专题 19.7 二次根式（全章知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 19.7 二次根式（全章知识梳理 + 题型精析 +真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式 1 ★★【题型 1】二次根式的意义 2 【知识点二】最简二次根式 3 ★【题型 2】最简二次根式的识别 3 【知识点三】化二次根式为最简二次根的方法和步骤 5 ★★【题型 3】化二次根式为最简二次根式 6 【知识点四】二次根式的运算 8 ★★【题型 4】二次根式的乘除运算 8 ★★【题型 5】二次根式的加减运算 11 ★★【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 12 ★★【题型 7】二次根式的化简求值 15 ★★【题型 8】二次根式的规律探究 17 ★★【题型 9】二次根式的应用 21 ★★【题型 10】二次根式与几何综合 23 二.中考真题 28 （一）单选题（5题） 28 （二）填空题（6题） 30 （三）解答题（2题） 32 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式 式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. ★★【题型 1】二次根式的意义 【例题1】（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 解：隐含条件， 解得：， ∴． 【变式1】（2025八年级上·上海·专题练习）若有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 解：∵有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）实数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由数轴可得，即得，进而根据二次根式有意义即被开方数要为非负数即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：由数轴可得，， ， 有意义， 故选：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元测试）若成立，求． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及代数式求值，关键是根据二次根式被开方数非负的性质确定的取值．先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入的表达式计算出，最后将、代入计算结果． 解：∵， ∴，解不等式得，解不等式得， ∴， ∴． 则． 故答案为：． 【知识点二】最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. ★【题型 2】最简二次根式的识别 【例题2】（25-26八年级上·江西新余·期末）下列各式为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此分析即可作出判断． 解：A．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意． B．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．是最简二次根式，故此选项符合题意； D．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025九年级下·上海·专题练习）以下二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B．（为质数） C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可． 解：A、被开方数含有分数，不是最简二次根式，不合题意； B、（为质数）是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，是最简二次根式的是 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可． 解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． ∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【知识点三】化二次根式为最简二次根的方法和步骤 （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来. ★★【题型 3】化二次根式为最简二次根式 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． （1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 【变式1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）化各式为最简二次根式：① ；② ； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 解：① ②． 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． （1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 【知识点四】二次根式的运算 1. 二次根式的性质: （1）; （2）; （3）; （4）. 2. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. ★★【题型 4】二次根式的乘除运算 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． （1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 【变式1】（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可． 解： ． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键． （1）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可； （2）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数． （1） （2） ★★【题型 5】二次根式的加减运算 【例题5】（25-26八年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算．先比较二次根式的大小，再去绝对值符号，然后合并同类二次根式即可． 解：∵， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则和性质分别计算各选项后再进行判断即可． 解：A、2与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算．根据二次根式的性质进行化简，然后运算即可． 解： ． ★★【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 【例题6】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法和化简二次根式，再计算减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘法，再计算绝对值，乘方和化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案； （3）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （4）先去括号，然后计算加法即可得到答案． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先计算分母的差值，通过通分合并为单一分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的规则，最后有理化分母得到结果． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式性质化简，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． （1）解： ． （2）解：   . ． ★★【题型 7】二次根式的化简求值 【例题7】（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． （1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和二次根式的混合运算．先将分解因式，然后将，代入求值即可． 解：∵， 将，代入得： 原式 ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键. （1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． （1）解：， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ★★【题型 8】二次根式的规律探究 【例题8】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·月考）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察可知第n行有个数，且这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根，据此求出前五行一共有多少个数字即可得到第一空的答案；先求出前行的数字的个数，再加上，所得结果取算术平方根即可得到第二空的答案． 解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ……， 以此类推，可知，第n行有个数， ∴前五行一共有个数， ∵这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根 ∴第5行的最后一个数是； 前行一共有个数， ∴第n（n为整数且）行从左向右数第个数是， 故答案为：；． 【变式3】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，二次根式的加减运算，分母有理化等知识，得到规律是解题的关键． （1）根据前面3个等式的规律，可写出第4个等式； （2）根据规律即可得出第n个等式； （3）根据规律，利用二次根式的加减计算即可． （1）解：， 故答案为：； （2）解：由前面规律得：； 故答案为：； （3）解： ． ★★【题型 9】二次根式的应用 【例题9】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． （1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 【变式1】（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山西晋城·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 【答案】(1)该座钟摆针的摆动周期为 (2)在内，该座钟发出70次滴答声 【分析】本题主要考查了代数式求值、有理数除法运算的应用、二次根式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接将，，代入，再根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先根据题意列式，然后运用有理数的除法运算法则计算即可． （1）解：将，，代入，得 答：该座钟摆针的摆动周期为． （2）解：，（次）． 答：在内，该座钟发出70次滴答声． ★★【题型 10】二次根式与几何综合 【例题10】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上性质，并理解新定义． 根据新定义求出,根据等腰三角形以及三角形内角和定理求出相关角的度数，证明，然后根据线段的和差即可求解． 解：∵是黄金三角形， ∴， ∴, ∵为等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1】（24-25八年级下·新疆·期中）如图的三角形纸片中，，使B落在边上，且，那么的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，三线合一，含30度角的直角三角形，分母有理化，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．过点D作于H，易得，进而求出，根据，进行求解即可． 解：过点D作于H， ∵折叠这个三角形，使B落在边AC上， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·月考）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形． 【答案】(1)是； (2)是可爱三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的定义，二次根式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中所给的可爱三角形的定义、等边三角形的定义判断即可； （）根据可爱三角形的定义和二次根式的性质化简即可判断． （1）解：设等边三角形的边长为， ∴， ∴等边三角形一定是可爱三角形， 故答案为：是； （2）解：∵，，， ∴， ∴这个三角形是可爱三角形． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有．） (1)若三边长分别是5，和，则此三角形______“悦动三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)的长为或 【分析】本题主要考查新定义下的三角形知识，涉及勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用平方根解方程等知识．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用平方根解方程是解题的关键． （1）按照定义求解作答即可； （2）设三角形的三边长从小到大为，由勾股定理得，由是“悦动三角形”，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意得，，设，则，由是“悦动三角形”，可知分，，三种情况列方程，求出满足要求的解，然后作答即可． （1）解：∵，和， ∴， 则是“悦动三角形”， 故答案为：是； （2）解：设三角形的三边长从小到大为， ∴， ∵是“悦动三角形”， ∴分，两种情况求解； 则，解得， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵中，，点D为的中点， ∴， 设，则， ∵是“悦动三角形”， ∴分，，三种情况求解； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，， 同理； 综上所述，的长为或． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可 解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解． 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 解：根据二次根式有意义的条件，得， ， 故选：D． 【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键． 5．（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断． 解： ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （二）填空题（6题） 6．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解： ． 7．（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式的结果等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 解：， 故答案为：3． 8．（2023·辽宁丹东·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案． 解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：且． 9．（2023·湖北·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，然后计算加减法即可． 解： ， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． 10．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 11．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键． （三）解答题（2题） 12．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可． 解： ． 13．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案． 原式 , 当 时, 原式 ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.7 二次根式（全章知识梳理 + 题型精析 +真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式 1 ★★【题型 1】二次根式的意义 2 【知识点二】最简二次根式 2 ★【题型 2】最简二次根式的识别 2 【知识点三】化二次根式为最简二次根的方法和步骤 3 ★★【题型 3】化二次根式为最简二次根式 3 【知识点四】二次根式的运算 3 ★★【题型 4】二次根式的乘除运算 4 ★★【题型 5】二次根式的加减运算 4 ★★【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 4 ★★【题型 7】二次根式的化简求值 5 ★★【题型 8】二次根式的规律探究 5 ★★【题型 9】二次根式的应用 7 ★★【题型 10】二次根式与几何综合 8 二.中考真题 9 （一）单选题（5题） 9 （二）填空题（6题） 9 （三）解答题（2题） 10 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式 式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. ★★【题型 1】二次根式的意义 【例题1】（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 【变式1】（2025八年级上·上海·专题练习）若有意义，则x的取值范围为 ． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）实数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元测试）若成立，求． 【知识点二】最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. ★【题型 2】最简二次根式的识别 【例题2】（25-26八年级上·江西新余·期末）下列各式为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025九年级下·上海·专题练习）以下二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B．（为质数） C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，是最简二次根式的是 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【知识点三】化二次根式为最简二次根的方法和步骤 （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简. （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来. ★★【题型 3】化二次根式为最简二次根式 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）化各式为最简二次根式：① ；② ； 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【知识点四】二次根式的运算 1. 二次根式的性质: （1）; （2）; （3）; （4）. 2. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. ★★【题型 4】二次根式的乘除运算 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1】（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【变式2】（23-24八年级下·河北承德·期中）计算 ． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2)． ★★【题型 5】二次根式的加减运算 【例题5】（25-26八年级上·全国·假期作业）计算：． 【变式1】（24-25八年级下·四川南充·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【变式3】（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： ★★【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 【例题6】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【变式3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）计算： (1) (2) ★★【题型 7】二次根式的化简求值 【例题7】（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知，，则 ． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． ★★【题型 8】二次根式的规律探究 【例题8】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·月考）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）． 【变式3】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． ★★【题型 9】二次根式的应用 【例题9】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【变式1】（25-26八年级上·浙江·假期作业）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·山西晋城·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ ★★【题型 10】二次根式与几何综合 【例题10】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为 ． 【变式1】（24-25八年级下·新疆·期中）如图的三角形纸片中，，使B落在边上，且，那么的长为（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·月考）通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有．） (1)若三边长分别是5，和，则此三角形______“悦动三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点，连接，，若是“悦动三角形”，求的长． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 2．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 （二）填空题（6题） 6．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 7．（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式的结果等于 ． 8．（2023·辽宁丹东·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 9．（2023·湖北·中考真题）计算的结果是 ． 10．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 11．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． （三）解答题（2题） 12．（2025·陕西·中考真题）计算：． 13．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $