专题04：长方体和正方体的认识(知识精讲+例题讲解+培优练习）2025-2026学年五年级下册数学人教版

专题04：长方体和正方体的认识 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经认识了长方形、正方形等平面图形。今天，我们将走进一个更立体、更真实的世界——长方体和正方体。你有没有观察过家里的文具盒、书本、魔方或者纸巾盒？它们的形状其实都藏着数学的秘密。本讲义将带领你从“面、棱、顶点”三个角度，全面认识长方体和正方体，了解它们的特征和区别。希望你在预习时，能动手摸一摸身边的长方体物品，数一数它们的面、棱和顶点，用尺子量一量长、宽、高，培养自己的空间观念。数学来源于生活，又服务于生活。让我们带着好奇心，开启今天的探索之旅吧！相信通过你的观察与思考，一定能发现立体图形的奇妙之处，为后续学习表面积和体积打下坚实的基础。加油，小小数学家！ 知识精讲 1. 长方体的认识 （1）定义： 长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，是日常生活中常见的几何体之一。 （2）基本特征： 面：有6个面，相对的面完全相同，一般相对的面面积相等。 棱：两个面相交的线叫做棱。长方体有12条棱，可以分为3组，每组4条棱长度相等。 分别叫做：长（一般指底面较长的边）、宽（底面较短的边）、高（垂直于底面的棱）。 顶点：三条棱相交的点叫做顶点。长方体有8个顶点。 （3）长方体的直观图： 通常画成长方形框架，用实线画出能看到的面，用虚线表示被遮住的棱。 从一个方向观察，最多能看到3个面。 2. 正方体的认识 （1）定义： 正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，是特殊的长方体。 （2）基本特征： 面：6个面都是完全相同的正方形，面积都相等。 棱：12条棱的长度都相等。 顶点：有8个顶点，每三条棱相交于一个顶点。 正方体也叫立方体。 3. 长方体与正方体的关系 （1）相同点： 都有6个面、12条棱、8个顶点。 面与面之间都互相垂直（相邻面垂直）。 （2）不同点： 项目 长方体 正方体 面 6个长方形（可能2个正方形） 6个完全相同的正方形 棱 12条，分3组，每组4条相等 12条，全部相等 长、宽、高 一般不相等 都相等（可统称棱长） （3）关系： 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等时，它就变成了正方体。 可以用集合图表示：正方体 ⊂ 长方体。 4. 长方体和正方体的展开图初步感知 （1）把一个长方体或正方体的6个面展开，可以得到一个平面图形，叫做展开图。 （2）常见的正方体展开图有“1-4-1”型、“2-3-1”型、“3-3”型等，共11种。 （3）注意：不是任意6个正方形拼在一起都能折成正方体，必须满足“能围成封闭立体”的条件。 例题讲解 【典型例题1】 填空。 （1）长方体有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点。 （2）正方体有（ ）个面，每个面都是（ ）形，面积都（ ）。 （3）一个长方体的长是6 cm，宽是4 cm，高是3 cm，那么它的12条棱中，长度为6 cm的有（ ）条，长度为4 cm的有（ ）条，长度为3 cm的有（ ）条。 解析： （1）根据长方体的特征，有6个面，12条棱，8个顶点。 （2）正方体6个面都是正方形，面积都相等。 （3）长方体的12条棱分为3组： 4条长（6 cm） 4条宽（4 cm） 4条高（3 cm） → 所以分别填4、4、4。 【跟踪练习1】 填空。 （1）从一个顶点出发的三条棱，分别叫做长方体的（ ）、（ ）和（ ）。 （2）一个正方体的棱长是5 cm，那么它的12条棱总长度是（ ）cm。 （3）一个长方体最多有（ ）个面是正方形。 【典型例题2】 判断题。（对的画“√”，错的画“×”） （1）长方体的6个面一定都是长方形。 （ ） （2）正方体是特殊的长方体。 （ ） （3）长方体相对的面面积相等。 （ ） （4）一个立体图形有6个面、12条棱、8个顶点，它一定是长方体。 （ ） 解析： （1）×。错误。特殊情况可以有两个相对的面是正方形，其余是长方形。 （2）√。正确。当长方体的长、宽、高都相等时，就是正方体。 （3）√。正确。这是长方体的基本特征。 （4）×。错误。正方体也满足这个条件，但还有其他立体图形如斜平行六面体也可能满足，但五年级阶段主要认识长方体和正方体，所以强调“一般指”这类图形。 【跟踪练习2】 判断题。（对的画“√”，错的画“×”） （1）正方体的6个面都完全相同。 （ ） （2）长方体的12条棱中，最多有8条棱长度相等。 （ ） （3）从一个方向观察长方体，最多能看到3个面。 （ ） （4）长方体和正方体都有8个顶点。 （ ） 培优练习 一、选择题 1．将下面的展开图围成正方体后，与“国”相对的面是（    ）。 A．少 B．强 C．年 D．则 2．某产品说明书上标注包装尺寸为862mm×667mm×1888mm，它们分别表示这个长方体包装盒的长、宽、高。根据这些数据联系生活，这个产品可能是（    ）。 A．一部手机 B．一台电风扇 C．一台冰箱 D．一台笔记本电脑 3．用铁丝焊接一个棱长4厘米的正方体框架，至少需要铁丝（    ）厘米。 A．48 B．64 C．96 D．32 4．张阿姨给长方体快递盒捆胶带，如图所示，前后捆绑一圈用胶带40厘米，左右捆绑一圈用胶带60厘米，中间捆绑一圈用胶带100厘米（接头处忽略不计）。这个长方体快递盒的棱长和是（    ）厘米。 A．1550 B．800 C．400 D．200 5．下面图形中，折叠后，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 6．数学活动课上，明明用木条制作了一个长方体框架已完成部分（如图），制作完成共需( )cm的木条；若为这个框架每个角都装上防撞角，共需安装( )个。 7．下面是一个正方体的展示图，与3号相对的是( )号。 8．一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。其中长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、4cm，长方体的棱长之和是( )cm，正方体的棱长是( )cm。 9．如图所示：这是一个长方体展开图，将它还原成长方体后，如果①号面在底面，那么( )号面在上面。 10．如图，王阿姨给客厅长方体茶几的棱贴上防撞条（与地面接触的棱不贴），至少要( )dm的防撞条。 三、判断题 11．4个同样的小正方体一定能组成较大的正方体。( ) 12．长26cm，宽18cm，高0.6cm的物体可能是一张身份证。( ) 13．一张A4纸很薄，它不是长方体。( ) 14．一个长方体的棱长之和是24cm，那么它的一组长宽高之和是8cm。( ) 15．可以折成一个正方体。( ) 四、解答题 16．小文和妈妈利用周末去姥姥家，妈妈用丝带把准备的礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要30厘米丝带。捆绑这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 17．李师傅用一根铁丝正好做了一个棱长是8厘米的正方体框架，后来他又用同样长的铁丝做了一个长方体框架，它的长是10厘米，宽是8厘米，接头处忽略不计，长方体框架的高是多少厘米？ 18．王师傅用角铁制作了一个长方体架子。长2米，宽1.5米，高0.8米。制作这个长方体铁架子至少用角铁多少米？（焊接口处忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04：长方体和正方体的认识 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经认识了长方形、正方形等平面图形。今天，我们将走进一个更立体、更真实的世界——长方体和正方体。你有没有观察过家里的文具盒、书本、魔方或者纸巾盒？它们的形状其实都藏着数学的秘密。本讲义将带领你从“面、棱、顶点”三个角度，全面认识长方体和正方体，了解它们的特征和区别。希望你在预习时，能动手摸一摸身边的长方体物品，数一数它们的面、棱和顶点，用尺子量一量长、宽、高，培养自己的空间观念。数学来源于生活，又服务于生活。让我们带着好奇心，开启今天的探索之旅吧！相信通过你的观察与思考，一定能发现立体图形的奇妙之处，为后续学习表面积和体积打下坚实的基础。加油，小小数学家！ 知识精讲 1. 长方体的认识 （1）定义： 长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，是日常生活中常见的几何体之一。 （2）基本特征： 面：有6个面，相对的面完全相同，一般相对的面面积相等。 棱：两个面相交的线叫做棱。长方体有12条棱，可以分为3组，每组4条棱长度相等。 分别叫做：长（一般指底面较长的边）、宽（底面较短的边）、高（垂直于底面的棱）。 顶点：三条棱相交的点叫做顶点。长方体有8个顶点。 （3）长方体的直观图： 通常画成长方形框架，用实线画出能看到的面，用虚线表示被遮住的棱。 从一个方向观察，最多能看到3个面。 2. 正方体的认识 （1）定义： 正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，是特殊的长方体。 （2）基本特征： 面：6个面都是完全相同的正方形，面积都相等。 棱：12条棱的长度都相等。 顶点：有8个顶点，每三条棱相交于一个顶点。 正方体也叫立方体。 3. 长方体与正方体的关系 （1）相同点： 都有6个面、12条棱、8个顶点。 面与面之间都互相垂直（相邻面垂直）。 （2）不同点： 项目 长方体 正方体 面 6个长方形（可能2个正方形） 6个完全相同的正方形 棱 12条，分3组，每组4条相等 12条，全部相等 长、宽、高 一般不相等 都相等（可统称棱长） （3）关系： 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等时，它就变成了正方体。 可以用集合图表示：正方体 ⊂ 长方体。 4. 长方体和正方体的展开图初步感知 （1）把一个长方体或正方体的6个面展开，可以得到一个平面图形，叫做展开图。 （2）常见的正方体展开图有“1-4-1”型、“2-3-1”型、“3-3”型等，共11种。 （3）注意：不是任意6个正方形拼在一起都能折成正方体，必须满足“能围成封闭立体”的条件。 例题讲解 【典型例题1】 填空。 （1）长方体有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点。 （2）正方体有（ ）个面，每个面都是（ ）形，面积都（ ）。 （3）一个长方体的长是6 cm，宽是4 cm，高是3 cm，那么它的12条棱中，长度为6 cm的有（ ）条，长度为4 cm的有（ ）条，长度为3 cm的有（ ）条。 解析： （1）根据长方体的特征，有6个面，12条棱，8个顶点。 （2）正方体6个面都是正方形，面积都相等。 （3）长方体的12条棱分为3组： 4条长（6 cm） 4条宽（4 cm） 4条高（3 cm） → 所以分别填4、4、4。 【跟踪练习1】 填空。 （1）从一个顶点出发的三条棱，分别叫做长方体的（ ）、（ ）和（ ）。 （2）一个正方体的棱长是5 cm，那么它的12条棱总长度是（ ）cm。 （3）一个长方体最多有（ ）个面是正方形。 答案及解析： （1）长、宽、高 （2）12条棱，每条5 cm → 12 × 5 = 60 cm （3）2个（当长方体有两个相对的面是正方形时，其余4个面是长方形） 【典型例题2】 判断题。（对的画“√”，错的画“×”） （1）长方体的6个面一定都是长方形。 （ ） （2）正方体是特殊的长方体。 （ ） （3）长方体相对的面面积相等。 （ ） （4）一个立体图形有6个面、12条棱、8个顶点，它一定是长方体。 （ ） 解析： （1）×。错误。特殊情况可以有两个相对的面是正方形，其余是长方形。 （2）√。正确。当长方体的长、宽、高都相等时，就是正方体。 （3）√。正确。这是长方体的基本特征。 （4）×。错误。正方体也满足这个条件，但还有其他立体图形如斜平行六面体也可能满足，但五年级阶段主要认识长方体和正方体，所以强调“一般指”这类图形。 【跟踪练习2】 判断题。（对的画“√”，错的画“×”） （1）正方体的6个面都完全相同。 （ ） （2）长方体的12条棱中，最多有8条棱长度相等。 （ ） （3）从一个方向观察长方体，最多能看到3个面。 （ ） （4）长方体和正方体都有8个顶点。 （ ） 答案及解析： （1）√。正确。6个面都是完全相同的正方形。 （2）×。错误。如果长方体有两个相对的面是正方形（如长=宽≠高），那么会有8条棱相等（4条长和4条宽），但“最多”是12条（当是正方体时），所以“最多8条”说法错误。 （3）√。正确。由于遮挡，最多看到3个面。 （4）√。正确。两者都有8个顶点。 培优练习 一、选择题 1．将下面的展开图围成正方体后，与“国”相对的面是（    ）。 A．少 B．强 C．年 D．则 【答案】A 【分析】正方体展开图找相对面的规律：“同层隔一面”、“异层隔两面”、“相邻不相对”，对于不在同一行的，“Z”字端处的小正方形是正方体的对面，据此解答即可。 【详解】根据正方体展开图找相对面的规律可知：将下面的展开图围成正方体后，与“国”相对的面是“少”。 故答案为：A 2．某产品说明书上标注包装尺寸为862mm×667mm×1888mm，它们分别表示这个长方体包装盒的长、宽、高。根据这些数据联系生活，这个产品可能是（    ）。 A．一部手机 B．一台电风扇 C．一台冰箱 D．一台笔记本电脑 【答案】C 【分析】首先通过包装尺寸862mm×667mm×1888mm对应这个长方体的长、宽、高可以知道长862mm，宽667mm，高1888mm，根据1m＝1000mm把单位换算成以m为单位，再根据生活实际判断即可。 【详解】862mm＝0.862m 667mm＝0.667m 1888mm＝1.888m 通过判断高度是1.888m，大约一个成年人的高度；结合生活实际可知：手机、电风扇、笔记本电脑的高度都不可能达到1.888m；所以这个产品可能是冰箱。 故答案为：C 3．用铁丝焊接一个棱长4厘米的正方体框架，至少需要铁丝（    ）厘米。 A．48 B．64 C．96 D．32 【答案】A 【分析】由题意可知，求需要铁丝的长度就是求正方体的棱长之和，利用“正方体的棱长之和＝棱长×12”求出正方体的棱长之和即可。 【详解】4×12＝48（厘米） 所以，至少需要铁丝48厘米。 故答案为：A 4．张阿姨给长方体快递盒捆胶带，如图所示，前后捆绑一圈用胶带40厘米，左右捆绑一圈用胶带60厘米，中间捆绑一圈用胶带100厘米（接头处忽略不计）。这个长方体快递盒的棱长和是（    ）厘米。 A．1550 B．800 C．400 D．200 【答案】D 【分析】前后捆绑一圈的长度是：2×高＋2×宽＝40厘米，左右捆绑一圈的长度是：2×高＋2×长＝60厘米，中间捆绑一圈的长度是：2×长＋2×宽＝100厘米，长方体的棱长和公式为：4×（长＋宽＋高），即：4×高＋4×宽＋4×长＝40＋60＋100，据此求解即可。 【详解】40＋60＋100＝200（厘米） 这个长方体快递盒的棱长和是200厘米。 故答案为：D 5．下面图形中，折叠后，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】常见正方体展开图类型： 1.一四一型： ，， 2.二三一型或一三二型： ，， 3.二二二型： 4.三三型： 【详解】 A．数字1对面的是数字5，数字3对面的是数字6，数字2对面的是数字4，可以围成正方体。 B．数字1对面的是数字4，数字2对面的是数字5，数字3对面的是数字6，可以围成正方体。 C．数字1对面的是数字5，数字2对面的是数字4，数字3对面没有数字，数字6对面的是数字4，出现了重复，不可以围成正方体。 D．数字1对面的是数字4，数字2对面的是数字6，数字3对面的是数字5，可以围成正方体。 故答案为：C 二、填空题 6．数学活动课上，明明用木条制作了一个长方体框架已完成部分（如图），制作完成共需( )cm的木条；若为这个框架每个角都装上防撞角，共需安装( )个。 【答案】 60 8 【分析】制作长方体框架所需木条长度（即长方体棱长总和），长方体的棱长总和公式为：C＝（a＋b＋h）×4（a为长，b为宽，h为高）。由图可知，长方体的长为6cm，宽为4cm，高为5cm。把数据代入公式计算即可得出需要木条的长度。长方体有8个顶点，每个顶点装一个防撞角，所以共需安装1×8＝8个防撞角。 【详解】（6＋4＋5）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 长方体有8个顶点。 1×8＝8（个） 制作这个长方体共需60cm的木条；若为这个框架每个角都装上防撞角，共需安装8个。 7．下面是一个正方体的展示图，与3号相对的是( )号。 【答案】6 【分析】假定3号面为下面. 第一步：4号沿着它与3号面的线折叠就成为右面；5号面折叠后就成了前面；6号面再折叠就成了上面。 第二步：2号面沿着它与3号面的线折叠就成了后面；1号面再折叠后就成了左面。 所以，与3号面相对的是6号面。 【详解】1号和4号是相对面，2号和5号是相对面，3号和6号是相对面。 所以与3号相对的是6号。 8．一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。其中长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、4cm，长方体的棱长之和是( )cm，正方体的棱长是( )cm。 【答案】 60 5 【分析】长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此列式计算。 【详解】（6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 60÷12＝5（cm） 长方体的棱长之和是60cm，正方体的棱长是5cm。 9．如图所示：这是一个长方体展开图，将它还原成长方体后，如果①号面在底面，那么( )号面在上面。 【答案】⑤ 【分析】长方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小长方形（中间隔着一个小长方形）是长方体的两个对面，据此判断出长方形的相对面，再根据底面的相对面是上面确定即可。 【详解】根据长方体的展开图可知：②号面和⑥号面相对，①号面和⑤号面相对，③号面和④号面相对；如果①号面在底面，则和①号面相对的⑤号面在上面。 这是一个长方体展开图，将它还原成长方体后，如果①号面在底面，那么⑤号面在上面。 10．如图，王阿姨给客厅长方体茶几的棱贴上防撞条（与地面接触的棱不贴），至少要( )dm的防撞条。 【答案】56 【分析】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱长度相等。因为与地面接触的棱不贴防撞条，所以需要贴防撞条的棱是2条长、2条宽和4条高。即：防撞条长度＝（长＋宽）×2＋高×4，已知长方体茶几的长是12dm，宽是6dm，高是5dm，把数据代入计算即可。 【详解】（12＋6）×2＋5×4 ＝18×2＋5×4 ＝36＋20 ＝56（dm） 至少要56dm的防撞条。 三、判断题 11．4个同样的小正方体一定能组成较大的正方体。( ) 【答案】× 【分析】8个相同的小正方体才能拼成一个较大的正方体，分两层，上、下层各4个；据此判断即可解题。 【详解】据分析可知，8个相同的小正方体才能拼成一个较大的正方体。 故答案为：× 12．长26cm，宽18cm，高0.6cm的物体可能是一张身份证。( ) 【答案】× 【分析】一个长方体的长是26cm，普通成年人的手掌的长度是大约在15cm~20cm之间，从生活实际中可知，身份证的长度比手掌小的多。则不可能是身份证。 【详解】长26cm，宽18cm，高0.6cm的物体比一张身份证的体积大。原说法错误。 故答案为：× 13．一张A4纸很薄，它不是长方体。( ) 【答案】× 【分析】根据长方体和长方形的特征，一张薄纸它具备了长方体的特征，只能说一张薄纸的面是长方形，据此解答。 【详解】根据长方体和长方形的特征，一张薄纸它再薄也有一定的厚度，它也占有一定的空间，因此一张薄纸是长方体而不是长方形。 故答案为：× 14．一个长方体的棱长之和是24cm，那么它的一组长宽高之和是8cm。( ) 【答案】× 【分析】据长方体的特征，12棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即长方体的棱长总和4＝长宽高之和。 【详解】（cm） 即长方体的一组长宽高之和是6cm。 故答案为：× 15．可以折成一个正方体。( ) 【答案】√ 【分析】根据正方体11种展开图进行分析，是正方体11种展开图里的情况可以折成正方体，不是正方体11种展开图里的情况不可以折成正方体，据此分析。 【详解】 ，1－4－1型正方体展开图，可以折成一个正方体，原题说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 16．小文和妈妈利用周末去姥姥家，妈妈用丝带把准备的礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要30厘米丝带。捆绑这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】450厘米 【分析】观察图形可知，丝带的长度包含4条高、4条长、4条宽，再加上打结处的30厘米，即丝带长度＝（长＋宽＋高）×4＋30。已知长为50厘米，宽为25厘米，高为30厘米。把数据代入计算即可。 【详解】（50＋25＋30）×4＋30 ＝105×4＋30 ＝420＋30 ＝450（厘米） 答：捆绑这个礼物一共需要450厘米丝带。 17．李师傅用一根铁丝正好做了一个棱长是8厘米的正方体框架，后来他又用同样长的铁丝做了一个长方体框架，它的长是10厘米，宽是8厘米，接头处忽略不计，长方体框架的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】铁丝长度相当于正方体和长方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。 【详解】8×12＝96（厘米） 96÷4－10－8 ＝24－10－8 ＝6（厘米） 答：长方体框架的高是6厘米。 18．王师傅用角铁制作了一个长方体架子。长2米，宽1.5米，高0.8米。制作这个长方体铁架子至少用角铁多少米？（焊接口处忽略不计） 【答案】 17.2米 【分析】已知长方体架子长2米，宽1.5米，高0.8米，根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”计算出长方体的棱长总和，即为制作这个长方体架子所用角铁的长度。 【详解】（2＋1.5＋0.8）×4 ＝（3.5＋0.8）×4 ＝4.3×4 ＝17.2（米） 答：制作这个长方体铁架子至少用角铁17.2米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $