精品解析：内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中等校2025-2026学年高二上学期数学期末试题

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中等校2025-2026学年高二上学期数学期末试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解可得. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线化为斜截式，结合斜率与倾斜角关系及倾斜角范围确定倾斜角大小. 【详解】由题设，直线方程化为，其斜率为1， 根据斜率与倾斜角关系及倾斜角范围知，直线的倾斜角为. 故选：C 3. 椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆的方程化成标准方程，写出其短半轴长即得. 【详解】由可得， 则椭圆的短半轴长为，短轴长为. 故选：A. 4. 已知直线，.若，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直的判定列方程求参数值. 【详解】由得，可得. 故选：C 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 又由对数函数的性质，可得，，所以， 所以. 故选：A. 6. 若直线：与圆：相切，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，再利用直线和圆相切时圆心到直线的距离等于半径来求解. 【详解】因为圆：，圆的标准方程为：， 则圆的圆心坐标为，半径， 又因为直线：与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 又因为，所以， 对两边完全平方可得：， 即，化简得：，所以. 故选：B. 7. 已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 8. 已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段BC做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．由题可知，质点与质点的运动速度相等.所以可设，，根据空间两点间的距离公式，将表示为的函数，根据函数性质求其最小值即可. 【详解】 如上图所示，连接交于点，则由正六边形的性质知，且. 正六边形的棱长均为4，，所以， 所以，所以. . 如下图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由题可知质点与质点的运动速度相等. 设，则． 因为，所以当时，取得最小值，最小值为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数z满足，则（ ）． A. z的虚部为 B. C. z在复平面内对应的点位于第三象限 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据复数的除法法则运算得，进而再对各选项进行判断. 【详解】因为， 所以z的虚部为1，故A错误；，故B正确； z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C错误；，故D正确. 故选：BD. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由诱导公式结合的最小值求解判断；对B、C，代入法验证；对D，整体代换结合性质判断. 【详解】对于A：将的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 所以，．因为的最小值为， 所以，解得，A错误； 对于B、C：因为， 则，，B、C都正确； 对于D：当时，，在上单调递增，D正确． 故选：BCD. 11. 在一个四面体中，若一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”．设某个“完美顶点”为的直角四面体中，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若的垂心为，则平面 C. 若为的中点，则与所成角的余弦值为 D. 若为的中点，则与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；推导出，，利用线面垂直的判定定理可判断B选项；利用空间向量法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B选项，因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为的垂心，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面，故B正确； 对于CD选项，因为、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， ， 故直线与所成角的余弦值为，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理求出三角形外接圆半径，进而求出面积. 【详解】由正弦定理，解得． 所以外接圆的面积为． 故答案为： 13. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，代入直线中，可得的值，利用离心率的计算方法可得答案. 【详解】由椭圆方程可知，长轴在  轴上， 且 ，即焦点为 ， 直线  经过一个焦点，代入焦点坐标： 若焦点为 ，则 ， 解得 ，即 ； 若焦点为 ，则 ，无解； 故 ，此时 ，长半轴长为， 离心率 . 因此，椭圆  的离心率为 . 故答案为： 14. 直线：与圆：相交于点，，则______.过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由圆的方程求出圆心和半径，再根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算即可. 由切线性质,，要使最小，只需最小，由两点间距离公式计算即可. 【详解】圆的方程为：， 圆心，半径， 圆心，到直线：的距离为：， . 由切线性质,， 要使最小，需要最小， 点在轴上，设， ， 当时，取最小值3， . 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱的中点，点，在棱上，且. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点， 所以，， 又，故，所以， 又，故，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，应用线面平行的判定证明结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出平面的法向量，利用线面角的正弦夹角公式求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，，则⊥平面， 因为为等边三角形，所以⊥，且， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 设直线CB与平面所成角的大小为， 则 . 16. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. （1）求的方程. （2）已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的性质求出的表示式，结合条件即可求得抛物线的方程； （2）（i）直线与抛物线方程联立，由韦达定理可得，即可证；（ii）由向量数量积的坐标表示，结合，求出的值，代入直线方程即可求得定点坐标. 【小问1详解】 依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 准线与x轴的交点，则，解得（舍）， 故抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 （i）直线，代入， 消去，可得，则， 由韦达定理，则，得证； （ii）， 则， 即，因，则， 此时直线的方程为，故直线必过定点，得证. 17. 广东某校举行了“中华传统文化知多少”的知识竞赛．现从中随机抽取部分学生的成绩，整理后将其分成，，，，这五组，并绘制了如下频率分布直方图． （1）求a的值； （2）在选取的样本中，从不低于70分的学生中用分层抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9人中选2人，求这2名学生的成绩都在内的概率； （3）若成绩在前17％的学生将被评为“中华传统文化知识达人”，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“中华传统文化知识达人”？ 【答案】（1） （2） （3）78分 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求a的值； （2）确定样本空间，由古典概型概率计算公式即可求解； （3）由百分位数计算公式即可求解. 【小问1详解】 频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，组距为10， 则，解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，两组中抽取的学生人数分别为7，2， 将组中的学生记为A，B，C，D，E，F，G，组中的学生记为a，b． 从这两组学生中随机抽取2名学生，有如下情形：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．共有36个基本事件． 其中2名学生成绩都在内的情形有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21个基本事件， 即这2名学生的成绩都在内的概率为． 【小问3详解】 设成绩至少要达到m分才可以被评为“中华传统文化知识达人”． 因为成绩在内的频率为0.1，在内的频率为0.35， 所以m在内． 由，得， 即成绩至少要达到78分才可以被评为“中华传统文化知识达人”． 18. 如图，在正方体中，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点. （1）证明：； （2）若正方体的棱长为4，求三棱锥的体积； （3）当时，求二面角的余弦值的绝对值. 【答案】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为4，则， 设，，则，， 因为，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为4，，求，，利用空间向量证明线线垂直； （2）求的面积，利用转换顶点法求三棱锥的体积； （3）可得，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若正方体的棱长为4， 则的面积， 所以三棱锥的体积. 【小问3详解】 当时，则， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得； 设平面的法向量，则， 令，则，可得； 因为， 所以二面角的余弦值的绝对值为. 19. 已知是双曲线的右焦点，且经过点． （1）求的标准方程． （2）已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且． （ⅰ）求． （ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）过定点． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（ⅰ）根据数量积的定义化简即可求出； （ⅱ）设直线，与双曲线方程联立，结合（ⅰ）可得出，再根据以及判断，进而得出定点. 【小问1详解】 由题意得，得， 所以的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以是直线的一个方向向量， 因为直线的一个方向向量分别为， 且，所以， 则，整理得． 因为，所以． （ⅱ）过定点． 理由如下：设，，， 由，得， 则， ，， 由（ⅰ）知， 得， 即，整理得， 所以或． 又， 故当时，，不符合题意． 当时，，符合题意． 综上，，所以过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹二中等校2025-2026学年高二上学期数学期末试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的短轴长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，.若，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线：与圆：相切，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 7. 已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段BC做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数z满足，则（ ）． A. z的虚部为 B. C. z在复平面内对应的点位于第三象限 D. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的对称轴 C. 点是图象的对称中心 D. 在上单调递增 11. 在一个四面体中，若一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”．设某个“完美顶点”为的直角四面体中，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若的垂心为，则平面 C. 若为的中点，则与所成角的余弦值为 D. 若为的中点，则与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________． 13. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______． 14. 直线：与圆：相交于点，，则______.过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱的中点，点，在棱上，且. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. （1）求的方程. （2）已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 17. 广东某校举行了“中华传统文化知多少”的知识竞赛．现从中随机抽取部分学生的成绩，整理后将其分成，，，，这五组，并绘制了如下频率分布直方图． （1）求a的值； （2）在选取的样本中，从不低于70分的学生中用分层抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9人中选2人，求这2名学生的成绩都在内的概率； （3）若成绩在前17％的学生将被评为“中华传统文化知识达人”，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“中华传统文化知识达人”？ 18. 如图，在正方体中，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点. （1）证明：； （2）若正方体的棱长为4，求三棱锥的体积； （3）当时，求二面角的余弦值的绝对值. 19. 已知是双曲线的右焦点，且经过点． （1）求的标准方程． （2）已知斜率为的直线与的右支相交于A，B两点，直线，的一个方向向量分别为，，，且． （ⅰ）求． （ⅱ）判断是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $