精品解析：福建厦门市集美中学2025-2026学年第一学期高一年级期末质量检测数学试题

集美中学2学年第一学期高一年级期末质量检测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：张慧利 审题人：李华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集运算求解. 【详解】，， . 故选：D. 2. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据三角函数的定义及诱导公式可得结果. 【详解】由角的终边与单位圆的交点为，所以. 再由诱导公式得. 故选：A 3. 已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断. 【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间上有零点，所以“”是“在区间上有零点”的充分条件；若，满足在区间上有零点，但是，所以“”不是“在区间上有零点”的必要条件，所以“”是“在区间上有零点”的充分不必要条件． 故选A． 4. 若是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角正切公式得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，解得或， 又是第一象限角，所以. 故选：C 5. 已知函数，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和单调性，结合，即可比较大小. 【详解】易知定义域为R， 且，故为偶函数， 当时，单调递增， 故， 又， 所以， 故， 故选：B 6. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出，再利用1的妙用结合基本不等式求最值. 【详解】因为，所以，所以或， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为. 故选：D 7. 若，不等式（且）恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据恒成立的性质，结合二次函数和对数函数的最值性质分类讨论进行求解即可. 【详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而， 因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要满足不等式 在内恒成立， 只需，而，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：B 8. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】对于函数，令， 解得， 即的对称中心为； 因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的最小正周期相等， 又函数的最小正周期，所以，所以， 则， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐个选项判断即可. 【详解】对于A选项，根据幂函数在定义域内单调递增，且，所以，A选项正确， 对于B选项，因为，所以，B选项正确， 对于C选项，因为，所以成立，所以，C选项正确， 对于D选项，因为， 所以，即， 又因为，所以，D选项正确. 故选：ABCD. 10. 某港口某天的水深（单位：m）与时间（单位：h，）近似满足函数．该港口这一天水位最高时和最低时的时间间隔最少为，且中午点的水深为．为保证安全，当水深不少于时，港口才允许船只出入，则下列说法正确的是（ ） A. B. 水位最高时的水深为 C. 该港口这一天上午8点时允许船只出入 D. 这一天内港口允许船只出入的时长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期求出，即可判断A，再由中午点的水深为求出，即可判断B，令求出的范围，即可判断C、D. 【详解】对于A，依题意，所以，故A正确； 对于B，当时，，解得， 所以，则， 所以水位最高时的水深为，故B正确； 对于C、D，因为， 令，即，所以， 因为，所以， 所以或 解得或， 所以该港口这一天上午点时不允许船只出入，一天内开放出入时长为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若函数，则的定义域为 C. 值域为 D. 的所有零点之和为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，代入数值即可判断；对于B，利用抽象函数的定义域即可求出的定义域；对于C，求出各段函数的值域，取并集即可求出的值域；对于D，求出上的零点，再利用即可求出所有零点，即可进行判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，即的定义域为，故B正确； 对于C，当时，， 当时，， 因为时，， 所以当时，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，令，解得， 由可知在上的零点有， 所以函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为1弧度，面积为9，则扇形所在圆的半径为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式计算可得. 【详解】设扇形所在圆的半径为，依题意可得，解得（负值已舍去）. 故答案为： 13. 若关于的不等式的解集为，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得关于的方程的两根为和且，利用韦达定理得到、、的关系，即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和且， 所以，即，所以. 故答案为： 14. 已知点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得，则点的横坐标为_____________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据旋转规律可得点坐标的三角函数表示，利用诱导公式求解即可. 【详解】由题意，，且， 则， 因为， 所以点的横坐标为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合，再根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，等价于，解得或， 所以或， 又， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又， 当时，满足； 当时由，即，解得， 所以，又，所以， 解得； 当时由，即，解得， 所以，又，所以， 解得； 综上可得，即实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求的对称轴方程； （2）求取得最大值时相应的值； （3）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调增区间. 【答案】（1） （2）相应的 （3）增区间为 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简可得，令，化简可得结论， （2）结合正弦函数性质可得当，时，取最大值，化简可得结论； （3）根据函数图象变换可得，令，，可求函数的单调递增区间. 【小问1详解】 因为， ， 令，，可得，， 所以函数的对称轴方程为，； 【小问2详解】 由（1）， 故当，，即， 时， 函数取得最大值，最大值为； 小问3详解】 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再将函数向右平移个单位，得到的图象， ， 令，，可得，， 所以函数的单调递增区间为. 17. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. （1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； （2）当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 【答案】（1） （2）9倍 【解析】 【分析】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解； （2）根据已知条件以及对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，解得，所以. 【小问2详解】 设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为， 则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为， 因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则， 化简得， 则，即，可得， 所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍. 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据恒成立求的值. （2）利用函数单调性的定义，结合函数的单调性证明. （3）利用函数的单调性，先把问题转化为在上恒成立，再分类讨论一元二次函数在上的最小值，即可求的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以恒成立， 所以 对任意恒成立， 所以. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 由（1）知， 任取，且 所以 . 因为，且在上单调递增，所以， 又，所以， 即，也就是. 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 因为，所以， 又函数在上单调递增，所以， 则在上恒成立. 设，， 当即时， 在上单调递增，所以，得， 所以； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，所以. 当即时，在上单调递减，所以， 得，所以. 综上所述，的取值范围为. 19. 设函数的定义域为，若，都有，且，则称为“自关联函数”． （1）判断和是否为“自关联函数”； （2）若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由； （3）已知为上“自关联函数”且单调递增，的值域为．设，求不等式的解集． 【答案】（1）是，不是； （2）不存在，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“自关联函数”的定义判断两个函数即可. （2）利用“自关联函数”的定义求出函数解析式，按和分类并结合零点存在性定理推理判断. （3）利用“自关联函数”的定义可得，结合单调性可得，判断函数的奇偶性即单调性后即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，对于，有， 且， 所以是“自关联函数”； 函数的定义域为，而，， 所以不是“自关联函数”. 【小问2详解】 由是上的“自关联函数”，得当时，，， 则，即函数， 当时，函数在上都单调递减， 得到在上单调递减， 因此在上单调递增，，方程无解； 当时，函数在上单调递增，， 而，则，使得， 而，所以方程无正整数解，即不存在正整数使成立. 综上所述，不存在整数，使得成立. 【小问3详解】 因为为上的“自关联函数”，所以函数定义域为， 因， 所以函数是偶函数， 因为的值域为且单调递增， 而，所以， 当时，有，所以， 当时，因单调递增，故。 令，则。 函数在上单调递增， 因此复合函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 又因为函数是偶函数，所以不等式， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2学年第一学期高一年级期末质量检测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：张慧利 审题人：李华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若是第一象限角，且，则（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 7. 若，不等式（且）恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数与函数图象对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某港口某天的水深（单位：m）与时间（单位：h，）近似满足函数．该港口这一天水位最高时和最低时的时间间隔最少为，且中午点的水深为．为保证安全，当水深不少于时，港口才允许船只出入，则下列说法正确的是（ ） A. B. 水位最高时的水深为 C. 该港口这一天上午8点时允许船只出入 D. 这一天内港口允许船只出入的时长为 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若函数，则的定义域为 C. 的值域为 D. 的所有零点之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为1弧度，面积为9，则扇形所在圆的半径为__________ 13. 若关于的不等式的解集为，则的值为__________ 14. 已知点为锐角终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得，则点的横坐标为_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的对称轴方程； （2）求取得最大值时相应的值； （3）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调增区间. 17. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. （1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； （2）当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 18. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）对，不等式恒成立，求实数取值范围． 19. 设函数的定义域为，若，都有，且，则称为“自关联函数”． （1）判断和是否为“自关联函数”； （2）若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由； （3）已知为上“自关联函数”且单调递增，的值域为．设，求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $