专题 7.9 幂的运算（单元培优卷）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题 7.9 幂的运算（单元培优卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列计算中，结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算；分别根据幂的乘方，零指数幂、同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则进行计算，再判断即可． 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；      B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 解：由， 故选：． 3．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）计算的值等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方逆用，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数，把原式化为，然后逆用积的乘方计算即可求解． 解：， 原式 因为，且为奇数， 所以 所以 原式， 故选A． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在算式中，□内的式子应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，根据指数运算法则，将除法转化为乘法，然后利用同底数幂相除，指数相减的性质求解． 解：∵， ∴. ∴□内的式子应是 ， 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 6．（24-25八年级上·四川资阳·月考）若，比较，大小（   ） A． B． C． D．、大小不能正确比较 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法的逆用．将变形为，将变形为，计算的值，即可判断． 解：， ， 故选：C． 7．（24-25七年级下·江苏常州·月考）若，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方，负整数指数次幂和零指数次幂，有理数的比较大小，先根据乘方，负整数指数次幂和零指数次幂的运算法则计算，然后比较大小解答即可． 解：，，，， ∴， 故选：C． 8．（24-25七年级上·云南红河·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性． 解：对于结论①： ， ∴ 结论①错误． 对于结论②： ， ， ． ∴ 结论②正确． 对于结论③： ， 同理， ． ∴ 结论③正确． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：B． 9．（25-26八年级上·福建泉州·月考）实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2025·黑龙江大庆·三模）定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了数的乘方的计算能力，解题的关键是理解定义． 根据定义理解，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确即可． 解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得，该选项错误，不符合题意； ③由得，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； ④令，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ∴正确的选项有：①③④， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 解： ． 故答案为: ． 12．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 13．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆用、零指数幂，先将化为，再根据积的乘方逆用和零指数幂运算，然后运算减法计算． 解：， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·云南怒江·月考）若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，包括正用与逆用，掌握幂的乘方法则是关键；将方程化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 解：由，得． 所以． 因此． 根据题意，若（，），则， 所以，解得． 故答案为：4． 15．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的乘法与除法），解题关键是将各项底数分解，根据幂的运算法则将等式转化为关于的方程组，求解后计算 将方程左边各分数分解为质数的幂的形式，利用幂的运算法则化简，通过比较指数建立方程组，解出整数a、b、c的值，再计算． ， 又， ， ， 解得， ． 故答案为． 16．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的除法，代数式求值． 根据幂的乘方将化为，进而根据同底数幂的除法计算即可． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·河南周口·期末）观察下列等式： 按此规律，第n个等式为 【答案】 【分析】观察给定等式，右边数字均为2乘以3的从到次幂之和，符合因式分解规律． 本题是对数字变化规律的考查，观察等式的变化是解题关键． 根据因式分解公式， ； ； ； ； ， 故答案为：， 18．（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则 ． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用， （1）根据定义可得，由即可得出． （2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 解：（1）由定义可知即， ∵， ∴， （2）由定义可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为3；． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）19．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（是大于3的整数）． (3)（其中）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂，运用幂的相关运算法则进行计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 20．（本小题满分8分）（22-23七年级下·江苏镇江·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法求解即可； （2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可求解； （3）先进行有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （4）可根据积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算进行简便运算即可求解． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算、整式的运算，涉及到幂的乘方和同底数幂的乘除法、积的乘方、负整数指数幂、零指数幂、合并同类项等知识，熟练掌握相关运算法则并灵活运用，正确求解是解答的关键． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 【答案】（1）；（2）14；（3） 【分析】本题考查了幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、积的乘方等，解题的关键是熟练运用这些性质对式子进行变形和计算． （1）利用积的乘方逆运算进行简便计算； （2）先根据同底数幂加法法则对等式左边进行合并，再根据指数相等求出a、b的值； （3），将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解x． （1）解：原式． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：14． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如果 那么我们规定．例如：因为所以 (1)（理解）根据上述规定， 填空∶ ， ； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若，则 【答案】(1)3， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：3， （2）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级下·江苏泰州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． （1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.9 幂的运算（单元培优卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列计算中，结果正确的是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）计算的值等于（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在算式中，□内的式子应是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（24-25八年级上·四川资阳·月考）若，比较，大小（   ） A． B． C． D．、大小不能正确比较 7．（24-25七年级下·江苏常州·月考）若，，，．则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·云南红河·期末）对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．（25-26八年级上·福建泉州·月考）实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江大庆·三模）定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）计算： ． 12．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 13．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）计算： ． 14．（25-26八年级上·云南怒江·月考）若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 15．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则 ． 16．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知，则的值为 ． 17．（25-26八年级上·河南周口·期末）观察下列等式： 按此规律，第n个等式为 18．（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则 ． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）19．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（是大于3的整数）． (3)（其中）． 20．（本小题满分8分）（22-23七年级下·江苏镇江·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如果 那么我们规定．例如：因为所以 (1)（理解）根据上述规定， 填空∶ ， ； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若，则 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 24．（本小题满分12分）（24-25九年级下·江苏泰州·月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $