专题 19.8 二次根式（单元基础卷）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题 19.8 二次根式（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，不一定是二次根式的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南开封·期末）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）若，化简：（   ） A． B． C． D．3 4．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）估算的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 5．（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（2026八年级下·全国·专题练习）一个长方形的周长为，它的一边长为，则另一边的长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·上海闵行·期中）的倒数是（） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026八年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 12．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 13．（25-26八年级下·全国·单元测试）不等式的解集是 ． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 15．（2024青海海东·二模）一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是 ． 16．（25-26八年级上·山东济南·月考）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 17．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．    18．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·月考）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江金华·月考）计算： (1) (2) 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏南京·月考）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请根据【阅读材料】来完成【解决问题】的证明． 【阅读材料】已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴． 【解决问题】已知实数x，y满足，求证． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河南郑州·期中）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.8 二次根式（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，不一定是二次根式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确根据二次根式的定义分析得出是解题关键 利用二次根式的定义进而分别分析得出即可． 解：A．当时，无意义，故此选项符合题意； B．中，是二次根式，不合题意； C．是二次根式，不合题意； D．中，是二次根式，不合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南开封·期末）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用分式和二次根式有意义的条件求字母的取值范围，理解式子有意义的条件是解题的关键．根据分式中分母不为0和二次根式中被开方数为非负数，即可求解． 解：要使有意义，则，即， 又分母，即， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算． 解：∵， ∴，， ∴，， 则原式 ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）估算的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数的估算，将原式简化为，通过估算的范围，即可作答． 解：， ∵， ∴ ， ∴ ， 即 ， 故选：D． 5．（24-25八年级下·云南临沧·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可． 解：A．，故A选项不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意． 故选：C． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且每个因式的指数都小于2，逐一判断各选项即可． 解： A、==，不是最简，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简，不符合题意； C、==，不是最简，不符合题意； D、被开方数不含分母且无法分解出平方因子，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 7．（25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．判断二次根式是否同类，需化简为最简二次根式后检查被开方数是否相同． 解：A．，，被开方数均为2，是同类二次根式，故A不符合题意； B．，，被开方数均为10，是同类二次根式，故B不符合题意； C．被开方数为，，化简后非二次根式，不是同类二次根式，故C符合题意； D．，，被开方数均为，是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）一个长方形的周长为，它的一边长为，则另一边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的减法运算的应用，先将二次根式化简，再通过周长公式计算出另一边的长度． 解：∵一个长方形的周长为，它的一边长为， ∴另一边的长为． 故选：C． 9．（25-26八年级上·上海闵行·期中）的倒数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念为解题的关键． 求一个数的倒数，即计算其倒数，进行分母有理化，据此计算求解即可． 解：倒数为， 分子、分母同乘得： 则的倒数为． 故选：A． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026八年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，得出的值，进而得到的值，再代入求值即可解答． 解：由题意，得， ∴， 解得， ， ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 2 【分析】利用平方根的乘法性质，将两个平方根合并为一个平方根，再计算根号内的表达式． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式乘法法则是解决关键． 解：根据平方根的性质，， 所以 ， 计算 ， 因此 ． 故答案为：2． 13．（25-26八年级下·全国·单元测试）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查含二次根式的一元一次不等式的求解，关键是掌握一元一次不等式的基本解法以及二次根式的化简方法．先通过移项将常数项移到不等式右侧，再将的系数化为1，最后对含二次根式的分式进行化简得到解集． 解：不等式，移项得， ∴两边同时除以，得， 故； 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 解：， 故答案为：． 15．（2021·青海海东·二模）一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，计算出64的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可． 解：64的算术平方根是8，8是有理数， 8的算术平方根是， ∵是无理数， ∴输出的数是． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·山东济南·月考）如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式的定义，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此解答即可． 解：∵最简二次根式 与 最简二次根式 是同类二次根式， ∴被开方数相等， 即 ， 解得 ． 故答案为：1． 17．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算； 如图，首先证明右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形，然后求出是边长为的等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 解：如图，    ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 同理可得：右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形， 而是边长为的等腰直角三角形， ∴阴影部分长方形纸条的总面积为： ， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查二次根式化简、代数式求值；先对进行分母有理化，得到，进而得到，平方后得到，然后利用这个关系简化代数式． 解：， ∴， 两边平方得，即， ∴． ∴． 故答案为：2026． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江杭州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）先化简二次根式，再合并即可. （1）解： ； （2）解： . 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的加减，实数的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先利用二次根式的性质化简各项，再相加即可； （2）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算加减． （1）原式 （2）原式 ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江金华·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算乘法，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据平方差公式计算即可． （1）解： （2）解： 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)20 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将、的值代入所求代数式计算即可得解； （2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解． （1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏南京·月考）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请根据【阅读材料】来完成【解决问题】的证明． 【阅读材料】已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴． 【解决问题】已知实数x，y满足，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，解题的关键是掌握不等式的性质．根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题． 解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河南郑州·期中）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解“海伦公式”及“秦九韶公式”；因此此题可根据“海伦公式”及“秦九韶公式”直接代值求解即可． 解：的三边长分别为，，，， 则 ； 的三边长分别为，，， 则 ． 计算的面积时，由于三边长为整数，且为整数，使用海伦公式计算较为简便；计算的面积时，由于三边长为二次根式，使用秦九韶公式可以先对边长进行平方运算，从而简化计算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $