专题10：约分（知识精讲+例题讲解+培优练习）2025-2026学年五年级下册数学人教版

专题10：约分 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经认识了分数，学会了分数与除法的关系，也掌握了真分数、假分数和带分数的概念。今天，我们将走进一个非常重要的新内容——约分。约分，是分数计算中必不可少的一步，它能让复杂的分数变得更简洁、更清晰。它不仅是一种计算技巧，更是一种“化繁为简”的数学智慧。本讲义严格依据人教版五年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从生活情境出发，帮助你理解“什么是约分”“为什么约分”“怎样正确约分”。我们将通过“最大公因数”这个好朋友，找到约分的钥匙，把分数化成最简形式。希望你在学习中多观察、多发现，动手圈一圈、画一画，理解算理，掌握方法，养成认真书写、及时约分的好习惯。数学的世界充满规律与美感，愿你在探索中收获知识，在练习中增强信心。加油，你一定能行！ 知识精讲 1. 约分的意义 （1）定义 把一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数（不为1），分数的大小不变，这个过程叫做约分。 约分的目的是把分数化成最简分数。 （2）为什么可以约分？ 根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 例如： 的分子和分母同时除以4，得到 ，这两个分数大小相等。 2. 最简分数 （1）定义 分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。 也就是说，分子和分母互质。 （2）常见最简分数举例 、 、 、 等都是最简分数。 而 、 、 等都不是最简分数。 3. 约分的方法与步骤 （1）逐步约分法 先找出分子和分母的公因数（大于1），用这个数同时去除分子和分母； 得到新分数后，再看是否还能继续约分； 重复进行，直到分子分母互质为止。 （2）一次约分法（推荐） 先找出分子和分母的最大公因数； 分子和分母同时除以最大公因数，一步到位，直接得到最简分数。 （3）约分步骤总结 第一步：观察分数，判断是否为最简分数； 第二步：找出分子和分母的最大公因数； 第三步：分子和分母同时除以这个最大公因数； 第四步：写出约分后的结果，检查是否为最简分数。 4. 与前面知识的联系 （1）最大公因数：是约分的基础，必须熟练掌握找两个数最大公因数的方法。 （2）分数的基本性质：是约分的理论依据。 （3）同分母分数比较大小：约分后更容易比较分数大小。 5. 约分在生活中的应用 （1）简化表达：如 米可以说成 米，更简洁； （2）方便计算：在分数加减法中，结果必须约成最简分数； （3）解决实际问题：如分配物品、计算时间、比较比例时，常需要约分。 例题讲解 【典型例题1】 把 化成最简分数。 解析： （1）观察：12 和 18 有公因数，不是最简分数。 （2）找最大公因数：12 和 18 的最大公因数是 6。 （3）约分： 。 （4）检查：2 和 3 只有公因数 1，互质，所以 是最简分数。 答： 化成最简分数是 。 【跟踪练习1】 把 化成最简分数。 答案及解析： （1）观察：10 和 25 有公因数，不是最简分数。 （2）最大公因数：10 和 25 的最大公因数是 5。 （3）约分： 。 （4）检查：2 和 5 互质， 是最简分数。 答： 化成最简分数是 。 【典型例题2】 一个西瓜，小明吃了 ，小红吃了 。他们各吃了这个西瓜的几分之几？（用最简分数表示） 解析： （1）小明吃了 ： 8 和 12 的最大公因数是 4； 。 （2）小红吃了 ： 6 和 9 的最大公因数是 3； 。 （3）两人吃的都用最简分数表示为 。 答：小明和小红都吃了这个西瓜的 。 【跟踪练习2】 一包糖果，哥哥吃了 ，妹妹吃了 。他们各吃了这包糖果的几分之几？（用最简分数表示） 答案及解析： （1）哥哥吃了 ： 9 和 12 的最大公因数是 3； 。 （2）妹妹吃了 ： 10 和 15 的最大公因数是 5； 。 答：哥哥吃了这包糖果的 ，妹妹吃了 。 【典型例题3】 判断下列分数是否是最简分数，如果不是，请化成最简分数： 、 、 。 解析： （1） ：5 和 7 只有公因数 1，互质，是最简分数。 （2） ：14 和 21 的最大公因数是 7； ，所以不是最简分数，化成 。 （3） ：11 和 13 都是质数，且不相等，互质，是最简分数。 答： 和 是最简分数； 不是最简分数，化成 。 【跟踪练习3】 判断下列分数是否是最简分数，如果不是，请化成最简分数： 、 、 。 答案及解析： （1） ：3 和 8 互质（公因数只有1），是最简分数。 （2） ：12 和 16 的最大公因数是 4； ，所以不是最简分数，化成 。 （3） ：7 和 9 互质，是最简分数。 答： 和 是最简分数； 不是最简分数，化成 。 培优练习 一、选择题 1．已知A＝3×3×5×7，B＝2×3×5×11，A和B的最大公因数是（    ）。 A．3 B．5 C．15 D．30 【答案】C 【分析】根据最大公因数的定义，找出A和B公有的质因数，再将这些公有的质因数相乘，得到最大公因数。A＝3×3×5×7，其质因数为3、3、5、7；B＝2×3×5×11，其质因数为2、3、5、11。A和B公有的质因数是3和5。公有的质因数相乘，可得最大公因数为3×5＝15。 【详解】A和B公有的质因数是3和5。 3×5＝15 A和B的最大公因数是15。 故答案为：C 2．下面算式中，m、n均是不为0的自然数，m、n一定为互质数的是（    ）。 A．m＋n＝8 B．m－n＝1 C．m×n＝8 D．m÷n＝3 【答案】B 【分析】公因数只有1的两个非零自然数是互质数。相邻的两个自然数的公因数只有1。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．m＋n＝8，当m＝6，n＝2时，6和2不是互质数，该选项不符合要求。 B．m－n＝1，可知m和n是相邻的两个自然数，所以m和n一定是互质数，该选项符合要求。 C．m×n＝8，当m＝2，n＝4时，2和4不是互质数，该选项不符合要求。 D．m÷n＝3，当m＝15，n＝5时，15和5不是互质数，该选项不符合要求。 故答案为：B 3．甲乙两筐苹果各24千克，从甲筐取出4千克放入乙筐，这时乙筐里的苹果比甲筐多（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意易知放完苹果后甲筐、乙筐里的苹果质量。根据一个数比另一个数多几分之几，可求得此题。 【详解】24－4＝20（千克） 24＋4＝28（千克） （28－20）÷20 ＝8÷20 ＝ 故答案为：B 4．钟面被分成两部分（如图），阴影部分占整个钟面的几分之几？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把整个钟面的面积看作单位“1”，把单位“1”平均分成12份，阴影部分占其中的4份，用分数表示为，即，据此解答。 【详解】4÷12＝ 分析可知，阴影部分占整个钟面的。 故答案为：A 5．下面图形中，涂色部分表示m2的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。根据分数的意义找出各选项中涂色部分表示m2的图形。 【详解】A．把1m2看作单位“1”，平均分成4份，每份是1÷4＝（m2），即涂色部分为m2，不符合题意； B．把2m2看作单位“1”，平均分成8份，每份是2÷8＝（m2），化简后是m2，涂色部分占3份即m2，符合题意； C．把4m2看作单位“1”，平均分成3份，每份是4÷3＝（m2），即涂色部分为m2，不符合题意； D．把4m2看作单位“1”，平均分成4份，每份是4÷4＝1（m2），涂色部分占3份即3m2，不符合题意。 故答案为：B 二、填空题 6．把下面的分数化为最简分数。 【答案】； 【分析】先找出分子与分母的最大公因数（分子与分母公有的最大因数），根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时除以相同的数（0除外），分数的大小不变；根据分数的基本性质进行约分，即可把分数化为最简分数（分子分母只有公因数1）。据此解答。 【详解】12的因数有：1，12，2，6，3，4 15的因数有：1，15，3，5 12与15的公因数：1，3；其中3最大，所以12与15的最大公因数是3。 35的因数有：1，35，5，7 42的因数有：1，42，2，21，3，14，6，7 35与42的公因数有：1，7；其中7最大，所以35与42的最大公因数是7。 7．把3kg的糖果平均分给6个人，每人分到这些糖果的( )，每人分到( )kg。 【答案】 【分析】把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。把3kg糖果总量看作单位“1”，将它平均分成6份，每份分到它的几分之几，列式：1÷6＝；将3kg平均分给6个人，求出每人分到多少，根据“总量÷份数＝每份数”列式计算。所得的结果根据分数的基本性质进行化简。 【详解】1÷6＝ 3÷6＝（kg） 把3kg的糖果平均分给6个人，每人分到这些糖果的（），每人分到（）kg。 8．找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。 ( )      ( )      ( )      ( ) ( )     ( )      ( )      ( ) 【答案】 1 4 9 3 3 4 11 6 【分析】先把分子、分母分解质因数，分子和分母公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；两个数互质，它们的最大公因数是1；两个数是倍数关系，较小的数是它们的最大公因数，据此解答。 【详解】（1）8和9互质，8和9的最大公因数是1 （2）4和12是倍数关系，4和12的最大公因数是4 （3） 18和27的最大公因数是： （4）3和6是倍数关系，3和6的最大公因数是3 （5） 6和15的最大公因数是：3 （6） 20和24的最大公因数是： （7） 22和77的最大公因数是：11 （8） 12和54的最大公因数是： 9．有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有( )个，此时苹果和梨共有( )袋。 【答案】 12 5 【分析】把苹果和梨子分别装在袋子里，要使每袋的个数相同，也就是说每袋的个数既是苹果总数的因数，也是梨子总数的因数，那么每袋的个数就是苹果总数和梨子总数的公因数，题目问每袋最多多少个，就是求苹果总数和梨子总数的最大公因数，所以本题先求出36和24的最大公因数，也就求出每袋的个数，然后用苹果的总个数除以每袋的个数，就是苹果的袋数，用梨子的总个数除以每袋的个数，就是梨子的袋数。 【详解】36的因数有：1，36，3，12，4，9，6 24的因数有：1，24，2，12，3，8，4，6 36和24的公因数有：1，3，4，6，12其中12最大，所以36和24的最大公约数是12。       （袋） 有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有12个，此时苹果和梨共有5袋。 10．先填表，再填空。 （1）在下表中填上正确的数。 16 24 42 所有因数 （    ） （    ） （    ） （2）16和24的公因数有（            ），最大公因数是（    ）。 （3）16和42的公因数有（    ），最大公因数是（    ）。 （4）24和42的公因数有（            ），最大公因数是（    ）。 （5）16，24和42的公因数有（    ），最大公因数是（    ）。 【答案】（1）； （2）1，2，4，8；8； （3）1，2；2； （4）1，2，3，6；6； （5）1，2；2 【分析】（1）16的因数：从1开始，依次判断能否整除16，所以16的因数为1，2，4，8，16，所以24的因数为1，2，3，4，6，8，12，24，所以42的因数为1，2，3，6，7，14，21，42； （2）16的因数：1，2，4，8，16；24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24，两者共有的因数为1，2，4，8，其中最大的是8，所以16和24的公因数是1，2，4，8，最大公因数是8。 （3）16的因数：1，2，4，8，16；42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42，两者共有的因数为1，2，其中最大的是2，所以16和42的公因数是1，2，最大公因数是2。 （4）24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24；42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42，两者共有的因数为1，2，3，6，其中最大的是6，所以24和42的公因数是1，2，3，6，最大公因数是6。 （5）16的因数：1，2，4，8，16；24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24；42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42，三者共有的因数为1，2，其中最大的是2，所以16、24和42的公因数是1，2，最大公因数是2。 【详解】（1） 填表如下： （2）16和24的公因数有（1、2、4、8），最大公因数是（8）； （3）16和42的公因数有（1、2），最大公因数是（2）； （4）24和42的公因数有（1、2、3、6），最大公因数是（6）； （5）16，24和42的公因数有（1、2），最大公因数是（2）。 三、判断题 11．分子和分母都是合数的数一定不是最简分数。( ) 【答案】× 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 最简分数是指分子和分母只有公因数1的分数，或者说分子和分母互质的分数。 【详解】如：合数4和9组成的分数是最简分数； 合数8和15组成的分数是最简分数； 合数6和10组成的分数不是最简分数。 所以，分子和分母都是合数的数可能是最简分数。 原题说法错误。 故答案为：× 12．9和18的最大公因数是18。( ) 【答案】× 【分析】当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，据此判断。 【详解】因为18÷9＝2，所以9和18是倍数关系，故9和18的最大公因数是较小的数9。 原题说法错误。 故答案为：× 13．、、、都是最简分数。( ) 【答案】× 【分析】分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数；由此判断。 【详解】3和7只有公因数1，所以是最简分数。 4和9只有公因数1，所以是最简分数。 9和18有公因数1、3、9，所以不是最简分数，它可以约分为。 5和24只有公因数1，所以是最简分数。 原题说法错误。 故答案为：× 14．（a是不等于0的自然数）一定是最简分数。( ) 【答案】 √ 【分析】要判断分数（是不等于0的自然数）是否一定是最简分数，需验证分子和分母是否互质（即最大公因数为1）。根据数学性质，两个连续自然数互质，因此的分子和分母的最大公因数是1，一定是最简分数。 【详解】和（是不等于0的自然数）是相邻的两个自然数，只有公因数1，所以的分子和分母互质，无法约分，一定是最简分数。例如： 当时，是最简分数； 当时，是最简分数； 当时，是最简分数。 由此可知，（a是不等于0的自然数）一定是最简分数，原题说法正确。 故答案为：√ 15．因为156＝52×3，所以52和3都是156的质因数。( ) 【答案】× 【分析】质因数需满足两个条件：是原数的因数且本身是质数。3是质数且是156的因数，但52是合数，不符合质因数的定义。 【详解】根据质因数的定义，质因数必须是质数且是原数的因数。156＝52×3中，3是质数且能整除156，因此3是156的质因数；但52＝2×2×13，是合数，不符合质数的条件，因此52不是156的质因数。故原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 16．先约分，再比较各组分数的大小。 和 和 和 【答案】，＝，＝； ，，＜； ＝2；＝2；＜ 【分析】先运用分数的基本性质进行约分，分子和分母同时除以它们的最大公因数，即是最简分数。再根据分数大小比较的方法进行比较。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小。 【详解】（1）＝＝，＝＝ ＝，所以＝； （2）＝＝，＝＝ ＜，所以＜； （3）＝＝2，＝＝ 2＜，所以＜。 五、解答题 17．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 【答案】7厘米；9段 【分析】因每小段最长长度是28和35的最大公因数，先分解质因数得28＝2×2×7、35＝5×7，二者共同质因数为7，故每小段最长7厘米；再分别计算28÷7＝4段、35÷7＝5段，总段数为4＋5＝9段，因此每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 【详解】28＝2×2×7，35＝5×7，最大公因数是7。 28厘米铁丝：28÷7＝4（段） 35厘米铁丝：35÷7＝5（段） 总段数：4＋5＝9（段） 答：每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 18．六（1）班有学生55人，其中有男生33人，女生占全班人数的几分之几？ 【答案】 【分析】求一个数是另一个数的几分之几要用除法计算。六（1）班学生数减去男生人数，可以算出女生有多少人。女生人数除以全班总人数，即可算出女生占全班人数的几分之几。 【详解】（55－33）÷55 ＝22÷55 ＝ ＝ 答：女生占全班人数的。 19．123除以一个正整数得到的余数为11，543也除以这个正整数得到的余数为15，那么这个正整数是多少？ 【答案】16 【分析】由题意可知，123除以一个正整数得到的余数为11，说明123－11能被这个正整数整除，543除以这个正整数得到的余数为15，说明543－15也能被这个正整数整除，那么这个正整数是123－11和543－15的公因数，先用短除法求出123－11和543－15的最大公因数，再求出最大公因数的因数就是这两个数的公因数，因为除法算式中余数一定小于除数，所以这个正整数应该大于15，据此解答。 【详解】123－11＝112 543－15＝528 分析可知，112和528的最大公因数是2×2×2×2＝16，16的因数有1，2，4，8，16，所以112和528的公因数有1，2，4，8，16，其中16＞15，即这个正整数是16。 答：这个正整数是16。 【点睛】分析题意明确这个正整数是112和528的公因数，并且确定这个正整数必须大于15是解答题目的关键。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10：约分 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经认识了分数，学会了分数与除法的关系，也掌握了真分数、假分数和带分数的概念。今天，我们将走进一个非常重要的新内容——约分。约分，是分数计算中必不可少的一步，它能让复杂的分数变得更简洁、更清晰。它不仅是一种计算技巧，更是一种“化繁为简”的数学智慧。本讲义严格依据人教版五年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从生活情境出发，帮助你理解“什么是约分”“为什么约分”“怎样正确约分”。我们将通过“最大公因数”这个好朋友，找到约分的钥匙，把分数化成最简形式。希望你在学习中多观察、多发现，动手圈一圈、画一画，理解算理，掌握方法，养成认真书写、及时约分的好习惯。数学的世界充满规律与美感，愿你在探索中收获知识，在练习中增强信心。加油，你一定能行！ 知识精讲 1. 约分的意义 （1）定义 把一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数（不为1），分数的大小不变，这个过程叫做约分。 约分的目的是把分数化成最简分数。 （2）为什么可以约分？ 根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 例如： 的分子和分母同时除以4，得到 ，这两个分数大小相等。 2. 最简分数 （1）定义 分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。 也就是说，分子和分母互质。 （2）常见最简分数举例 、 、 、 等都是最简分数。 而 、 、 等都不是最简分数。 3. 约分的方法与步骤 （1）逐步约分法 先找出分子和分母的公因数（大于1），用这个数同时去除分子和分母； 得到新分数后，再看是否还能继续约分； 重复进行，直到分子分母互质为止。 （2）一次约分法（推荐） 先找出分子和分母的最大公因数； 分子和分母同时除以最大公因数，一步到位，直接得到最简分数。 （3）约分步骤总结 第一步：观察分数，判断是否为最简分数； 第二步：找出分子和分母的最大公因数； 第三步：分子和分母同时除以这个最大公因数； 第四步：写出约分后的结果，检查是否为最简分数。 4. 与前面知识的联系 （1）最大公因数：是约分的基础，必须熟练掌握找两个数最大公因数的方法。 （2）分数的基本性质：是约分的理论依据。 （3）同分母分数比较大小：约分后更容易比较分数大小。 5. 约分在生活中的应用 （1）简化表达：如 米可以说成 米，更简洁； （2）方便计算：在分数加减法中，结果必须约成最简分数； （3）解决实际问题：如分配物品、计算时间、比较比例时，常需要约分。 例题讲解 【典型例题1】 把 化成最简分数。 解析： （1）观察：12 和 18 有公因数，不是最简分数。 （2）找最大公因数：12 和 18 的最大公因数是 6。 （3）约分： 。 （4）检查：2 和 3 只有公因数 1，互质，所以 是最简分数。 答： 化成最简分数是 。 【跟踪练习1】 把 化成最简分数。 【典型例题2】 一个西瓜，小明吃了 ，小红吃了 。他们各吃了这个西瓜的几分之几？（用最简分数表示） 解析： （1）小明吃了 ： 8 和 12 的最大公因数是 4； 。 （2）小红吃了 ： 6 和 9 的最大公因数是 3； 。 （3）两人吃的都用最简分数表示为 。 答：小明和小红都吃了这个西瓜的 。 【跟踪练习2】 一包糖果，哥哥吃了 ，妹妹吃了 。他们各吃了这包糖果的几分之几？（用最简分数表示） 【典型例题3】 判断下列分数是否是最简分数，如果不是，请化成最简分数： 、 、 。 解析： （1） ：5 和 7 只有公因数 1，互质，是最简分数。 （2） ：14 和 21 的最大公因数是 7； ，所以不是最简分数，化成 。 （3） ：11 和 13 都是质数，且不相等，互质，是最简分数。 答： 和 是最简分数； 不是最简分数，化成 。 【跟踪练习3】 判断下列分数是否是最简分数，如果不是，请化成最简分数： 、 、 。 培优练习 一、选择题 1．已知A＝3×3×5×7，B＝2×3×5×11，A和B的最大公因数是（    ）。 A．3 B．5 C．15 D．30 2．下面算式中，m、n均是不为0的自然数，m、n一定为互质数的是（    ）。 A．m＋n＝8 B．m－n＝1 C．m×n＝8 D．m÷n＝3 3．甲乙两筐苹果各24千克，从甲筐取出4千克放入乙筐，这时乙筐里的苹果比甲筐多（    ）。 A． B． C． D． 4．钟面被分成两部分（如图），阴影部分占整个钟面的几分之几？（    ） A． B． C． D． 5．下面图形中，涂色部分表示m2的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 6．把下面的分数化为最简分数。 7．把3kg的糖果平均分给6个人，每人分到这些糖果的( )，每人分到( )kg。 8．找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。 ( )      ( )      ( )      ( ) ( )     ( )      ( )      ( ) 9．有36个苹果、24个梨，把它们分别装在袋子里。要使每袋的个数相等，每袋最多有( )个，此时苹果和梨共有( )袋。 10．先填表，再填空。 （1）在下表中填上正确的数。 16 24 42 所有因数 （    ） （    ） （    ） （2）16和24的公因数有（            ），最大公因数是（    ）。 （3）16和42的公因数有（    ），最大公因数是（    ）。 （4）24和42的公因数有（            ），最大公因数是（    ）。 （5）16，24和42的公因数有（    ），最大公因数是（    ）。 三、判断题 11．分子和分母都是合数的数一定不是最简分数。( ) 12．9和18的最大公因数是18。( ) 13．、、、都是最简分数。( ) 14．（a是不等于0的自然数）一定是最简分数。( ) 15．因为156＝52×3，所以52和3都是156的质因数。( ) 四、计算题 16．先约分，再比较各组分数的大小。 和 和 和 五、解答题 17．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 18．六（1）班有学生55人，其中有男生33人，女生占全班人数的几分之几？ 19．123除以一个正整数得到的余数为11，543也除以这个正整数得到的余数为15，那么这个正整数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $