6.1平行四边形的性质及判定（一）讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦平行四边形的定义及性质这一核心知识点，系统梳理从定义（两组对边分别平行）到性质（对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）的探究脉络，通过关联三角形全等知识实现性质证明，为后续判定定理学习搭建支架。 该资料以“观察-猜想-验证-证明”为主线，通过实例观察培养几何直观（数学眼光），推理证明提升逻辑推理能力（数学思维），例题与检测题结合生活情境强化模型意识（数学语言）。课中助力教师引导探究，课后分层作业帮助学生巩固查漏，有效落实核心素养。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第六章平行四边形第一节平行四边形的性质及判定（一）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解平行四边形的定义，能准确识别平行四边形的边、角、对角线等基本元素。 2.掌握平行四边形 “ 对边相等 ”“ 对角相等 ”“ 邻角互补 ” 的性质，并能运用这些性质进行简单的计算和推理。 3.经历平行四边形性质的探究过程，体会观察、猜想、验证、证明的数学思想方法，提升逻辑推理和动手实践能力。 4.能运用平行四边形的性质解决实际问题，感受数学与生活的联系。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.平行四边形的定义及相关概念。 2.平行四边形 “ 对边相等 ”“ 对角相等 ” 的性质探究与应用。 （二）难点 1.平行四边形性质的证明过程（渗透全等三角形的应用）。 2.灵活运用平行四边形的性质解决几何计算和推理问题。 ) 三．课前预习 1.两组对边分别________的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号“”表示，读作“”。 2.如图，在▱ABCD中，对边有________组，分别是________和________；对角有________组，分别是________和________；邻角有________组，分别是∠A与∠B、、、________。 3.平行四边形的对边________，对角________，邻角________。 4.在▱ABCD中，若∠A=60°，则∠B=________°，∠C=________°，∠D=________°。 5.在▱ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，则AD=________cm，CD=________cm，周长为________cm。 四．课堂探秘 探究一：平行四边形的定义 1.观察下图中的平行四边形实例。 思考：这些图形有什么共同特征？ 2.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 3.符号表示：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形，记作“▱ABCD”，其中顶点字母按顺时针或逆时针顺序排列。 4.几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）；反之，∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的性质）。 5.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。如上图，四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD、读作“平行四边形ABCD"，线段BD就是口ABCD的一条对角线。 探究二：平行四边形的性质 根据三角形的学习经验，你认为对平行四边形应研究哪些内容? 1.平行四边形是中心对称图形吗?如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗? 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 2.你还发现平行四边形有哪些性质?与同伴进行交流。 3.推理证明： （1）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形。 求证：（1）AB=CD，AD=BC；（2）∠A=∠C，∠B=∠D；（3）∠A+∠B=180°。 【归纳性质】： 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补。 （2）已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O 求证:0A=0C，OB=OD. 【归纳性质】： 定理 平行四边形的对角线互相平分。 【易错点总结】 1.混淆中心对称与轴对称 （1）普通平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形（只有矩形、菱形、正方形这类特殊平行四边形才是轴对称图形）。 （2）对“对边相等”的错误应用 ①必须强调“两组对边”分别相等，不能只说“对边相等”。 ②一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形。 （3）对角线性质的误解 ①平行四边形对角线是“互相平分”，不是“相等”也不是“互相垂直”。 ②只有矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直。 （4）面积公式的易错点 ①面积公式为S=底×高，这里的“高”必须是对应底边上的高。 ②不能用两条邻边的长度相乘来计算面积。 【经典例题】 例1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：BE∥FD． 例2．如图，在▱ABCD中，已知E、F分别为边AB、CD的中点． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AB＝2，∠ADB＝90°，求四边形BEDF的周长． 例3．如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积． 例4．如图，已知，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，CF＝AE，连接CE，AF．求证：△BCE≌△DAF． 例5．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF． 例6．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由． 五．课堂检测 （一）．选择题 1.如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有　(　　) A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 2.图1是一面旗帜,图2是其示意图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段DA的延长线上,若∠C=112°,则∠EAB=(　　) 　　 A.38°　　B.68°　　C.78°　　D.112° 3.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一张纸条,重合的部分构成了一个四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定成立的是(　　) A.AD=AB　　　　 B.AD=BC　　 C.∠DAC=∠ACD　　　　D.AO=AB 4.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,已知AD=10,BD=14,AC=8,则△OBC的周长为(　) A.16　　B.19　　C.21　　D.28 5.已知平行四边形相邻两个内角的平分线]如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F.若AB=5,BC=9,则EF的长为(　　) A.1　　 B.1.5　　 C.2　　 D.2.5 6.如图,直线a∥b,CD⊥a,CD⊥b,垂足分别为C,D,则a,b之间的距离是(　　) A.线段AB的长度　B.线段AB C.线段CD的长度　D.线段CD 7.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,若△ADO的面积是4,则▱ABCD的面积是(　) A.8　　B.12　　C.16　　D.20 8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点F,E,若设该平行四边形的面积为2,则图中阴影部分的面积为(　　) A.4　　　　B.1　　 C.　　　　D.无法确定 9.如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAC=90°,BD=10,AC=6,则AB的长为(　　) A.4　　　　B.5　　 C.6　　　　D.8 10.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为(　　) A.　　B.　　C.　　D. （二）．填空题 11.停车场的三个车位如图所示,若四边形ABCD是平行四边形,AB∥EF∥GH∥CD,则图中平行四边形共有　　　　个.  12.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,若AB=5,BC=9,则DE的长为　　　　.  13.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,交CD的延长线于点F,若AB=5 cm,BC=9 cm,则DE+DF的长为　　　　.  14.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于G,∠EFG=45°,FG=6 cm,则AB与CD之间的距离为　　　　cm.  15.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的面积为　　　　.  16.如图,▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2),则顶点B的坐标是　　　　.  17.如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是　　　　.(只需写一种情况)  18.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于　　　　　　　.  19.如图,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=10,BD=12,AB=m,那么m的取值范围是　　　　　　.  20.如图,在▱ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为　　　　.  （三）．解答题 21.如图，在ABCD中，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交AD于E，AB＝3cm，ED＝1cm． （1）求∠A，∠C，∠D的度数； （2）求ABCD的周长． 22.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别为BC、AD的中点,连接AE、CF、DE. (1)求证:AE=CF; (2)若AE=2BE,求证:ED平分∠AEC. 23.如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)根据题意，补全图形； (2)求证：BE＝DF. 24.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 25.如图,四边形ABCD是面积为S的平行四边形. (1)如图①,点P为AD边上任意一点,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是　　　　　　;  (2)如图②,设AC、BD交于点P,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是　　　　　　;  (3)如图③,点P为▱ABCD内任意一点时,试猜想△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系,并加以证明; (4)如图④,已知点P为▱ABCD内任意一点,△PAB的面积为2,△PBC的面积为8,连接PD,BD,求△PBD的面积. 　　 　　 26.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F, (1)求证:OE=OF. (2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.两组对边分别________的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号“________”表示。 2.平行四边形的对边_____且____，即若四边形ABCD是平行四边形，则AB___CD，AD___BC，AB___CD，AD___BC。 3.平行四边形的对角______，邻角_______，即若四边形ABCD是平行四边形，则∠A__∠C，∠B___∠D，∠A + ∠B = _____°，∠B + ∠C = _____°。 4.平行四边形的对角线_______，即若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，则AO____CO，BO_____DO。 5.平行四边形是________对称图形（填“中心”或“轴”），其对称中心是________。 6.若平行四边形的一条边长为5cm，一条邻边长为3cm，则它的周长为________cm。 7.在平行四边形ABCD中，若∠A = 120°，则∠B = ________°，∠C = ________°，∠D = ________°。 8.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AO = 3cm，则AC = ________cm；若BD = 10cm，则BO = ________cm。 9.已知平行四边形的周长为24cm，其中一组对边的长度差为2cm，则较长边的长度为________cm。 10.在平行四边形ABCD中，AB = 4cm，BC = 6cm，那么CD = ________cm，AD = ________cm，周长为_______cm。 （二）强化训练 一．选择题 1.在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶2∶1∶2 D.1∶1∶2∶2 2.如图,已知平行四边形ABCD,点E在线段BC的延长线上,若∠DCE=140°,则∠A=(　　) A.50° B.40° C.30° D.20° 3.在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=108°,则∠D=(　　) A.72° B.126° C.136° D.108° 4.如图,在▱ABCD中,连结AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=(　　) A.80° B.100° C.120° D.140° 5.如图,点O是▱ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,则下列结论成立的是(　　) A.∠CFE=∠DEF B.∠DOC=∠OCD C.AE=BF D.OE=OF 6.如图,在▱ABCD中,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 6.如图,平行四边形ABCD的周长为40,△BOC的周长比△AOB的周长多10,则BC的长为(　　) A.20 B.5 C.10 D.15 7.如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为(　　) A.60 cm2　　　　B.30 cm2　　 C.20 cm2　　　　D.16 cm2 8.在同一平面内,设a、b、c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为(　　) A.1 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.1 cm或3 cm 9.如图,在周长为20 cm的平行四边形ABCD中,AB≠AD,AC,BD交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为(　　) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 10.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长为40,则S▱ABCD=(　　) A.24 B.36 C.40 D.48 二．填空题 11.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=45°,则∠B=　　　　°.  12.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD于点E,则EC=　　　　.  13.如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,顶点B在▱ODEF的边DE上,已知∠1=40°,则∠2=　　　　.  14.如图,▱ABCD的顶点A,C分别在直线l1,l2上,l1∥l2,若∠1=33°,∠B=65°,则∠2=　　　　°.  15.如图,点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点,线段EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F,若平行四边形ABCD的周长为24,OE=2,则四边形ABFE的周长为　　　　.  16.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连接EC.若△CDE的周长为5,则▱ABCD的周长为　　　　.  17.如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD的面积为　　　　.  18.如图,在▱ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE=　　　　°.  19.如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是________． 20.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<360°)得到AP,连结PC,PD.当△PCD为直角三角形时,α的度数为　　　.  三．解答题 21.如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,∠AEB=60°,BE=3,EC=2. (1)求∠D的度数; (2)求▱ABCD的周长. 22.如图,在▱ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,AD=DF,连接DE. (1)求证:AE平分∠BAD; (2)若点E为BC的中点,∠B=60°,AD=4,求线段DE的长. 23．如图在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E. (1)求证：CD＝CE； (2)若BE＝CE，∠B＝80°，求∠DAE的度数． 24.如图分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF. (1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时，连接GF，EF.请判断GF与EF的关系(只写结论，不需证明)． (2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时，连接GF，EF，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 25.在平行四边形ABCD中,AE⊥DC于点E,AE=AB. (1)如图1,若∠DAE=30°,DE=,求平行四边形ABCD的周长; (2)如图2,作∠ABC的平分线交AE于点F,交AD于点M,求证:DE+AF=BC; (3)如图3,在(1)的条件下,将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度α(0°<α<90°),得到△A'D'E,当∠D'A'E=∠A'EA时,停止旋转,此时边A'D'与边AE交于点P,点G是直线DC上一动点,连接GB,在线段GB的右侧作等边△GBN,连接PN,求PN的最小值. 图1 图2 图3 26.在▱ABCD中,AB=AC,∠BAC=90°,点E在射线DA上,点F,G在直线AC上,BE⊥EF,∠AGE =112.5°. (1)当点E在线段AD上时,如图①,求证:AB+AE=FG;(提示:过点E作EM⊥AE,交AC于点M) (2)当点E在线段DA的延长线上时,如图②③,请猜想线段AB,AE,FG之间的数量关系,并直接写出猜想结论,不需要证明; (3)在(1)(2)的条件下,若AB=6,AF=4,则AE=　　　　.  　 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第六章平行四边形第一节平行四边形的性质及判定（一）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解平行四边形的定义，能准确识别平行四边形的边、角、对角线等基本元素。 2.掌握平行四边形 “ 对边相等 ”“ 对角相等 ”“ 邻角互补 ” 的性质，并能运用这些性质进行简单的计算和推理。 3.经历平行四边形性质的探究过程，体会观察、猜想、验证、证明的数学思想方法，提升逻辑推理和动手实践能力。 4.能运用平行四边形的性质解决实际问题，感受数学与生活的联系。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.平行四边形的定义及相关概念。 2.平行四边形 “ 对边相等 ”“ 对角相等 ” 的性质探究与应用。 （二）难点 1.平行四边形性质的证明过程（渗透全等三角形的应用）。 2.灵活运用平行四边形的性质解决几何计算和推理问题。 ) 三．课前预习 1.两组对边分别________的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号“”表示，读作“”。 2.如图，在▱ABCD中，对边有________组，分别是________和________；对角有________组，分别是________和________；邻角有________组，分别是∠A与∠B、、、________。 3.平行四边形的对边________，对角________，邻角________。 4.在▱ABCD中，若∠A=60°，则∠B=________°，∠C=________°，∠D=________°。 5.在▱ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，则AD=________cm，CD=________cm，周长为________cm。 【答案】1.平行；▱；平行四边形 2.2；AB与CD；AD与BC；2；∠A与∠C；∠B与∠D；4；∠B与∠C；∠C与∠D；∠D与∠A 3.相等；相等；互补 4.120；60；120 5.3；5；16 四．课堂探秘 探究一：平行四边形的定义 1.观察下图中的平行四边形实例。 思考：这些图形有什么共同特征？ 【解析】这些图形的共同特征：（1）整体构成：都是由平行四边形作为基本图形，通过平移、旋转、对称等图形变换进行重复排列，形成了有规律的图案；（2）图形属性：构成图案的基本平行四边形都具备平行四边形的核心特征——两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分；（3）图案特点：整体图案具有对称性和重复性，利用平行四边形的易变形性/稳定性（视具体应用场景），形成了美观且规整的装饰效果。这些图形均以平行四边形为基本单元，通过图形变换重复组合而成，且每个基本单元都满足平行四边形“两组对边分别平行且相等”的本质特征。 2.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 3.符号表示：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形，记作“▱ABCD”，其中顶点字母按顺时针或逆时针顺序排列。 4.几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）；反之，∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的性质）。 5.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。如上图，四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD、读作“平行四边形ABCD"，线段BD就是口ABCD的一条对角线。 探究二：平行四边形的性质 根据三角形的学习经验，你认为对平行四边形应研究哪些内容? 1.平行四边形是中心对称图形吗?如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗? 【解析】平行四边形是中心对称图形，对称中心：平行四边形两条对角线的交点O。 验证结论：连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，交于点O；将平行四边形绕点O旋转180o，点A与点C重合，点B与点D重合，旋转后的图形与原图形完全重合；因此平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 2.你还发现平行四边形有哪些性质?与同伴进行交流。 【解析】还发现平行四边形有： ①边的性质：两组对边分别平行且相等（AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC）； ②角的性质：两组对角分别相等（∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC）， 邻角互补（如∠BAD+∠ABC=180o）； ③对角线的性质：对角线互相平分（OA=OC，OB=OD）； ④面积性质：面积等于底乘高（S=底×高）。 3.推理证明： （1）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形。 求证：（1）AB=CD，AD=BC；（2）∠A=∠C，∠B=∠D；（3）∠A+∠B=180°。 证明：连接AC。 ∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）。 ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）。 在△ABC和△CDA中，∠BAC=∠DCA，AC=CA（公共边），∠BCA=∠DAC， ∴△ABC≌△CDA（ASA）。 ∴AB=CD，AD=BC（全等三角形的对应边相等），∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）。 ∵∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，∴∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA，即∠BAD=∠BCD。 又∵AB∥CD（平行四边形的定义），∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），同理∠A+∠B=180°（邻角互补）。 【归纳性质】： 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补。 （2）已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O 求证:0A=0C，OB=OD. 证明：在△AOB和△COD中AB=CD，∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，所以△AOB≌△COD（ASA）因此OA=OC，OB=OD 【归纳性质】： 定理 平行四边形的对角线互相平分。 【易错点总结】 1.混淆中心对称与轴对称 （1）普通平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形（只有矩形、菱形、正方形这类特殊平行四边形才是轴对称图形）。 （2）对“对边相等”的错误应用 ①必须强调“两组对边”分别相等，不能只说“对边相等”。 ②一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形。 （3）对角线性质的误解 ①平行四边形对角线是“互相平分”，不是“相等”也不是“互相垂直”。 ②只有矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直。 （4）面积公式的易错点 ①面积公式为S=底×高，这里的“高”必须是对应底边上的高。 ②不能用两条邻边的长度相乘来计算面积。 【经典例题】 例1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：BE∥FD． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE＝DF． 例2．如图，在▱ABCD中，已知E、F分别为边AB、CD的中点． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AB＝2，∠ADB＝90°，求四边形BEDF的周长． 解：（1）证明：在▱ABCD中，∵AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C，又∵E，F分别为边AB，CD的中点，∴AE＝CF，在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）∵∠ADB＝90°，∴△ABD，△CDB都是直角三角形，∵AE＝EB，CF＝DF， ∴DE＝BE=AB，BF＝DF=CD，∴DE＝BE＝BF＝DF＝1∴四边形DEBF是菱形，周长为4． 例3．如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠AFD，∵AD＝DF， ∴∠DAE＝∠AFD，∴∠BAE＝∠DAE，即AE平分∠BAD； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DF，AB＝DC，AD＝BC，∵点E为BC中点，∴BE＝EC=AD=2，∵AD＝DF＝4，∴CD＝AB＝2，∵∠B＝60°，∴BC边的高是， ∴▱ABCD的面积＝4． 例4．如图，已知，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，CF＝AE，连接CE，AF．求证：△BCE≌△DAF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∴∠D＝∠B， ∵CF＝AE，∴BE＝DF，在△AFD与△CEB中，∴△BCE≌△DAF（SAS）． 例5．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴AF∥EC，∵EA⊥AC，FC⊥AC，∴EA∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．∴EC＝AF，∴BE＝BC﹣EC＝AD﹣AF＝DF，∴在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）过点A作AG⊥EC于点G，如图所示：∵EA⊥AC，∠AEC＝45°，∴△AEC为等腰直角三角形，∵AG⊥EC，∴AG=EC=AF，∵∠B＝30°，∴AG=AB，∴AF=AB，∴AB＝AF． 例6．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由． 解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF ∵E为BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中， ∴△ABE≌△FCE． （2）结论：CH⊥DG．理由如下：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵AB＝CD，∴DC＝CF， ∵H为DG的中点，∴CH∥FG∵DG⊥AE，∴CH⊥DG． 五．课堂检测 （一）．选择题 1.如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有　(　　) A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 【答案】C　 【解析】∵DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,∴题图中平行四边形共有3个:平行四边形ADEF,平行四边形BEFD,平行四边形DECF,故选C. 2.图1是一面旗帜,图2是其示意图,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段DA的延长线上,若∠C=112°,则∠EAB=(　　) 　　 A.38°　　B.68°　　C.78°　　D.112° 【答案】B　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠C=112°,∴∠EAB=180°-∠DAB=180° -112°=68°,故选B. 3.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一张纸条,重合的部分构成了一个四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定成立的是(　　) A.AD=AB　　　　 B.AD=BC　　 C.∠DAC=∠ACD　　　　D.AO=AB 【答案】B　 【解析】由题意可知AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,故选B. 4.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,已知AD=10,BD=14,AC=8,则△OBC的周长为(　) A.16　　B.19　　C.21　　D.28 【答案】C　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,AC=8,BD=14,AD=10,∴OC=OA=4,OB=OD=7,BC=AD=10, ∴△OBC的周长=OB+OC+BC=7+4+10=21.故选C. 5.已知平行四边形相邻两个内角的平分线]如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F.若AB=5,BC=9,则EF的长为(　　) A.1　　 B.1.5　　 C.2　　 D.2.5 【答案】A　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE= ∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=5,同理DF=DC=AB=5,∵AD=BC=9,∴EF=AE+FD-AD=5+5-9=1. 6.如图,直线a∥b,CD⊥a,CD⊥b,垂足分别为C,D,则a,b之间的距离是(　　) A.线段AB的长度　B.线段AB C.线段CD的长度　D.线段CD 【答案】C　 【解析】根据过一条平行线上的任意一点向另一条平行线作垂线,垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离,可知直线a,b之间的距离是线段CD的长度.故选C. 7.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,若△ADO的面积是4,则▱ABCD的面积是(　) A.8　　B.12　　C.16　　D.20 【答案】C　 【解析】因为平行四边形的对角线互相平分,所以BO=DO,AO=CO,所以△ABO与△ADO是等底同高的三角形,所以△ABO与△ADO的面积相等,同理,△ABO,△ADO,△CDO,△CBO的面积都相等,所以S▱ABCD=4S△ADO=16. 8.如图,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点F,E,若设该平行四边形的面积为2,则图中阴影部分的面积为(　　) A.4　　　　B.1　　 C.　　　　D.无法确定 【答案】B　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,OA=OC,OB=OD,在△AOB和△COD中,∴△AOB≌△COD(SSS),∴S△AOB=S△COD,同理可证△AFO≌△CEO(ASA), △BOE≌△DOF(ASA),∴S△AFO=S△CEO,S△BOE=S△DOF,∴S阴影=1/2S平行四边形ABCD=1.故选B. 9.如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAC=90°,BD=10,AC=6,则AB的长为(　　) A.4　　　　B.5　　 C.6　　　　D.8 【答案】A　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=AC=3,BO=BD=5,在Rt△ABO中, 根据勾股定理得AB===4,故选A. 10.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=4,则AE的长为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 【答案】D　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,BD=4,∴AO=AC=1,BO=BD=2,∵AB=, ∴AB2+AO2=BO2,∴∠BAC=90°,在Rt△BA中,BC===,∵S△BAC =AB·AC=BC·AE,∴×2=AE,∴AE=,故选D. （二）．填空题 11.停车场的三个车位如图所示,若四边形ABCD是平行四边形,AB∥EF∥GH∥CD,则图中平行四边形共有　　　　个.  【答案】　6 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵AB∥EF∥GH∥CD,∴四边形ABFE、四边形ABHG、四边形EFHG、四边形EFCD、四边形GHCD都是平行四边形,∴题图中平行四边形共有6个. 12.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,若AB=5,BC=9,则DE的长为　　　　.  【答案】　4 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE =∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=5,∵AD=BC=9,∴DE=AD-AE=9-5=4. 13.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,交CD的延长线于点F,若AB=5 cm,BC=9 cm,则DE+DF的长为　　　　.  【答案】　8 cm 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=9 cm,∴∠AEB=∠CBF,∵BE平分 ∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠AEB=∠ABF,∴AE=AB=5 cm,同理可得CF=BC=9 cm,∴DE=9-5 =4(cm),DF=9-5=4(cm),∴DE+DF=4+4=8(cm). 14.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于G,∠EFG=45°,FG=6 cm,则AB与CD之间的距离为　　　　cm.  【答案】　6 【解析】　∵EG⊥CD,∴∠EGF=90°,∵∠EFG=45°,∴∠FEG=45°=∠EFG,∴FG=EG,∵FG=6 cm,∴EG=6 cm,∴AB与CD之间的距离为6 cm. 15.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=2,AF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的面积为　　　　.  【答案】　12 【解析】　连接AC(图略),设BC=x,则CD=10-x,易知S△ABC=S△ACD,∴2x=3(10-x),解得x=6, ∴平行四边形ABCD的面积=BC·AE=6×2=12. 16.如图,▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2),则顶点B的坐标是　　　　.  【答案】　(4,2) 【解析】如图,延长BC交y轴于点D,∵四边形ABCO是平行四边形,∴BC=OA,BC∥OA,∵OA⊥y轴,∴BC⊥y轴,∵A(3,0),C(1,2),∴BC=OA=3,CD=1,OD=2,∴BD=CD+BC=1+3=4,∴B(4,2). 17.如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是　　　　.(只需写一种情况)  【答案】　BE=DF(答案不唯一) 【解析】　可以添加BE=DF(答案不唯一).∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C, AB=CD,∴∠E=∠F,∵BE=DF,∴BE+AB=DF+CD,即AE=CF,在△AEG和△CFH中, ∴△AEG≌△CFH(ASA). 18.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于　　　　　　　.  【答案】　7 cm或17 cm 【解析】　分两种情况:①当EF在AB,CD之间时,∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴AB与EF的距离为12-5=7(cm).②当EF不在AB,CD之间时,∵AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,∴AB与EF的距离为12+5=17(cm).综上所述,AB与EF的距离为7 cm或17 cm. 19.如图,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=10,BD=12,AB=m,那么m的取值范围是　　　　　　.  【答案】　1<m<11 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,AC=10,BD=12,∴OA=OC=5,OD=OB=6,在△OAB中,OB-OA<m<OB+OA,∴6-5<m<6+5,∴1<m<11. 20.如图,在▱ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为　　　　.  【答案】　10 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO, ∵O为BD的中点,∴OD=OB,∴△DOF≌△BOE(AAS),∴DF=BE,∴CD-DF=AB-BE,∴CF=AE=10. （三）．解答题 21.如图，在ABCD中，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交AD于E，AB＝3cm，ED＝1cm． （1）求∠A，∠C，∠D的度数； （2）求ABCD的周长． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠A＝∠C＝180°﹣60°＝120°. （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3（cm），AD=AE+DE=4(cm)，∴平行四边形ABCD的周长为2（AD+AB）＝14（cm）． 22.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别为BC、AD的中点,连接AE、CF、DE. (1)求证:AE=CF; (2)若AE=2BE,求证:ED平分∠AEC. 解：　(1)证明∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EC=1/2BC,AF=1/2AD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠ADC,∴BE=DF,在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,又∵AE=2BE,BC=2BE,∴AE=AD, ∴∠ADE=∠AED,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CED,∴∠AED=∠CED,∴ED平分∠AEC. 23.如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)根据题意，补全图形； (2)求证：BE＝DF. 解：(1)如图所示.(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O，∴OB＝OD，OA＝OC.又∵E，F分别是OA,OC的中点，∴OE＝OA，OF＝OC，∴OE＝OF.∵在△BEO与△DFO中，OE＝OF，∠BOE＝∠DOF，OB＝OD，∴△BEO≌△DFO(SAS)，∴BE＝DF. 24.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵F是AD的中点， ∴FD＝AD.∵CE＝BC，∴FD＝CE.又∵FD∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形．∴DE＝CF. (2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6.∴∠DCE＝∠B＝60°.在Rt△CDG中，∠DGC＝90°，∴∠CDG＝30°， ∴CG＝CD＝2.由勾股定理得DG＝＝2.∵CE＝BC＝3，∴GE＝1.在Rt△DEG中，∠DGE＝90°，∴DE＝＝.∴AF∥CE. 25.如图,四边形ABCD是面积为S的平行四边形. (1)如图①,点P为AD边上任意一点,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是　　　　　　;  (2)如图②,设AC、BD交于点P,则△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系是　　　　　　;  (3)如图③,点P为▱ABCD内任意一点时,试猜想△PAB的面积S1和△PDC的面积S2之和与▱ABCD的面积S之间的数量关系,并加以证明; (4)如图④,已知点P为▱ABCD内任意一点,△PAB的面积为2,△PBC的面积为8,连接PD,BD,求△PBD的面积. 　　 　　 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴S△PBC=S,∴S△ABP+S△DCP=S, ∴S1+S2=S. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴PA=PC,BP=DP,∴S△ABP=S△ADP= S△DPC=S△BCP,∴S1+S2=S. (3)S1+S2=S. 证明:如图,作PE⊥AB于E,延长EP交CD于F. ∵AB∥CD,PE⊥AB,∴PF⊥CD,∴S1+S2=AB·PE+CD·PF=AB·EF=S. (4)设△PAD的面积为x,△PDC的面积为y,则2+y=8+x,∴y-x=6,∴△PBD的面积=8+y-×(2+8+x+y)=3+(y-x)=6. 26.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F, (1)求证:OE=OF. (2)若直线EF分别与DC、BA的延长线相交于F、E(如图2),请问(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)若平行四边形ABCD的面积为20,BC=10,CD=6,直线EF在绕点O旋转的过程中,线段EF何时最短?并求出EF长度的最小值. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF. (2)成立.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD,∴∠E=∠F, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF. (3)①直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与AD,BC相交,则当EF⊥BC时,EF最短. ∵平行四边形ABCD的面积为20,BC=10, ∴S平行四边形ABCD=BC·EF=10EF=20,∴EF=2. ②直线EF在绕点O旋转的过程中,若直线EF与DC、BA所在直线相交,则当EF⊥AB时,EF最短,同①的方法,得出EF长度的最小值为=.∵>2,∴直线EF在绕点O旋转的过程中,当EF⊥BC时,EF最短,EF长度的最小值为2. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.两组对边分别________的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号“________”表示。 2.平行四边形的对边_____且____，即若四边形ABCD是平行四边形，则AB___CD，AD___BC，AB___CD，AD___BC。 3.平行四边形的对角______，邻角_______，即若四边形ABCD是平行四边形，则∠A__∠C，∠B___∠D，∠A + ∠B = _____°，∠B + ∠C = _____°。 4.平行四边形的对角线_______，即若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，则AO____CO，BO_____DO。 5.平行四边形是________对称图形（填“中心”或“轴”），其对称中心是________。 6.若平行四边形的一条边长为5cm，一条邻边长为3cm，则它的周长为________cm。 7.在平行四边形ABCD中，若∠A = 120°，则∠B = ________°，∠C = ________°，∠D = ________°。 8.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AO = 3cm，则AC = ________cm；若BD = 10cm，则BO = ________cm。 9.已知平行四边形的周长为24cm，其中一组对边的长度差为2cm，则较长边的长度为________cm。 10.在平行四边形ABCD中，AB = 4cm，BC = 6cm，那么CD = ________cm，AD = ________cm，周长为_______cm。 【答案】1.平行；▱ 2.平行；相等；∥；∥；=；= 3.相等；互补；=；=；180；180 4.互相平分；=；= 5.中心；两条对角线的交点 6.16 7.60；120；60 8.6；5 9.7 10.4；6；20 （二）强化训练 一．选择题 1.在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶2∶1∶2 D.1∶1∶2∶2 【答案】C　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴C选项正确,故选C. 2.如图,已知平行四边形ABCD,点E在线段BC的延长线上,若∠DCE=140°,则∠A=(　　) A.50° B.40° C.30° D.20° 【答案】B　 【解析】∵∠DCE=140°,∴∠DCB=180°-140°=40°,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠DCB=40°,故选B. 3.在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=108°,则∠D=(　　) A.72° B.126° C.136° D.108° 【答案】B　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,又∵∠A+∠C=108°,∴∠A=∠C=54°,又∵AD∥BC,∴∠D+∠C=180°,∴∠D=126°.故选B. 4.如图,在▱ABCD中,连结AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=(　　) A.80° B.100° C.120° D.140° 【答案】C　 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD.∵∠BAC=40°,∴∠DCA=∠BAC=40°, ∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=80°+40°=120. 5.如图,点O是▱ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,则下列结论成立的是(　　) A.∠CFE=∠DEF B.∠DOC=∠OCD C.AE=BF D.OE=OF 【答案】D　 【解析】∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,∴AO=CO,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO, 在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,∴选项D成立,故选D. 6.如图,在▱ABCD中,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD的长是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,∵AC=6,∴AO=3,∵AB⊥AC,AB=4, ∴BO==5,∴BD=2BO=10.故选C. 6.如图,平行四边形ABCD的周长为40,△BOC的周长比△AOB的周长多10,则BC的长为(　　) A.20 B.5 C.10 D.15 【答案】D　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AB=CD,AD=BC.∵△BOC的周长比△AOB的周长多10,∴(BO+CO+BC)-(BO+AO+AB)=BC-AB=10,①∵平行四边形ABCD的周长为40, ∴2(BC+AB)=40,∴BC+AB=20,② ①+②,可得2BC=30,∴BC=15.故选D. 7.如图所示,▱ABCD的对角线AC的长为10 cm,∠CAB=30°,AB的长为6 cm,则▱ABCD的面积为(　　) A.60 cm2　　　　B.30 cm2　　 C.20 cm2　　　　D.16 cm2 【答案】B　 【解析】如图,过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H.∵∠CAB=30°,∴CH=1/2AC=1/2×10 =5(cm),∴S▱ABCD=AB·CH=6×5=30(cm2).故选B. 8.在同一平面内,设a、b、c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为(　　) A.1 cm B.3 cm C.5 cm或3 cm D.1 cm或3 cm 【答案】 C　 【解析】当直线c在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离=4-1=3 cm;当直线c不在a、b之间时,∵a、b、c是三条互相平行的直线,a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,∴a与c的距离=4+1=5 cm.综上所述,a与c的距离为5 cm或3 cm.故选C. 9.如图,在周长为20 cm的平行四边形ABCD中,AB≠AD,AC,BD交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为(　　) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 【答案】D　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC,BD互相平分,∴O是BD的中点.又∵OE⊥BD,∴OE垂直平分线段BD,∴BE=DE.∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD.∵▱ABCD的周长为20 cm,∴AB+AD=10 cm,∴△ABE的周长为10 cm.故选D. 10.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长为40,则S▱ABCD=(　　) A.24 B.36 C.40 D.48 【答案】D　 【解析】∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40,∴BC+CD=20①,∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=4,AF=6,∴S▱ABCD=4BC=6CD,∴BC=CD②.联立①②,解得CD=8,∴S▱ABCD=6CD=6×8=48.故选D. 二．填空题 11.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=45°,则∠B=　　　　°.  【答案】　112.5 【解析】　根据翻折可知∠B'AC=∠BAC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠BAC =∠DCA,∴∠BAC=∠DCA=∠B'AC,∵∠1=∠B'AC+∠DCA,∴∠1=2∠BAC=45°,∴∠BAC=22.5°,∴∠B=180°-∠BAC-∠2=180°-22.5°-45°=112.5°. 12.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD于点E,则EC=　　　　.  【答案】　2 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,∴∠DEA=∠EAB,∵∠DAB的平分线AE交DC于点E,∴∠EAB=∠DAE,∴∠DEA=∠DAE,∴AD=DE,∵AD=3,AB=5, ∴EC=DC-DE=AB-AD=5-3=2. 13.如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,顶点B在▱ODEF的边DE上,已知∠1=40°,则∠2=　　　　.  【答案】　110° 【解析】　∵△ABC是等腰三角形,∠A=120°,∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=30°, ∵四边形ODEF是平行四边形,∴OF∥DE,∴∠2+∠ABE=180°,即∠2+30°+40°=180°, ∴∠2=110°. 14.如图,▱ABCD的顶点A,C分别在直线l1,l2上,l1∥l2,若∠1=33°,∠B=65°,则∠2=　　　　°.  【答案】　32 【解析】　如图,过点D作DE∥l1,∵DE∥l1,∴∠ADE=∠1=33°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠B=65°,∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=65°-33°=32°,∵l1∥l2,∴DE∥l2,∴∠2=∠CDE=32°. 15.如图,点O是平行四边形ABCD对角线BD的中点,线段EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F,若平行四边形ABCD的周长为24,OE=2,则四边形ABFE的周长为　　　　.  【答案】　16 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO,在△DOE和△BOF中,∴△DOE≌△BOF(ASA),∴DE=BF,OE=OF=2,∴EF=4, ∵平行四边形ABCD的周长为24,∴AB+AD=12,∴四边形ABFE的周长=EF+AE+AB+BF=EF+AE+AB+DE=EF+AB+AD=4+12=16. 16.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连接EC.若△CDE的周长为5,则▱ABCD的周长为　　　　.  【答案】　10 【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB=CD,AD=BC,∵OE⊥AC,∴AE=CE, ∴△CDE的周长为CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=5.∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=10. 17.如图,AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积为6,则四边形ABCD的面积为　　　　.  【答案】　20 【解析】　如图,作DG⊥BE于G,AH⊥BE于H,∵AD∥BC,∴AH=DG,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5,又∵BE=8,∴CE=3,又∵△DCE的面积为6,∴DG=4,∴四边形ABCD的面积=BC·AH=20. 18.如图,在▱ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE=　　　　°.  【答案】　50 【解析】　在△DBC中,∵BD=CD,∠C=70°,∴∠DBC=∠C=70°,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠BAD=∠C=70°,∴∠ADB=∠DBC=70°,又∵AE⊥BD,∴∠DAE =90°-∠ADB=90°-70°=20°,∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=50°. 19.如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是________． 【答案】24cm 【解析】因为EF∥BC，DE∥AB，∴∠AEF＝∠C，∠DEC＝∠A.又因为AB＝BC，所以∠A＝∠C，所以∠AEF＝∠A，∠DEC＝∠C，所以AF＝EF，DE＝DC.所以四边形BDEF的周长＝BD＋DE＋EF＋BF＝BD＋DC＋AF＋BF＝BC＋AB＝12＋12＝24 (cm)． 20.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<360°)得到AP,连结PC,PD.当△PCD为直角三角形时,α的度数为　　　.  【答案】90°或180°或270° 【解析】连结AC,取BC的中点E,连结AE,如图所示,则BE=CE=1/2BC,∵BC=2AB,∴BE=AB, 又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=∠AEB=60°,AE=BE=CE. ∴∠EAC=∠ECA=1/2∠AEB=30°,∴∠BAC=90°,∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=90°. 易知∠CPD<90°.分三种情况讨论.①如图,当点P在线段AC上时,∠PCD=90°,此时α的度数为90°.②如图,当点P在CA的延长线上时,∠PCD=90°,此时α的度数为360°-90° =270°.③如图,当P在BA的延长线上时,∠PDC=90°,α的度数为180°.综上所述,α的度数为90°或180°或270°. 三．解答题 21.如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,∠AEB=60°,BE=3,EC=2. (1)求∠D的度数; (2)求▱ABCD的周长. 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠B=∠D,∴∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB=60°,∴∠B=180°-∠BAE-∠AEB=60°,∴∠D=∠B=60°. (2)由(1)知△ABE是等边三角形,∴AB=BE=3,∵EC=2,∴BC=5,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD=3,AD=BC=5,∴▱ABCD的周长为(3+5)×2=16. 22.如图,在▱ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,AD=DF,连接DE. (1)求证:AE平分∠BAD; (2)若点E为BC的中点,∠B=60°,AD=4,求线段DE的长. 解：(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DF,∴∠BAE=∠AFD,∵AD=DF,∴∠DAE=∠AFD,∴∠BAE=∠DAE,即AE平分∠BAD. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DF,∠B=∠ADF=60°,∴∠BAE=∠CFE,∠B=∠FCE, ∵点E为BC的中点,∴BE=EC,∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AE=EF,又∵AD=DF,∴DE⊥AF,∠ADE=∠FDE=30°,∴AE=1/2AD=2,∴DE=. 23．如图在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E. (1)求证：CD＝CE； (2)若BE＝CE，∠B＝80°，求∠DAE的度数． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DEC＝∠CDE，∴CD＝CE. (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.∵CD＝CE，BE＝CE，∴AB＝BE， ∴∠AEB＝∠BAE＝(180°－∠B)＝50°.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝50°. 24.如图分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF. (1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的外部时，连接GF，EF.请判断GF与EF的关系(只写结论，不需证明)． (2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形的内部时，连接GF，EF，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 解：(1)GF⊥EF，GF＝EF. (2)(1)中的结论仍成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°.∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，∴∠EAF＋∠FDC ＝45°.∵∠CDF＋∠GDF＝45°，∴∠EAF＝∠GDF，∴△EAF≌△GDF(SAS)，∴EF＝GF，∠EFA＝∠GFD，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，∴∠GFE＝∠DFA＝90°，∴GF⊥EF. 25.在平行四边形ABCD中,AE⊥DC于点E,AE=AB. (1)如图1,若∠DAE=30°,DE=,求平行四边形ABCD的周长; (2)如图2,作∠ABC的平分线交AE于点F,交AD于点M,求证:DE+AF=BC; (3)如图3,在(1)的条件下,将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度α(0°<α<90°),得到△A'D'E,当∠D'A'E=∠A'EA时,停止旋转,此时边A'D'与边AE交于点P,点G是直线DC上一动点,连接GB,在线段GB的右侧作等边△GBN,连接PN,求PN的最小值. 图1 图2 图3 解:(1)在Rt△AED中,∠AED=90°,∠DAE=30°,DE=,∴AD=2,∴AE=3, ∵AE=AB,∴AB=3.∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=6+4. (2)证明:如图,延长FA至H,使AH=DE,连接BH,∵AB∥CD,AE⊥DC,∴∠AED=∠EAB=90°, ∴∠HAB=90°,∵DE=AH,AE=AB,∴△HAB≌△DEA(SAS),∴HB=AD=BC,∠3=∠4.∵AD∥BC,BM平分∠ABC,∴∠1=∠MBC=∠2,∵∠5=∠1+∠4,∠HBF=∠2+∠3,∴∠5=∠HBF,∴HB=HF,∴HF=BC,∴AF+DE=BC. (3)补全图形如图,延长DC至M,使CM=CB,连接BM,作直线MN,过P作PH⊥直线MN于点H,交EM于Q,∵∠DAE=30°,∠AED=90°,∴∠D=60°,∴∠DCB=120°,∠BCM=60°.∴△BCM是等边三角形,∴BC=BM,∠CBM=60°,∵△BGN为等边三角形,∴BG=BN,∠GBN=60°,∴∠GBN=∠CBM,∴∠GBC=∠NBM,∴△BMN≌△BCG(SAS),∴∠BMN=∠BCG=120°,∴点N在直线MN上运动. ∴当点N与点H重合时,PN取得最小值,最小值为线段PH的长.∵∠D'A'E=∠A'EP,∴A'P=PE, 由旋转可知∠D'A'E=∠DAE=30°,∠A'D'E=∠D=60°,A'D'=AD=2,∴∠D'A'E=∠A'EP=30°,∴∠D'PE=60°,∴△PED'为等边三角形,∴PE=PD',∴PE=,∵∠BMC=60°,∴∠EMN=60°,∴∠MQH=∠PQE=30°,∴PQ=2PE=2,∴EQ=3,∵EC=3,CM=CB=2∴EM=3+,∴QM=.在Rt△QMH中,∠MQH=30°,∴MH=,∴QH=,∴PH=PQ+QH=2+,∴PN的最小值为2+ 26.在▱ABCD中,AB=AC,∠BAC=90°,点E在射线DA上,点F,G在直线AC上,BE⊥EF,∠AGE =112.5°. (1)当点E在线段AD上时,如图①,求证:AB+AE=FG;(提示:过点E作EM⊥AE,交AC于点M) (2)当点E在线段DA的延长线上时,如图②③,请猜想线段AB,AE,FG之间的数量关系,并直接写出猜想结论,不需要证明; (3)在(1)(2)的条件下,若AB=6,AF=4,则AE=　　　　.  　 解:(1)证明:如图,过点E作EM⊥AE,交AC于点M.∴∠AEM=90°.∵BE⊥EF,∴∠BEF=90°.∴∠AEB=∠MEF.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=45°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠ACB=∠CAD=45°,∴∠BAE=∠FME=135°,△AEM是等腰直角三角形,∴AE=EM,∴△BAE≌△FME,∴BE=EF,AB=FM,∵∠AGE=112.5°,∴∠MGE=67.5°,∴∠MEG=∠FME-∠MGE=135°-67.5°=67.5°,∴∠MGE=∠MEG,∴ME=MG=AE.∵FM+MG=FG,∴AB+AE=FG. (2)题图②的猜想:AB=FG+AE.题图③的猜想:AE=FG+AB. (3)当点E在线段AD上时,不符合题意;当点E在线段DA的延长线上,且点F在线段CA上时,过E作EM⊥AE,交直线AC于点M(图略),易知FM=AB=6,∴AM=FM-AF=6-4=2,∵△AEM是等腰直角三角形,∴2AE2=4,即AE2=2,∴AE=;当点E在线段DA的延长线上,且点F在线段CA的延长线上时,过E作EM⊥AE,交直线AC于点M(图略),易知FM=AB=6,∴AM=FM+AF=6+4=10, ∵△AEM是等腰直角三角形,∴2AE2=100,∴AE2=50,∴AE=5.综上,AE的长为或5. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $