精品解析：江苏南通市启东市2025-2026学年第一学期期末质量测试七年级数学试题

2025～2026学年度第一学期期末质量测试 七年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 你对“0”有多少了解？下列关于“0”的说法错误的是（ 　　） A. 任何数与0相乘都得0 B. 0是最小的有理数 C. 绝对值最小的有理数是0 D. 0没有倒数 2. 观察下列实物模型，其形状是圆锥的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列方程的变形正确的是( ) A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 如图，下列表述不正确的是（ ） A. 线段AB和射线AC都是直线AB的一部分 B. 点D在直线AB上 C. 直线AC和直线BD相交于点B D. 直线BD不经过点A 5. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示方法，观察图①，可推算图②所得到的数值为（ ） 图①表示 图② A. B. 1 C. 7 D. 6. 商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（ ） A. 第二天售出的该商品数量 B. 第二天比第一天多售出该商品数量 C. 两天一共售出的该商品数量 D. 第二天比第一天少售出的该商品数量 7. 如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学列的正确方程． 例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度． 兵兵： 倩倩： 根据以上信息，有下列四种说法：①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x表示甲乙两码头的路程；④倩倩所列方程中：x表示甲乙两码头的路程；其中，正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 9. 已知，过点O作射线，若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 小明和小勇一起玩猜数游戏，小明说：“你随便选定三个一位数，按下列步骤进行计算：①把第一个数乘以2；②加上2；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个一位数.”小勇表示不相信，但试了几次，小明都猜对了，请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”并回答当“最后的得数”是567时，小勇最初选定的三个一位数分别是（ ） A. 5,6,7 B. 6,7,8 C. 4,6,7 D. 5,7,8 二、填空题（本题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为__． 12. 如图所示，学校，书店，体育馆在平面图上的位置分别是A，B，C，书店在学校的正东方向，体育馆在学校的南偏西方向，则平面图上的度数为________． 13. 鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示，这个面的面积为_____． 14. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________． 15. 如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号______． 16. 已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为．有一个玩具火车放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 _____个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，点A所表示的数为 _________． 三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17. 已知下列有理数：，4． （1）在给定的数轴上表示这些数． （2）这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 18. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 19. （1）解方程：； （2）把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 20. 如图，平面上有五个点，根据下列语句画出图形． （1）分别画出直线，射线； （2）连接，并在线段的延长线上作线段，且使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）在直线上确定一点，使到A，E两点的距离之和最小，此画图依据是______________． 21. 老师课下给同学们留了一个式子：3×□＋9－○，让同学自己出题，并写出答案． （1）嘉嘉提出问题：若□代表－1，○代表5，则计算：； （2）琪琪提出问题：若3×□＋9－○＝1，当□代表－3时，求○所代表的有理数； （3）嘉琪提出问题：在等式：3×□＋9－○＝1中，若□和○所代表的有理数互为相反数，求□所代表的有理数． 22. 如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°． （1）求出∠AOB及其补角的度数； （2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由. 23. 张先生需要邮寄若干千克红茶给亲友，经了解，现有甲、乙两家物流公司可供选择，甲物流公司的收费标准是：所有寄件按每千克4元收费；乙物流公司的收费标准是：寄件不大于20千克收费100元，20千克以上的部分按每千克2元收费． （1）张先生需要邮寄40千克红茶，选择哪家物流公司更合算？ （2）张先生说：“我无论选择哪家物流公司，要付的邮费都是一样的”．张先生要邮寄多少千克的红茶，你知道吗？请写出完整的解答过程． 24. 如图，已知线段，延长线段至C，使． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出________； （2）设，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点D运动到线段上，求与的数量关系，并说明理由； ②在点D，E沿直线向左运动的过程中，M，N分别是线段，的中点．当点C恰好为线段的三等分点时，求的长． 25. 一创意钟面的背景图是一副三角板，如图所示，点O为钟面的圆心，，，，且点A、O、C在同一直线上，边OC直指12点方向，边OA直指6点方向，记时针为线段OP，分针为线段OQ，且运行正常． （1）边OD所指的钟面数字为______，当时针OP与OB的重合时，钟面显示的时间为______． （2）在某一时刻，时针OP恰好平分∠AOB，求此时分针OQ与边OC夹角的度数． （3）当时针OP与分针OQ均在背景三角形内部（不含边界），且时针和分针恰在同一直线，求此时钟面显示的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末质量测试 七年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 你对“0”有多少了解？下列关于“0”的说法错误的是（ 　　） A. 任何数与0相乘都得0 B. 0是最小的有理数 C. 绝对值最小的有理数是0 D. 0没有倒数 【答案】B 【解析】 【详解】A选项：任何数与0相乘都得0是正确的，故A不符题意； B选项：由没有最小的有理数可知：0是最小的有理数错误的，故B符题意； C选项：0的绝对值最小是正确的，故C不符题意； D选项：0没有倒数是正确的，故D不符题意； 故选B． 【点睛】没有最小的有理数，没有最大的有理数，注意0的相反数是0，0没有倒数． 2. 观察下列实物模型，其形状是圆锥的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的概念“圆锥是由两个面组成，底面是圆，侧面是曲面”进行判断即可得． 【详解】解：A．形状是球体，选项说法错误，不符合题意； B．形状是圆锥，选项说法正确，符合题意； C．形状是圆柱，选项说法错误，不符合题意； D．形状是长方体，选项说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥，解题的关键是掌握圆锥的概念． 3. 下列方程的变形正确的是( ) A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案． 【详解】A.D不对，因为移项时没有变号； B:系数化1时，方程两端要同时除以未知数的系数； 运用排除法可得C正确. 故选:C. 【点睛】此题主要考查解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1等，移项，系数化为1的依据是等式的性质． 4. 如图，下列表述不正确的是（ ） A. 线段AB和射线AC都是直线AB的一部分 B. 点D在直线AB上 C. 直线AC和直线BD相交于点B D. 直线BD不经过点A 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A．线段AB和射线AC都是直线AB的一部分，原说法正确，故此选项不符合题意； B．点D不在直线AB上，原说法错误，故此选项符合题意； C．直线AC和直线BD相交于点B，原说法正确，故此选项不符合题意； D．直线BD不经过点A，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点． 5. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据刘徽的这种表示方法，观察图①，可推算图②所得到的数值为（ ） 图①表示 图② A. B. 1 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正数与负数，理解题意是解题的关键．根据图②知正放表示的数为，斜放表示的数为，然后，两数相加即可． 【详解】解：根据题意可得． 故选：A． 6. 商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（ ） A. 第二天售出的该商品数量 B. 第二天比第一天多售出该商品数量 C. 两天一共售出的该商品数量 D. 第二天比第一天少售出的该商品数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的方法，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 7. 如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，由，可得，再根据点是线段的中点，即可求出的长，掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∴， 故选：． 8. 如图，是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学列的正确方程． 例2．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度． 兵兵： 倩倩： 根据以上信息，有下列四种说法：①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度：③兵兵所列方程中的x表示甲乙两码头的路程；④倩倩所列方程中：x表示甲乙两码头的路程；其中，正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据静水速=顺水速-水流速、逆水速=静水速-水流速设未知数即可求解. 【详解】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h， 由题意，得：，故①正确； 设甲乙两码头的路程为x km， 由题意，得，④正确； 故答案为：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9. 已知，过点O作射线，若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线定义，角度计算． 根据所处位置分情况作答即可． 【详解】解：在内部时， ，， ， ∵平分， ， ； 在外部时， ，， ， ∵平分， ， ． 故选：D． 10. 小明和小勇一起玩猜数游戏，小明说：“你随便选定三个一位数，按下列步骤进行计算：①把第一个数乘以2；②加上2；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个一位数.”小勇表示不相信，但试了几次，小明都猜对了，请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”并回答当“最后的得数”是567时，小勇最初选定的三个一位数分别是（ ） A. 5,6,7 B. 6,7,8 C. 4,6,7 D. 5,7,8 【答案】C 【解析】 【分析】设这三个数分别是a、b、c，再根据“①把第一个数乘以2；②加上2；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数”把所得的式子化简， 【详解】设这三个数为a、b、c，因为①把第一个数乘以2；②加上2；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数 所以有 计算整理得， 减去100后，百位是a（第1个数），十位是b（第2个数），个位是c（第3个数）， 因为567-100=467， 所以第1个数是4，第2个数6，第3个数是7， 故答案选C. 【点睛】本题考查的是列代数式和规律探索的能力，能够根据题意列出式子是解题的关键. 二、填空题（本题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 根据科学记数法表示较大的数的方法求解即可； 【详解】解：依题意，数据350000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 如图所示，学校，书店，体育馆在平面图上的位置分别是A，B，C，书店在学校的正东方向，体育馆在学校的南偏西方向，则平面图上的度数为________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查了与方向角相关的计算．根据方向角的概念列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 13. 鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示，这个面的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，掌握知识点是解题的关键． 根据图中给出的边长，结合面积公式列出代数式即可． 【详解】解：由图可知，这个面的面积为 ； 故答案为：． 14. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】6x+14=8x 【解析】 【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可． 【详解】解：设有牧童x人， 根据题意得：6x+14=8x， 故答案是：6x+14=8x． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 15. 如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．请写出正确结论的序号______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，与余角、补角有关的计算等知识点，熟练掌握互余和互补的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角． 由平分，平分，平分可得，，，再结合，，进而可得，由此即可判断结论①；可得，由此即可判断结论②；可得，进而可得，由此即可判断结论③；可得，进而可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：平分，平分，平分， ， ， ， ，， ， 即：与互余， 故结论①正确； ， 故结论②错误； ， ， 即：与互补， 故结论③正确； ， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 16. 已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为．有一个玩具火车放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 _____个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，点A所表示的数为 _________． 【答案】 ①. 4 ②. 4或10 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，注意进行分类讨论．根据题意可知，的长度正好等于3个玩具火车的长度，从而可求出玩具火车的长度；设点A所表示的数为a，则点B表示的数为，分别将和的长度用含a的代数式的绝对值表示出来，根据和的数量关系列绝对值方程并求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴． 设点A所表示的数为a，则点B表示的数为， ∴，， ∴，即， 当时，，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，点A所表示的数为4或10． 故答案为：4；4或10． 三、解答题（本题共9小题，共98分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17. 已知下列有理数：，4． （1）在给定的数轴上表示这些数． （2）这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【答案】（1） 数轴如图所示： （2）存在，与是互为相反数，它们之间的整数是、0、1． 【解析】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的意义，数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键． （1）将已知数表示在数轴上即可； （2）根据相反数的意义找出互为相反的两个数，并写出所有整数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的化简求值，掌握有理数四则混合运算法则、整式化简求值的技巧是解题关键． (1)先乘方，再算括号里面的，再乘除，最后进行加减运算即可； (2)先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 当，时，原式． 19. （1）解方程：； （2）把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 【答案】（1）；（2）每份是约的角． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，角的除法运算. （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可. （2）直接按照角的除法运算法则计算即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2）解： . 答：每份是约的角． 20. 如图，平面上有五个点，根据下列语句画出图形． （1）分别画出直线，射线； （2）连接，并在线段的延长线上作线段，且使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）在直线上确定一点，使到A，E两点的距离之和最小，此画图依据是______________． 【答案】（1） 如图所示，直线，射线即为所求： （2） 如图所示，线段即为所求： （3） 如图所示，点即为所求， 两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了直线、射线、线段的作图、线段的性质，熟练掌握直线、射线、线段的定义和两点之间，线段最短的性质是解题的关键． （1）根据题目要求作图即可； （2）根据题意，利用尺规作线段等于已知线段即可； （3）根据两点之间，线段最短的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据两点之间，线段最短可得，当点既在线段上，也在直线上时，到A，E两点的距离之和最小， 此画图依据是“两点之间，线段最短”． 故答案为：两点之间，线段最短． 21. 老师课下给同学们留了一个式子：3×□＋9－○，让同学自己出题，并写出答案． （1）嘉嘉提出问题：若□代表－1，○代表5，则计算：； （2）琪琪提出问题：若3×□＋9－○＝1，当□代表－3时，求○所代表的有理数； （3）嘉琪提出问题：在等式：3×□＋9－○＝1中，若□和○所代表的有理数互为相反数，求□所代表的有理数． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照有理数混合运算法则计算即可． （2）设○所代表的数为x，将算式转化为一元一次方程，解方程即可． （3）设○所代表的数为y，则□代表的数为-y，将算式转化为一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 设◯所代表的有理数为， 则 ． 所以，◯所代表的有理数为． 【小问3详解】 设口所代表的有理数为， 则： 所以，口所代表的有理数为． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意并正确进行计算． 22. 如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°． （1）求出∠AOB及其补角的度数； （2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由. 【答案】（1）120°，60°； （2）∠DOC=∠BOC=×70°=35°，∠AOE=∠AOC=×50°=25°. ∠DOE与∠AOB互补.理由如下： ∵∠DOC=35°，∠AOE=25°， ∴∠DOE=∠DOC+∠COE =∠DOC+∠AOE=60°. ∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°， ∴∠DOE与∠AOB互补. 【解析】 【分析】（1）∠AOB的度数等于已知两角的和，再根据补角的定义求解； （2）根据角平分线把角分成两个相等的角，求出度数后即可判断． 【详解】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°， 其补角为180°-∠AOB=180°-120°=60°. （2）略 考点：补角的意义，互为补角的判断 23. 张先生需要邮寄若干千克红茶给亲友，经了解，现有甲、乙两家物流公司可供选择，甲物流公司的收费标准是：所有寄件按每千克4元收费；乙物流公司的收费标准是：寄件不大于20千克收费100元，20千克以上的部分按每千克2元收费． （1）张先生需要邮寄40千克红茶，选择哪家物流公司更合算？ （2）张先生说：“我无论选择哪家物流公司，要付的邮费都是一样的”．张先生要邮寄多少千克的红茶，你知道吗？请写出完整的解答过程． 【答案】（1）选择乙物流公司更合算 （2）张先生要邮寄30千克的红茶才能使付的邮费都一样 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． （1）分别求出两个公司的费用，然后比较即可； （2）先判断邮寄红茶的质量需要大于20千克，设张先生要邮寄x千克的红茶，根据付的邮费都是一样的列方程求解即可． 【小问1详解】 解：甲物流公司的收费为：元． 乙物流公司的收费为：元． 因为，所以选择乙物流公司更合算． 【小问2详解】 解：因为要付的邮费都是一样的，所以邮寄红茶的质量需要大于20千克． 设张先生要邮寄x千克的红茶， 依题意得， 解得． 答：张先生要邮寄30千克的红茶才能使付的邮费都一样． 24. 如图，已知线段，延长线段至C，使． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出________； （2）设，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以，的速度沿直线向左运动． ①当点D运动到线段上，求与的数量关系，并说明理由； ②在点D，E沿直线向左运动的过程中，M，N分别是线段，的中点．当点C恰好为线段的三等分点时，求的长． 【答案】（1） 图形补充完整如图， ； （2）①， 理由：如图， ∵，由（1）得，， 设运动的时间为t秒， ∴，， ∴. ②或． 【解析】 【分析】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． （1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出的长，进而求出运动时间，求出、的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴CA＝， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②当时， ∵， ， ∴， ∴， ， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 当时， ∵， ， ∴， ∴， 运动时间为：（秒）， 则， ， ， ∵M，N分别是线段、的中点． ∴，， ， 综上，的长是或． 25. 一创意钟面的背景图是一副三角板，如图所示，点O为钟面的圆心，，，，且点A、O、C在同一直线上，边OC直指12点方向，边OA直指6点方向，记时针为线段OP，分针为线段OQ，且运行正常． （1）边OD所指的钟面数字为______，当时针OP与OB的重合时，钟面显示的时间为______． （2）在某一时刻，时针OP恰好平分∠AOB，求此时分针OQ与边OC夹角的度数． （3）当时针OP与分针OQ均在背景三角形内部（不含边界），且时针和分针恰在同一直线，求此时钟面显示的时间． 【答案】（1）2；7点30分 （2）90° （3）12点分，1点分，6点分，7点分 【解析】 【分析】（1）根据圆周角为360°，得出时针一小时走30°，根据∠COD=60°得出边CD所指数字；再根据∠BOA=45°，得出表面数字； （2）根据OP平分∠AOB，得出∠POA=22.5°，再根据时针一分钟转过的角度即可得出分针所指数字； （3）根据题意，分析出不同情况，讨论得所有符合题意的可能即可； 【小问1详解】 ∵圆周角为360°， ∴1个小时时针转360°÷12=30°， ∵∠COD=60°=2×30°， ∴边CD所指的数字为2， 当OP与OB重合时，∠BOA=45°=30°+15°， 即OP在OA处经历一个半小时与OB重合， ∴表面时间为7：30， 故答案为：2，7：30； 【小问2详解】 ∵OP平分∠AOB， ∴∠POA=22.5°， ∵时针一小时走30°， ∴时针一分钟走30°÷60=0.5°， ∴22.5°÷0.5°=45（分钟）， ∴OQ指向数字9， 即OQ与OC的夹角为90°； 【小问3详解】 三点在同一直线上有两种情况：OP和OQ重合，或者点P与Q在点O的异侧 ①如图1：设12点x分时，时针和分针在同一直线上，且点P与Q在点O的异侧 ，得，即12点分 ②如图2：设1点x分时，当时针OP和分针OQ重合 得，即1点分 如图3，1点x分且点P与Q在点O的异侧 得， 此时OQ不在背景三角形内应舍去 ③如图4：设6点x分时，时针OP和分针OQ重合 得，即6点分 ④如图5，设7点x分时，当点P与Q在点O异侧 得，即7点分 设7点x分时，时针和分针重合 得，应舍去 综上所述，12点分，1点分，6点分，7点分 【点睛】 本题主要考查角之间的数量关系，通过时针分针的位置不同，出现不同的情况，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $