，3a+3）在该函数图象上； ④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为9． 其中错误的结论是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】①采用待定系数法求出关系式即可； ②根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当k＝1＞0，y随x的增大而增大即可判断； ③把点P（3a，3a+3）代入解析式中，其坐标满足y＝x+3，即可判断； ④根据函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而可以求出直线AB与坐标轴围成的三角形的面积即可． 【解析】解：设一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， ∵一次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（0，3）， ∴， 解得：， ∴一次函数的关系式为：y＝x+3； 故结论①正确； ∵k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大，故②正确； 点P（3a，3a+3），其坐标满足y＝x+3， 因此该点在此函数图象上；故结论③也是正确； ∵直线AB与x，y轴的交点分别（﹣3，0），（0，3）， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：，故④不正确； 因此，不正确的结论是④． 故选：D． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识点是解题的关键． 8．（2025•龙港市二模）已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且kb≠0）的图象上，x1＜x2＜0，则下列说法一定正确的是（　　） A．若kb＜0，则y1y2＞0 B．若kb＜0，则y1y2＜0 C．若kb＞0，则y1y2＞0 D．若kb＞0，则y1y2＜0 【思路点拨】对k、b的正负进行分类讨论，并分别根据一次函数的性质求解即可． 【解析】解：当k＞0，b＞0时，kb＞0，且y随x的增大而增大，y1＜y2当x1＜x2＜0，不能确定y1、y2的正负，则y1y2＜0或y1y2＞0，故C、D错误； 当k＞0，b＜0时，kb＜0，且y随x的增大而增大，y1y2＞0，故A选项正确； 当k＜0，b＞0时，kb＜0，且y随x的增大而减小，y1y2＞0，故B选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 9．（2025•景宁县二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为60km/h C．乙车出发2h时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距60km 【思路点拨】由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程300km，乙车行完全程用3小时，得速度为100km，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距50km可判断D． 【解析】解：甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数图象如图所示， 由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误； 由图象得全程300km，乙车行完全程用5﹣2＝3（h），平均速度为300÷3＝100（km），故选项B错误； 设甲车行驶的图象为y＝kx，把（6，300）代入得：6k＝300，解得k＝50， 所以，y＝50x， 设乙车行驶的图象为y＝mx+n，由题意可得： ， ∴， 所以，y＝100x﹣200， 联立， 解得x＝4， ∴乙车出发4﹣2＝2（h）时，追上了甲车，故选项C正确； 由图象得A，B两地的距离为300km 甲车速度为300÷6＝50（km/h）， 所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距50×（6﹣5）＝50km，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 10．（2025•富阳区一模）已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为﹣1≤y≤8，则b的值是（　　） A． B． C．或 D． 【思路点拨】本题分情况讨论①x＝1时对应y＝8，x＝﹣3时对应y＝﹣1；②x＝1时对应y＝﹣1，x＝﹣3时对应y＝8；将每种情况的两组数代入即可得出答案． 【解析】解：①将x＝1，y＝8代入得：8＝k+b，将x＝﹣3，y＝﹣1代入得：﹣1＝﹣3k+b， 解得：k＝，b＝；函数解析式为y＝x+，经检验验符合题意； ②将x＝1，y＝﹣1，代入得：﹣1＝k+b，将x＝﹣3，y＝8代入得：8＝﹣3k+b， 解得：k＝﹣，b＝，函数解析式为y＝﹣x+，经检验符合题意； 综上可得b＝或． 故选：C． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解． 11．（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 　　 ． 【思路点拨】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解析】解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y＝3x﹣1与y＝kx的方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 12．（2025•黄岩区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数且k≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是x＞2　 ． 【思路点拨】依据题意，由函数的图象，可以得到该函数y＝0时x的值和该函数的增减性，从而可以得到当y＜0时，x的取值范围． 【解析】解：由题意，根据函数的图象可得，一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减小， 又∵当x＝2时，y＝0， ∴当y＜0时，x的取值范围是x＞2， 故答案为：x＞2． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合的思想解答． 13．（2025•温州模拟）如图，直线y＝﹣2x+6与坐标轴所围成三角形的面积是 　9　 ． 【思路点拨】设直线y＝﹣2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，再利用三角形的面积公式，即可求出直线y＝﹣2x+6与坐标轴所围成三角形的面积． 【解析】解：设直线y＝﹣2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当y＝0时，﹣2x+6＝0， 解得：x＝3， ∴点A的坐标为（3，0）， ∴OA＝3； 当x＝0时，y＝﹣2×0+6＝6， ∴点B的坐标为（0，6）， ∴OB＝6， ∴S△OAB＝OA•OB＝×3×6＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出直线与坐标轴所围成三角形的面积是解题的关键． 14．（2024•拱墅区一模）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式（k+3）x+b＜0的解集为 x＜﹣　 ． 【思路点拨】直接利用函数图象上点的坐标特征得出m的值，再利用函数图象得出答案． 【解析】解：∵函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，4）， ∴4＝﹣3m， 解得：m＝﹣， 故A点坐标为：（﹣，4）， ∵kx+b＜﹣3x时， ∴（k+3）x+b＜0， 则关于x的不等式（k+3）x+b＞0的解集为：x＜﹣． 故答案为：x＜﹣． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 15．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 n≥2　 ． 【思路点拨】先利用待定系数法求得函数y＝x+b的解析式，然后计算x＝3时，y＝4，再把点（3，4）代入函数中得到n＝2，则利用一次函数的性质可判断当n≥2时满足条件． 【解析】解：∵函数y＝x+b的图象经过点（1，2）， ∴2＝1+b，解得b＝1， ∴y＝x+1， 当x＝3时，y＝x+1＝4， 把（3，4）代入函数得，4＝，解得n＝2， ∵当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+1的值， ∴n≥2． 故答案为：n≥2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． 16．（2023•杭州）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 　5　 ． 【思路点拨】解法一：利用待定系数法求出分别求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，最后比较大小即可得到答案． 解法二：作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，利用待定系数法求出直线BC解析式中k，b的值即可得到答案． 【解析】解：解法一：设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1， 将点A（0，2），B（2，3）代入得，， 解得：， ∴k1+b1＝， 设直线AC的解析式为y2＝k2x+b2， 将点A（0，2），C（3，1）代入得，， 解得：， ∴k2+b2＝， 设直线BC的解析式为y3＝k3x+b3， 将点B（2，3），C（3，1）代入得，， 解得：， ∴k3+b3＝5， ∴k1+b1＝，k2+b2＝，k3+b3＝5，其中最大的值为5． 解法二：如图，作直线AB、AC、BC，作直线x＝1， 设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1，直线AC的解析式为y2＝k2x+b2，直线BC的解析式为y3＝k3x+b3， 由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高， 即当x＝1时，k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值为k3+b3， 将点B（2，3），C（3，1）代入得，， 解得：， ∴k3+b3＝5， k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值为k3+b3＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，应用待定系数进行正确的计算是解题关键． 17．（2025•临平区模拟）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．点Q为y轴上一点，连接QM，QA，当△QMA的周长最小时，点Q的坐标为　（0，）　 ． 【思路点拨】根据题意，作点A关于y轴的对称点N，根据轴对称最短得出当点Q在MN与y轴的交点处时△QMA取得周长最小，据此可解决问题． 【精析】解：将y＝0代入y＝2x+4得， 2x+4＝0， 解得x＝﹣2， 所以点A坐标为（﹣2，0）． 同理可得，点B坐标为（0，4）． 因为点M为线段AB的中点， 所以点M坐标为（﹣1，2）． 过点A作y轴的对称点N， 则点N的坐标为（2，0）． 连接MN， 则当点Q在MN与y轴的交点处时△QMA取得周长最小， 设直线MN的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以直线MN的函数解析式为． 将x＝0代入得， y＝， 所以点Q的坐标为（0，）． 故答案为：（0，）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及轴对称﹣最短路线问题，熟知一次函数图象上点的坐标特征及轴对称的性质是解题的关键． 18．（2025•临平区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）的图象经过点（﹣1，﹣2）． （1）若2k﹣b＝3，求一次函数的表达式． （2）若该一次函数的图象经过第四象限，且S＝k﹣2b，求S的取值范围． 【思路点拨】（1）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）的图象经过点（﹣1，﹣2），得到﹣2＝﹣k+b，再结合2k﹣b＝3，解二元一次方程组求解即可； （2）根据﹣2＝﹣k+b，即k＝b+2，进而得到S＝k﹣2b＝b+2﹣2b＝2﹣b，再根据一次函数的图象经过第四象限，可得到b＜0，由不等式的性质即可解答． 【解析】解：（1）将点（﹣1，﹣2）代入一次函数解析式得：﹣2＝﹣k+b， 联立得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：y＝x﹣1； （2）根据题意：﹣2＝﹣k+b，即k＝b+2， ∴S＝k﹣2b＝b+2﹣2b＝2﹣b， ∴b＝2﹣S， ∵k＞0， ∴b+2＞0，即b＞﹣2； ∵一次函数y＝kx+b的图象经过第四象限，且k＞0，则b＜0， ∴﹣2＜b＜0， ∴﹣2＜2﹣S＜0， ∴2＜S＜4． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． 19．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式； （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值． 【思路点拨】（1）将A点代入直线解析式，求出m．利用待定系数法解出AB直线函数解析式； （2）分别用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函数解析式，找出y随t的变化，利用t的最值求出答案． 【解析】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝； 设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得： ，解得， ∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3． （2）∵点P（t，y1）在线段AB上， ∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2）， ∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上， ∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣， ∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+， ∵﹣＜0， ∴y1﹣y2随t的增大而减小， ∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为． 【点睛】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案． 20．（2024•浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16：00～16：50 不分段 A档 4000米 小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【思路点拨】（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据B档比A档快40米/分、C档比B档快40米/分，即可得出答案； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），可得方程80a＝3000+160（a﹣40），求解即可． 【解析】解：（1）由题意可知，A档速度为4000÷50＝80（米/分）， 则B档速度为80+40＝120（米/分）， C档速度为120+40＝160（米/分）， 答：A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分． （2）小丽第一段跑步时间为1800÷120＝15（分）， 小丽第二段跑步时间为（3000﹣1800）÷120＝10（分）， 小丽第三段跑步时间为（4600﹣3000）÷160＝10（分）， 则小丽两次休息时间的总和为50﹣10﹣15﹣10﹣10＝5（分）， 答：小丽两次休息时间的总和为5分钟． （3）∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等， ∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分）， ∴80a＝3000+160（a﹣40）， ∴a＝42.5． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． 21．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，对任意三点A，B，C给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”．纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”．若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”． 【提出问题】如果点A（﹣1，0），点B（2，0），动点P（x，y）是“等距点”，请探索动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹． 【解决问题】 （1）列表、描点、连线：先将如表补充完整，然后在图中描出动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … 3 … （2）根据动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式． 【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图象上存在点Q，使得A，B，Q是“等距点”，求出m的取值范围． 【思路点拨】【解决问题】（1）根据“等距点”的定义分别求得x＝﹣2，﹣1，2，3时的横距，进而确定纵距，确定点的坐标，完成填表，画图； （2）根据图形待定系数法求解析式，即可求解； 【拓展应用】分别代入点 （﹣2，4）和点 （2，3），得出b的值，观察图形，即可求解． 【解析】解：【解决问题】（1）根据定义，当x＝﹣1时，横距＝纵距＝3，y＝3， 当x＝﹣2时，横距＝纵距＝2﹣（﹣2）＝4，则 y＝4， 当 x＝2时，横距＝纵距＝3，y＝3， 当 x＝3时，横距＝纵距＝3﹣（﹣1）＝4，则 y＝4， 补全表格. x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … 4 3 3 3 4 … 如图， （2）∵当x＜﹣1时，经过点（﹣2，4），（﹣1，3）， 设直线解析为 y＝kx+b，代入（﹣2，4），（﹣1，3）， 得， 解得：， ∴y＝﹣x+2（x＜﹣1）， 同理可得当x＞2时，y＝x+1， ∴点P轨迹的函数解析式为； 【拓展应用】如图， 当经过点（﹣2，4）时， ， 解得：m＝5， 当经过点（2，3）时， ， 解得：m＝2， ∴2≤m≤5． 【点睛】本题考查了“等距点”的定义，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，注意分类讨论思想的应用． 22．（2025•长兴县模拟）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【思路点拨】（1）依据题意，由桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，则桐桐所用时间为：1500÷60＝25（分），进而可以判断得解； （2）依据题意，由桐桐在A景点休息10分钟，则此时图象起点为（35，0），又桐桐比小兴早5分钟到达C景点，从而图象过（45，3500），又设桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝at+b，则，求出a，b后即可判断得解； （3）依据题意可设小兴的路程s与t的解析式为s＝kt，又图象过（50，3500），从而求出小兴的路程s与t的解析式为s＝70t，再求出桐桐从B景点出发步行去A景点的解析式，然后结合图象列出方程后即可判断得解． 【精析】解：（1）∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴桐桐所用时间为：1500÷60＝25（分）． ∴m＝25． ∴m的实际意义是桐桐25分钟步行1500米到达A景点． （2）由题意，∵桐桐在A景点休息10分钟， ∴此时图象起点为（35，0）． 又∵桐桐比小兴早5分钟到达C景点， ∴图象过（45，3500）． 设桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝at+b， ∴． ∴． ∴桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝350t﹣12250． （3）由题意可设小兴的路程s与t的解析式为s＝kt， 又∵图象过（50，3500）， ∴3500＝50k． ∴k＝70． ∴小兴的路程s与t的解析式为s＝70t． 又∵桐桐从B景点出发步行去A景点的图象过（0，1500）（25，0）， 设此时的解析式为s＝pt+q， ∴． ∴． ∴桐桐从B景点出发步行去A景点的解析式为s＝﹣60t+1500（0≤t≤25）． ∵两人在途中相遇，结合函数图象， ∴令70t＝﹣60t+1500，则t＝；令70t＝350t﹣12250，则t＝． ∴两人在途中相遇时的时间为分或分． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质结合图象分析是关键． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第三单元 函数 第9讲 一次函数的图象与性质 一、选择题 1．（2022•临安区一模）当b＜0时，一次函数y＝x+b的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•开化县模拟）关于一次函数y＝2x的图象，下列说法正确的是（　　） A．经过点（1，1） B．在第二、四象限 C．关于x轴成轴对称 D．y随x的增大而增大 3．（2022•诸暨市模拟）如图，周长为定值的平行四边形ABCD中，∠B＝65°，设AB的长为x，AD的长为y，平行四边形ABCD的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．反比例函数关系，一次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 4．（2024•杭州二模）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．（2022•绍兴）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 6．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 7．（2025•嘉兴二模）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（0，3），由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论： ①函数表达式为y＝x+3； ②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大； ③点P（3a，3a+3）在该函数图象上； ④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为9． 其中错误的结论是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．（2025•龙港市二模）已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且kb≠0）的图象上，x1＜x2＜0，则下列说法一定正确的是（　　） A．若kb＜0，则y1y2＞0 B．若kb＜0，则y1y2＜0 C．若kb＞0，则y1y2＞0 D．若kb＞0，则y1y2＜0 9．（2025•景宁县二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为60km/h C．乙车出发2h时，追上了甲车 D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距60km 10．（2025•富阳区一模）已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为﹣1≤y≤8，则b的值是（　　） A． B． C．或 D． 二、填空题 11．（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 　　 ． 12．（2025•黄岩区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数且k≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 　 ． 13．（2025•温州模拟）如图，直线y＝﹣2x+6与坐标轴所围成三角形的面积是 　　 ． 14．（2024•拱墅区一模）如图，函数y＝﹣3x和y＝kx+b的图象交于点A（m，4），则关于x的不等式（k+3）x+b＜0的解集为 　 ． 15．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 　 ． 16．（2023•杭州）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 　 　 ． 17．（2025•临平区模拟）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．点Q为y轴上一点，连接QM，QA，当△QMA的周长最小时，点Q的坐标为　 　 ． 三、解答题 18．（2025•临平区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）的图象经过点（﹣1，﹣2）． （1）若2k﹣b＝3，求一次函数的表达式． （2）若该一次函数的图象经过第四象限，且S＝k﹣2b，求S的取值范围． 19．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式； （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值． 20．（2024•浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16：00～16：50 不分段 A档 4000米 小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 21．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，对任意三点A，B，C给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”．纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”．若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”． 【提出问题】如果点A（﹣1，0），点B（2，0），动点P（x，y）是“等距点”，请探索动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹． 【解决问题】 （1）列表、描点、连线：先将如表补充完整，然后在图中描出动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … 3 … （2）根据动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式． 【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图象上存在点Q，使得A，B，Q是“等距点”，求出m的取值范围． 22．（2025•长兴县模拟）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $