专题15：分数加减混合运算（知识精讲+例题讲解+培优练习）2025-2026学年五年级下册数学人教版

专题15：分数加减混合运算 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经掌握了同分母分数加减法和异分母分数加减法的计算方法，也学会了分数的通分与约分。分数就像一块块可以拼接的“数学积木”，而加减法就是把这些积木组合或拆分的规则。今天，我们将进入《分数加减混合运算》的学习，这就像一场有趣的“分数拼图挑战”——需要你灵活运用通分、计算、约分等技能，把多个分数有条不紊地组合起来。这部分知识不仅在考试中经常出现，更在生活中的分配、测量、烹饪等场景中有着广泛的应用。希望你在学习时，保持耐心与细心，按照运算顺序一步步计算，不跳步、不急躁。遇到复杂题目时，不妨先画一画图、标一标运算顺序，让思维更清晰。请记住：数学的严谨，体现在每一步的准确与规范中。愿你带着专注与自信，认真思考，积极练习，成为一名计算准确、思路清晰的数学小能手！ 知识精讲 1. 分数加减混合运算的意义 （1）与整数加减混合运算意义相同 分数加减混合运算，是用来解决“先增加一部分，再减少一部分”或“连续增减”等实际问题的数学工具。 例如：妈妈买来一个蛋糕，小明吃了 ，爸爸吃了 ，妈妈吃了 ，还剩多少？就需要列式： 。 2. 运算顺序 （1）没有括号时，按从左到右的顺序计算 例如： ，先算 ，再减 。 （2）有括号时，先算括号里面的 例如： ，先算括号内的 。 3. 计算方法 （1）异分母分数必须先通分，化成同分母分数再计算 通分时，找分母的最小公倍数作为公分母。 例如：计算 ，2 和 3 的最小公倍数是 6，所以 ， ，结果为 。 （2）结果能约分的要化成最简分数 例如： 。 4. 运算律的应用（初步感知） （1）加法交换律和结合律在分数中同样适用 例如： 。 合理使用运算律可以简化计算，但不要求掌握“运算律”名称，只需会“凑整”或“凑同分母”即可。 5. 解决实际问题的步骤 （1）读题 → 找数量关系 → 列式 → 计算 → 检查 单位“1”表示整体，如“一桶水”“一块地”“一本书”等。 例如：修路队修一条路，第一天修了 ，第二天修了 ，还剩多少没修？ 列式： 。 例题讲解 【典型例题1】 计算下面各题。 （1） （2） 解析： （1）先算 ，2 和 3 的最小公倍数是 6： ， ，所以 ； 再算 。 （2）先算括号内： ，4 和 12 的最小公倍数是 12： ，所以 ； 再算 ，6 和 3 的最小公倍数是 6： ，所以 。 答：（1） ；（2） 。 【跟踪练习1】 计算下面各题。 （1） （2） 【典型例题2】 一根铁丝长 2 米，第一次用去 米，第二次用去 米，还剩多少米？ 解析： 总长度减去两次用去的长度： 。 先通分，5 和 4 的最小公倍数是 20： ， ， 所以 （共用去）； （米）。 答：还剩 米。 【跟踪练习2】 一桶油重 5 千克，第一次用去 千克，第二次用去 千克，还剩多少千克？ 【典型例题3】 小华看一本故事书，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，还剩全书的几分之几没有看？ 解析： 把全书看作单位“1”。 已看部分： ，5 和 10 的最小公倍数是 10： ，所以 ； 未看部分： 。 答：还剩全书的 没有看。 【跟踪练习3】 一块地，种黄瓜用了 ，种西红柿用了 ，种豆角用了 ，其余种茄子。种茄子的部分占这块地的几分之几？ 培优练习 一、选择题 1．，甲、乙、丙的大小关系是（    ）。 A．丙＞甲＞乙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙 2．三位小朋友到北滨体育公园清理白色垃圾。小红清理了，小红清理的比小慧多，小慧清理的比小忠少。小忠清理了多少kg白色垃圾？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．分子、分母都小于5的所有最简真分数的和是（    ）。 A．2 B． C．3 D． 4．六（1）班40名同学每人不记名投票选出聪聪、明明、小魏3名同学中的一人担任班长，得票最多者获胜。选举结果：共收到有效票36票（不包含弃权票），选聪聪的占，选明明的占，（    ）的得票最多。 A．聪聪 B．明明 C．小魏 D．一样多 5．为了使能简便计算，里可以填（    ）。 A． B． C． D．任何数 二、填空题 6．分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )，最小带分数是( )，所有最简真分数的和是( )。 7．张叔叔的果园一共种植了三种果树，桃树的种植面积是公顷，枣树的种植面积是公顷，梨树的种植面积是公顷，这三种果树的种植面积一共是( )公顷。 8．计算时，先算( )法，再算( )法，结果是( )。 9．安安给妈妈调了一杯椰汁牛奶。他先加入半杯纯椰汁，再向其中加满牛奶，妈妈喝了后觉得椰汁味太浓，于是安安再用牛奶加满，妈妈又喝了一半，她一共喝了( )杯纯椰汁。 10．一桶油，第一次用去kg，第二次用去余下的一半，这时桶里还剩下kg，这桶油原来有( )kg。 三、判断题 11．1－的计算结果是0。( ) 12．小涵有一杯纯果汁，第一次喝了这杯果汁的；加满水后，又喝了这杯果汁的；再加满水，最后一饮而尽。小涵喝的纯果汁比水多。( ) 13．爸爸把一块菜地的种了黄瓜，种了豆角，种了辣椒。( ) 14．运用了加法交换律和加法结合律。( ) 15．在等式中，其中a，b，c代表不同的偶数，则a＋b＋c＝26。( ) 四、计算题 16．计算园地。                                                                                                                                                                                                           17．计算下面各题，能简算的要简算。                                      五、解答题 18．学校为庆祝六一儿童节，用100盆花卉布置会场。除菊花、兰花和月季以外的其他花卉占总数的几分之几？ 19．一节数学课，复习上节课的知识大约用了小时，老师讲解新课大约用了小时，做练习大约用了小时。这节数学课大约是多少小时？ 20．暑假期间，五（2）班同学的读书情况如下表。 读书本数 1 2 3 4 读书人数占全班总人数的几分之几 （1）算式“”解决的问题是__________________________________________。 （2）读2本书以上（含2本）的人数占全班总人数的几分之几？ （3）全班同学都参加读书活动了吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15：分数加减混合运算 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经掌握了同分母分数加减法和异分母分数加减法的计算方法，也学会了分数的通分与约分。分数就像一块块可以拼接的“数学积木”，而加减法就是把这些积木组合或拆分的规则。今天，我们将进入《分数加减混合运算》的学习，这就像一场有趣的“分数拼图挑战”——需要你灵活运用通分、计算、约分等技能，把多个分数有条不紊地组合起来。这部分知识不仅在考试中经常出现，更在生活中的分配、测量、烹饪等场景中有着广泛的应用。希望你在学习时，保持耐心与细心，按照运算顺序一步步计算，不跳步、不急躁。遇到复杂题目时，不妨先画一画图、标一标运算顺序，让思维更清晰。请记住：数学的严谨，体现在每一步的准确与规范中。愿你带着专注与自信，认真思考，积极练习，成为一名计算准确、思路清晰的数学小能手！ 知识精讲 1. 分数加减混合运算的意义 （1）与整数加减混合运算意义相同 分数加减混合运算，是用来解决“先增加一部分，再减少一部分”或“连续增减”等实际问题的数学工具。 例如：妈妈买来一个蛋糕，小明吃了 ，爸爸吃了 ，妈妈吃了 ，还剩多少？就需要列式： 。 2. 运算顺序 （1）没有括号时，按从左到右的顺序计算 例如： ，先算 ，再减 。 （2）有括号时，先算括号里面的 例如： ，先算括号内的 。 3. 计算方法 （1）异分母分数必须先通分，化成同分母分数再计算 通分时，找分母的最小公倍数作为公分母。 例如：计算 ，2 和 3 的最小公倍数是 6，所以 ， ，结果为 。 （2）结果能约分的要化成最简分数 例如： 。 4. 运算律的应用（初步感知） （1）加法交换律和结合律在分数中同样适用 例如： 。 合理使用运算律可以简化计算，但不要求掌握“运算律”名称，只需会“凑整”或“凑同分母”即可。 5. 解决实际问题的步骤 （1）读题 → 找数量关系 → 列式 → 计算 → 检查 单位“1”表示整体，如“一桶水”“一块地”“一本书”等。 例如：修路队修一条路，第一天修了 ，第二天修了 ，还剩多少没修？ 列式： 。 例题讲解 【典型例题1】 计算下面各题。 （1） （2） 解析： （1）先算 ，2 和 3 的最小公倍数是 6： ， ，所以 ； 再算 。 （2）先算括号内： ，4 和 12 的最小公倍数是 12： ，所以 ； 再算 ，6 和 3 的最小公倍数是 6： ，所以 。 答：（1） ；（2） 。 【跟踪练习1】 计算下面各题。 （1） （2） 答案及解析： （1） 先通分，4、6、12 的最小公倍数是 12： ， ， ； 从左到右计算： ， 。 （2）先算括号内： ； 再算 ，4 和 8 的最小公倍数是 8： ，所以 。 答：（1） ；（2） 。 【典型例题2】 一根铁丝长 2 米，第一次用去 米，第二次用去 米，还剩多少米？ 解析： 总长度减去两次用去的长度： 。 先通分，5 和 4 的最小公倍数是 20： ， ， 所以 （共用去）； （米）。 答：还剩 米。 【跟踪练习2】 一桶油重 5 千克，第一次用去 千克，第二次用去 千克，还剩多少千克？ 答案及解析： 先通分，3 和 4 的最小公倍数是 12： ， ， 共用去： （千克）； （千克）。 答：还剩 千克。 【典型例题3】 小华看一本故事书，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，还剩全书的几分之几没有看？ 解析： 把全书看作单位“1”。 已看部分： ，5 和 10 的最小公倍数是 10： ，所以 ； 未看部分： 。 答：还剩全书的 没有看。 【跟踪练习3】 一块地，种黄瓜用了 ，种西红柿用了 ，种豆角用了 ，其余种茄子。种茄子的部分占这块地的几分之几？ 答案及解析： 把整块地看作单位“1”。 先算已种部分： 4、6、3 的最小公倍数是 12： ， ， ， 所以 ； 种茄子部分： 。 答：种茄子的部分占这块地的 。 培优练习 一、选择题 1．，甲、乙、丙的大小关系是（    ）。 A．丙＞甲＞乙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙 【答案】B 【分析】我们可以假设丙为1，然后分别求出甲和乙的值，再比较它们的大小。根据“甲＋＝丙”，可求出甲；根据“乙－＝丙”，可求出乙，据此解答。 【详解】假设丙＝1 求甲：因为甲＋＝1，所以甲＝1－＝ 求乙：因为乙－＝1，所以乙＝1＋＝ 比较大小：＞1＞，即乙＞丙＞甲 故答案为：B 2．三位小朋友到北滨体育公园清理白色垃圾。小红清理了，小红清理的比小慧多，小慧清理的比小忠少。小忠清理了多少kg白色垃圾？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用小红清理的重量减去小红清理的比小慧多的重量，求出小慧清理的重量，再用小慧清理的重量加上小慧清理的比小忠少的重量就是小忠清理的白色垃圾的重量。 【详解】－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝＋ ＝（kg） 所以小忠清理了kg白色垃圾。 故答案为：D 3．分子、分母都小于5的所有最简真分数的和是（    ）。 A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数。 最简分数是指分子和分母只有公因数1的分数，或者说分子和分母互质的分数。 根据真分数和最简分数的意义可知，最简真分数的分子小于分母，且分子与分母互质。已知分子、分母都小于5，且分母和分子不能为0，所以分母可能为2、3、4，列举出所有符合条件的分数，再相加即可。 【详解】小于5的整数有1、2、3、4； 分子、分母都小于5的所有最简真分数分别是： 分母为2时，组成的最简真分数有：； 分母为3时，组成的最简真分数有：、； 分母为4时，组成的最简真分数有：、； ＋（＋）＋（＋） ＝＋1＋1 ＝ 所以，分子、分母都小于5的所有最简真分数的和是。 故答案为：B 4．六（1）班40名同学每人不记名投票选出聪聪、明明、小魏3名同学中的一人担任班长，得票最多者获胜。选举结果：共收到有效票36票（不包含弃权票），选聪聪的占，选明明的占，（    ）的得票最多。 A．聪聪 B．明明 C．小魏 D．一样多 【答案】C 【分析】首先根据题意，把三人所得的总票数36票看作单位“1”，用1减去聪聪、明明所得票数占总票数的分率之和，求出小魏所得票数为总票数的几分之几；然后根据分数大小比较的方法，判断出谁的所得票数占总票数的分率最大即可。 【详解】 即小魏的得票最多。 故答案为：C 5．为了使能简便计算，里可以填（    ）。 A． B． C． D．任何数 【答案】A 【分析】简便计算通常利用加法交换律、结合律，将能凑整、抵消的数结合计算。观察式子中的分数，需让□里的数与已有分数凑成易计算的形式。 【详解】A.，可以简便计算； B.，无法凑整、抵消等，不能使用简便计算； C.，无法凑整、抵消等，不能使用简便计算； D.□填任何数，不符合题意。 故答案为：A 二、填空题 6．分数单位是的最大真分数是( )，最小假分数是( )，最小带分数是( )，所有最简真分数的和是( )。 【答案】 【分析】真分数分子小于分母，分母是8，那么分子最大为7，所以最大真分数是。 假分数分子大于等于分母，分母是8，分子最小等于8，所以最小假分数是。 带分数由整数和真分数组成，最小整数部分是1，分数部分是最小的分数单位，所以最小带分数是。 分数单位是的最简真分数有、、、，求它们的和，把它们相加即可。 【详解】真分数分子小于分母，分母是8，最大真分数是。 假分数分子大于等于分母，分母是8，最小假分数是。 带分数由整数和真分数组成，最小整数部分是1，分数部分是最小的分数单位，最小带分数是。 分数单位是的最大真分数是，最小假分数是，最小带分数是，所有最简真分数的和是2。 7．张叔叔的果园一共种植了三种果树，桃树的种植面积是公顷，枣树的种植面积是公顷，梨树的种植面积是公顷，这三种果树的种植面积一共是( )公顷。 【答案】/ 【分析】根据题意，把桃树、枣树、梨树的种植面积相加，就是这三种果树的总种植面积。 【详解】＋＋ ＝＋＋ ＝1＋ ＝（公顷） 这三种果树的种植面积一共是公顷。 8．计算时，先算( )法，再算( )法，结果是( )。 【答案】 减 加 / 【分析】根据四则混合运算的运算法则：在有括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。 异分母分数加减法的计算法则，先通分，然后按照同分母分数的加减法进行计算。 【详解】 计算时，先算（减）法，再算（加）法，结果是（）。 9．安安给妈妈调了一杯椰汁牛奶。他先加入半杯纯椰汁，再向其中加满牛奶，妈妈喝了后觉得椰汁味太浓，于是安安再用牛奶加满，妈妈又喝了一半，她一共喝了( )杯纯椰汁。 【答案】 【分析】根据分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫作分数。一开始加入了半杯纯椰汁，然后加满牛奶，将此时溶液总量看作单位“1”，可以假设将溶液总量平均分为16份，妈妈喝了杯，即可求出妈妈第一次喝的纯椰汁的量和剩余纯椰汁的量，安安又用牛奶加满后，妈妈又喝了一半，即可求出妈妈第二次喝的纯椰汁的量，将第一次和第二次喝的纯椰汁量相加，即可求出妈妈一共喝的纯椰汁的量。 【详解】根据分析：假设将溶液总量平均分为16份，16份中，纯椰汁占16÷2＝8份，牛奶占8份，妈妈喝了杯，即喝了16÷4＝4份，其中有4÷2＝2份纯椰汁，所以妈妈第一次喝了杯纯椰汁；16－4＝12（份），12÷2＝6（份），溶液剩余6份纯椰汁和6份牛奶，再用牛奶加满，此时溶液有6份纯椰汁，16－6＝10份牛奶，妈妈又喝了一半，即喝了8份，其中有6÷2＝3份纯椰汁，10÷2＝5份牛奶，即第二次喝了杯纯椰汁，妈妈一共喝的纯椰汁的量：（杯）。 因此妈妈一共喝了杯纯椰汁。 10．一桶油，第一次用去kg，第二次用去余下的一半，这时桶里还剩下kg，这桶油原来有( )kg。 【答案】 【分析】因为第二次用去余下的一半后，还剩下余下后的一半。此时桶里还剩下kg，所以第一次用后余下的油量是：（＋）kg。第一次用去kg，那么再加上第一次用后余下的（＋）kg，即可得出这桶油原来的油量。 【详解】＋（＋） ＝＋ ＝＋ ＝（kg） 这桶油原来有kg。 三、判断题 11．1－的计算结果是0。( ) 【答案】× 【分析】1－，从左往右计算，据此计算出结果即可。 【详解】1－ ＝ ＝ 1－的计算结果是，原题说法错误。 故答案为：× 12．小涵有一杯纯果汁，第一次喝了这杯果汁的；加满水后，又喝了这杯果汁的；再加满水，最后一饮而尽。小涵喝的纯果汁比水多。( ) 【答案】√ 【分析】小涵第一次喝了杯纯果汁，加杯水；第二次喝了混合液中果汁的（即杯果汁）和水的（即杯水），再加杯水；最后喝完剩余液体。总喝水量为两次加水量之和，即杯，而纯果汁总量为1杯，因此纯果汁比水多。 【详解】第一次加水杯，第二次加水杯，总加水量为：；纯果汁总量为1杯，，故喝的纯果汁比水多。 原题说法正确。 故答案为：√ 13．爸爸把一块菜地的种了黄瓜，种了豆角，种了辣椒。( ) 【答案】× 【分析】把这块菜地的总面积看作单位“1”，先用加法求出黄瓜、豆角、辣椒的种植面积占这块菜地的分率之和，再把总和与“1”进行比较，若总和小于等于1，则原题描述正确；若总和大于1，则原题描述错误。 【详解】 三种蔬菜的种植面积之和超过了这块菜地的总面积，原说法错误。 故答案为：× 14．运用了加法交换律和加法结合律。( ) 【答案】√ 【分析】加法交换律指交换加数的位置，和不变；加法结合律指改变运算顺序，和不变。观察等式左边到右边的变化，首先交换了与的位置，再结合和，因此同时运用了两种运算律。 【详解】原式中，与交换位置得到（应用加法交换律），再将和结合为（应用加法结合律）。因此，等式同时运用了加法交换律和加法结合律，原题说法正确。 故答案为：√ 15．在等式中，其中a，b，c代表不同的偶数，则a＋b＋c＝26。( ) 【答案】√ 【分析】异分母分数相加减，先通分再计算，结果是约分而来，根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘2，可得，从结果进行倒推，发现分母10的因数只有两个偶数，因为a，b，c代表不同的偶数，不符合题意； 将的分子和分母同时乘4，可得，从结果进行倒推，20的因数可以有3个不同的偶数，再将分子16拆成3个数相加的形式，且能与3个不同的偶数约分成分子是1的分数即可，约分后的三个分数的分母即a、b、c的值，相加即可。 【详解】＝、＝，因为的分母10的因数有1、2、5、10，只有两个偶数，而因为a，b，c代表不同的偶数，不符合题意； 的分母20的因数有1、2、4、5、10、20，20的因数可以有3个不同的偶数，分子16＝1＋5＋10，倒推回去，所以a、b、c分别是20、4、2，20＋4＋2＝26，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】关键是掌握异分母分数加减法的计算方法，理解约分和通分的含义。 四、计算题 16．计算园地。                                                                                                                                                                                                           【答案】；；； ；；； ；；； ；；2 【详解】略。 17．计算下面各题，能简算的要简算。                                      【答案】；；0； 【分析】先判断是否能简算——能否使用运算律，不能简算的按照四则运算的运算规律计算。 （1）按从左到右的顺序计算，先计算减法，再计算加法； （2）交换位置，把分母相同的数换到一起，先计算，再用结果减去； （3）交换位置，把放在一起先计算，再根据减法的性质——计算出结果； （4）去掉括号，括号内减号在去掉括号后变为加号，先计算减法，再计算加法即可。 【详解】                        五、解答题 18．学校为庆祝六一儿童节，用100盆花卉布置会场。除菊花、兰花和月季以外的其他花卉占总数的几分之几？ 【答案】 【分析】根据题意可知，花卉的总数为单位“1”，菊花占总数的，兰花和月季共占总数的，求除菊花、兰花和月季以外的其他花卉占总数的几分之几，用1减去菊花、兰花和月季共占总数的几分之几即可。 【详解】 答：除菊花、兰花和月季以外的其他花卉占总数的。 19．一节数学课，复习上节课的知识大约用了小时，老师讲解新课大约用了小时，做练习大约用了小时。这节数学课大约是多少小时？ 【答案】小时 【分析】用复习上节课的知识大约用的时间加上老师讲解新课大约用的时间加上做练习大约用的时间，即是一节数学课的时间，据此解答。 【详解】 （小时） 答：这节数学课大约是小时。 20．暑假期间，五（2）班同学的读书情况如下表。 读书本数 1 2 3 4 读书人数占全班总人数的几分之几 （1）算式“”解决的问题是__________________________________________。 （2）读2本书以上（含2本）的人数占全班总人数的几分之几？ （3）全班同学都参加读书活动了吗？ 【答案】（1）读3本书的人数比读4本书的多占全班总人数的几分之几； （2）； （3）全班同学没有都参加读书活动。 【分析】（1）读3本书和读4本书的占全班人数的分率相减，即求读3本书的人数比读4本书的多占全班总人数的几分之几； （2）将读两本（含两本）书以上的同学占全班人数的分率相加，即可解答； （3）将全部读书的人数占总人数的分率相加，再与“1”进行比较即可解答。 【详解】（1）读3本书的人数比读4本书的多占全班总人数的几分之几； （2） 答：读2本书以上（含2本）的人数占全班总人数的。 （3） 答：全班同学没有都参加读书活动。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $