2026年陕西省榆林市中考数学自编模拟卷（三）

2026 届陕西省榆林市中考数学自编模拟卷（三）（原卷版）学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.零上温度和零下温度是以0℃为分界点的具有相反意义的量，某地区某一天最高温度为零上15℃，最低温度为零下3℃，则该地区这一天的温差为 (　　) A.-3℃ B.12℃ C.15℃ D.18℃ 2.百节年为首，四季春为先，当乙巳新春款款而至，赶春运、互拜年、共团圆…熟悉的年味儿扑面而来，观影已成为新年俗.根据国家电影局统计，2025年春节大年初一票房为18.05亿元，创造了新的单日票房纪录.18.05亿用科学记数法可表示为 (　　) A.1.805×1010 B.0.1805×1010 C.1.805×109 D.18.05×109 3.如图，AB∥CD，若∠ABO=∠DCO=49°，则∠BOC的度数为 (　　) A.96° B.98° C.100° D.102° 4.已知m，n是正数，且am－n＝3，am＋n＝8，则a2m的值为 (　　) A.24 B.11 C.8 D.5 5.在三角形的三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，其中内角α称为“主智慧角”，内角β称为“次智慧角”.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=72°，D为BC上一点，连接AD，若△ABD是“智慧三角形”，且∠B为“主智慧角”，∠BAD为“次智慧角”，则∠ADC的度数为 (　　) A.36° B.54° C.72° D.90° 6.一次函数y=kx+b(k≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象交于点P(1，2)，则关于x，y的方程组的解为 (　　) A. B. C. D. 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.已知AE= OD.若AB=OB=2，则FG的长为(　　) A.2 B. C.4 D. 8.已知二次函数y=mx2-2mx+n(m≠0)有最小值，点A(x1,y1)是该函数对称轴左侧图象上的点，点B(x2,y2)是对轴称右侧图象上的点，若x1+x2＜2，则下列关于y1与y2大小关系表述正确的是 (　　) A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1≥y2 D.y1≤y2 二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分) 9.不等式 的解集为______. 10.用若干个大小相同的小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有7个小正方形，第②个图案有10个小正方形，第③个图案有15个小正方形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中小正方形的个数为______个. 11.如图，AB为⊙O的切线，切点为C，OA⊥OB，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，已知AC=9，BC=16，则⊙O的半径为______. 12.已知反比例函数 的图象与直线 的图象无交点，则k的值可以是______(填一个即可). 13.如图，在菱形ABCD中， ， ，P是对角线BD上一动点，若 ，则线段PD的长为______. 三、解答题(共13小题，计81分.解答应写出过程) 14.计算：(-3)2+ × -tan 45°. 15.已知x2+3x+1=0，求多项式(2x+1)(2x-1)+2x(3-x)+4的值. 16.解方程： - =1. 17.如图，在∠ABC中，D为BC边上一点.请用尺规作图法，在平面内求作一点P，使得DP∥AB，且△BDP为等腰三角形.(作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法) 18.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，BE平分∠ABC.求证：BC=CD+ED. 19.有不透明的甲、乙两个口袋，在甲口袋中放入1个红球和若干个绿球，乙口袋中放入2个红球和1个绿球，这些球除颜色不同外，其他无任何差别.从甲口袋中摸出一个球，记下颜色后再放回甲口袋.如此大量的反复试验后，小锋通过试验数据得知，摸到绿球的频率稳定在0.75. (1)请估计甲口袋中绿球的个数; (2)若甲口袋中绿球的个数为（1）所求结果，且小锋分别从甲、乙口袋中各摸出1个球，请用列表法或画树状图法，求摸出的两个球颜色不同的概率. 20.青少年体育是体育强国建设的重要基础.为响应国家号召，引导支持体育活动进校园，某校特地举办了羽毛球比赛.为迎接比赛的到来，学校准备购买羽毛球拍20副，以及羽毛球若干筒，已知羽毛球拍每副60元，羽毛球每筒15元，且学校要求羽毛球的购买数量需要超过20筒.经市场调研得知A，B两个商店优惠方案如下表. 羽毛球拍 羽毛球 A商店 每买一副羽毛球拍赠送一筒羽毛球 每筒优惠2元 B商店 打7折 每筒优惠0.5元 经计算后发现,在A商店购买的费用比在B商店多55元，请问学校购买了多少筒羽毛球？ 21.在2025年的央视春晚节目中，科技元素大量呈现，宇树科技的人形机器人在舞台上跳起了秧歌舞，展示了人工智能技术的最新成果.函数拟合作为现代科技领域数据分析的一种常用方法，它是在函数表达式未知的情况下通过试探性地选取函数形式和参数，使函数值与实验数据相符，进而帮助科研人员更好地理解实验数据.一次函数可以用来描述人工智能和机器学习中的模型拟合过程.某AI研发公司，在一次研发过程中，研究了一组模型拟合M与给定参数d(d＞0)之间的变化过程，如下表： d … 2 3 4 5 … M … 6 11 … (1)请根据上述数据，求出模型拟合M与给定参数d之间的函数关系式； (2)经研究发现，当数据模型拟合M= 时，符合设计要求，求此时给定参数d的值. 22.某校学生在学习了仰俯角的知识后，开展了一次测量图书馆高度的实践活动.如图所示，通过测量小荣得到实验楼AB与图书馆CD之间的距离BD为18米，BD的中点E处是一个镶嵌于地面上的落地灯，小荣在实验楼顶A处测得E处落地灯的俯角为α，在A处测得图书馆顶部C处的仰角为β，发现α+β=90°，经查找学校建筑资料得知：实验楼AB的高度为18米，已知AB⊥BD，CD⊥BD，请根据以上相关数据，求出图书馆CD的高度. 23.教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》,提出多项措施改善和保证学生睡眠时间，某中学为了解七年级某班学生每天的平均睡眠时长，在该班级随机抽取了15名学生填写了调查问卷，并进行了数据的收集与整理. 调查问卷 你每天的平均睡眠时长最接近以下哪个选项？ (只选一项，在其后的括号内打“√”) A. 6小时(　　)　　　B. 7小时(　　) C. 8小时(　　)　　　D. 9小时(　　) E. 10小时(　　) 所抽取的15名学生每天的平均睡眠时长统计图 数据收集：这15名学生每天的平均睡眠时长调查问卷结果如下： A，A，B，B，B，C，C，C，D，D，D，D，D，D，E； 数据整理：将这组问卷结果所对应的数据整理并绘制为如图所示的统计图： 根据上述信息，解答下列问题： (1)这15名学生每天的平均睡眠时长的众数为______小时； (2)已知该班级共有45名学生，请你估计该班级中有多少名学生每天的平均睡眠时长不低于9小时； (3)若在收集以上数据的过程中，小宇误将一个问卷结果“B”写成了“D”得到上述有误的数据，小宇认为从中位数角度看，不会影响该班学生每天的平均睡眠时长情况的反映，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由. 24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB延长线上一点，连接AC，∠ACD=∠ABE,连接BO并延长，交CD延长线于点F. (1)求证：AC=AD； (2)若B为AC的中点，CD=5,AD=8,求DF的长. 25.如图①中每个窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形.如果制作一个窗户(如图②)框架的材料总长度为10m，设小正方形的边长为xm，一个窗户的面积为ym2(框架厚度忽略不计). (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据《中小学校教室采光和照明卫生标准》，教室窗地面积比(房间窗洞口总面积与该房间地面面积之比)应不低于1∶5.若某间教室的面积为50m2，则安装4个同样大小的窗户能否满足要求?若满足要求，请求出此时x的值；若不满足，请说明理由. 26.问题提出 (1)如图①，在△ABC中，BC=4，∠ABC的平分线交AC于点D，且∠C=2∠BDC. 若AD=6，则AB的长为______； (2)如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD边上，AF⊥BE，垂足为点G，若△AGB的面积为3，求四边形DEGF的面积； 问题解决 (3)如图③，某市计划在一块空地上修建一个旅游景点，设计过程中规划AC为进入景点的行车道路，△ADC为景点旅游区，△ABC为售票处、停车场及民宿等区域，经实地测量发现AC长度为800m，且AC平分∠BAD，B点在以AC为直径的半圆上，为保证景点修建区域不影响周边居民生活且景点面积尽可能大，要求CD= BC，问是否存在满足要求的四边形，并且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由. 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 届陕西省榆林市中考数学自编模拟卷（三）（解析版）学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.零上温度和零下温度是以0℃为分界点的具有相反意义的量，某地区某一天最高温度为零上15℃，最低温度为零下3℃，则该地区这一天的温差为 (　　) A.-3℃ B.12℃ C.15℃ D.18℃ 1.D　 【解析】零上15℃记为+15℃，零下3℃记为-3℃，故该地区这一天的温差为15-(-3)=18℃. 2.百节年为首，四季春为先，当乙巳新春款款而至，赶春运、互拜年、共团圆…熟悉的年味儿扑面而来，观影已成为新年俗.根据国家电影局统计，2025年春节大年初一票房为18.05亿元，创造了新的单日票房纪录.18.05亿用科学记数法可表示为 (　　) A.1.805×1010 B.0.1805×1010 C.1.805×109 D.18.05×109 2.C　 【解析】18.05亿=1805000000=1.805×109，故选C. 3.如图，AB∥CD，若∠ABO=∠DCO=49°，则∠BOC的度数为 (　　) A.96° B.98° C.100° D.102° 3.B　 【解析】如答案图，过点O作EF∥AB，∵AB∥CD,∴CD∥EF，∴∠BOF=∠ABO=49°，∠COF=∠DCO=49°，∴∠BOC=∠BOF+∠COF=49°+49°=98°. 答案图 4.已知m，n是正数，且am－n＝3，am＋n＝8，则a2m的值为 (　　) A.24 B.11 C.8 D.5 4.A　 【解析】∵m，n是正数，且am-n=3，am+n=8，∴a2m=am-n·am+n=3×8=24. 5.在三角形的三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，其中内角α称为“主智慧角”，内角β称为“次智慧角”.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=72°，D为BC上一点，连接AD，若△ABD是“智慧三角形”，且∠B为“主智慧角”，∠BAD为“次智慧角”，则∠ADC的度数为 (　　) A.36° B.54° C.72° D.90° 5.C　 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=72°，∴∠B=∠C= ×(180°-∠BAC)=54°，∵∠B为“主智慧角”，∠BAD为“次智慧角”，∴∠BAD= ∠B= ×54°=18°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=54°+18°=72°. 6.一次函数y=kx+b(k≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象交于点P(1，2)，则关于x，y的方程组的解为 (　　) A. B. C. D. 6.C　 【解析】∵一次函数y=kx+b(k≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象交于点P(1，2)，y=k(x-1)+b-2的图象是由一次函数y=kx+b的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，y=m(x-1)+n-2的图象是由一次函数y=mx+n的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则将点P(1，2)向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标为(2，0)，∴一次函数y=k(x-1)+b-2与y=m(x-1)+n-2的图象交于点(2，0)，∴关于x，y的方程组的解为 . 7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.已知AE= OD.若AB=OB=2，则FG的长为(　　) A.2 B. C.4 D. 7.B　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴OE=OG，OF=OH，AE= OA，∴四边形EFGH是平行四边形.∵AE= OD，∴OA=OD，OE=OH，∴EG=FH，∴四边形EFGH是矩形，∴∠EFG=90°，EG=2OE，∴EG=OA=OD=OB=2，∵E，F分别是OA，OB的中点，∴EF= AB=1，∴FG= = = . 8.已知二次函数y=mx2-2mx+n(m≠0)有最小值，点A(x1,y1)是该函数对称轴左侧图象上的点，点B(x2,y2)是对轴称右侧图象上的点，若x1+x2＜2，则下列关于y1与y2大小关系表述正确的是 (　　) A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1≥y2 D.y1≤y2 8.A　 【解析】∵二次函数y=mx2-2mx+n(m≠0)有最小值，∴二次函数图象开口向上，由题意知二次函数图象的对称轴为直线x=- =1，设C(x0,y1)与A(x1,y1)关于直线x=1对称，则有 =1，则有x1=2-x0，又∵x1+x2＜2，∴2-x0+x2＜2，解得x2＜x0，∵二次函数图象开口向上，且C(x0,y1)，B(x2,y2)均在对称轴右侧,故有y1＞y2. 二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分) 9.不等式 的解集为______. 9. 10.用若干个大小相同的小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有7个小正方形，第②个图案有10个小正方形，第③个图案有15个小正方形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中小正方形的个数为______个. 10.31　 【解析】由题图可知第①个图案中小正方形的个数为 ，第②个图案中小正方形的个数为 ，第③个图案中小正方形的个数为 ，…，∴第个图案中小正方形的个数为 ，∴第⑤个图案中小正方形的个数为 . 11.如图，AB为⊙O的切线，切点为C，OA⊥OB，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，已知AC=9，BC=16，则⊙O的半径为______. 11.12　 【解析】如答案图，连接OC，则OC⊥AB.∵OA⊥OB，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ = ，∴ ，∴OC=12(负值已舍去)，∴⊙O的半径为12. 答案图 12.已知反比例函数 的图象与直线 的图象无交点，则k的值可以是______(填一个即可). 12.-2(答案不唯一)　 【解析】∵ ，∴ ，∴ 的图象经过第一、三象限，又∵反比例函数 的图象与直线 的图象无交点，∴ 的图象必位于第二、四象限，∴ ，解得 ，∴k取小于-1的值即可. 13.如图，在菱形ABCD中， ， ，P是对角线BD上一动点，若 ，则线段PD的长为______. 13.24 【解析】如答案图，过点P作PG⊥BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，AH交BD于点P1，连接AP,∵四边形ABCD为菱形，且为轴对称图形，∴AD∥BC,对角线BD是其中一条对称轴，∴ ,AP=PC，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，在Rt△BPG中， ，∴ (当A，P，G三点共线时，取最小值)，在Rt△ABH中， ，∴当 时,点P与点P1重合，∵四边形ABCD是菱形，∴ ， ,此时 . 答案图 三、解答题(共13小题，计81分.解答应写出过程) 14.计算：(-3)2+ × -tan 45°. 14.解：原式=9+3 -1 =8+3 . 15.已知x2+3x+1=0，求多项式(2x+1)(2x-1)+2x(3-x)+4的值. 15.解：原式=4x2-1+6x-2x2+4 =2x2+6x+3 =2(x2+3x)+3， ∵x2+3x+1=0， ∴x2+3x=-1， ∴原式=2×(-1)+3=1. 16.解方程： - =1. 16.解：去分母，得x(x-5)+x+5=x2-25， 去括号，得x2-5x+x+5=x2-25， 移项、合并同类项,得4x=30， 系数化为1，得x= ， 经检验，x= 是原分式方程的解. 17.如图，在∠ABC中，D为BC边上一点.请用尺规作图法，在平面内求作一点P，使得DP∥AB，且△BDP为等腰三角形.(作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法) 17.解：如答案图①，点P即为所求作.(答案不唯一) 答案图① 【一题多解】如答案图②，点P即为所求作.  答案图② 18.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，BE平分∠ABC.求证：BC=CD+ED. 18.证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD, ∴∠AEB=∠EBC.  又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∴BC=AD=AE+ED=AB+ED=CD+ED， ∴BC=CD+ED. 19.有不透明的甲、乙两个口袋，在甲口袋中放入1个红球和若干个绿球，乙口袋中放入2个红球和1个绿球，这些球除颜色不同外，其他无任何差别.从甲口袋中摸出一个球，记下颜色后再放回甲口袋.如此大量的反复试验后，小锋通过试验数据得知，摸到绿球的频率稳定在0.75. (1)请估计甲口袋中绿球的个数; (2)若甲口袋中绿球的个数为（1）所求结果，且小锋分别从甲、乙口袋中各摸出1个球，请用列表法或画树状图法，求摸出的两个球颜色不同的概率. 19.解：(1)设甲口袋中绿球的个数为x个， 依题意，得 =0.75, 解得x=3， 经检验，x=3是原分式方程的解且符合题意， ∴估计甲口袋中绿球的个数为3个；  (2)用A表示红球，B表示绿球，根据题意列表如下： 乙口袋 甲口袋 A B1 B2 B3 A1 （A，A1） （B1，A1） （B2，A1） （B3，A1） A2 （A，A2） （B1，A2） （B2，A2） （B3，A2） B （A，B） （B1，B） （B2，B） （B3，B） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果有7种， ∴P(摸出的两个球颜色不同)=   .  20.青少年体育是体育强国建设的重要基础.为响应国家号召，引导支持体育活动进校园，某校特地举办了羽毛球比赛.为迎接比赛的到来，学校准备购买羽毛球拍20副，以及羽毛球若干筒，已知羽毛球拍每副60元，羽毛球每筒15元，且学校要求羽毛球的购买数量需要超过20筒.经市场调研得知A，B两个商店优惠方案如下表. 羽毛球拍 羽毛球 A商店 每买一副羽毛球拍赠送一筒羽毛球 每筒优惠2元 B商店 打7折 每筒优惠0.5元 经计算后发现,在A商店购买的费用比在B商店多55元，请问学校购买了多少筒羽毛球？ 20.解：设学校购买了x筒羽毛球， 依题意，得60×20+(15-2)(x-20)=60×20×0.7+(15-0.5)x+55, 化简，得1200+13x-260=840+14.5x+55， 解得x=30. 答：学校购买了30筒羽毛球. 21.在2025年的央视春晚节目中，科技元素大量呈现，宇树科技的人形机器人在舞台上跳起了秧歌舞，展示了人工智能技术的最新成果.函数拟合作为现代科技领域数据分析的一种常用方法，它是在函数表达式未知的情况下通过试探性地选取函数形式和参数，使函数值与实验数据相符，进而帮助科研人员更好地理解实验数据.一次函数可以用来描述人工智能和机器学习中的模型拟合过程.某AI研发公司，在一次研发过程中，研究了一组模型拟合M与给定参数d(d＞0)之间的变化过程，如下表： d … 2 3 4 5 … M … 6 11 … (1)请根据上述数据，求出模型拟合M与给定参数d之间的函数关系式； (2)经研究发现，当数据模型拟合M= 时，符合设计要求，求此时给定参数d的值. 21.解：(1)设模型拟合M与给定参数d之间的函数关系式为M=kd+b(k≠0), 将(2，6)，(4，11)分别代入M=kd+b(k≠0)中,得 , 解得 ， ∴模型拟合M与给定参数d之间的函数关系式为M= d+1（d＞0）； (2)由（1）知，M= d+1,令M= ，则有 = d+1，解得d= ， ∴此时给定参数d的值为 . 22.某校学生在学习了仰俯角的知识后，开展了一次测量图书馆高度的实践活动.如图所示，通过测量小荣得到实验楼AB与图书馆CD之间的距离BD为18米，BD的中点E处是一个镶嵌于地面上的落地灯，小荣在实验楼顶A处测得E处落地灯的俯角为α，在A处测得图书馆顶部C处的仰角为β，发现α+β=90°，经查找学校建筑资料得知：实验楼AB的高度为18米，已知AB⊥BD，CD⊥BD，请根据以上相关数据，求出图书馆CD的高度. 22.解：如答案图，过点A作AH⊥CD于点H， 由题意知α+β=90°，∠BAE+α=90°， ∴∠BAE=β，即∠BAE=∠HAC， ∵E是BD的中点，BD=18， ∴BE= BD= ×18=9， ∵AB⊥BD，CD⊥BD，AH⊥CD， ∴四边形ABDH为矩形， ∴HD=AB=18, ∵BD=AB=18, ∴四边形ABDH为正方形， ∴AB=AH， 在△ABE和△AHC中， ， ∴△ABE≌△AHC(ASA)， ∴CH=BE=9， ∴CD=CH+HD=9+18=27. 答：图书馆CD的高度为27米. 答案图 23.教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》,提出多项措施改善和保证学生睡眠时间，某中学为了解七年级某班学生每天的平均睡眠时长，在该班级随机抽取了15名学生填写了调查问卷，并进行了数据的收集与整理. 调查问卷 你每天的平均睡眠时长最接近以下哪个选项？ (只选一项，在其后的括号内打“√”) A. 6小时(　　)　　　B. 7小时(　　) C. 8小时(　　)　　　D. 9小时(　　) E. 10小时(　　) 所抽取的15名学生每天的平均睡眠时长统计图 数据收集：这15名学生每天的平均睡眠时长调查问卷结果如下： A，A，B，B，B，C，C，C，D，D，D，D，D，D，E； 数据整理：将这组问卷结果所对应的数据整理并绘制为如图所示的统计图： 根据上述信息，解答下列问题： (1)这15名学生每天的平均睡眠时长的众数为______小时； (2)已知该班级共有45名学生，请你估计该班级中有多少名学生每天的平均睡眠时长不低于9小时； (3)若在收集以上数据的过程中，小宇误将一个问卷结果“B”写成了“D”得到上述有误的数据，小宇认为从中位数角度看，不会影响该班学生每天的平均睡眠时长情况的反映，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由. 23.解：(1)9； (2)45× =21(名). 答：估计该班级中每天的平均睡眠时长不低于9小时的学生有21名； (3)小宇的结论正确. 理由：由数据收集可知，15名学生每天的平均睡眠时长的中位数为按从小到大顺序排列后的最中间数是8，而原数据中误将一个问卷结果“B”写成了“D”，其中位数不变，故从中位数的角度看，不会影响该班学生每天的平均睡眠时长情况的反映.(理由表达合理即可)  24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB延长线上一点，连接AC，∠ACD=∠ABE,连接BO并延长，交CD延长线于点F. (1)求证：AC=AD； (2)若B为AC的中点，CD=5,AD=8,求DF的长. 24.(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC=180°， 又∵∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵∠ACD=∠ABE， ∴∠ACD=∠ADC， ∴AC=AD； (2)解：如答案图，连接OA，OC，AF， ∵B为AC的中点， ∴BC=BA，∴BC=BA， 又∵OA=OC， ∴BF垂直平分AC， ∴FA=FC，∴∠ACF=∠CAF， 由(1)知∠ACD=∠ADC， ∴△CAD∽△AFC， ∵AC=AD=8，CD=5, ∴ = ，即 = ， 解得CF= ， ∴DF=CF-CD= -5= ， ∴DF的长为 . 答案图 25.如图①中每个窗户的上部分是由4个全等小正方形组成的大正方形，下部分是矩形.如果制作一个窗户(如图②)框架的材料总长度为10m，设小正方形的边长为xm，一个窗户的面积为ym2(框架厚度忽略不计). (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据《中小学校教室采光和照明卫生标准》，教室窗地面积比(房间窗洞口总面积与该房间地面面积之比)应不低于1∶5.若某间教室的面积为50m2，则安装4个同样大小的窗户能否满足要求?若满足要求，请求出此时x的值；若不满足，请说明理由. 25.解：(1)由题意知，下部分矩形的长= =5-7x， 由 ，得0＜x＜ . ∴y关于x的函数表达式为y=(5-7x+2x)·2x=-10x2+10x(0＜x＜ )； (2)满足要求. ∵教室的面积为50m2， ∴窗洞口的面积≥50× =10（m2）， ∴4个窗洞口的总面积至少应为10m2， 设4个窗洞口总面积为S， 由(1)可知4个窗户的总面积S=4y=-40x2+40x=-40(x- )2+10， ∵-40＜0，0＜x＜ ， ∴当x= 时，4个窗户的总面积最大，为10m2，符合要求. 答：安装4个同样大小的窗户能满足要求，此时x的值为 米. 26.问题提出 (1)如图①，在△ABC中，BC=4，∠ABC的平分线交AC于点D，且∠C=2∠BDC. 若AD=6，则AB的长为______； (2)如图②，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD边上，AF⊥BE，垂足为点G，若△AGB的面积为3，求四边形DEGF的面积； 问题解决 (3)如图③，某市计划在一块空地上修建一个旅游景点，设计过程中规划AC为进入景点的行车道路，△ADC为景点旅游区，△ABC为售票处、停车场及民宿等区域，经实地测量发现AC长度为800m，且AC平分∠BAD，B点在以AC为直径的半圆上，为保证景点修建区域不影响周边居民生活且景点面积尽可能大，要求CD= BC，问是否存在满足要求的四边形，并且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由. 26.解：(1)10； (2)∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=∠D=90°，AB=DA. ∵AF⊥BE， ∴∠AGE=90°， ∴∠AEB+∠DAF=90°. ∵∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠DAF， ∴△ABE≌△DAF(ASA)， ∴S△ABE=S△DAF， ∴S△AGB+S△AEG=S四边形DEGF+S△AEG， ∴S四边形DEGF=S△AGB=3； (3)存在，如答案图，过点C作CE⊥AD于点E， ∵点B在以AC为直径的半圆上， ∴∠ABC=90°， ∴∠CEA=∠CBA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAD=∠CAB, 又∵AC=AC，∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴BC=CE，S△ABC=S△AEC， ∵CD= BC，∠CED=90°， ∴CD= CE, ∴△CED为等腰直角三角形， ∴∠D=45°， 取DE中点F，连接CF， ∴EF=DF，∴S△DFC=S△EFC， ∴S△ACF= S四边形ABCD， 则求四边形ABCD面积的最大值只需求△ACF面积的最大值即可. ∵△CED为等腰直角三角形，F为DE的中点， ∴设EF=x，则CE=2x， ∴tan∠EFC=2， 作△ACF的外接圆⊙O，连接OA，OF，OC，过点O作OG⊥AC于点G，过点F作FH⊥AC于点H， ∴∠AOC=2∠AFC, ∵AO=CO,OG⊥AC, ∴∠AOG=∠COG= ∠AOC, ∴∠AOG=∠AFC， ∴tan∠AOG=2， ∵AC=800，OG⊥AC， ∴AG=400， ∴OG= =200， ∴在Rt△AGO中，由勾股定理，得OA= = =200 ， ∴OF=200 ， ∴S△ACF= AC·FH= ×800·FH=400FH， ∴求△ACF面积的最大值即求FH的最大值， ∵FH≤OG+OF=200+200 ， ∴当F，O，G三点共线时，FH取得最大值，最大值为200+200 ， 此时△ACF面积取得最大值为400×(200+200 )=80 000+80000 ， ∵S四边形ABCD=2S△ACF， ∴四边形ABCD面积的最大值为（160000+160000 ）m2. 答案图 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $