精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

六安一中2025年秋学期高一年级期末考试 数学试卷 命题人：袁增阳 审题人：陈辰 申传家 满分：150分 时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 如果角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，角α的终边过点（，﹣1），求出此点到原点的距离，再有任意角三角函数的定义直接求出sinα的值即可选出正确选项 【详解】由题意，即（，﹣1）， 点（，﹣1）到原点的距离是2， 由定义知sinα 故选B． 【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，解题的关键是理解任意角三角函数的定义，由定义直接得出三角函数值，属于三角函数中的基本概念型题 2. 已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，根据条件有，解出即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为， 因为扇形面积为，圆心角为弧度，则，解得， 所以扇形的周长为， 故选：D. 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“”分段法来求得正确答案. 【详解】由题知，，，所以． 故选：B 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性、特殊点的函数值进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数的定义域是， ，所以是偶函数， 图象关于轴对称，排除A选项. ，排除BC选项，所以D选项正确. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 6. 若函数的值域为，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，问题转化为函数的值域包含所有正数，分和讨论求解. 【详解】由函数的值域为R，得的值域包含所有正数， 当时，得符合题意； 当时，则，解得； 综上，. 故选：D. 7. 已知函数且，若在区间上有最大值，无最小值，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据可得的一条对称轴,进而求得满足的关系式,再根据在区间上有最大值,无最小值求得周期满足的关系式,进而求得的范围. 【详解】函数且, 直线为的图像的一条对称轴, ,. ,.又,且在区间上有最大值,无最小值,,, ,当时,为最大值. 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质与应用,属于难题. 8. 已知函数若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数及，列式得出，则，再换元法应用二次函数值域求解. 【详解】作出的图象，如图所示. 由，得，则， 则， 令，则， 当时，函数的取值范围是. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. （多选题）下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在单调递减，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由对数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A，函数，令，得，，所以函数恒过定点，故A错误； 对于B，函数与互为反函数，所以函数与的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数，所以时，恒有，故C错误； 对于D，由幂函数性质可知，幂函数在单调递减，则，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 的值域为 D. 方程最多有两个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，计算判断AB；分段求出函数值集合判断C；结合函数图象判断D作答. 【详解】对于A，显然，，则，A正确； 对于B，显然，，有，B错误； 对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确； 对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解； 当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确. 故选：ACD 11. 函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小值为 C. 当取最小值时，的最大值为 D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据图象求出函数的解析式，对于选项A，把点待人解析式判断；对于选项B，解出零点，作差，求的最小值；对于选项C，由最小时求出，的值，代入通过三角函数恒等变换判断；对于选项D，将零点逐一写出求解. 【详解】根据图象得，， ∴，. 又，∴，又，∴， 所以，由， ∴，∴， ∵，∴，∴. 对于A选项，∵， ∴的图象关于点对称，故选项A错误； 对于B选项，令，得，∴， ∴或，. ∵，记，，∴，， ，，∴，， ∴， 当时，，故B选项正确； 对于选项C，取，则，. ， 当时，取最大值，故C选项正确； 对于选项D，在上的10个零点依次为，，，，，，，，，. ∵在上至少有10个零点，∴，故D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题根据图象求出函数的解析式是解题的关键，根据最大值和最小值求出振幅A，根据周期求出. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，联立得，进而得，计算得，结合角的范围即可求解. 【详解】由， 又，所以， 所以， 所以， 又，所以，所以. 故答案为： 14. 已知函数满足，若，且，则的值为__________. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】先根据最值得出，再结合值域及两角差余弦公式得出，最后应用降幂扩角公式计算求解. 【详解】因为满足，所以， 所以，又，所以，得， 因为，所以，又， 结合正弦函数图象可知，和关于直线对称，故且， 所以， ， 因为，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. （1）求值：； （2）已知都是锐角，，求的值. 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）先进行切化弦，将变为，通分并根据辅助角公式，将其化为，由二倍角公式及诱导公式即可化简得原式的值； （2）由同角三角函数的平方关系，分别求得，再根据两角差的正弦公式求得的值. 【详解】（1） ； （2）∵是锐角，； ∵都是锐角，，所以. ，， . 16. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质可得，令，则.利用二次函数的单调性求值域即可. （2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为最值问题，结合函数单调性求出最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 令，则. 当时，. 所以当时，， 当时，， 所以当时，该函数的值域为. 【小问2详解】 当时，. 原不等式可化为，即对恒成立. 令任取，则 所以， 则在上单调递增，所以. 故，即的最小值为. 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）解不等式； （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过辅助角公式和二倍角公式将函数化为的结构，利用正弦函数的单调性求解； （2）将看作整体角，原不等式可转化为求解； （3）通过图象伸缩变换与平移变换得到的解析式，借助求解方程. 【小问1详解】 因为， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 解不等式， 解得：，即， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意可知， 令，则或， 解得或， 满足内的根有，当时，符合，符合， 所以所有符合的根之和为. 18. 为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）求曲线段的解析式； （2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）观察图象得到，进而求出，即可得到曲线段的解析式； （2）（i）在（1）中令，求出的值，在先求出锐角，即可求出；（ii）用表示出，从而得到，进而得到的表达式，即可利用三角函数求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可得，，即， 且，则， 所以曲线段FBC的解析式为； 【小问2详解】 （i）当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以； （ii）由（1）可知，且， 则， 可得， 则 ； 因为，则， 可知当，即时，， 所以当时，取得最大值． 19. 已知函数，是定义在R上的奇函数． （1）求实数a的值； （2）判断在R上的单调性，并证明你的结论； （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）在R上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解. （2）利用作差法，根据函数单调性的定义即可判断. （3）结合已知条件及函数的单调性将已知条件转化为关于x的方程有两个不等实根；再利用换元法令， 得出关于k的方程有两个大于1的不等实根；最后根据方程与函数的关系，借助函数图象即可求解. 【小问1详解】 ∵是定义在R上的奇函数， ∴，解得． 经检验时，是奇函数． 所以． 【小问2详解】 在R上单调递增． 证明如下： 任取，且 则． 由，及函数为增函数可得：， ∴，得， ∴在R上单调递增． 【小问3详解】 由（2）的结论易知在上单调递增． 因为函数在上的值域为， 所以 即关于x的方程有两个不等实根． 令， 则关于k的方程有两个大于1的不等实根. 故函数与的图象有两个不同交点. 作出函数的图象 由图可知， 故实数t的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025年秋学期高一年级期末考试 数学试卷 命题人：袁增阳 审题人：陈辰 申传家 满分：150分 时间：120分钟 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 如果角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的值域为，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数且，若在区间上有最大值，无最小值，则的最大值为 A. B. C. D. 8. 已知函数若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. （多选题）下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在单调递减，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 的值域为 D. 方程最多有两个解 11. 函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小值为 C. 当取最小值时，的最大值为 D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________． 13. 已知，，，则______． 14. 已知函数满足，若，且，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. （1）求值：； （2）已知都是锐角，，求的值. 16. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的最小值. 17. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）解不等式； （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和. 18. 为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）求曲线段的解析式； （2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 19. 已知函数，是定义在R上的奇函数． （1）求实数a的值； （2）判断在R上的单调性，并证明你的结论； （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $