专题 19.9 二次根式（单元培优卷）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题 19.9 二次根式（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 解：、，是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可． 解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小． 解：∵m，n，k为连续整数，且， ∴，（）． ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 解：∵ ∴ ， 故选：B． 二、填空题 11．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）函数 的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件；根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件求解. 解：∵， 解得：， ∵， 解得：， 故自变量的取值范围是且. 12．（25-26七年级上·山东威海·期末）若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 解：由三角形三边关系，得，即， ∴ ， ． 故答案为． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． ， ， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可． 解：=，被开方数为； ①=，被开方数为，可合并； ②=，被开方数为，不可合并； ③==，被开方数为，可合并； ④，被开方数为，可合并； ⑤=，被开方数为，不可合并． 故答案为：②⑤． 15．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何变换，根据图与图的拼图结果得出线段间的相等关系，求得与，进而即可求解，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系． 【详解】解：如图， ∵图由一个长方形分割而成，且图中只有、、的角， ∴线段线段， ∴， 由图可知， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 【答案】15 【分析】本题考查分母有理化、代数式求值，先将分母有理化，得到，然后由得 ，整理得．利用此关系式将高次幂降次，代入多项式计算即可． 解：， 所以，两边平方，得， 则，即， ∴， ∴， ， ∴： ， 故答案为：15． 18．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 【答案】（） 【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此得出规律． 解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为， 验证：左边， 右边， 左右相等，故规律成立， 因此，用含自然数的等式表示为（）． 故答案为：（）． 三、解答题 19．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)15 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法则计算可得； （2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可． （1）解： ； （2） . 20．（24-25八年级上·上海·月考）已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 21．（25-26八年级上·河北邢台·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则和灵活运用乘方公式是解题关键． （）先根据二次根式的性质化简，分母有理化进行计算，最后合并计算即可； （）先利用完全平方公式展开和分母有理化计算，零次幂，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案． （1）解： ； （2）解： ． 22．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)（为自然数，且） 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）仿照题干计算即可； （2）根据已知等式找出规律即可． （1）解：，验证如下： ； （2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）． 证明：． 23．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． （1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 24．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． （1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.9 二次根式（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海松江·期中）若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 6．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 9．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）函数 的自变量x的取值范围是 ． 12．（25-26七年级上·山东威海·期末）若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果 ． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简 ． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 15．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为 ． 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则______． 18．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 三、解答题 19．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 20．（24-25八年级上·上海·月考）已知：，，且，求的值． 21．（25-26八年级上·河北邢台·月考）计算： (1)； (2)． 22．（25-26八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 23．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 24．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $