6.1平行四边形的性质及判定（二）讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦平行四边形的判定方法这一核心知识点，从定义出发，通过课前预习引导学生猜想边、角、对角线的关系，课中以“观察-猜想-验证-推理”探究出三组判定定理（两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等），结合性质解决线段平行、相等及角度问题，构建从定义到判定再到应用的完整知识支架。 该资料以“观察-猜想-验证-推理”为主线，通过作图探究和定理证明培养学生推理能力（数学思维），规范几何语言表达（数学语言），经典例题覆盖多题型并结合铁轨枕木等生活实例发展几何直观（数学眼光）。课中辅助教师引导探究，课后知识清单与分层训练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第六章平行四边形第一节平行四边形的性质及判定（二）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.掌握平行四边形的3种核心判定方法，能准确表述判定定理的条件与结论。 2.能运用平行四边形的判定定理，结合性质解决线段平行、相等及角度相关的证明与计算问题。 3.经历 “ 观察-猜想-验证-推理 ” 的探究过程，提升逻辑推理与几何表达能力。 4.体会判定定理与性质定理的 “ 互逆 ” 关系，建立几何知识的内在联系。 ) ( 二．重点难点 1.重点 平行四边形的3种判定方法（从边、角、对角线角度）的理解与直接运用。 2.难点 （1）灵活选择合适的判定方法解决具体问题。 （2）判定定理的几何语言表达与逻辑推理过程的规范书写。 ) 三．课前预习 1.平行四边形的定义：两组对边分别________的四边形是平行四边形（定义法判定）。 2.猜想：两组对边分别________的四边形是平行四边形；两组对角分别________的四边形是平行四边形。 3.猜想：对角线________的四边形是平行四边形。 4.若四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，则四边形ABCD是________（填图形名称）。 5.平行四边形的性质定理“对边相等”的逆命题是：________。 【答案】1.平行 2.相等；相等 3.互相平分 4.平行四边形 5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 四．课堂探秘 如图，已知线段4B、BC.用直尺和圆规作▱ABCD.(保留作图痕迹，不写作法) 【解析】下图是小明所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是什么吗？ 探究一：从“边”的角度探究判定方法 已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：连接AC，在△ABC和△CDA中，AB=CD，AD=BC，AC=CA.∴△ABC≌△CDA（SSS），∴ ∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC.∴AB∥CD，AD∥BC，依据定义可得四边形ABCD是平行四边形。 【结论】：判定定理1——两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 【几何语言】：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 已知：四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，在△ABC和△CDA中，AB=CD，∠BAC=∠DCA， AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴AD=BC,∴依据判定定理1得四边形ABCD是平行四边形。 【结论】：判定定理2——一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 【几何语言】：∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。 探究二：从“对角线”的角度探究判定方法 已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：在△AOB和△COD中，AO=CO，∠A0B=∠COD，BO=DO。∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD且∠ABO=∠CDO,∴AB∥CD,即AB=CD且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形。 【结论】：判定定理3——对角线互相平分的四边形是平行四边形。 【几何语言】：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形。 探究三：从“角”的角度探究判定方法 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D.∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC；同理推出AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形。 【结论】：判定定理3——两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 【几何语言】：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形。 探究四：平行线间的距离 如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗?与同伴进行交流。 【解析】夹在两根铁轨之间的平行枕木一样长，因为铁轨是互相平行的，枕木也是互相平行的，所以枕木与铁轨构成的图形是平行四边形。根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。也可以用“平行线间的距离处处相等”来解释：两根铁轨是平行线，枕木垂直于铁轨，所以枕木的长度就是两条平行线之间的距离，而平行线间的距离处处相等，因此所有枕木长度相同。 已知:如图，直线a//b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b,垂足分别为C，D。 求证;AC=BD。 证明:∵AC⊥CD,BD⊥CD,∴∠1=∠2=90°，∴AC//BD。∵ AB//CD,∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义)。∴AC=BD(平行四边形的对边相等)。 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2.性质：同一平面内，两条平行线间的距离处处相等，且垂线段是两条平行线间最短的线段。 3.计算关键：求平行线间的距离，本质是求一条直线上某点到另一条直线的垂线段长度，可结合垂线性质、直角三角形等知识求解。 【经典例题】 例1.下面给出的是四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的长度之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A.2∶3∶4∶5　　　B.3∶3∶4∶4 C.4∶3∶3∶4　　　D.4∶3∶4∶3 【答案】D　 【解析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可知D正确.故选D. 例2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ) A.AD∥BC,AB∥DC　　B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO　　D.AD∥BC,AB=CD 【答案】D　 【解析】A.∵AD∥BC,AB∥DC,∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;B. AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;C.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;D.由AD∥BC,AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意.故选D. 例3.已知△ABC(如图①),按图②③所示的尺规作图痕迹就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (　　) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】B　 【解析】由题图可知AO=OC,BO=OD,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形,故选B. 例4.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(　　) A.　　B. C.　　D. 【答案】D　 【解析】平行四边形对角相等,故A错误;一组对边平行不能判定四边形是平行四边形,故B错误;三边相等不能判定四边形是平行四边形,故C错误;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故D正确.故选D. 例5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　) A.∠ABD=∠BDC　　　B.∠BAD=∠BCD C.AB=CD　　　　　D.AD=BC 【答案】A　 【解析】A.当∠ABD=∠BDC时,AB∥DC,∵∠AOB=∠COD,AO=CO,∴△AOB≌△COD,∴AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项正确;B.根据∠BAD=∠BCD及已知条件无法推出四边形ABCD是平行四边形,故此选项错误;C.根据AB=CD及已知条件无法推出四边形ABCD是平行四边形,故此选项错误;D.根据AD=BC及已知条件无法推出四边形ABCD是平行四边形,故此选项错误.故选A. 例6.如图,l1∥l2,AB⊥l2,DC⊥l1,则下列结论:①AB⊥l1;②AB∥CD;③AB=CD;④AC=BD,其中正确的个数是(　　) A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D.1 【答案】A　 【解析】①②③④均正确,故选A. 例7.如图,平行四边形EFGH的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上,QF∥AD,分别交EH、CD于点P、Q,过点P作MN∥AB,分别交AD、BC于点M、N,若要求平行四边形EFGH的面积,只需知道下列哪个四边形的面积(　　) A.四边形AFPM　　B.四边形MPQD C.四边形FBNP　　D.四边形PNCQ 【答案】C　 【解析】连接PG,FN(图略),∵四边形EFGH是平行四边形,∴△FPG的面积=▱EFGH的面积, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵QF∥AD,∴QF∥BC,∴△FPG的面积=△FPN的面积, ∵MN∥AB,∴四边形FBNP是平行四边形,∴△FPN的面积=▱FBNP的面积,∴▱EFGH的面积=▱FBNP的面积,∴若要求平行四边形EFGH的面积,只需知道四边形FBNP的面积,故选C. 例8.如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F.请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是　　　　.  【答案】　AE=CF(答案不唯一) 【解析】　∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∵AE=CF,∴四边形AECF为平行四边形,故答案为AE=CF(答案不唯一). 例9.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,-1),B(4,2),C(0,3),若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为　　　　　　　　　.  【答案】　(-3,0)或(5,-2)或(3,6) 【解析】　设D(x,y),①若四边形ABCD为平行四边形,则解得∴D(-3,0);②若四边形ADBC为平行四边形,则解得∴D(5,-2);③若四边形ABDC为平行四边形,则解得∴D(3,6).综上,点D的坐标为(-3,0)或(5,-2)或(3,6). 例10.。如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4 cm,射线AM∥BC,点E从点A出发沿射线AM以1 cm/s的速度运动;点F从点B出发沿射线BC以3 cm/s的速度运动.设运动时间为t(s),当t为　　　时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.  【答案】　2或4 【解析】　在△ABC中,∠BAC=90°,∴BC==8 cm,当点F在C的左侧时,根据题意得AE=t cm,BF=3t cm,则CF=BC-BF=(8-3t)cm,∵AM∥BC,∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,∴t=8-3t,解得t=2;当点F在C的右侧时,根据题意得AE=t cm,BF=3t cm,则CF=BF- BC=(3t-8)cm,∵AM∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,∴t=3t-8,解得t=4.综上可得,当t=2或4时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.故答案为2或4. 例11.如图,在四边形ABCD中,AC是对角线,AC=AD,点E在边BC上,AB=AE,∠BAE=∠CAD,连接DE.(1)求证:BC=DE;(2)当AC=BC时,求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明　(1)∵∠BAE=∠CAD,∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,即∠BAC=∠EAD.在△ABC与△AED中,∴△ABC≌△AED(SAS).∴BC=DE. (2)由(1)可知,△ABC≌△AED,∴∠B=∠AED,∵AC=BC,AC=AD,BC=DE,∴BC=AD=DE,∴∠EAD=∠AED,∴∠B=∠EAD,∵AB=AE,∴∠AEB=∠B,∴∠EAD=∠AEB,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 例12.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上. (1)在方格纸中画出△ADC,使△ADC与△ABC关于直线AC对称(点D在小正方形的顶点上); (2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH(点G,点H均在小正方形的顶点上),且平行四边形EFGH的面积为4.连接DH,请直接写出线段DH的长. 解：(1)如图,△ADC即为所求作的图形. (2)如图,▱EFGH即为所求作的图形.DH==5. 例13.(如图所示,点E在四边形ABCD的边AD上,连接CE并延长,交BA的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE. (1)求证:△AEF≌△DEC; (2)若AD∥BC,求证:四边形ABCD为平行四边形. 解：(1)证明∵∠AEF与∠DEC是对顶角,∴∠AEF=∠DEC,在△AEF与△DEC中, ∴△AEF≌△DEC(SAS). (2)由(1)知△AEF≌△DEC,∴∠AFE=∠DCE,∴AF∥DC,∵点F在BA的延长线上,∴AB∥DC,又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形. 例14.如图,直线l1∥l2,AB⊥l1,CD⊥l2,垂足分别是B,D.过点A的直线交l1于点E,过点D的直线交l1于点F,且AE=DF. (1)BE与CF相等吗?为什么? (2)若∠AEC=120°,AD=8,AE=6,则四边形AEFD的面积是　　　　　.  解：(1)相等.理由:∵l1∥l2,AB⊥l1,CD⊥l2,∴AB=DC,∠DCF=90°,在Rt△ABE和Rt△DCF中,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF. (2)24.【解析】∵Rt△ABE≌Rt△DCF,∴S△ABE=S△DCF,∴四边形AEFD的面积=四边形ABCD的面积,∵∠AEC=120°,∴∠AEB=60°,在Rt△ABE中,∠BAE=90°-∠AEB=30°,∴BE=AE =3,∴AB==3,易知四边形ABCD为平行四边形,∴四边形ABCD的面积=8×3=24,∴四边形AEFD的面积为24. 例15.已知:如图,在▱ABCD中,AB=3 cm,AD=5 cm,AB⊥BD,将△ABD沿BC方向匀速平移得到△A'B'D',速度为1 cm/s,设运动时间为t(s)(0<t<5). (1)判断四边形A'B'CD的形状,并说明理由; (2)设四边形A'B'CD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式. 解：(1)四边形A'B'CD是平行四边形.理由:在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∵△ABD沿BC方向匀速平移得到△A'B'D',∴AB=A'B',AB∥A'B',∴A'B'=CD,A'B'∥CD,∴四边形A'B'CD是平行四边形. (2)在Rt△ABD中,AB=3 cm,AD=5 cm,∴BD=4 cm,∴B'D'=BD=4 cm,易知A'B'=AB=3 cm,A'D'=AD=5 cm,设点B'到A'D'的距离为h cm,∴S△A'B'D'=A'B'·B'D'=A'D'·h, ∴×3×4=×5h,∴h=,∵运动时间为t(s)(0<t<5),速度为1 cm/s,∴DD'=t cm, ∴A'D=A'D'-DD'=(5-t)cm,∴y=(5-t)×=-t+12(0<t<5). 例16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,将△ABC沿AC所在直线折叠,得到△AB'C,B'C与AD交于点E,此时,△CDE恰为等边三角形. (1)求证:∠EAC=∠ECA; (2)求阴影部分的面积; (3)连接B'D,证明:四边形ACDB'为平行四边形. 解：(1)证明:根据折叠的性质,得∠BCA=∠B'CA,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠EAC=∠BCA,∴∠EAC=∠ECA. (2)过点E作EF⊥AC于F(图略),∵∠EAC=∠ECA,∴AE=EC,∴AF=FC,∵△CDE是等边三角形,四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=CE=3,∠DEC=60°,∵∠DEC=∠EAC+∠ECA,∠EAC=∠ECA,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴在Rt△EFC中,EF=EC=,∴CF==,∴AC=2CF=3,∴阴影部分的面积为AC·EF=×3×=. (3)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,由(2)可知,∠ECD=60°,∠ACE= 30°,∴∠ACD=90°,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD=90°,由折叠可知∠B'AC=∠BAC=90°, AB=A'B,∴B、A、B'三点在同一条直线上,A'B=CD,∴AB'∥CD,∴四边形ACDB'为平行四边形. 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】A：，，两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，符合题意；B：，，一组对边平行，一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意；C：，，属于两组邻边互相相等，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意；D：，，不能判断四边形是平行四边形，不符合题意；故选：A． 2. 下列判断正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 B. 两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 C. 两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形 D. 两条对角线相等四边形一定是平行四边形 【答案】B 【解析】A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误； B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； C．两组邻角分别互补的四边形不一定是平行四边形，还可能是梯形，故本选项错误； D．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形的两条对角线相等，故本选项错误； 故选B． 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．故选D． 4. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；（2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；共4种组合方法，故选B． 5. 下列给出的是四边形中、、、的度数之比，其中能说明四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由平行四边形的两组对角分别相等，可知C正确．故选：C． 6. 点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．故选C． 7. 下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？（　　） A. B. C. D 【答案】B 【解析】A．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；B．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为90°，所以为平行四边形；C．上、下这一组对边平行，可能为梯形；D．上、下这一组对边平行，可能为梯形；故选B． 8. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ） A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s 【答案】B 【解析】设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，根据题意得到12-3t=t，解得：t=3，故选B． 9. 根据下列条件，能作出平行四边形的是（　　） A. 两组对边的长分别是3和5 B. 相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9 C. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8 D. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5 【答案】A 【解析】A．因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；B．因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，也不能作出平行四边形，故本选项错误；C．因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，也不能作出平行四边形，故本选项错误；D．因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，也不能作出平行四边形，故本选项错误；故选A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A. （3，﹣1） B. （﹣1，﹣1） C. （1，1) D. （﹣2，﹣1） 【答案】D 【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，-1）时，∴BO=AC1=2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴BO∥AC1，∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；B、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，∴BO=AC2=2，∵A，C2，两点纵坐标相等，∴BO∥AC2， ∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；C、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（1，1）时，∴BO=AC3=2，∵A，C3，两点纵坐标相等，∴C3O=BC3=，同理可得出AO=AB= ，进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确；D、∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC4AB是平行四边形；∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC4AB不可能是平行四边形；故此选项错误．故选D． （二）．填空题 11. 如图，在四边形中，，添一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（或或者）答案不唯一 【解析】根据平行四边形的判定，可添加：(答案不唯一)．故答案为：（或或）． 12. 四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，则四边形ABCD是_______四边形． 【答案】平行 【解析】∵AD//BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为平行． 13. 若四边形ABCD中，AD＝BC，AC是对角线，且∠CAD＝∠ACB，则这个四边形是________． 【答案】平行四边形 【解析】∵∠CAD＝∠ACB，∴AD∥BC．∵AD=BC，∴ABCD是平行四边形．故答案为平行四边形． 14. 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________（填一种情况即可）． 【答案】BE=DF 【解析】如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，∴可增加BE＝DF， 故答案为：BE＝DF（答案不唯一）． 15.M是△ABC的AB边上的中点，连接CM并延长到D，使MD＝CM，则AD与BC________， 【答案】 平行且相等 【解析】如图，∵M是△ABC的AB边上的中点，∴AM=MB．∵MD＝CM，∴四边形ADBC是平行四边形，∴AD=CB，AD∥CB，BD=AC，BD∥AC．故答案为平行且相等，平行且相等． 16. 四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是_______（横线只需填一个你认为合适的条件即可） 【答案】AB∥CD（答案不唯一） 【解析】由题意得当AB∥CD时，四边形ABCD为平行四边形．故答案为：AB∥CD（答案不唯一）． 17.如图,E是直线CD上的一点.已知▱ABCD的面积为78 cm2,则△ABE的面积为　　cm2.  【答案】　39 【解析】　过点D、E作直线AB的垂线,垂足为点F、G(图略),∴DF∥EG.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC,∴DF=EG,∵S▱ABCD=AB·DF=78 cm2,S△ABE=AB·EG=AB·DF =×78=39(cm2). 18．如图点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是__________________________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 19.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为垂足，已知AB＝3，BC＝4，∠EAF＝60°，则▱ABCD的面积为________． 【答案】6 【解析】在▱ABCD中，∵∠C＝180°－∠EAF＝120°，∴∠B＝60°.在Rt△ABE中，AB＝3，∴AE＝＝，∴S▱ABCD＝BC·AE＝4×＝6. 20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6 cm，AD＝12 cm，BC＝15 cm．点P从A点出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，规定其t＝　　s时，PQ∥CD且PQ＝CD． 【答案】4 【解析】根据题意得：PA＝t，CQ＝2t，则PD＝AD﹣PA＝12﹣t．∵PQ∥CD且PQ＝CD，∴四边形PQCD为平行四边形，即12﹣t＝2t，解得：t＝4，即当t＝4时，PQ∥CD且PQ＝CD．故答案为：4． （三）．解答题 21.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,AB的中点,连接DE,点F是CB延长线上的一点,且CF=3BF,连接DB,EF.若∠ACB=90°,AC=12 cm,DE=4 cm. (1)求证:DE=BF; (2)求四边形DEFB的周长. 解：(1)证明:∵点D,E分别是AC,AB的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC, ∵CF=3BF,∴BF=BC,∴DE=BF. (2)∵点D是AC的中点,AC=12 cm,∴CD=6 cm,∵DE=4 cm,∴BC=2DE=8 cm, 由勾股定理得DB===10(cm),∵DE=BF,DE∥BC,∴四边形DEFB为平行四边形,∴四边形DEFB的周长=2×(4+10)=28(cm). 22.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在线段OA,OC上,且OB=OD,∠1=∠2,AE=CF. (1)证明:△BEO≌△DFO; (2)证明:四边形ABCD是平行四边形. 证明　(1)∵∠EOB与∠FOD是对顶角,∴∠EOB=∠FOD,在△BEO和△DFO中, ∴△BEO≌△DFO(ASA). (2)由(1)可知△BEO≌△DFO,∴OE=OF,∵AE=CF,∴AE+OE=CF+OF,即OA=OC,∵OB=OD,∴四边形ABCD为平行四边形. 23.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AO=CO. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形; (2)若CD=3,BD=2,AC⊥AB,求四边形ABCD的面积. 解：(1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,在△AOB和△COD中, ∴△AOB≌△COD(ASA),∴AB=CD,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形. （2）由(1)可知四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=3,OB=BD=,AC=2OA,∵AC⊥AB, ∴∠BAO=90°,∴AO===2,∴AC=2AO=4,∴S四边形ABCD=AB·AC=3×4=12. 24. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC．又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF．∴AF=BC．∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA， ∴△AFE≌△BCA（HL）．∴AC=EF． （2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD．∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°． ∴EF//AD．∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD．∴四边形ADFE是平行四边形． 25.如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=6 cm,BE是∠ABC的平分线,点M从点E出发,沿ED方向以1 cm/s的速度向点D运动,点N从点C出发,沿射线CB方向以4 cm/s的速度运动,当点M运动到点D时,点N随之停止运动,设运动时间为t s. (1)求AE的长. (2)是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由. 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB,∵AD=2AB=6 cm,∴AB=3 cm,∴AE=3 cm. (2)存在.由(1)知AE=3 cm,∵AD=6 cm,∴DE=AD-AE=3 cm,由题意知EM=t cm,CN=4t cm(0≤t≤3),∵AD∥BC,∴要使以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形,只要满足EM=BN即可,当点N在边BC上时,BN=BC-CN=(6-4t)cm,∴t=6-4t,∴t=.当点N在边CB的延长线上时,BN=CN-BC=(4t-6)cm,∴t=4t-6,∴t=2.综上,t=或t=2时,以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形. 26.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=5 cm,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在▱ABCD的外面),连接AE,CE,CF,AF. (1)若DE=OD,BF=OB. ①求证:四边形AFCE为平行四边形; ②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长. (2)若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE还是平行四边形吗?请写出结论并说明理由.若DE=OD,BF=OB呢?请直接写出结论. 解：(1)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵DE=OD, BF=OB,∴DE=BF,∴OD+DE=OB+BF,∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形. ②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA,∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD. ∵OA=OC,∴OE⊥AC,∴OE所在直线是AC的垂直平分线,∴AE=CE. ∵∠AEC=60°,∴△ACE是等边三角形,∴AE=CE=AC=2OA=10 cm, ∴C四边形AECF=2(AE+CE)=2×(10+10)=40(cm). (2)若DE=OD,BF=OB,则四边形AFCE是平行四边形. 理由:∵DE=OD,BF=OB,OD=OB,∴DE=BF,∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE,∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.若DE=OD,BF=OB,则四边形AFCE是平行四边形.理由:∵DE=OD, BF=OB,OD=OB,∴DE=BF,∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE,∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.按定义判定：两组对边分别________的四边形是平行四边形。 2.按边的关系判定：一组对边________且________的四边形是平行四边形。 3.按边的数量关系判定：两组对边分别________的四边形是平行四边形。 4.按角的关系判定：两组对角分别________的四边形是平行四边形。 5.按对角线的关系判定：对角线________的四边形是平行四边形。 6.若四边形ABCD中，AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD是________，依据是平行四边形的________判定。 7.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AO=CO，BO=DO，则四边形ABCD是________，依据是________的四边形是平行四边形。 8.若四边形ABCD中，AB=CD，且AB∥CD，则四边形ABCD是________，依据是________的四边形是平行四边形。 9.四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是________，依据是________的四边形是平行四边形。 10.若四边形的一组对边平行，另一组对边相等，________（填“一定”或“不一定”）是平行四边形。 11.已知四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，那么∠A与∠B的关系是________，依据是平行四边形的性质及________判定定理。 12.对角线互相平分的四边形是平行四边形，用几何语言表示：若四边形ABCD中，________，则四边形ABCD是平行四边形。 【答案】1.平行 2.平行；相等（顺序可互换） 3.相等 4.相等 5.互相平分 6.平行四边形；定义 7.平行四边形；对角线互相平分 8.平行四边形；一组对边平行且相等 9.平行四边形；两组对角分别相等 10.不一定 11.互补；一组对边平行且相等 12.AO=CO，BO=DO（O为AC、BD交点） （二）强化训练 一．选择题 1. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】A、错误．一组对边平行无法判断四边形是平行四边形；B、正确．对角线互相平分的四边形是平行四边形；C、错误．一组对角相等无法判断四边形是平行四边形；D、错误．对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形 2. 在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（　 　）. A. ∠A=∠C，∠B=∠D B. ∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180° C. ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° D. ∠A=∠B=∠C=90° 【答案】B 【解析】A.∠A=∠C，∠B=∠D，根据四边形的内角和为360°，可推出∠A+∠B=180°，所以AD∥BC，同理可得AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，故A选项正 B.∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°即可证明AD∥BC，条件不足，不足以证明四边形ABCD为平行四边形，故B选项错误．C.∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°即可证明AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；D.∠A=∠B=∠C=90°，则∠D=90°，四个内角均为90°可以证明四边形ABCD为矩形，故D选项正确；故选B. 3. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组对角互补 C. 一组对角相等，一组邻角互补 D. 一组对角相等，另一组对角互补 【答案】C 【解析】A.一组对边相等另一组对边平行，可画出等腰梯形，所以A选项错误；B.一组对角互补不能确定四边形是平行四边形，所以B选项错误；C.一组邻角互补可确定一组对边平行，一组对角相等与一组邻角互补等量代换可得另一组对边平行.这样两组对边分别平行，能确定四边形是平行四边形，所以C选项正确；D.一组对角互补不能确定四边形是平行四边形，所以D选项错误．故选C． 4. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；（2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；共4种组合方法，故选B． 5. 如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵E，F分别AB，CD的中点，∴AE=EB=DF=FC，∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形，∴平行四边形的个数共有4个．故选B． 6. 以长为5cm， 4cm， 7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分别以4cm，5cm为边，7cm为对角线；或以4cm，7cm为边，5cm为对角线；或5cm，7cm为边，4cm为对角线共有三种情况．故选C． 7. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】A、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；B、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；C、由，不能判断四边形ABCD是平行四边形,有可能是等腰梯形；故本选项符合题意；D、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意，故选C． 8. 一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ） A. 88°，108°，88° B. 88°，104°，108° C. 88°，92°， 92° D. 88°，92°，88° 【答案】D 【解析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,故B不是;当三个内角度数依次是88°,108°,88°时,第四个角是76°,故A不是;当三个内角度数依次是88°,92°, 92°时,第四个角是88°,而C中相等的两个角不是对角，故C不对;D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形.故选D. 9. 在□ABCD中，AB≠AD，满足下列条件，不一定能构成平行四边形是（ ） A. 四个内角平分线围成的四边形 B. 过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C. 以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D. 以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 【答案】D 【解析】∵▱ABCD的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，∴选项A正确；∵过▱ABCD四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，∴选项B正确；∵以▱ABCD各边中点为顶点的四边形是平行四边形，∴选项C正确；∵以▱ABCD一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，∴选项D不正确．故选D． 10. 若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】如图所示：第四个顶点不可能在第三象限．故选C． 二．填空题 11. 如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有_________个． 【答案】23 【解析】一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形AGIB、AOQB、AMIF、AQFO、ABMI、AFGI共6个;一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN共6个；还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN、AQSN，共11个；6+6+11=23个． 12. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】添加条件：，证明：∵，∴，在和中，， ∴∴，∴四边形是平行四边形．故答案为：（答案不唯一） 13. 如图，在四边形中，且，，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动．则 ___________秒后直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【解析】设点P，Q运动的时间为．．∵， ①当时，四边形是平行四边形．即，解得．②当时，四边形平行四边形，即，解得：．所以经过2秒或3秒后，直线将四边形截出一个平行四边形．故答案为：2或3． 14. 用边长为4cm，5cm，6cm的两个全等三角形一共能拼成__________个平行四边形． 【答案】3 【解析】如图所示：共6个四边形，其中有3个平行四边形．故答案为3． 15. 如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：_________使四边形ABCD是平行四边形 【答案】AB=BF 【解析】∵CD∥AF，∴∠CDE=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵∠CED=∠BEF，∴△CDE≌△BFE（AAS），∴BF=CD，∵当AB=BF时，则AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案是：AB=BF． 16. 如图，在图（1）中，、、分别是的边、、的中点，在图（2）中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 【答案】 【解析】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，共有3个．在图（2）中，分别是的边的中点，同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个．…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，故答案为：． 17．在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则CD的长是________． 【答案】 4　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED.又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD.又∵BC＝AD＝6，BE＝2，∴CE＝CD＝4. 18.如图在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________． 【答案】 30° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠D＝80°.∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝80°÷2＝40°.∵AE＝AB，∴∠ABE＝(180°－40°)÷2＝70°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°.故答案为30°. 19.如图在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB＝________cm. 【答案】 18.　 【解析】根据平行四边形的性质，可以得出AD＝BC＝8 cm，同时AC⊥BC，在Rt△ABC中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，则AC＝6 cm，所以AO＝CO＝3 cm.在Rt△OBC中，由勾股定理可得OB＝ cm. 20.如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发,在C、B间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在开始运动后,以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形的次数为　　　　.  【答案】　3 【解析】　设经过t秒,以点P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形,则PD=(12-t)cm. ∵以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形,∴DP=BQ.①当0<t≤3时,12-4t=12-t,解得t=0,不符合题意.②当3<t≤6时,4t-12=12-t,解得t=4.8.③当6<t≤9时,12-(4t-24) =12-t,解得t=8.④当9<t≤12时,4t-36=12-t,解得t=9.6.∴在开始运动后,以点P、D、Q、B为顶点的四边形为平行四边形的次数为3. 三．解答题 21．如图E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长． 解：（1）证明：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四边形BEDF为平行四边形； （2）由（1）得：OE＝OF＝EF＝1，∵BE⊥AC，∴∠BEO＝90°，∴OB＝，∴BD＝2OB＝2． 22．在平行四边形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点落在点处，连接并延长，交于． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，的周长为20，求四边形的周长． 解：（1）证明：连接．∵点为边的中点，沿着翻折得到△GCE，∵，∴∠GAE=∠AGE，∠EBG=∠EGB，∵三角形内角和为180°，∴，且，∴，∵，∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形，∴AF=CE，AE=CF=5，∵， ∴BE+BC+EC=20，∴BE+BC+AF=20，∵CF=AE=5，∴=AE+BE+BC+CF+AF=20+5+5=30． 23．在中，是对角线，于点E，于点F． （1）求证：； （2）试判断四边形是不是平行四边形，并说明理由． 解：（1）△ABE≌△CDF，理由如下：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB=∠CFD=90°． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE与△DCF中， ，∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）四边形AECF是平行四边形．理由如下：∵△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE//CF,∴四边形AECF是平行四边形． 24．在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的． 解：（1）证明：如图1，∵四边形为平行四边形，∴，， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，∴四边形是平行四边形； （2）由（1）可得，BE=DF，∵，∴， 根据△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得：△ABE、△ADF的面积是△ABD面积的，∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABD和△BCD的面积相等，同理可得△BEC和△DFC的面积是△BCD面积的，∴，，，的面积都等于面积的． 25.如图,平面直角坐标系中的网格由边长为1的正方形构成,△ABC中,A点坐标为(2,3),B点坐标为(-2,0),C点坐标为(0,-1). (1)求证:AC⊥BC; (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出D点的坐标. 解：(1)证明:∵BC2=12+22=5,AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴AC⊥BC. (2)分三种情况:①AC为对角线,四边形ABCD是平行四边形时,点D的坐标为(4,2);②AB为对角线,四边形ACBD是平行四边形时,点D的坐标为(0,4);③BC为对角线,四边形ABDC是平行四边形时,点D的坐标为(-4,-4).综上所述,D点的坐标为(4,2)或(0,4)或(-4,-4). 26．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=16，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式； （2）当t=　 　时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等； （3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 解：（1）作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB＝4，AM＝BM＝4，由题意得：CQ＝2t，∴BQ＝BC−CQ＝16−2t，∴S＝BQ×AM＝（16−2t）×4＝−4t＋32，即S＝−4t＋32（0＜t≤6）； （2）由题意得；AP＝t，CQ＝2t，则PD＝AD−AP＝6−t，∵AD∥BC，∴梯形PQCD的面积＝（PD＋CQ）×AM＝（6−t＋2t）×4＝12+2t，∵△BPQ的面积＝四边形PQCD的面积相等，∴−4t＋32=12+2t，解得：t＝，即t＝时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；故答案为：； （3）∵AD∥BC，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝EQ， ∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝8，分两种情况：①当Q运动到E和B之间，则得：2t−8＝6−t，解得：t＝，②当Q运动到E和C之间，则得：8−2t＝6−t，解得：t＝2，综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第六章平行四边形第一节平行四边形的性质及判定（二）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.掌握平行四边形的3种核心判定方法，能准确表述判定定理的条件与结论。 2.能运用平行四边形的判定定理，结合性质解决线段平行、相等及角度相关的证明与计算问题。 3.经历 “ 观察-猜想-验证-推理 ” 的探究过程，提升逻辑推理与几何表达能力。 4.体会判定定理与性质定理的 “ 互逆 ” 关系，建立几何知识的内在联系。 ) ( 二．重点难点 1.重点 平行四边形的3种判定方法（从边、角、对角线角度）的理解与直接运用。 2.难点 （1）灵活选择合适的判定方法解决具体问题。 （2）判定定理的几何语言表达与逻辑推理过程的规范书写。 ) 三．课前预习 1.平行四边形的定义：两组对边分别________的四边形是平行四边形（定义法判定）。 2.猜想：两组对边分别________的四边形是平行四边形；两组对角分别________的四边形是平行四边形。 3.猜想：对角线________的四边形是平行四边形。 4.若四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，则四边形ABCD是________（填图形名称）。 5.平行四边形的性质定理“对边相等”的逆命题是：________。 四．课堂探秘 如图，已知线段4B、BC.用直尺和圆规作▱ABCD.(保留作图痕迹，不写作法) 探究一：从“边”的角度探究判定方法 已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 【结论】：判定定理1——两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 【几何语言】：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。 已知：四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 【结论】：判定定理2——一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 【几何语言】：∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。 探究二：从“对角线”的角度探究判定方法 已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 【结论】：判定定理3——对角线互相平分的四边形是平行四边形。 【几何语言】：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形。 探究三：从“角”的角度探究判定方法 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 【结论】：判定定理3——两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 【几何语言】：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形。 探究四：平行线间的距离 如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗?与同伴进行交流。 已知:如图，直线a//b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b,垂足分别为C，D。 求证;AC=BD。 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2.性质：同一平面内，两条平行线间的距离处处相等，且垂线段是两条平行线间最短的线段。 3.计算关键：求平行线间的距离，本质是求一条直线上某点到另一条直线的垂线段长度，可结合垂线性质、直角三角形等知识求解。 【经典例题】 例1.下面给出的是四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的长度之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A.2∶3∶4∶5　　　B.3∶3∶4∶4 C.4∶3∶3∶4　　　D.4∶3∶4∶3 例2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ) A.AD∥BC,AB∥DC　　B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO　　D.AD∥BC,AB=CD 例3.已知△ABC(如图①),按图②③所示的尺规作图痕迹就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (　　) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 例4.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(　　) A.　　B. C.　　D. 例5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　) A.∠ABD=∠BDC　　　B.∠BAD=∠BCD C.AB=CD　　　　　D.AD=BC 例6.如图,l1∥l2,AB⊥l2,DC⊥l1,则下列结论:①AB⊥l1;②AB∥CD;③AB=CD;④AC=BD,其中正确的个数是(　　) A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D.1 例7.如图,平行四边形EFGH的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上,QF∥AD,分别交EH、CD于点P、Q,过点P作MN∥AB,分别交AD、BC于点M、N,若要求平行四边形EFGH的面积,只需知道下列哪个四边形的面积(　　) A.四边形AFPM　　B.四边形MPQD C.四边形FBNP　　D.四边形PNCQ 例8.如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F.请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是　　　　.  例9.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,-1),B(4,2),C(0,3),若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为　　　　　　　　　.  例10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4 cm,射线AM∥BC,点E从点A出发沿射线AM以1 cm/s的速度运动;点F从点B出发沿射线BC以3 cm/s的速度运动.设运动时间为t(s),当t为　　　时,以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.  例11.如图,在四边形ABCD中,AC是对角线,AC=AD,点E在边BC上,AB=AE,∠BAE=∠CAD,连接DE.(1)求证:BC=DE;(2)当AC=BC时,求证:四边形ABCD是平行四边形. 例12.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上. (1)在方格纸中画出△ADC,使△ADC与△ABC关于直线AC对称(点D在小正方形的顶点上); (2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH(点G,点H均在小正方形的顶点上),且平行四边形EFGH的面积为4.连接DH,请直接写出线段DH的长. 例13.(如图所示,点E在四边形ABCD的边AD上,连接CE并延长,交BA的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE. (1)求证:△AEF≌△DEC; (2)若AD∥BC,求证:四边形ABCD为平行四边形. 例14.如图,直线l1∥l2,AB⊥l1,CD⊥l2,垂足分别是B,D.过点A的直线交l1于点E,过点D的直线交l1于点F,且AE=DF. (1)BE与CF相等吗?为什么? (2)若∠AEC=120°,AD=8,AE=6,则四边形AEFD的面积是　　　　　.  例15.已知:如图,在▱ABCD中,AB=3 cm,AD=5 cm,AB⊥BD,将△ABD沿BC方向匀速平移得到△A'B'D',速度为1 cm/s,设运动时间为t(s)(0<t<5). (1)判断四边形A'B'CD的形状,并说明理由; (2)设四边形A'B'CD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式. 例16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,将△ABC沿AC所在直线折叠,得到△AB'C,B'C与AD交于点E,此时,△CDE恰为等边三角形. (1)求证:∠EAC=∠ECA; (2)求阴影部分的面积; (3)连接B'D,证明:四边形ACDB'为平行四边形. 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列判断正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 B. 两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 C. 两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形 D. 两条对角线相等四边形一定是平行四边形 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 4. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 5. 下列给出的是四边形中、、、的度数之比，其中能说明四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？（　　） A. B. C. D 8. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ） A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s 9. 根据下列条件，能作出平行四边形的是（　　） A. 两组对边的长分别是3和5 B. 相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9 C. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8 D. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5 10. 如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A. （3，﹣1） B. （﹣1，﹣1） C. （1，1) D. （﹣2，﹣1） （二）．填空题 11. 如图，在四边形中，，添一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 12. 四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，则四边形ABCD是_______四边形． 13. 若四边形ABCD中，AD＝BC，AC是对角线，且∠CAD＝∠ACB，则这个四边形是________． 14. 如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是__________________（填一种情况即可）． 15.M是△ABC的AB边上的中点，连接CM并延长到D，使MD＝CM，则AD与BC________， 16. 四边形ABCD中，ADBC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是_______（横线只需填一个你认为合适的条件即可） 17.如图,E是直线CD上的一点.已知▱ABCD的面积为78 cm2,则△ABE的面积为　　cm2.  18．如图点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是__________________________． 19.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为垂足，已知AB＝3，BC＝4，∠EAF＝60°，则▱ABCD的面积为________． 20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6 cm，AD＝12 cm，BC＝15 cm．点P从A点出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动，规定其t＝　　s时，PQ∥CD且PQ＝CD． （三）．解答题 21.如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,AB的中点,连接DE,点F是CB延长线上的一点,且CF=3BF,连接DB,EF.若∠ACB=90°,AC=12 cm,DE=4 cm. (1)求证:DE=BF; (2)求四边形DEFB的周长. 22.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在线段OA,OC上,且OB=OD,∠1=∠2,AE=CF. (1)证明:△BEO≌△DFO; (2)证明:四边形ABCD是平行四边形. 23.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AO=CO. (1)求证:四边形ABCD是平行四边形; (2)若CD=3,BD=2,AC⊥AB,求四边形ABCD的面积. 24. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 25.如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=6 cm,BE是∠ABC的平分线,点M从点E出发,沿ED方向以1 cm/s的速度向点D运动,点N从点C出发,沿射线CB方向以4 cm/s的速度运动,当点M运动到点D时,点N随之停止运动,设运动时间为t s. (1)求AE的长. (2)是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由. 26.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=5 cm,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在▱ABCD的外面),连接AE,CE,CF,AF. (1)若DE=OD,BF=OB. ①求证:四边形AFCE为平行四边形; ②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长. (2)若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE还是平行四边形吗?请写出结论并说明理由.若DE=OD,BF=OB呢?请直接写出结论. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.按定义判定：两组对边分别________的四边形是平行四边形。 2.按边的关系判定：一组对边________且________的四边形是平行四边形。 3.按边的数量关系判定：两组对边分别________的四边形是平行四边形。 4.按角的关系判定：两组对角分别________的四边形是平行四边形。 5.按对角线的关系判定：对角线________的四边形是平行四边形。 6.若四边形ABCD中，AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD是________，依据是平行四边形的________判定。 7.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AO=CO，BO=DO，则四边形ABCD是________，依据是________的四边形是平行四边形。 8.若四边形ABCD中，AB=CD，且AB∥CD，则四边形ABCD是________，依据是________的四边形是平行四边形。 9.四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是________，依据是________的四边形是平行四边形。 10. 若四边形的一组对边平行，另一组对边相等，________（填“一定”或“不一定”）是平行四边形。 11.已知四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，那么∠A与∠B的关系是________，依据是平行四边形的性质及________判定定理。 12.对角线互相平分的四边形是平行四边形，用几何语言表示：若四边形ABCD中，________，则四边形ABCD是平行四边形。 （二）强化训练 一．选择题 1. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直 2. 在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（　 　）. A. ∠A=∠C，∠B=∠D B. ∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180° C. ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° D. ∠A=∠B=∠C=90° 3. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组对角互补 C. 一组对角相等，一组邻角互补 D. 一组对角相等，另一组对角互补 4. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 5. 如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 以长为5cm， 4cm， 7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ） A. 88°，108°，88° B. 88°，104°，108° C. 88°，92°， 92° D. 88°，92°，88° 9. 在□ABCD中，AB≠AD，满足下列条件，不一定能构成平行四边形是（ ） A. 四个内角平分线围成的四边形 B. 过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C. 以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D. 以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 10. 若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二．填空题 11. 如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有_________个． 12. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 13. 如图，在四边形中，且，，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动．则 ___________秒后直线将四边形截出一个平行四边形． 14. 用边长为4cm，5cm，6cm的两个全等三角形一共能拼成__________个平行四边形． 15. 如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：_________使四边形ABCD是平行四边形 16. 如图，在图（1）中，、、分别是的边、、的中点，在图（2）中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 17．在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则CD的长是________． 18.如图在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为________． 19.如图在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB＝________cm. 20.如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发,在C、B间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止),在开始运动后,以点P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形的次数为　　　　.  三．解答题 21．如图E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长． 22．在平行四边形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点落在点处，连接并延长，交于． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，的周长为20，求四边形的周长． 23．在中，是对角线，于点E，于点F． （1）求证：； （2）试判断四边形是不是平行四边形，并说明理由． 24．在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的． 25.如图,平面直角坐标系中的网格由边长为1的正方形构成,△ABC中,A点坐标为(2,3),B点坐标为(-2,0),C点坐标为(0,-1). (1)求证:AC⊥BC; (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出D点的坐标. 26．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=16，AB=8，∠ABC=60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）设△BPQ的面积为s，求s与t之间的函数关系式； （2）当t=　 　时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等； （3）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $