2026年陕西省榆林市中考数学自编模拟卷（二）

2026 届陕西省榆林市中考数学自编模拟卷（二）（原卷版）学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.计算5+(-9)的结果是 (　　) A.-3 B.3 C.-4 D.4 2.如图，将Rt△ABC绕直角边AB所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是 (　　) 3.如图，直线AB∥CD，若∠1=50°，则∠D的度数为 (　　) A.150° B.130° C.110° D.100° 4.不等式3x＞2(x+3)的解集是 (　　) A.x＜6 B.x＞-6 C.x＜-6 D.x＞6 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，对角线AC平分∠DAB.若∠DAB=30°，BC=5，则CD的长为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 6.若以二元一次方程x+3y-m=0的解为坐标的点(x，y)都在直线y=- x+2m-5上，则常数m的值为 (　　) A.- B.3 C.-5 D. 7.如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠AED=∠B，若DC=3，BE=1，则△AED的面积为 (　　) A.16 B.16 C.8 D.8 8.已知抛物线y1+y2=x2+16x+13，且当x=a(a＞0)时，y1取到最大值5，且y2=25，y2的最小值为-2，下列说法正确的是 (　　) A.a=2 B.抛物线y1的开口向下 C.当x＞1时，y1随x的增大而增大 D.抛物线y2的对称轴为直线x=-1 二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分) 9.比较大小：4______ (填“ ”“ ”或“ ”). 10.如图，BC为 的直径，A，D为 上的两点，且 ，连接AD，CD，且AD与BC相交于点E，若 ，则 的度数为______. 11.如图，小明将一块含 角的直角三角板ABC紧靠着直尺从左向右平移，其中顶点C从刻度10平移到刻度20记为 ，那么点A与 之间的距离为______. 12.已知三点 ， ， 均在反比例函数 ( ，k为常数)的图象上，则 的大小关系是______(用“ ”连接). 13.如图，在菱形ABCD中， ，E是CD边上一点，以CE为边向外作等边 ，连接AF.G是线段AF的中点，分别连接DG，GE，若 ，则EG的长为______. 三、解答题(共13小题，计81分.解答应写出过程) 14.计算：|1- |-50+ 2. 15.先化简，再求值：(x-y)2-y(y-2x-1)，其中x=-2，y=3. 16.解分式方程： + =1. 17.如图，在△ABC中，AC＞AB，∠ACB=60°，请用尺规作图法在△ABC内部求作一点P，使得∠BPC=120°.(保留作图痕迹，不写作法) 18.如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E，F均为BD上的点，且BF=DE，连接AE，CF，求证：AE=CF. 19.陕西历史博物馆是中国第一座大型现代化国家级博物馆，被誉为“古都明珠，华夏宝库”.为了提高学生对历史课程的学习兴趣，周老师带领班级学生来到陕西历史博物馆进行参观，并打算从“唐三彩骆驼载乐俑”“秦立射俑”“葡萄花鸟纹银香囊”“西周多友鼎”中任意挑选2种展品给学生进行深刻讲解. (1)周老师挑选到“葡萄花鸟纹银香囊”展品进行讲解属于______事件；(填“必然”“随机”或“不可能”) (2)请用列表或画树状图的方法，求周老师讲解的两个展品恰好是“唐三彩骆驼载乐俑”和“西周多友鼎”的概率. 20.在智能城市的建设中，为了提升城市的夜间照明和智能化管理水平，计划在某条新建的道路一侧安装智能路灯.如果甲队单独完成安装工作需要8h，乙队单独完成安装工作需要4h，在甲队单独安装路灯一段时间后，由于公司安排了新的工作任务需要离开，所以剩下的安装任务由乙队接着单独完成.已知甲乙两队在完成这次安装智能路灯工作时一共用了6h，求甲队参与安装路灯所用的时间. 21.陕西省西安市未央区与灞桥区之间横跨灞河的一座重要桥梁——灞河元朔大桥(如图①)，它是第十四届全运会的基础建设工程之一，建成时是中国国内最大跨空间索面自锚式悬索桥、世界最大跨空间主缆双塔自锚式悬索桥，也是世界最宽整体桥面空间索面自锚式悬索桥.如图②，星星同学打算利用所学知识测量该大桥桥塔在桥面以上的高度AB，他先在桥面上取一个观测点C，在C处测得桥塔顶端A的仰角为37°，接着他向桥塔方向前行32.8米到达观测点E处，再次测得桥塔顶端A的仰角为45°，已知测角仪(CD，EF)的高度为1.6米，且桥塔AB⊥桥面BD，测角仪(CD，EF)⊥桥面BD，点B，D，F在一条直线上.求桥塔在桥面以上的高度AB.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73) 22.随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择.为了满足新能源汽车的充电需求，某城市计划近期购进一批充电桩，已知快充电桩2000元/台，慢充电桩1000元/台，该城市准备购进这两种充电桩共90台. (1)写出购买所需总费用W(元)与快充电桩数x(台)之间的函数表达式； (2)若快充电桩的数量不少于慢充电桩数量的 ，请设计最省钱的购买方案，并求出最少费用. 23.随着教育改革的不断深入，新课标中强调了学生在阅读过程中的主体地位，鼓励学生自主选择阅读材料、自主安排阅读时间，并在阅读中积极思考、主动探究.同时，学校和家庭也应为学生提供良好的阅读环境和条件，共同促进学生课外阅读习惯的养成和阅读能力的提升.某校为了解本校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图. 等级 每天课外阅读时间x/h 频率 A 0＜x≤0.5 m B 0.5＜x≤1 0.4 C 1＜x≤1.5 0.3 D 1.5＜x≤2 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m=______，n=______；请补全频数分布直方图； (2)该样本数据的中位数落在______等级； (3)若该校有学生4800名，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数. 24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E. (1)求证：BE=DE； (2)连接OE，若⊙O的半径为5，AD=6，求OE的长. 25.某兴趣小组为了探究小球从固定的光滑斜坡顶端从静止开始下滑后离开桌面后的运动情况，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务. 知识 背景 如图①，一小球从固定的光滑斜坡顶端从静止开始下滑后离开桌面(不考虑空气阻力)，设小球离开桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系(小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标(x，y)，已知x，y与时间t(s)的关系为 . 图① 方案 设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为100 cm，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： t(s) 1 2 3 x(cm) 10 20 30 y(cm) -5 -20 -45 解决问题 任务 (1)求小球在离开桌面后，运动轨迹所形成的抛物线的表达式； (2)当小球在竖直方向下落80cm时，则它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱(纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离Lcm的取值范围. (1)求小球在离开桌面后，运动轨迹所形成的抛物线的表达式； (2)当小球在竖直方向下落80cm时，则它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱(纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离Lcm的取值范围. 26.问题探究 (1)如图①，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°，AD⊥BC于点D，且BC=3CD=9，求AD的长； 问题解决 (2)如图②，五边形ABCDE是一个规划中的果园，五条边为果园的围墙，其中围墙满足AB=AE=6 km，BC+DE= AB，规划墙体之间的夹角∠BAE=90°，∠ABC=∠AED=105°，BD和CE是果园内的两条小路，这两条小路交于点G并将整个果园分成四部分，现计划在四边形ABGE内种植葡萄，在其他区域种植苹果，因葡萄的经济价值较高，故要求四边形ABGE的面积尽可能大，请问这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由. 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 届陕西省榆林市中考数学自编模拟卷（二）（解析版）学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.计算5+(-9)的结果是 (　　) A.-3 B.3 C.-4 D.4 1.C 2.如图，将Rt△ABC绕直角边AB所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是 (　　) 2.B 3.如图，直线AB∥CD，若∠1=50°，则∠D的度数为 (　　) A.150° B.130° C.110° D.100° 3.B　 【解析】∵∠1=50°，∴∠AED=∠1=50°，∵AB∥CD，∴∠D=180°-∠AED=130°. 4.不等式3x＞2(x+3)的解集是 (　　) A.x＜6 B.x＞-6 C.x＜-6 D.x＞6 4.D　 【解析】去括号，得3x＞2x+6，移项，得3x-2x＞6，解得x＞6. 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，对角线AC平分∠DAB.若∠DAB=30°，BC=5，则CD的长为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 5.D　 【解析】如答案图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB∥CD,BC⊥AB，∴DE=BC=5，∵∠DAB=30°，∴AD=2DE=10，∵AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴CD=AD=10. 答案图 6.若以二元一次方程x+3y-m=0的解为坐标的点(x，y)都在直线y=- x+2m-5上，则常数m的值为 (　　) A.- B.3 C.-5 D. 6.B　 【解析】∵y=- x+2m-5，∴x+3y=6m-15，∵以二元一次方程x+3y-m=0的解为坐标的点(x，y)都在直线y=- x+2m-5上，∴6m-15=m，解得m=3，故选B. 7.如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，∠AED=∠B，若DC=3，BE=1，则△AED的面积为 (　　) A.16 B.16 C.8 D.8 7.D　 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3，BC=AD，BC∥AD，∵AE⊥BC，∴∠BEA=∠EAD=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= = =2 ，又∵∠AED=∠B，∴△ABE∽△DEA，∴ = ，即 = ，∴AD=8，∴S△AED= AD·AE= ×8×2 =8 . 8.已知抛物线y1+y2=x2+16x+13，且当x=a(a＞0)时，y1取到最大值5，且y2=25，y2的最小值为-2，下列说法正确的是 (　　) A.a=2 B.抛物线y1的开口向下 C.当x＞1时，y1随x的增大而增大 D.抛物线y2的对称轴为直线x=-1 8.B　 【解析】设y1=m(x-a)2+5(m≠0)，则y2=x2+16x+13-m(x-a)2-5，当x=a时，y2=25，即a2+16a+8=25，解得a1=1，a2=-17(舍去)，故A选项错误；y2=x2+16x+13-m(x-1)2-5=(1-m)x2+(16+2m)x+(8-m)，∵y2的最小值为-2，∴ =-2，解得m=-2，检验：当m=-2时，4(1-m)≠0，∵a=1，∴y1=-2x2+4x+3，y2=3x2+12x+10，∴抛物线y1的开口向下，故B选项正确；抛物线y1的对称轴为直线x=- =1，∴当x＞1时，y1随x的增大而减小，故C选项错误；抛物线y2的对称轴为直线x=- =-2，故D选项错误. 二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分) 9.比较大小：4______ (填“ ”“ ”或“ ”). 9. 【解析】∵4= ，3 = ， ＜ ，∴4＜3 . 10.如图，BC为 的直径，A，D为 上的两点，且 ，连接AD，CD，且AD与BC相交于点E，若 ，则 的度数为______. 10. 【解析】∵∠AOC=82°，∴∠D= ∠AOC=41°，∵∠AEO=57°，∴∠C=∠AEO-∠D=57°-41°=16°. 11.如图，小明将一块含 角的直角三角板ABC紧靠着直尺从左向右平移，其中顶点C从刻度10平移到刻度20记为 ，那么点A与 之间的距离为______. 11.10　 【解析】由平移的性质可得，AA′=CC′=20-10=10. 12.已知三点 ， ， 均在反比例函数 ( ，k为常数)的图象上，则 的大小关系是______(用“ ”连接). 12. 【解析】∵|k|＞0，∴-|k|＜0，∴反比例函数y=- (k≠0，k为常数)的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2. 13.如图，在菱形ABCD中， ，E是CD边上一点，以CE为边向外作等边 ，连接AF.G是线段AF的中点，分别连接DG，GE，若 ，则EG的长为______. 13. 【解析】如答案图①，延长EG交AD于点H，∵△CEF是等边三角形，∴∠CEF=60°，∴∠DEF=180°-60°=120°，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠ADC=120°，∴∠DEF=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠HAG=∠EFG，∠AHG=∠FEG，又∵G是线段AF的中点，∴AG=FG，∴△AGH≌△FGE，∴HG=GE，AH=EF，∴G是EH的中点，AH=CE，∵DH=AD-AH，DE=CD-CE，即DH=DE，∴△DEH是等腰三角形，∴DG⊥EH，∠DEH= =30°，在Rt△DGE中，DG=3，∴EG= = =3 . 答案图① 【一题多解】如答案图②，连接AC，CG，分别延长AD，CF相交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴AD=CD，∠ACD=30°，∵△CEF是等边三角形，∴CE=EF，∠ECF=∠CEF=60°，∴∠ACF=90°，∠DEF=120°，∵在Rt△ACF中，G是线段AF的中点，∴CG=GF，又∵GE=GE，CE=EF，∴△CEG≌△FEG(SSS)，∴∠CEG=∠FEG=150°，∴∠GED=∠FEG-∠DEF=30°，∵∠DCH=∠HDC=60°，∴△DCH是等边三角形，∴CD=DH，∵AD=CD，∴AD=DH，∴D是线段AH的中点，∵G是线段AF的中点，∴DG是△AFH的中位线，∴DG∥CH，∴∠GDE=∠DCH=60°，∵∠GED=30°，∴∠DGE=90°，∵在Rt△DGE中，DG=3，∠GED=30°，∴EG= = =3 . 答案图② 三、解答题(共13小题，计81分.解答应写出过程) 14.计算：|1- |-50+ 2. 14.解：原式= -1-1+2 = . 15.先化简，再求值：(x-y)2-y(y-2x-1)，其中x=-2，y=3. 15.解：原式=x2-2xy+y2-y2+2xy+y =x2+y， 当x=-2，y=3时，原式=(-2)2+3=4+3=7. 16.解分式方程： + =1. 16.解：方程两边都乘以(x+3)(x-3)，得 x(x+3)+x-3=x2-9, 4x=-6, x=- ， 经检验，x=- 是原分式方程的解. ∴该分式方程的解为x=- . 17.如图，在△ABC中，AC＞AB，∠ACB=60°，请用尺规作图法在△ABC内部求作一点P，使得∠BPC=120°.(保留作图痕迹，不写作法) 17.解：如答案图①，点P即为所求.（作法不唯一） 答案图① 【作法提示】作∠ACB的平分线CP；作BC的垂直平分线与射线CP交于点P，即点P为所求. 【一题多解】如答案图②，点P即为所求.  答案图② 【作法提示】作∠ACB的平分线CP；作∠CBP=∠PCB=30°，∠CBP的边BP与射线CP交于点P，即点P为所求. 18.如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E，F均为BD上的点，且BF=DE，连接AE，CF，求证：AE=CF. 18.证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADB=∠CBD， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF(SAS)， ∴AE=CF. 19.陕西历史博物馆是中国第一座大型现代化国家级博物馆，被誉为“古都明珠，华夏宝库”.为了提高学生对历史课程的学习兴趣，周老师带领班级学生来到陕西历史博物馆进行参观，并打算从“唐三彩骆驼载乐俑”“秦立射俑”“葡萄花鸟纹银香囊”“西周多友鼎”中任意挑选2种展品给学生进行深刻讲解. (1)周老师挑选到“葡萄花鸟纹银香囊”展品进行讲解属于______事件；(填“必然”“随机”或“不可能”) (2)请用列表或画树状图的方法，求周老师讲解的两个展品恰好是“唐三彩骆驼载乐俑”和“西周多友鼎”的概率. 19.解：(1)随机； (2)设①，②，③，④分别代表“唐三彩骆驼载乐俑”“秦立射俑”“葡萄花鸟纹银香囊”“西周多友鼎”，列表如下： ① ② ③ ④ ① — (①，②) (①，③) (①，④) ② (②，①) — (②，③) (②，④) ③ (③，①) (③，②) — (③，④) ④ (④，①) (④，②) (④，③) — 由表可知共有12种等可能的结果.其中恰好是①和④的结果有2个， ∴P(讲解的两个展品恰好是“唐三彩骆驼载乐俑”和“西周多友鼎”)= = . 20.在智能城市的建设中，为了提升城市的夜间照明和智能化管理水平，计划在某条新建的道路一侧安装智能路灯.如果甲队单独完成安装工作需要8h，乙队单独完成安装工作需要4h，在甲队单独安装路灯一段时间后，由于公司安排了新的工作任务需要离开，所以剩下的安装任务由乙队接着单独完成.已知甲乙两队在完成这次安装智能路灯工作时一共用了6h，求甲队参与安装路灯所用的时间. 20.解：设甲队参与安装路灯所用的时间为xh. 根据题意，得 + =1， 解得x=4. 答：甲队参与安装路灯所用的时间为4h. 21.陕西省西安市未央区与灞桥区之间横跨灞河的一座重要桥梁——灞河元朔大桥(如图①)，它是第十四届全运会的基础建设工程之一，建成时是中国国内最大跨空间索面自锚式悬索桥、世界最大跨空间主缆双塔自锚式悬索桥，也是世界最宽整体桥面空间索面自锚式悬索桥.如图②，星星同学打算利用所学知识测量该大桥桥塔在桥面以上的高度AB，他先在桥面上取一个观测点C，在C处测得桥塔顶端A的仰角为37°，接着他向桥塔方向前行32.8米到达观测点E处，再次测得桥塔顶端A的仰角为45°，已知测角仪(CD，EF)的高度为1.6米，且桥塔AB⊥桥面BD，测角仪(CD，EF)⊥桥面BD，点B，D，F在一条直线上.求桥塔在桥面以上的高度AB.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73) 21.解：如答案图，延长CE交AB于点G， 易得四边形BFEG，四边形BDCG均为矩形， ∴BG=EF=CD=1.6米， 设AG=x米， 在Rt△ACG中，∠ACG=37°， ∴CG= ≈ x， 在Rt△AEG中，∠AEG=45°， ∴EG= =x， ∴CE=CG-EG，即 x-x=32.8， 解得x=98.4， ∴AB=AG+BG=98.4+1.6=100(米)， 答：桥塔在桥面以上的高度AB约为100米. 答案图 22.随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择.为了满足新能源汽车的充电需求，某城市计划近期购进一批充电桩，已知快充电桩2000元/台，慢充电桩1000元/台，该城市准备购进这两种充电桩共90台. (1)写出购买所需总费用W(元)与快充电桩数x(台)之间的函数表达式； (2)若快充电桩的数量不少于慢充电桩数量的 ，请设计最省钱的购买方案，并求出最少费用. 22.解：(1)若快充电桩数为x台，则慢充电桩数为(90-x)台， ∴W=2000x+1000(90-x)=1000x+90000， ∴购买所需总费用W(元)与快充电桩数x(台)之间的函数表达式为W=1000x+90000 (2)根据题意，得x≥ (90-x)，解得x≥18， 又∵W=1000x+90000，1000＞0, ∴W随着x的增大而增大， ∴当x=18时，总费用最少，最少费用为1000×18+90000=108000(元). 答：最省钱的购买方案为：购买快充电桩18台，慢充电桩72台，其最少费用为108 000元. 23.随着教育改革的不断深入，新课标中强调了学生在阅读过程中的主体地位，鼓励学生自主选择阅读材料、自主安排阅读时间，并在阅读中积极思考、主动探究.同时，学校和家庭也应为学生提供良好的阅读环境和条件，共同促进学生课外阅读习惯的养成和阅读能力的提升.某校为了解本校学生每天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图. 等级 每天课外阅读时间x/h 频率 A 0＜x≤0.5 m B 0.5＜x≤1 0.4 C 1＜x≤1.5 0.3 D 1.5＜x≤2 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m=______，n=______；请补全频数分布直方图； (2)该样本数据的中位数落在______等级； (3)若该校有学生4800名，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数. 23.解：(1)0.2，0.1；补全频数分布直方图如答案图; 某校部分学生每天课外阅 读时间频数分布直方图 答案图 【解法提示】由频数分布表及频数分布直方图得被问卷调查学生的总人数为 ，∴ ， ；每天课外阅读时间在 之间的频数为 ，每天课外阅读时间在 之间的频数为 . (2)B； 【解法提示】∵被问卷调查学生的总人数为 ,∴样本数据共有120个，∴中位数为这组数据按从大到小（或从小到大）顺序排列的第60和第61个数据的平均数，∵ ，∴这120个样本数据的中位数落在B等级. (3)4800×(0.3+0.1)=1920(人). 答：若该校有学生4800名，估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数是1920人. 24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E. (1)求证：BE=DE； (2)连接OE，若⊙O的半径为5，AD=6，求OE的长. 24.(1)证明：如答案图，连接BD，OD. ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE=90°，即∠ODB+∠BDE=90°， 又∵∠ABC=90°， ∴∠OBD+∠DBE=90°， ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠BDE=∠DBE， ∴BE=DE； 答案图 (2)解：如答案图,∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=90°， ∠BAC=∠DAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴ = ， ∵⊙O的半径为5，AD=6， ∴AB=10， ∴AC= = = ， 由（1）得，∠BDE=∠DBE， ∵∠CDE+∠BDE=90°，∠C+∠DBE=90°， ∴∠CDE=∠C， ∴DE=CE， ∴BE=CE， 又∵OA=OB， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE= AC= . 25.某兴趣小组为了探究小球从固定的光滑斜坡顶端从静止开始下滑后离开桌面后的运动情况，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务. 知识 背景 如图①，一小球从固定的光滑斜坡顶端从静止开始下滑后离开桌面(不考虑空气阻力)，设小球离开桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系(小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标(x，y)，已知x，y与时间t(s)的关系为 . 图① 方案 设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为100 cm，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： t(s) 1 2 3 x(cm) 10 20 30 y(cm) -5 -20 -45 解决问题 任务 (1)求小球在离开桌面后，运动轨迹所形成的抛物线的表达式； (2)当小球在竖直方向下落80cm时，则它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱(纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离Lcm的取值范围. (1)求小球在离开桌面后，运动轨迹所形成的抛物线的表达式； (2)当小球在竖直方向下落80cm时，则它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱(纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离Lcm的取值范围. 25.解：(1)∵x=vt，将(1，10)代入x=vt中， 解得v=10， ∵y=- gt2， 将(1，-5)代入y=- gt2中，解得g=10， ∴v=10，g=10； ∴x=10t，y=-5t2， ∴小球在离开桌面后，运动轨迹所形成的抛物线的表达式为y=- ； (2)当小球在竖直方向下落80cm时，即y=-80， 将y=-80代入y=- 中，解得x=40(负值已舍去)， ∴小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向前进了40cm； (3)∵桌面的高度为100cm，正方体纸箱的高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-80时进入纸箱， ∴将y=-80代入y=- ，解得x=40(负值已舍去)， ∵正方体纸箱的高度为20cm， ∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为40-20=20(cm)， ∴纸箱左侧到桌子的水平距离L的取值范围为20＜L＜40. 26.问题探究 (1)如图①，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°，AD⊥BC于点D，且BC=3CD=9，求AD的长； 问题解决 (2)如图②，五边形ABCDE是一个规划中的果园，五条边为果园的围墙，其中围墙满足AB=AE=6 km，BC+DE= AB，规划墙体之间的夹角∠BAE=90°，∠ABC=∠AED=105°，BD和CE是果园内的两条小路，这两条小路交于点G并将整个果园分成四部分，现计划在四边形ABGE内种植葡萄，在其他区域种植苹果，因葡萄的经济价值较高，故要求四边形ABGE的面积尽可能大，请问这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由. 26.解：(1)如答案图①，连接OA，OB，OC.过点O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，则得到矩形OEDF， ∴OF=ED，DF=OE， ∵BC=BC，∠BAC=30°， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形， ∴OB=OC=BC=9，EC= BC= ， OE=OC·sin60°=9× = ， ∵BC=3CD=9，∴CD=3， ∴ED=EC-CD= -3= ， ∴DF=OE= ，OF=ED= ， 又∵OA=OC=9， 在Rt△AOF中，根据勾股定理得，AF= = = ， ∴AD=AF+DF= + = ；  答案图① (2)存在.如答案图②，连接BE，分别延长BC，ED相交于点P. ∵AB=AE=6 ，∠BAE=90°， ∴BE= ==12，∠ABE=∠AEB=45°， ∵∠ABC=∠AED=105°， ∴∠PBE=∠PEB=60°， ∴△BEP为等边三角形， ∴BP=EP=BE=12，∠BED=∠P=60°， ∵BC+DE= AB，∴BC+DE=12， 又∵BP=BC+CP=12，∴CP=DE， ∵∠BED=∠P=60°，EP=BE， ∴△BED≌△EPC， ∴∠EBD=∠PEC， ∴∠BGC=∠BEC+∠EBD=∠BEC+∠PEC=∠BED=60°， ∴∠BGE=120°. 过点G作GH⊥BE于点H， 则S四边形ABGE=S△ABE+S△BEG= AB·AE+ BE·GH=36+6GH， ∴当GH取最大值时，S四边形ABGE有最大值.  ∵BE=12，∠BGE=120°， ∴作△BEG的外接圆⊙O，连接OB，OG，OE.过点O作OR⊥BE于点R，则BR= BE=6， ∵OR+GH≤OG， ∴当点R和H重合时，GH取最大值，此时四边形OBGE为菱形， ∴∠BOE=∠BGE=120°，GH=OR， 由垂径定理可得∠BOR= ∠BOE=60°， ∴OR= = =2 ，∴GHmax=2 ， ∴四边形ABGE面积的最大值为36+6GH=36+6×2 =36+12 ， ∴四边形ABGE的面积存在最大值，其最大值为(36+12 )km2. 答案图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $