专题11：通分（知识精讲+例题讲解+培优练习）2025-2026学年五年级下册数学人教版

专题11：通分 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经掌握了分数的基本性质、约分以及同分母分数的大小比较。分数的世界就像一幅拼图，每一块都有它独特的位置。今天，我们将学习一个非常重要的“拼图工具”——通分。通分是分数运算中一项基础而关键的技能，它能帮助我们把“不同分母”的分数变成“相同分母”的分数，从而方便比较大小或进行加减运算。这就像把不同单位的尺子统一成同一把尺子来测量，让比较更公平、计算更准确。本讲内容紧扣教材，不超纲、不拔高，注重理解与规范书写。希望你在学习时，能静下心来，认真观察、动手练习，理解通分的本质，掌握通分的方法。记住：数学不是死记硬背，而是理解与应用。愿你带着思考与耐心，一步步掌握通分的奥秘，为后续分数加减法打下坚实的基础！ 知识精讲 1. 通分的意义 （1）定义 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，这个过程叫做通分。 通分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （2）目的 为了比较两个或多个异分母分数的大小； 为后续学习“异分母分数加减法”做准备。 2. 通分的方法 （1）确定公分母 一般选择两个分母的最小公倍数作为公分母，这样计算更简便。 例如：比较 和 ，4 和 6 的最小公倍数是 12，所以用 12 作公分母。 （2）进行通分 根据分数的基本性质，将每个分数的分子和分母同时乘一个相同的数，使分母变成公分母。 例如： ， 。 3. 比较通分后分数的大小 （1）同分母分数，分子大的分数大 例如： ，所以 。 4. 与约分的区别 （1）约分：把一个分数化成和它相等但分子分母都比较小的分数，依据也是分数的基本性质，目的是化简； （2）通分：把几个分数化成和原来相等但分母相同的分数，目的是便于比较或计算。 例题讲解 【典型例题1】 把 和 通分，并比较它们的大小。 解析： （1）找分母 3 和 5 的最小公倍数：3 和 5 互质，最小公倍数是 。 （2）通分： · · （3）比较： ，所以 。 答：通分后为 和 ， 。 【跟踪练习1】 把 和 通分，并比较它们的大小。 【典型例题2】 比较 和 的大小，先通分再比较。 解析： （1）找 8 和 12 的最小公倍数： 8 = 2×2×2，12 = 2×2×3，最小公倍数是 。 （2）通分： （3）比较： ，所以 。 答： 。 【跟踪练习2】 比较 和 的大小，先通分再比较。 【典型例题3】 豆豆喝了一杯牛奶的 ，吃了一个面包的 。他喝的牛奶多还是吃的面包多？（通过通分比较） 解析： （1）比较 和 的大小。 （2）找 7 和 5 的最小公倍数：7 和 5 互质，最小公倍数是 。 （3）通分： （4）比较： ，所以 。 答：豆豆喝的牛奶多。 【跟踪练习3】 小红用了 小时做数学作业，用了 小时做语文作业。她做哪科作业用的时间多？ 培优练习 一、选择题 1．有一批糖果，每盒装6颗或每盒装8颗都正好装完，这批糖果至少有多少颗？（    ） A．14颗 B．24颗 C．48颗 D．72颗 2．（a、b、c都是不为0的自然数），a、b、c中最小的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法确定 3．一个真分数，它的分子、分母同时加上一个相同的非零自然数后，所得到的新分数一定（    ）。 A．与原数相等 B．比原数大 C．比原数小 D．无法确定 4．若＜＜，则式中a最多可能表示（    ）个不同的自然数。 A．7 B．8 C．9 D．10 5．有三种面巾纸，甲种纸1元3包，乙种纸2元5包，丙种纸3元8包，那么（    ）最贵。 A．甲种纸 B．乙种纸 C．丙种纸 D．无法比较 二、填空题 6．甲乙两辆车从A地开往B地，甲车用了时，乙车用了时，( )车更快一些。 7．有一个电子表，每走10分钟亮一次灯，每走15分钟报一次时。上午10时这个电子表既亮灯又报时，那么至少再过( )分钟这个电子表既亮灯又报时。 8．甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是( )月( )日。 9．用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米，要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸( )张。 10．16和24的公因数有( )，最大公因数是( )。50以内，6和12的公倍数有( )，最小公倍数是( )。 三、判断题 11．分数单位越小的分数，分数值也越小。( ) 12．和大小相等，意义相同。( ) 13．如果a＝5b（a、b均≠0），那么a、b的最小公倍数是b，最大公因数是a。( ) 14．已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60。那么这两个数有可能是6和60，也有可能是12和30。( ) 15．比大，又比小的分数有无数个。( ) 四、计算题 16．把下面各组分数通分。 和       和       和 五、解答题 17．向上文具店新购进一批相同数量的红色、蓝色、白色文具袋，一段时间后，红色文具袋卖出，蓝色文具袋卖出，白色文具袋卖出。哪种文具袋销售得最好？ 18．有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 19．已知A，B为非零自然数，并且满足，那么A的最大值是多少？B的最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11：通分 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经掌握了分数的基本性质、约分以及同分母分数的大小比较。分数的世界就像一幅拼图，每一块都有它独特的位置。今天，我们将学习一个非常重要的“拼图工具”——通分。通分是分数运算中一项基础而关键的技能，它能帮助我们把“不同分母”的分数变成“相同分母”的分数，从而方便比较大小或进行加减运算。这就像把不同单位的尺子统一成同一把尺子来测量，让比较更公平、计算更准确。本讲内容紧扣教材，不超纲、不拔高，注重理解与规范书写。希望你在学习时，能静下心来，认真观察、动手练习，理解通分的本质，掌握通分的方法。记住：数学不是死记硬背，而是理解与应用。愿你带着思考与耐心，一步步掌握通分的奥秘，为后续分数加减法打下坚实的基础！ 知识精讲 1. 通分的意义 （1）定义 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，这个过程叫做通分。 通分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （2）目的 为了比较两个或多个异分母分数的大小； 为后续学习“异分母分数加减法”做准备。 2. 通分的方法 （1）确定公分母 一般选择两个分母的最小公倍数作为公分母，这样计算更简便。 例如：比较 和 ，4 和 6 的最小公倍数是 12，所以用 12 作公分母。 （2）进行通分 根据分数的基本性质，将每个分数的分子和分母同时乘一个相同的数，使分母变成公分母。 例如： ， 。 3. 比较通分后分数的大小 （1）同分母分数，分子大的分数大 例如： ，所以 。 4. 与约分的区别 （1）约分：把一个分数化成和它相等但分子分母都比较小的分数，依据也是分数的基本性质，目的是化简； （2）通分：把几个分数化成和原来相等但分母相同的分数，目的是便于比较或计算。 例题讲解 【典型例题1】 把 和 通分，并比较它们的大小。 解析： （1）找分母 3 和 5 的最小公倍数：3 和 5 互质，最小公倍数是 。 （2）通分： · · （3）比较： ，所以 。 答：通分后为 和 ， 。 【跟踪练习1】 把 和 通分，并比较它们的大小。 答案及解析： （1）找分母 4 和 6 的最小公倍数：4 = 2×2，6 = 2×3，最小公倍数是 。 （2）通分： （3）比较： ，所以 。 答：通分后为 和 ， 。 【典型例题2】 比较 和 的大小，先通分再比较。 解析： （1）找 8 和 12 的最小公倍数： 8 = 2×2×2，12 = 2×2×3，最小公倍数是 。 （2）通分： （3）比较： ，所以 。 答： 。 【跟踪练习2】 比较 和 的大小，先通分再比较。 答案及解析： （1）找 9 和 12 的最小公倍数： 9 = 3×3，12 = 2×2×3，最小公倍数是 。 （2）通分： （3）比较： ，所以 。 答： 。 【典型例题3】 豆豆喝了一杯牛奶的 ，吃了一个面包的 。他喝的牛奶多还是吃的面包多？（通过通分比较） 解析： （1）比较 和 的大小。 （2）找 7 和 5 的最小公倍数：7 和 5 互质，最小公倍数是 。 （3）通分： （4）比较： ，所以 。 答：豆豆喝的牛奶多。 【跟踪练习3】 小红用了 小时做数学作业，用了 小时做语文作业。她做哪科作业用的时间多？ 答案及解析： （1）比较 和 的大小。 （2）找 12 和 8 的最小公倍数： 12 = 2×2×3，8 = 2×2×2，最小公倍数是 。 （3）通分： （4）比较： ，所以 。 答：小红做数学作业用的时间多。 培优练习 一、选择题 1．有一批糖果，每盒装6颗或每盒装8颗都正好装完，这批糖果至少有多少颗？（    ） A．14颗 B．24颗 C．48颗 D．72颗 【答案】B 【分析】解答这道题需要熟知：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。根据“每盒装6颗或每盒装8颗都正好装完”，可以明确这批糖果的数量既是6的倍数，也是8的倍数，问题中的“至少”是需要找出这些倍数里最小的那一个。可以通过找出6的倍数和8的倍数，再从这些倍数中找出既是6的倍数又是8的倍数的数，确定最小的那一个，据此解答。 【详解】6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48…… 8的倍数：8、16、24、32、40、48、56…… 既是6的倍数，又是8的倍数：24、48…… 最小的是24，所以这批糖果至少有24颗。 故答案为：B 2．（a、b、c都是不为0的自然数），a、b、c中最小的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意分析，先把化简为，再根据同分子分数分母越小分数越大来判断。 【详解】化简为，因为，那么，，根据同分子分数分母越小分数越大可得，，所以a、b、c中最小的是c。 故答案为：C 3．一个真分数，它的分子、分母同时加上一个相同的非零自然数后，所得到的新分数一定（    ）。 A．与原数相等 B．比原数大 C．比原数小 D．无法确定 【答案】B 【分析】可以通过举例进行验证看说法是否正确； 【详解】如：，它的分子、分母同时加上一个相同的非零自然数后，比如说1，变成， ＞； ，它的分子、分母同时加上一个相同的非零自然数后，比如说3，变成，＞； 新分数均大于原分数，故一定比原数大。 故答案为：B 4．若＜＜，则式中a最多可能表示（    ）个不同的自然数。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据异分母分数大小比较的方法，首先将这三个分数通分，再按照同分母分数大小比较的方法进行解答即可。 【详解】因为18是3和6的倍数，所以3、18和6的最小公倍数是18， ＝＝ ＝＝ 即＜＜ 那么6＜a＋4＜15。 所以a表示的自然数是3、4、5、6、7、8、9、10；共8个不同的自然数。 故答案为：B 5．有三种面巾纸，甲种纸1元3包，乙种纸2元5包，丙种纸3元8包，那么（    ）最贵。 A．甲种纸 B．乙种纸 C．丙种纸 D．无法比较 【答案】B 【分析】比较三种面巾纸哪种最贵，需要计算每种纸每包的价格（即单价＝总价÷数量），因为总价和包数不同。单价越高，表示越贵。 【详解】甲：1÷3＝（元）＝（元） 乙：2÷5＝（元）＝（元） 丙：3÷8＝（元）＝（元） ＞＞ 乙＞丙＞甲 因此乙是最贵的。 故答案为：B 二、填空题 6．甲乙两辆车从A地开往B地，甲车用了时，乙车用了时，( )车更快一些。 【答案】 乙 【分析】两车路程相同，用时越短，速度越快，比较甲乙两车的时间。根据分数的基本性质：分子分母同时乘或除以一个数（0除外），分数大小不变，将分数通分成分母为56的分数，比较分子即可。 【详解】＝ ＝ ＞ 则乙车更快一些。 7．有一个电子表，每走10分钟亮一次灯，每走15分钟报一次时。上午10时这个电子表既亮灯又报时，那么至少再过( )分钟这个电子表既亮灯又报时。 【答案】30 【分析】根据题意，算出10和15的最小公倍数即可。 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的一个，叫做它们的最小公倍数。 【详解】10的倍数：10，20，30，40⋯ 15的倍数：15，30，45⋯ 10和15的最小公倍数是30。 所以，至少再过30分钟这个电子表既亮灯又报时。 8．甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是( )月( )日。 【答案】 3 18 【分析】根据题意可知，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。他们于2019年1月5日这一天在图书馆相遇，那么距离下一次他们一起到图书馆相遇的天数应该是6、8、9的最小公倍数。即找到6天，8天，9天的最小公倍数，即可知道他们一起到图书馆是几天之后，用1月5日加上这个天数即可求得下一次他们一起到图书馆相遇的时间。 【详解】6＝2×3； 8＝2×2×2； 9＝3×3； 2×2×2×3×3＝72（天） 31－5＝26（天） 2019÷4＝504……3，则2019年是平年，2月有28天。 26＋28＝54（天） 72－54＝18（天） 即下一次他们一起到图书馆相遇是3月18日。 9．用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米，要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸( )张。 【答案】6 【分析】用每张长12厘米，宽8厘米，要把它们拼成一个正方形，正方形的边长既是12的倍数也是8的倍数，要拼成最小的正方形，就是边长是12和8的最小公倍数，求出边长看每边有几个长，几个宽，就得出一共几张这样的长方形纸。 【详解】12的倍数有：12，24，36，48，60…，8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56…，12和8的最小公倍数是24，即拼成的最小的正方形的边长是24厘米， 24÷12＝2（张） 24÷8＝3（张） 需要张数：2×3＝6（张） 至少需6张这样的长方形纸。 10．16和24的公因数有( )，最大公因数是( )。50以内，6和12的公倍数有( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1，2，4，8 8 12，24，36，48 12 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；先用短除法求出16和24的最大公因数，再求出最大公因数的因数就是16和24的公因数；如果两个数是倍数关系，那么它们的最小公倍数是两个数中的较大数，先求出6和12的最小公倍数，再求出50以内最小公倍数的倍数就是6和12的公倍数，据此解答。 【详解】 16和24的最大公因数：2×2×2＝8。 8÷1＝8 8÷2＝4 16和24的公因数：1，2，4，8。 6和12是倍数关系，6和12的最小公倍数是12。 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 50以内，6和12的公倍数有12，24，36，48。 所以，16和24的公因数有1，2，4，8，最大公因数是8。50以内，6和12的公倍数有12，24，36，48，最小公倍数是12。 三、判断题 11．分数单位越小的分数，分数值也越小。( ) 【答案】× 【分析】分数单位的大小由分母决定，分母越大，分数单位越小。但分数值的大小由分子和分母共同决定，分数单位小的分数，分数值不一定更小。 【详解】例如，的分数单位是，的分数单位是。的分数单位更小，但，，则，说明分数单位小的分数值不一定更小。 故答案为：× 12．和大小相等，意义相同。( ) 【答案】 × 【分析】判断两个分数是否大小相等，可以通过约分或通分比较；而分数的意义是否相同需考虑其表示的具体情境或分法。 【详解】和的大小相等，因为约分后为。 但意义不同：表示将整体平均分成5份取2份， 表示将整体平均分成25份取10份， 分法和取的份数不同，因此意义不相同。 故答案为：× 13．如果a＝5b（a、b均≠0），那么a、b的最小公倍数是b，最大公因数是a。( ) 【答案】× 【分析】当两个数成倍数关系时，较大的数是最小公倍数，较小的数是最大公因数，据此分析。 【详解】根据题意，a＝5b（a、b均不为0），说明a是b的倍数，那么a、b的最小公倍数是a，最大公因数是b，因此，原题说法错误。 故答案为：× 14．已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60。那么这两个数有可能是6和60，也有可能是12和30。( ) 【答案】√ 【分析】先把6和60、12和30分别分解质因数，再找出6和60、12和30的最大公因数和最小公倍数，据此判断。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 60＝2×2×3×5 6和60的最大公因数是：2×3＝6 6和60的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 12＝2×2×3 30＝2×3×5 12和30的最大公因数是：2×3＝6 12和30的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 所以，已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60。那么这两个数有可能是6和60，也有可能是12和30。 原题说法正确。 故答案为：√ 15．比大，又比小的分数有无数个。( ) 【答案】√ 【分析】通过分数的基本性质，将分子和分母同时扩大相同倍数，分数大小不变，据此可找到它们之间的无数个分数。 【详解】＝；＝； 将这两个分数的分子和分母同时扩大2倍，得到：和，大于小于的数，有1个； 将这两个分数的分子和分母同时扩大3倍，得到：和，大于小于有、，有2个； 将这两个分数的分子和分母同时扩大4倍，得到：和，大于＜有，，，有3个； …… 所以比大，又比小的分数有无数个。原题干说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 16．把下面各组分数通分。 和       和       和 【答案】；；；；； 【分析】通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后根据分数的基本性质，把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。 【详解】和 ＝＝ ＝＝ 和 ＝＝ ＝＝ 和 ＝＝ ＝＝ 五、解答题 17．向上文具店新购进一批相同数量的红色、蓝色、白色文具袋，一段时间后，红色文具袋卖出，蓝色文具袋卖出，白色文具袋卖出。哪种文具袋销售得最好？ 【答案】红色文具袋 【分析】根据题意，先把，和进行通分，化成同分母的分数进行比较，最大的即是销售得最好。 【详解】，， 因为，所以 答：红色文具袋销售得最好。 18．有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 【答案】57个 【分析】由题可知，4个4个拿多1个，即苹果数除以4余1；5个5个拿多2个，即除以5余2；6个6个拿多3个，即除以6余3。观察可知，若苹果数增加3个，则分别能被4、5、6整除，即苹果数是4、5、6的公倍数减3。据此解答。 【详解】  4的倍数有：4，16，20，24，28，32，36，40，44，48，60，64 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66 4，5，6的最小公倍数是60。 （个） 答：这一箱苹果至少有57个。 19．已知A，B为非零自然数，并且满足，那么A的最大值是多少？B的最小值是多少？ 【答案】A的最大值是5，B的最小值是2 【分析】异分母分数比较大小，先通分成同分母分数，再按照同分母分数的方法比较大小； 同分母分数比较大小，分母相同，分子越大，分数越大，据此解答。 【详解】， 因为，所以，即 答：A的最大值是5，B的最小值是2。 【点睛】本题关键在于根据异分母比较大小的方法进行通分，将分数统一成同分母分数，再根据分子的大小判断A、B的范围。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $